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2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 I 卷）
数学参考答案与解析
本参考答案与解析共 7 页，19 小题，满分 150 分.
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 𝐴 = {𝑥|−5 < 𝑥3 < 5}，𝐵 = {−3,−1,0,2,3}，则 𝐴 𝐵=
A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}
【答案】A.
【解析】−5 < 𝑥3 < 5 ⇒ −51 < 𝑥 < 51，而 1 < 51 < 2，因此 𝐴 𝐵 = {−1,0}.
3 3 3
故答案为 A.
𝑧
2. 若 = 1+i，则 𝑧 =
𝑧−1
A. −1−i B. −1+i C. 1−i D. 1+i
【答案】C.
1 1
【解析】两边同时减 1 得： = i, 进而 𝑧 = 1+ = 1−i.
𝑧−1 i
故答案为 C.
3. 已知向量 𝒂 = (0,1)，𝒃 = (2,𝑥). 若 𝒃⊥ (𝒃−4𝒂)，则 𝑥 =
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
【答案】D.
【解析】即 𝒃⋅(𝒃−4𝒂) = 0. 代入得 4+𝑥(𝑥−4) = 0, 即 𝑥 = 2.
故答案为 D.
4. 已知 cos(𝛼+𝛽) = 𝑚，tan𝛼tan𝛽 = 2，则 cos(𝛼−𝛽) =
数学参考答案与解析 第 1 页（共 7 页）𝑚 𝑚
A. −3𝑚 B. − C. D. 3𝑚
3 3
【答案】A.
1 1
【解析】通分 sin𝛼sin𝛽 = 2cos𝛼cos𝛽. 积化和差 (cos(𝛼−𝛽)−cos(𝛼+𝛽)) = 2⋅ (cos(𝛼−
2 2
𝛽)+cos(𝛼+𝛽)). 即 cos(𝛼−𝛽) = −3cos(𝛼+𝛽) = −3𝑚.
故选 A.
√
5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且他们的高均为 3，则圆锥的体积为
√ √ √ √
A. 2 3𝜋 B. 3 3𝜋 C. 6 3𝜋 D. 9 3𝜋
【答案】B.
√ √
【解析】设二者底面半径为 𝑟，由侧面积相等有 𝜋𝑟 𝑟2+3 = 2𝜋𝑟 ⋅ 3，解得 𝑟 = 3. 故
√
1 √ 3 √
𝑉 = ⋅𝜋𝑟2⋅ 3 = 𝜋×9 = 3 3𝜋.
3 3
故答案为 B.
⎧
{−𝑥2−2𝑎𝑥−𝑎, 𝑥 < 0
6. 已知函数为 𝑓(𝑥) = 在 R 上单调递增，则 𝑎 的取值范围是
⎨
{e𝑥+ln(𝑥+1), 𝑥 ⩾ 0
⎩
A. (−∞,0] B. [−1,0] C. [−1,1] D. [0,+∞)
【答案】B.
1
【解析】𝑥 ⩾ 0 时，𝑓′(𝑥) = e𝑥 + > 0，故 𝑓(𝑥) 在 [0,+∞) 上单调递增. 而 𝑦 =
1+𝑥
−𝑥2−2𝑧𝑥−𝑎的对称轴为直线𝑥 = −𝑎，故由𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递增可知−𝑎 ⩾ 0 ⇒ 𝑎 ⩽ 0.
在 𝑥 = 0 时应有 −𝑥2−2𝑎𝑥−𝑎 ⩽ e𝑥+ln(𝑥+1)，解得 𝑎 ⩾ −1，故 −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 0.
故答案为 B.
𝜋
7. 当 𝑥 ∈ [0,2𝜋] 时，曲线 𝑦 = sin𝑥 与 𝑦 = 2sin(3𝑥− ) 的交点个数为
6
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C.
【解析】五点作图法画图易得应有 6 个交点.
故答案为 C.
8. 已知函数 𝑓(𝑥) 的定义域为 R，𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥−1)+𝑓(𝑥−2)，且当 𝑥 < 3 时 𝑓(𝑥) = 𝑥，则下
列结论中一定正确的是
A. 𝑓(10) > 100 B. 𝑓(20) > 1000 C. 𝑓(10) < 1000 D. 𝑓(20) < 10000
【答案】B.
