7.4 复数的乘、除运算
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：复数的乘法运算............................................................. 2
考点二：复数代数形式的乘方....................................................... 2
考点三：共轭复数的性质............................................................. 2
考点四：复数的除法................................................................... 2
考点五：复数运算的常用技巧....................................................... 2
考点六：复数范围内方程的根....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：复数的乘法运算............................................................. 3
题型二：复数的除法运算............................................................. 5
题型三：复数的乘方运算............................................................. 8
题型四：复数范围内分解因式......................................................10
题型五：复数范围内方程的根......................................................12
题型六：复数乘除法运算求参数...................................................16
题型七：复数的四则运算求复数特征.............................................18
题型八：求共轭复数的特征........................................................ 21
题型九：复数四则运算的创新应用................................................22
模块三：综合巩固....................................................................... 26
7.4 复数的乘、除运算
模块一：基础知识
考点一：复数的乘法运算
1.复数的乘法法则
设
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把
换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
2.复数乘法的运算律
对于任意
,
,
∈C，有
①交换律：
=
；②结合律：(
)
=
(
)；③分配律：
(
+
)=
+
.
考点二：复数代数形式的乘方
1.复数的乘方
复数的乘方就是相同复数的乘积
2.复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的
1
2
,
,
z z z
C
，
,
m n
N
，有：
①
m
n
m n
z z
z
②(
)
m
n
mn
z
z
③
1 2
1
2
(
)n
n
n
z z
z z
考点三：共轭复数的性质
设z
a
bi
，z
a
bi
（,a b
R
）
1
2
3
,
,
,
n
z z
z
z
C
①( )z
z
；②z
z
z
为实数；③z
z
且
0
z
z 为纯虚数
④
1
|
| 1
z
z
z
；⑤
2
z
z
a
，
2
z
z
bi
，
2
2
z z
a
b
考点四：复数的除法
1.定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除
以复数c+di 的商，记作(a+bi)÷(c+di)或
(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
2.复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)=
=
=
=
+
i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
考点五：复数运算的常用技巧
1.复数常见运算小结论
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
.
2.常用公式
；
（a±bi）2=a2-b2±2ab；
.
考点六：复数范围内方程的根
若一元二次方程
+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当
>0 时，方程有两个不相等的实根
，
=
；当
=0 时，方程有两个相等的实根
=
=-
；当
<0 时，
方程有两个虚根
=
，
=
，且两个虚数根互为共轭复数.
模块二：题型分类
题型一：复数的乘法运算
1．已知复数
2
3i
4i
7
z
，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（
）
A．26
B．26
C．13
D．13
【答案】C
【解析】依题意，
2
3i
4i
7
8i 14 12
21i
26 13i
z
，
所以，复数z 的虚部为13
，故选：C.
2．复数
1
2
2
i,
3 i
z
z
，则
1
2
z
z
（
）
A．7
i
B．7
i
C．5 5i
D．5 5i
【答案】C
【解析】由已知
2
1
2
(2
i)(3+i)
6
2i
3i
i
5
5i
z
z
.故选：C.
3．复数
1z ，
2z 满足
1
2
2
z
z
，
1
2
2i
z
z
，则
1 2
z z （
）
A．2i
B．3i
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由
1
2
1
1
2
2i
z
z
z
z
解得
1
2
1 i
1 i
z
z
，则
2
1
2
(1
i)(1 i)
1 i
2
z z
.故选：C.
4．若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足
1 i 1 2i
2
z
，则点A 在复平面内对应
坐标为（
）
A．
1,5
B．
5, 1
C．
1,1
D．(
)
1, 1
-
【答案】B
【解析】由
1 i 1 2i
2
z
，则
2
1 i 1 2i
2
3 i
5
i
z
所以点A 在复平面内对应坐标为
5, 1
.故选：B.
5．计算：
（1）
1 i
3
4i
；
（2）
1
2i
1
2i
；
（3）
3
i
3
2i
1 i
；
（4）
5
4i
1 3i
5
2i
．
【答案】（1）1 7i
；（2）5；（3）8 14i
；（4）32
7i
【解析】（1）
1
i
3
4i
2
3
4i
3i
4i
1
7i
.
（2）
2
2
1
2i
1
2i
1
2i
5
.
（3）
3
i
3
2i
1 i
2
9
6i
3i
2i
1 i
11 3i 1 i
2
11 11i
3i
3i
8 14i
.
