2024年高考数学试题（新课标I卷）_20240622_214419_2024年高考真题卷_新课标Ⅰ卷语数英（适用地区山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江、江西、安徽、河南）

2024年高考数学试题（新课标I卷）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.已知集合A=x|-5<x3<5  ，B={-3,-1,0,2,3}，则A∩B=
A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
z
2.若 =1+i，则z=
z-1
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
3.已知向量a=0,1  ，b=2,x  ，若b⊥b-4a  ，则x=
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.已知cosα+β  =m，tanαtanβ=2，则cosα-β  =
m m
A.-3m B.- C. D.3m
3 3
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为
A.2 3π B.3 3π C.6 3π D.9 3π
6.已知函数fx 
-x2-2ax-a, x<0,
=
ex+lnx+1 

 在R上单调递增，则实数a的取值范围是
, x≥0
A.(-∞,0] B.-1,0  C.-1,1  D.[0,+∞)
7.当x∈0,2π 
π
时，曲线y=sinx与y=2sin(3x- )的交点个数为
6
A.3 B.4 C.6 D.8
8.已知函数fx  的定义域为R，fx  >fx-1  +fx-2  ，且当x<3时，fx  =x，则下列结论中一定正
确的是
A.f10  >100 B.f20  >1000 C.f10  <1000 D.f20  <10000
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全
部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均

值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12  ，假设推动出口

后的亩收入Y服从正态分布x,s2  ，则(若随机变量Z服从正态分布Nμ,σ2  ，则PZ<μ+σ  ≈0.8413)
A.PX>2  >0.2 B.PX>2  <0.5
C.PY>2  >0.5 D.PY>2  <0.8
10.设函数fx  =x-1  2 x-4  ，则
A.x=3是fx  的极小值点 B.当0<x<1时，fx  <fx2 
C.当1<x<2时，-4<f2x-1  <0 D.当-1<x<0时，f2-x  >fx 
111.造型Ժ可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横
坐标大于-2，到点F2,0  的距离与到定直线x=aa<0  的距离之积为4，则
y
O x
A.a=-2
B.点2 2,0  在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点x 0 ,y 0 
4
在C上时，y ≤ 0 x +2
0
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
x2 y2
12.设双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F,F ,过F 作平行于y轴的直线交C于A,B 1 2 2
两点，若 F
1
A=13，AB=10，则C的离心率为 .
13.若曲线在点0,1  处的切线也是曲线y=lnx+1  +a的切线，则a= .
14.甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别
标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比
较所选卡片上的数字大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置
的卡片在此后的轮次中不能使用)，则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinC= 2cosB，a2+b2-c2= 2ab.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3+ 3，求c.
216.(15分)已知A0,3 
3 x2 y2
和P(3, )为椭圆 + =1a>b>0
2 a2 b2
 上两点.
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9,求l的方程.
17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB= 3.
（1）若AD⊥PB，证明:AD⎳平面PBC；
42
（2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为 ，求AD.
7
P
D
A C
B
318.(17分)已知函数fx 
x
=ln +ax+bx-1
2-x
 3.
（1）若b=0，且fx  ≥0，求a的最小值；
（2）证明:曲线y=fx  是中心对称图形；
（3）若fx  >-2当且仅当1<x<2，求b的取值范围.
19.(17分)设m为正整数，数列a 1 ,a 2 ,⋯,a 4m+2 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a ji<j  后
剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1 ,a 2 ,⋯,a 4m+2 是i,j 
一可分数列.
（1）写出所有的i,j  ,1≤i<j≤6，使得数列a 1 ,a 2 ,⋯,a 6 是i,j  一可分数列；
（2）当m≥3时，证明:数列a 1 ,a 2 ,⋯,a 4m+2 是2,13  一可分数列；
（3）从1,2,⋯,4m+2中一次任取两个数i和ji<j  ，记数列a 1 ,a 2 ,⋯,a 4m+2 是i,j  一可分数列的概率
1
为P ，证明:P > .
m m 8
4