【解析】𝑓(1) = 1,𝑓(2) = 2 ⇒ 𝑓(3) > 3 ⇒ 𝑓(4) > 5 ⇒ 𝑓(5) > 8 ⇒ 𝑓(6) > 13 ⇒ ⋯ ⇒
𝑓(11) > 143 ⇒ 𝑓(12) > 232 ⇒ 𝑓(13) > 300 ⇒ 𝑓(14) > 500 ⇒ 𝑓(15) > 800 ⇒ 𝑓(16) > 1000 ⇒
⋯ ⇒ 𝑓(20) > 1000
故答案为 B.
数学参考答案与解析 第 2 页（共 7 页）二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从种植区抽取样本，得到推动出口后亩
收入的样本均值为 𝑥̄ = 2.1，样本方差 𝑠2 = 0.01. 已知该种植区以往的亩收入 𝑥 服从正态分布
𝑀(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入 𝑌 服从正态分布 𝑁(𝑥,̄ 𝑠2)，则（若随机变量 𝑍 服从正
态分布 𝑁(𝜇,𝜎2)，则 𝑃(𝑍 < 𝜇+𝜎) ≈ 0.8413）
A. 𝑃(𝑋 > 2) > 0.2 B. 𝑃(𝑋 > 2) < 0.5 C. 𝑃(𝑌 > 2) > 0.5 D. 𝑃(𝑌 > 2) < 0.8
【答案】BC.
【解析】由所给材料知两正态分布均有 𝜎 = 0.1 及正态分布的对称性得：
𝑃(𝑋 > 2) < 𝑃(𝑋 > 1.9) = 1−𝑃(𝑋 < 1.9) = 1−0.8413 < 0.2, A 错误；𝑃(𝑋 > 2) < 𝑃(𝑋 >
1.8) = 0.5, B 正确；
𝑃(𝑌 > 2) > 𝑃(𝑌 > 2.1) = 0.5, C 正确；
𝑃(𝑌 > 2) = 𝑃(𝑌 < 2.2) = 0.8413 > 0.8, D 错误.
故答案为 BC.
10. 设函数 𝑓(𝑥) = (𝑥−1)2(𝑥−4)，则
A. 𝑥 = 3 是 𝑓(𝑥) 的极小值点 B. 当 0 < 𝑥 < 1 时，𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥2)
C. 当 1 < 𝑥 < 2 时，−4 < 𝑓(2𝑥−1) < 0 D. 当 −1 < 𝑥 < 0 时，𝑓(2−𝑥) > 𝑓(𝑥)
【答案】ACD.
【解析】计算知 𝑓′(𝑥) = 3(𝑥−1)(𝑥−3). 故 𝑥 ∈ (1,3) 时 𝑓(𝑥) 单调减, 其余部分单调增. 由
此知 𝑥 = 3 为 𝑓(𝑥) 极小值点，A 正确；
由上知 𝑥 ∈ (0,1) 时 𝑓(𝑥) 单调增, 又此时 𝑥 > 𝑥2, 故 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥2), B 错误；
此时 2𝑥−1 ∈ (1,3), 故 𝑓(2𝑥−1) ∈ (𝑓(3),𝑓(1)) = (−4,0), C 正确；
2 3
由 𝑓(2−𝑥) = (𝑥−1) (−𝑥−2), 故 𝑓(2−𝑥)−𝑓(𝑥) = 2(1−𝑥) > 0, D 正确.
故答案为 ACD.
11. 造型 ∝ 可以看作图中的曲线 𝐶 的一部分. 已知 𝐶 过坐标原点 𝑂，且 𝐶 上的点满足横坐标
大于 −2；到点 𝐹(2,0) 的距离与到定直线 𝑥 = 𝑎(𝑎 < 0) 的距离之积为 4，则
A. 𝑎 = −2
√
B. 点 (2 2,0) 在 𝐶 上
C. 𝐶 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1
4
D. 当点 (𝑥 ,𝑦 ) 在 𝐶 上时，𝑦 ⩽
0 0 0 𝑥 +2
0
【答案】ABD.
【解析】由原点 𝑂 在曲线 𝐶 上且 |𝑂𝐹| = 2 知 𝑂 到直线 𝑥 = 𝑎 距离为 2, 由 𝑎 < 0 知
𝑎 = −2, A 正确；
√
由 𝑥 > −2 知 𝐶 上点满足 (𝑥+2)√(𝑥−2)2+𝑦2 = 4, 代 (2 2,0) 知 B 正确；
16
解出 𝑦2 = −(𝑥−2) 2 , 将左边设为 𝑓(𝑥), 则 𝑓′(2) = −0.5 < 0. 又有 𝑓(2) = 1, 故存
(𝑥+2)2
数学参考答案与解析 第 3 页（共 7 页）𝑥 ∈ (0,1) 使 𝑓(𝑥 ) > 1. 此时 𝑦 > 1 且在第一象限, C 错误；
0 0
16 16 4
又 𝑦2 = −(𝑥−2) 2 < , 故 𝑦 < , D 正确.