（4）
5
4i
1 3i
5
2i
6
i
5
2i
2
30 12i
5i
2i
32
7i
.
6.已知
2
i
z
，则
i
z z
的虚部是（
）
A．2
B．2
C．2i
D．2i
【答案】A
【详解】因为
2
i
z
，则
i
2
i
2
i
i
2 2
i
4
2i
z z
，
所以
i
z z
的虚部为2，
故选：A.
7.已知复数
3
1 i
1 2i
z
(i 为虚数单位)，则z 的模等于
.
【答案】10
【详解】因为
3
1 i
1
2i
1
i
1
2i
1
3i
z
，
所以
1 9
10
z
，
故答案为：10 .
8.若复数z 满足
1
1
i z
i
，则复数z 的虚部是（
）
A．
2
2
B．
2
2 i
C．
2
2
D．
2
2 i
【答案】C
【详解】
|1
|
2(1
)
1 (1
)
1
(1
)(1
)
2
i
i
z
i
i
i
i
1
2
2
(1
)
2
2
2
z
i
i
，
复数z 的虚部是
2
2
，
故选：C.
题型二：复数的除法运算
1．已知复数
3
2i
3
2i
z
，则z 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】由题可知
2
3
2i
(3
2i)
5
12i
3
2i
(3
2i)(3
2i)
13
13
z
，
所以其在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.
2.复数
3
2i
1 i
z
，在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】
3
2i
1
i
3
2i
1
5 i
1
i
1
i
1
i
2
2
z
，
1
5 i
2
2
z
，
复数
3
2i
1 i
z
的共轭复数在复平面内所对应的点位于第四象限，
故选：D.
3.i 是虚数单位，若复数
1
i
R
1
i
b
z
b
为纯虚数，则b
．
【答案】1
【详解】
2
1
i 1 i
1
1 i
1
i
1
i
i
i
R
1 i
1 i 1 i
2
2
b
b
b
b
b
b
z
,
所以
1
0
1
0
b
b
，所以
1
b = - .
故答案为：1
.
4．若复数1
i
2
i
a
为纯虚数，则实数a 的值为
．
【答案】2
【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的概念可得出关于实数a 的等式与不等式，解之即可.
【解析】因为
1
i
2
i
1
i
2
2
1 i
2
i
2
i
2
i
5
5
a
a
a
a
为纯虚数，则
2
0
5
2
1
0
5
a
a
，解得
2
a
.
故答案为：2 .
5.计算．
(1)
6
1
i
2
3i
1 i
3
2i
；
(2)
4
1
3
2
2 i
．
(3)
1 4i 1 i
2
4i
3
4i
；
(4)
5
5
1 i
1 i
1 i
1 i
；
(5)
2022
2
2
4
8i
4
8i
2 3
i
2
1 i
1
2 3i
11
7i
.
【答案】(1) 1
i
(2)
1
3 i
2
2
(3)1 i
(4) 0
(5) 2i
【详解】（1）原式
6
2
6
2
2
(1 i)
( 2
3i)( 3
2i)
6
2i
3i
6
i
1 i
2
5
( 3)
( 2)
．
（2）原式
2
2
2
2
1
3
1
3
3
1
3
1
3
3
1
3
i
i
i
i
2
2
4
2
4
2
2
4
4
2
2
2
．
（3）原式
7
i
3
4i
5
3i
2
4i
7
i
25
25i
1 i
3
4i
3
4i
3
4i
3
4i
25
.
（4）原式
3
3
2
2
6
6
3
3
1 i
1 i
1 i
1 i
2i
2i
8i
8i
0
1 i 1 i
2
2
2
.
（5）
2 3
i
1
2 3i
2 3
i
13i
i
13
1
2 3i
1
2 3i
1
2 3i
，
4
2
2
1
1
1 i
i
，
2022
4 505
2
505
2
2
2
1
1
i
1 i
1 i
1 i
i
，
2
2
4
8i
4
8i
0
11
7i
，原式
i
i
0
2i
.
6.已知i 是虚数单位，若复数�=
�+i
1+i �∈�的实部是虚部的2 倍，则�=（
）
A．−
1
3
B．
1
3
C．−
1
2
D．
1
2
【解题思路】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案.