(𝑥+2)2 (𝑥+2)2 0 (𝑥 +2)
0
故答案为 ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
𝑥2 𝑦2
12. 设双曲线 𝐶 ∶ − = 1(𝑎 > 0,𝑏 > 0) 的左右焦点分别为 𝐹 ,𝐹 ，过 𝐹 做平行于 𝑦 轴的
𝑎2 𝑏2 1 2 2
直线交 𝐶 于 𝐴,𝐵 两点，若 |𝐹 𝐴| = 13,|𝐴𝐵| = 10，则 𝐶 的离心率为 ▴ ..
1
3
【答案】 .
2
|𝐴𝐵|
【解析】根据对称性 |𝐹 𝐴| = = 5，则 2𝑎 = |𝐹 𝐴|−|𝐹 𝐴| = 8，得到 𝑎 = 4. 另外根据
2 2 1 2
𝑐 3
勾股定理 2𝑐 = |𝐹 𝐹 | = 12，得到 𝑐 = 6，所以离心率 𝑒 = = .
1 2 𝑎 2
13. 若曲线𝑦 = e𝑥+𝑥在点(0,1)处的切线也是曲线𝑦 = ln(𝑥+1)+𝑎的切线，则𝑎 = ▴ ..
【答案】ln2.
1
【解析】设曲线分别为 𝑦 ,𝑦 ，那么 𝑦′ = e𝑥+1，得到切线方程 𝑦−1 = 2𝑥，根据 𝑦′ =
1 2 1 2 𝑥+1
1
得到切点横坐标为 − ，代入 𝑦 得到 𝑎 = ln2.
2 2
14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1,3,5,7，
乙的卡片上分别标有数字 2,4,6,8. 两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的
卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然
后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）. 则四轮比赛后，甲的总得
分不小于 2 的概率为 ▴ ..
1
【答案】 .
2
【解析】. 由对称性，不妨固定乙出卡片顺序依次为 (2,4,6,8), 为了简便, 设甲依次出
(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑),{𝑎,𝑏,𝑐,𝑑} ∈ {1,3,5,7}. 首先注意到 8 是最大的, 故甲不可能得四分. 若甲得三分, 则
从 𝑐 到 𝑎 均要求得分, 比较得必有 𝑐 = 7,𝑏 = 5,𝑎 = 3,𝑑 = 1 共一种情况；若甲得两分, 则讨论
在何处得分：若在 𝑏,𝑐 处, 则同样 𝑐 = 7,𝑏 = 5, 进而 𝑎 = 1,𝑑 = 3, 共一种；若在 𝑎,𝑐 处，则必
有 𝑐 = 7,𝑎 ≠ 1,𝑏 ≠ 5, 在 𝑏 = 1 时有全部两种, 在 𝑑 = 1 时仅一种, 共三种；若在 𝑎,𝑏 处, 则
𝑏 ∈ {5,7},𝑎 ≠ 1,𝑐 ≠ 7. 当 𝑎 = 5 时, 由上述限制, 𝑐 = 1 时有两种, 𝑑 = 1 时仅一种；当 𝑎 = 7
时, 𝑎,𝑐,𝑑 全排列六种中仅 𝑎 = 1 的两种不行, 故有四种, 此情形共八种. 故共有 1+3+8=12 种,
12 1
又总数为 4! = 24, 故所求为 1− = .
24 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
√ √
记△𝐴𝐵𝐶 的内角𝐴,𝐵,𝐶 的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，已知sin𝐶 = 2cos𝐵，𝑎2+𝑏2−𝑐2 = 2𝑎𝑏.
（1）求 𝐵；
√
（2）若 △𝐴𝐵𝐶 的面积为 3+ 3，求 𝑐.
数学参考答案与解析 第 4 页（共 7 页）【解析】
√
√ 2
（1）根据余弦定理 𝑎2+𝑏2−𝑐2 = 2𝑎𝑏cos𝐶 = 2𝑎𝑏，那么 cos𝐶 = ，又因为 𝐶 ∈ (0,𝜋)，
2
𝜋 1 𝜋
得到 𝐶 = ，此时 cos𝐵 = ，得到 𝐵 = .
4 2 3
√
𝑐sin𝐵 6
（2）根据正弦定理𝑏 = = 𝑐，并且sin𝐴 = sin(𝐵+𝐶) = sin𝐵cos𝐶+cos𝐵sin𝐶 =
sin𝐶 2
√ √
6+ 2 1 √ √
，那么 𝑆 = 𝑏𝑐sin𝐴 = 3+ 3，解得 𝑐 = 2 2.
4 2
16.（15 分）
3 𝑥2 𝑦2
已知 𝐴(0,3) 和 𝑃 (3, ) 为椭圆 𝐶 ∶ + = 1(𝑎 > 𝑏 > 0) 上两点.
2 𝑎2 𝑏2
（1）求 𝐶 的离心率；
（2）若过 𝑃 的直线 𝑙 交 𝐶 于另一点 𝐵，且 △𝐴𝐵𝑃 的面积为 9，求 𝑙 的方程.
【解析】
1 1
（1）直接代入后解方程，得到 𝑎2 = 12,𝑏2 = 9,𝑐2 = 3，所以 𝑒2 = ，离心率 𝑒 = .
4 2
3 3
（2）设 𝐵(𝑥 ,𝑦 )，则 ⃗𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 −3,𝑦 − ),⃗𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3,− ). 得到 9 = 𝑆
0 0 0 0 2 2
1 3 3
= ∣− (𝑥 −3)−3(𝑦 − )∣，或者𝑥 +2𝑦 = −6，与椭圆方程联立，得到𝐵 (−3,−15),𝐵 (0,−3)，
2 2 0 0 2 0 0 1 2
1 3
对应的直线方程 𝑦 = 𝑥 或者 𝑦 = 𝑥−3.
2 2
17.（15 分）
√
如图，四棱锥 𝑃 −𝐴𝑁𝐶𝐷 中，𝑃𝐴⊥ 底面 𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐴 = 𝐴𝐶 = 2，𝐵𝐶 = 1，𝐴𝐵 = 3.
（1）若 𝐴𝐷⊥ 𝐴𝐵，证明：𝐴𝐷 平面 𝑃𝐵𝐶；
√
42
（2）若 𝐴𝐷⊥ 𝐷𝐶，且二面角 𝐴−𝐶𝑃 −𝐷 的正弦值为 ，求 𝐴𝐷.
7
【解析】
（1）由 𝑃𝐴⊥ 面 𝐴𝐵𝐶𝐷 知 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐷, 又 𝐴𝐷⊥ 𝑃𝐵, 故 𝐴𝐷⊥ 面 𝑃𝐴𝐵. 故 𝐴𝐷⊥ 𝐴𝐵, 又
由勾股定理知 𝐴𝐵⊥ 𝐵𝐶, 故 𝐴𝐷//𝐵𝐶, 进而 𝐴𝐷// 面 𝑃𝐵𝐶.
√ √
（2）由 𝑃𝐴⊥ 面 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐶, 𝑃𝐶 = 2 2, 设 𝐴𝐷 = 𝑡, 则 𝑃𝐷 = 4+𝑡2,
√ 1√ 1 √
𝐶𝐷 = 4−𝑡2, 由勾股定理知 𝑃𝐷⊥ 𝐶𝐷. 则 𝑆 = 16−𝑡4, 𝑆 = 𝑡 4−𝑡2,
△𝑃𝐶𝐷 2 △𝐴𝐶𝐷 2
数学参考答案与解析 第 5 页（共 7 页）2𝑡
设 𝐴 到 𝑃𝐶𝐷 距离为 ℎ. 由等体积, 𝑆 ⋅ℎ = 𝑆 ⋅𝑃𝐴. 代入解出 ℎ = √ . 考虑 𝐴
△𝑃𝐶𝐷 △𝐴𝐶𝐷
4+𝑡2
√
2 21 √
向 𝐶𝑃 作垂线 𝐴𝑀, 二面角设为 𝜃 则 ℎ = 𝐴𝑀sin𝜃 = . 由此解出 𝑡 = 3.
7
18.（17 分）
𝑥
已知函数 𝑓(𝑥) = ln +𝑎𝑥+𝑏(𝑥−1)3.
2−𝑥
（1）若 𝑏 = 0，且 𝑓′(𝑥) ⩾ 0，求 𝑎 的最小值；
（2）证明：曲线 𝑦 = 𝑓(𝑥) 是中心对称图形；
（3）若 𝑓(𝑥) > −2 当且仅当 1 < 𝑥 < 2，求 𝑏 的取值范围.