【解答过程】�=
�+i
�−i
�+i
�−i =
�+�
�+
�−�
�i，所以
�+�
�= �×
�−�
�，
解得�=
�
�，
故选：B.
7．已知复数
i
1
3i
2i
z
，则复数z 的虚部是（
）
A．1
4
B．
1
4
C．1 i
4
D．
1 i
4
【答案】B
【解析】由于
2
2
1
3i
1
( 3)
2
，
故
i
i
i (1+i)
1 i
2
2i
2(1 i)(1+i)
4
1
3i
2i
z
，
则
1 i
4
z
，其虚部为
1
4
，故选：B
8.若
2021
i
2
i
z
，则z =（
）
A．1
2i
B．1
2i
C．1
2i
D．1
2i
【答案】D
【详解】由已知可得
2021
2
2
i
2
i
(2
i) ( i)
1
2i
i
i
i
z
，
所以
1
2i
z
，
故选：D
9.若复数z 满足(1
2i)
3
i
z
，则z
【答案】
2
【详解】(1
2i)
3
i
z
，则
3
i 1 2i
3
i
5
5i
1 i
1 2i
1 2i 1 2i
5
z
，故
2
2
1
1
2
z
.
故答案为：
2 .
10．设
,
m n 为实数，i 为虚数单位，已知复数
i
3
i
i
m
n
，
2 i
z
n
m
，则z
【答案】13
【分析】由已知复数
i
3
i
i
m
n
，利用复数相等解得n，m，从而得到复数z 求解.
【解析】因为复数
i
i
3
i
i
m
n
n
m
，
所以
3
1
n
m
，即
3
1
n
m
，
所以
i
2 i
3
2
z
n
m
，
则
2
23
2
13
z
.
故答案为：13 .
题型三：复数的乘方运算
1.设
2023
i
1
i
z
（i 为虚数单位），则z （
）
A．
2
2
B．
2
C．1
2
D．2
【答案】A
【详解】由复数
2023
i 1 i
i
i
1
1 i
1 i
1 i
1 i 1 i
2
2
z
，所以
2
2
1
1
2
(
)
( )
2
2
2
z
.
故选：A.
2．若
1
i
z ，则
2z
z
（
）
A．1
i
B．1
3i
C．1 i
D．1
3i
【答案】B
【分析】根据复数的乘方运算以及共轭复数的概念即可求解.
【解析】由
1
i
z 可得
2
2
1 i
2i
z
，
1
i
z ，
是
2z
z
1
3i
，
故选：B
3．已知复数
2
2023
1
i
i
i
z
，则z （
）
A．0
B．1
C．
2
D．
3
【答案】A
【解析】
2
2023
1
i
i
i
z
2
3
4
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
1
i+i
i +i
i
i
+i
i
+i
i
+i
1 505 0
i 1 i
0
则
0
z
，故选：A.
4.复数
3
1
i
2
i
z
的虚部是（
）
A．i
B．1
C．3i
D．-3
【答案】D
【详解】
3
2
1
i
2
i
1 i
2
i
2
i
2i
i
2 1 3i
1 3i
z
，
所以虚部为3
.
故选：D
5．复数
3
3
i
1 i
z
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四像限
【答案】D
【分析】利用复数的四则运算化简复数z ，由几何意义得复平面内对应的点所在象限.
【解析】
3
3 1 i
3
3
3
1
i
i
i
i
1 i
1 i
2
2
2
z
，则在复平面内对应的点为3
1
,
2
2
，位于第四象限.
故选：D．
6.已知复数z 满足：
2023
3
i
3
i
z
，则z （
）
A．1
B．5
C．2 5
D．5
【答案】A
【详解】由
2023
3
i
3
i
z
，2023
3
i
i
,得
3
2
3
i
3
i
3
i
9
6i
i
4
3 i
3
i
3
i
3
i
10
5
5
z
，
所以
2
2
4
3
1
5
5
z
．
故选：A．
7.设复数z 对应的点在第四象限，则复数
1016
(1 i)
z
对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】
5
1016
2
508
508
08 508
508
2i
1 i
1
2
i
i
2
，
设
i
z
a
b
，则
0
a
，
0
b
，
8
101
50
5
6
08
2
2
i
1
i
a
b
z
，
508
508
2
0,2
0
a
b
，故复数
1016
(1 i)
z
对应的点在第四象限.
故选：D
8．
2003
1 i
1
i
（
）
A．1
B．i
C．1
D．i
【答案】B
【解析】
2
2
1 i
1 i
1
2i
i
i
1
i
1
i
1 i
2
，
其中
4
1
4
2
4
3
4
4
i
i,i
1,i
i,i
1
k
k
k
k
，
N
k
，
故
2003
2003
2003
200
500 4 3
3
i
1
i
i
i
i
1 i
1 i
，故选：B
9．已知
7
2
2
i
(1 i)
z
，则z 在复平面内对应的点的坐标为（
）
A．
1 ,1
2
B．
1 ,1
2
C．1 , 1
2
D．
1
1, 2
【答案】B
【解析】由题意得
7
2
2
i
2
i
(2
i)i
1
i
(1 i)
2i
2
2
z
，
所以z 在复平面内对应的点的坐标为
1 ,1
2
.故选：B
10．已知复数
2
3i
3
2i
z
，则复数
2
3
4
z
z
z
z
（
）
A．1
B．i
C．0
D．i
【答案】C
【解析】由题意知，
2
2
3i
(2
3i)(3
2i)
6
6i
13i
i
3
2i
(3
2i)(3
2i)
13
z
，
所以
2
3
4
i
( 1)
( i)
1
0
z
z
z
z
.故选：C
11.已知复数z 满足
2023
i
1
2i
z
（i 为虚数单位），则z （
）
A．3
B．
3
C．5
D．5
【答案】D
【详解】复数
2023
2
i
1 2i
i 1 2i
i
2i
2
i
z
，故
5
z
．
故选：D．
题型四：复数范围内分解因式
1.在复数范围内分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
【解题思路】（1）利用复数范围内的因式分解即可求解.
（2）利用复数范围内的因式分解即可求解.
【解答过程】（1）x2＋4＝(x＋2i)(x－2i)．
（2）x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x＋�i)(x－�i)(x＋�)(x－�)．
2.（1）已知复数�满足�1 + i = 3 + i，求�；
（2）在复数范围内因式分解：�2 −2�+ 2.
【解题思路】（1）根据复数的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）利用求根公式求得方程��−��+ �= �的根，进而得到��−��+ �= �的因式分解.
【解答过程】解：（1）由复数�满足��+ i = �+ i，
可得�=
�+i
�+i =
�+i
�−i
�+i
�−i =
�−�i
�
= �−i.
（2）由判别式�= ( −�)�−�× �=−�< �，
所以方程��−��+ �= �的两个根为
�± �i
�
= �± i，
则��−��+ �= [�−(�+ i)] ⋅[�−(�−i)] = (�−�−i)(�−�+ i).
3.在复数范围内分解因式：
(1)�2 + 8；
(2)�2 −2�+ 3；
(3)3�2 −2�+ 1.
【解题思路】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式.
【解答过程】（1）��+ �=��−�i�= (�+ ��i)(�−��i)
（2）��−��+ �= �−��−�i�= (�−�+
�i)(�−�−
�i)
（3）∵���−��+ �=�(��−
�
��+
�
�) = �[(�−
�
�)�−
�
�i�]
∴���−��+ �= �[(�−
�
�)+
�
�i][(�−
�
�) −
�
�i]
∴���−��+ �= �(�−
�−�
�
i）(�−
�+ �
�
i).
4.在复数范围内分解因式：
(1)�4 −�4
(2)�2 + 4
(3)�2 + 2�+ 5
(4)�2 + �2 + �2 + 2��
【解题思路】注意��+ ��= �+ ��
�−��,利用配方法和十字叉乘法，结合共轭复数的运算即可在复
数范围内分解因式.
【解答过程】（1）��−��= ��−��
��+ ��= (�−�)(�+ �)(�−��)(�+ ��);
（2）��+ �= (�+ ��)(�−��);
（3）��+ ��+ �= �+ ��+ �= �+ ��+ ��= (�+ �+ ��)(�+ �−��);
（4）��+ ��+ ��+ ���= �+ ��+ ��= (�+ �+ ��)(�+ �−��).