【解析】
函数定义域 (0,2).
1 1 2
(1) 当 𝑏 = 0 时, 𝑓′(𝑥) = + +𝑎 = +𝑎 ⩾ 0 恒成立. 令 𝑥 = 1 得 𝑎 ⩾ −2.
𝑥 2−𝑥 𝑥(2−𝑥)
2(𝑥−1)2
当 𝑎 = −2 时, 𝑓′(𝑥) = ⩾ 0, 从而 𝑎 的最小值为 −2.
𝑥(2−𝑥)
𝑥 2−𝑥
(2)𝑓(𝑥)+𝑓(2−𝑥) = ln +𝑎𝑥+𝑏(𝑥−1)3+ln +𝑎(2−𝑥)+𝑏(1−𝑥)3 = 2𝑎 = 2𝑓(1),
2−𝑥 𝑥
且定义域也关于 1 对称, 因此 𝑦 = 𝑓(𝑥) 是关于 (1,𝑎) 的中心对称图形.
|𝑏|+1
2e
(3) 先证明 𝑎 = −2. 由题意, 𝑎 = 𝑓(1) ⩽ −2. 假设 𝑎 < −2, 由 𝑓( ) >
|𝑏|+1
1+e
|𝑏|+1
2e
|𝑏|+1−|𝑏| = 1, 应用零点存在定理知存在 𝑥 ∈ (1, ), 𝑓(𝑥 ) = 0, 矛盾. 故 𝑎 = −2.
1 |𝑏|+1 1
1+e
(𝑥−1)2 2 (𝑥−1)2
此时, 𝑓′(𝑥) = [3𝑏𝑥(2−𝑥)+2]. 当 𝑏 ⩾ − , 𝑓′(𝑥) ⩾ (2−4𝑥+2𝑥2) ⩾ 0, 且
𝑥(2−𝑥) 3 𝑥(2−𝑥)
不恒为 0, 故 𝑓(𝑥) 在 (0,2) 递增. 𝑓(𝑥) > −2 = 𝑓(1) 当且仅当 1 < 𝑥 < 2, 此时结论成立. 当
√
2 3𝑏− 9𝑏2−6𝑏
𝑏 < − , 令 𝑥 = ∈ (0,1), 𝑓′(𝑥 ) = 0, 且 𝑓′(𝑥) < 0, 当 𝑥 ∈ (𝑥 ,1), 因此 𝑓(𝑥)
3 0 3𝑏 0 0
在 (𝑥 ,1) 递减, 从而 𝑓(𝑥 ) > 𝑓(1) = −2, 而 𝑥 ∉ (1,2) 此时结论不成立. 综上, 𝑏 的取值范围是
0 0 0
2
[− ,+∞).
3
19.（17 分）
设 𝑚 为正整数，数列 𝑎 ,𝑎 ,⋯𝑎 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 𝑎 和
1 2 4𝑚+2 𝑖
𝑎 (𝑖 < 𝑗) 后剩余的 4𝑚 项可被平均分为 𝑚 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列
𝑗
𝑎 ,𝑎 ,⋯𝑎 是 (𝑖,𝑗)− 可分数列.
1 2 4𝑚+2
（1）写出所有的 (𝑖,𝑗), 1 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑗 ⩽ 6，使数列 𝑎 ,𝑎 ,⋯𝑎 是 (𝑖,𝑗)− 可分数列；
1 2 6
（2）当 𝑚 ⩾ 3 时，证明：数列 𝑎 ,𝑎 ,⋯𝑎 是 (2,13)− 可分数列；
1 2 4𝑚+2
（3）从 1,2,⋯4𝑚+2 中一次任取两个数 𝑖 和 𝑗(𝑖 < 𝑗)，记数列 𝑎 ,𝑎 ,⋯𝑎 是 (𝑖,𝑗)− 可
1 2 4𝑚+2
1
分数列的概率为 𝑃 ，证明 𝑃 > .
𝑚 𝑚 8
【解析】
数学参考答案与解析 第 6 页（共 7 页）记 {𝑎 } 的公差为 𝑑.
𝑛
(1) 从 𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 中去掉两项后剩下 4 项, 恰构成等差数列, 公差必为 𝑑, 否则原数列至
1 2 6
少有 7 项. 因此剩下的数列只可能为 𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ,𝑎 , 𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ,𝑎 , 𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ,𝑎 三种可能, 对应的
1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6
(𝑖,𝑗) 分别为 (5,6), (1,6), (1,2).