5．多项式
2
2
4
x
x
在复数集中因式分解的结果是（
）
A．
1
3i
1
3i
x
x
B．
1
3i
1
3i
x
x
C．
1
3i
1
3i
x
x
D．
1
3i
1
3i
x
x
【答案】A
【解析】对于方程
2
2
4
0
x
x
，因为
2
2
4 4
12
，
所以
2
2
4
0
x
x
有两个虚根，
即
1
2
12i
1
3i
2
x
，
2
2
12i
1
3i
2
x
，
所以
2
1
3i
1
3i
2
4
x
x
x
x
；故选：A
6．在复数范围内分解因式：
4
2
6
7
x
x
．
【答案】
i
i
7
7
x
x
x
x
【解析】
4
2
2
2
6
7
1
7
x
x
x
x
i
i
7
7
x
x
x
x
题型五：复数范围内方程的根
1.方程
2
1
0
x
的一个解可以是（
）
A．0
B．i
C．1
D．1
【答案】B
【详解】因为
2
1
0
x
，所以
2
2
1
i
x
，所以
i
x 或
i
x ，
所以方程
2
1
0
x
的一个解可以是i .
故选：B
2．已知i 为虚数单位，i
2
是关于x 的方程
2
5
0
x
px
的一个根，则实数p （
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】由题意将i
2
代入方程，整理并根据复数为0 的条件即可得解.
【解析】由题意
2
0
i
2
i
2
5
p
，整理得
8
2
4 i=0
p
p
，所以8
2
4
0
p
p
，解得
4
p
.
故选：C.
3.已知复数z 是一元二次方程
2
2
4
0
x
x
的一个根，则|z|的值为（
）
A．1
B．2
C．0
D．
2
【答案】B
【详解】由题意
2
|
|
4
z z
z
，即|
|
2
z
.
故选：B
4.在复数范围内方程
2
2
2
0
x
x
的根为
1
x ，
2
x ，则
1x （
）
A．
2
2
B．
2
C．2
D．1
【答案】B
【详解】由
2
2
2
0
x
x
得
2
(
1)
1
x
，解得
1 i
x 或
1 i
x
，
若
1
1 i
x ，则
1
2
x
；若
1
1 i
x
，则
1
2
x
；
综上所述：
1
2
x
.
故选：B．
5.已知2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，则实数p，q 的值分别为
.
【答案】12,26
【详解】因为2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，且,
R
p q
，
所以2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的另一个根，
而且
3
2i
3
2i
12
2
26
3
2i
3
2i
2
p
p
q
q
，
故答案为：12,26
6.已知i 是虚数单位，2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
,
x
px
q
p q
R 的一个根，则p
q
.
【答案】14
【详解】把2i
3
代入方程得
2
2
2i
3
2i
3
0
p
q
，
所以
2
4
9
12i
2 i
3
0
p
p
q
，
所以
24
2
i
10
3
0
p
p
q
，
所以
24
2
0
10
3
0
p
p
q
，解得
12,
26
p
q
，
所以
14
p
q
．
故答案为：14
．
7．若z 是方程
2
1
0
x
x
的一个虚数根，则
2z
z
（
）
A．0
B．-1
C．
3i
D．-1 或
3i
【答案】A
【解析】方程
2
1
0
x
x
化为：
2
1
3
(
)
2
4
x
，依题意，
1
3 i
2
2
z
或
1
3 i
2
2
z
，
显然
1
z
z
，又
2
1
0
z
z
，即
2
1
z
z
，
所以
2
1
(
) 1
0
z
z
z
z
z
z
.故选：A
8．在复数范围内，
1
2
,
z z 是方程
3
2
1
0
z
z
z
的两个不同的复数根，则
1
2
z
z
的值为（
）
A．1
B．
2
C．2
D．
2 或2
【答案】D
【解析】由
3
2
1
0
z
z
z
，得
2
2
1
1
1
1
0
z
z
z
z
z
.