(2)考虑分组(𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ),(𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ),(𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ),(𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ,𝑎 )(4 ⩽
1 4 7 10 3 6 9 12 5 8 11 14 4𝑘−1 4𝑘 4𝑘+1 4𝑘+2
𝑘 ⩽ 𝑚), (当 𝑚 = 3 时只需考虑前三组即可) 即知结论成立.
(3)一方面,任取两个𝑖,𝑗(𝑖 < 𝑗)共有𝐶2 种可能.另一方面,再考虑一种较为平凡的情况:
4𝑚+2
𝑖−1, 𝑗−𝑖−1均可被4整除, 此时, 只要依次将剩下的4𝑚项按原顺序从头到尾排一列, 每四个截
取一段, 得到 𝑚 组公差为 𝑑 的数列, 则满足题意, 故此时确实是 (𝑖,𝑗)− 可分的. 接着计算此时的
(4𝑚+2)−(4𝑘+1)−1
方法数. 设𝑖 = 4𝑘+1(0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑚),对于每个𝑘,𝑗有 +1 = 𝑚−𝑘+1(种),
4
因此方法数为
𝑚 (𝑚+1)(𝑚+2)
∑(𝑚−𝑘+1) = .
2
𝑘=1
(𝑚+1)(𝑚+2) 1
当 𝑚 = 1,2, 已经有 /𝐶2 > . 下面考虑 𝑚 ⩾ 3. 我们证明: 当 𝑖−2,𝑗 −
2 4𝑚+2 8
𝑖 + 1 被 4 整除, 且 𝑗 − 𝑖 + 1 > 4 时, 数列是 (𝑖,𝑗)− 可分的. 首先我们将 𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 , 及
1 2 𝑖−2
𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 顺序排成一列, 每 4 个排成一段, 得到一些公差为 𝑑 的四元数组, 因此我
𝑗+2 𝑗+3 4𝑚+2
们只需考虑 𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 ,𝑎 这 𝑗 − 𝑖 + 1 个数即可. 为书写方便, 我们记 𝑗 − 𝑖 =
𝑖−1 𝑖+1 𝑖+2 𝑗−1 𝑗+1
4𝑡−1(𝑡 > 1), 并记 𝑏 = 𝑎 , 即证 𝑏 ,𝑏 ,𝑏 ,⋯,𝑏 ,𝑏 可被划分成若干组.
𝑛 𝑛+𝑖−2 1 3 4 4𝑡 4𝑡+2
引理: 设𝑗−1能被4整除. 若𝑏 ,𝑏 ,⋯,𝑏 是(2,𝑗)−可分的,则𝑏 ,𝑏 ,⋯,𝑏 是(2,𝑗+8)−
1 2 𝑗+1 1 2 𝑗+9
可分的.
𝑗−1
引理证明: 将 𝑏 ,𝑏 ,⋯,𝑏 去掉 𝑏 ,𝑏 后的 组四元组再并上 (𝑏 ,𝑏 ,𝑏 ),
1 2 𝑗+1 2 𝑗 4 𝑗 𝑗+2 𝑗+4,𝑏 𝑗+6
(𝑏 ,𝑏 ,𝑏 ,𝑏 ) 即证.
𝑗+3 𝑗+5 𝑗+7 𝑗+9
回原题. 由 (2), 𝑏 ,⋯,𝑏 是 (2,13)− 可分数列, 且 (𝑏 ,𝑏 ,𝑏 ,𝑏 ) 和 (𝑏 ,𝑏 ,𝑏 ,𝑏 ) 知
1 14 1 3 5 7 4 6 8 10
𝑏 ,⋯,𝑏 是(2,9)−可分数列,因而结合引理知𝑏 ,𝑏 ,𝑏 ,⋯,𝑏 ,𝑏 可被划分成若干组,由此结
1 10 1 3 4 4𝑡 4𝑡+2
(4𝑚+2)−(4𝑘+2)
论成立.计算此时的方法数. 设𝑖 = 4𝑘+2(0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑚−1),则此时𝑗有 −1 =
4
𝑚−𝑘−1 种, 因此方法数为
𝑚−1 𝑚(𝑚−1)
∑(𝑚−𝑘−1) = .
2
𝑘=0
因此我们有
𝑚(𝑚−1)+(𝑚+1)(𝑚+2) 1
𝑝 ⩾ > .
𝑚 2𝐶2 8
𝑚+1
数学参考答案与解析 第 7 页（共 7 页）