因为2i
1
，所以
i
z 或1
，
当
1
2
i,
1
z
z
或
2
1
i,
1
z
z
，
1
2
2
z
z
；
当
1
2
i
i,
,
z
z
或
2
1
i,
i
z
z
，
1
2
2
z
z
.故选：D
9．若
1
3 i
2
2
是关于x 的实系数方程
2
1
0
ax
bx
的一个复数根，且
i
z
a
b
，则1
z
z
（
）
A．1
3i
5
5
B．1
3
5
5i
C．3
1i
5
5
D．3
1 i
5
5
【答案】A
【解析】若
1
3 i
2
2
是关于x 的实系数方程
2
1
0
ax
bx
的一个复数根，
则另一个复数根为
1
3
2
2 i
，
由韦达定理可得得
1
3
1
3
1
i
i
2
2
2
2
1
3
1
3
i
i
2
2
2
2
a
b
a
，解得
1
1
a
b
，
则
1
i
z ，所以
1 i
z ，
故有
1 i
2
i
1 i
1 3i
1
3 i
1
2
i
2
i
2
i
5
5
5
z
z
，故选：A．
10.已知复数�1，�2在复平面内对应的点分别为�2,3 ，��, −4 ，其中�∈�．
(1)若m＝1，求�1 −�2 ；
(2)若�2是关于x 的方程�2 + 2�+ 17 = 0 的一个复数根，求m 的值及�2．
【解题思路】（1）根据题意得到��= �+ �i，��= �−�i 求解；
（2）（方法一）由题意，将��= �−�i 代入方程，利用复数相等求解；（方法二）由题意得到方程的两根
为�−�i，�+ �i 求解；（方法三）先求得方程的根再对应求解.
【解答过程】（1）解：由题意得��= �+ �i，
因为m＝1，所以��= �−�i，
则��−��= �+ �i，
所以��−��=
�+ ��= ��．
（2）（方法一）由题设得(�−�i)�+ �(�−�i) + ��= �，
即��+ ��+ �−�(�+ �)i = �，则��+ ��+ �= �,
−�(�+ �) = �,
解得m＝－1．故��=−�−�i．
（方法二）由题设得方程��+ ��+ ��= �的两根为�−�i，�+ �i，
则�−�i + �+ �i =−�，得m＝－1，故��=−�−�i．
（方法三）由��+ ��+ ��= (�+ �)�+ ��= �，
得�+ �=± �i，即�=−�± �i，所以m＝－1，
故��=−�−�i．
11.已知复数�= 4 + �i，其中�是正实数，�是虚数单位．
(1)如果�3�+ �i 为纯虚数，求实数�的值；
(2)如果�= 2，�1 =
�
1−i是关于�的方程�2 + ��+ �= 0(�, �∈R)的一个复根，求�+ �的值．
【解题思路】（1）由题意可得���+ �i = ���−��+ (���+ ��)i，再根据纯虚数的定义求解即可；
（2）由题意可得��= �+ �i，将��代入方程��+ ��+ �= �(�, �∈R)求解即可.
【解答过程】（1）解：因为���+ �i = �+ �i
��+ �i = ���−��+ (���+ ��)i，
由���+ �i 为纯虚数，可得���−��= �
���+ ��≠�，解得�= ��；
（2）解：因为�= �，
所以�= �+ �i，��=
�+�i
�−i =
(�+�i)(�+i)
(�−i)(�+i) = (�+ i)(�+ i) = �+ �i，
将��= �+ �i 代入方程��+ ��+ �= �(�, �∈R)，
得(�+ �i)�+ �(�+ �i) + �= �，
即有�+ �−�+ (�+ ��)i=0，
所以�+ �−�= �，
�+ �= �.
12.设常数�∈R，已知关于�的方程�2 + ��+ 2 = 0.
(1)若�= 2，求该方程的复数根；
(2)若方程的两个复数根为�、�，且�−�= 1，求�的值.
【解题思路】（1）利用配方法计算可得；
（2）根据判别式的正负分类讨论后可得�的值.
【解答过程】（1）若�= �，则��+ ��+ �= �，即(�+ �)�+ �= �，
即(�+ �)�=−�= ± i �，解得�=−�± i；
（2）因为方程��+ ��+ �= �的两个复数根为�、�，
所以�+ �=−�，�⋅�= �，
若�= ��−�≥�，即�≥��或�≤−��
则�−�=
�+ ��−���=
��−�= �，
故�=± �.
若�= ��−�< �，设�= �+ �i，�, �∈R ，则�= �−�i，
所以�+ �= �+ �i + �−�i = ��，�−�= �+ �i −�−�i = ��i，
�⋅�= �+ �i ⋅�−�i = ��+ ��= �，
又因为�−�= �，所以��= �，解得�=±
�
�，所以�=±
�
�，
所以�=−��=±
�．
综上，�=± �, ±
�.
13.在①�2�2 = 10 �> 0 ；②复平面上表示
�1
�2的点在直线�+ 2�= 0 上；③�1 �−i > 0 这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数�1 = 1 + i，�2 = �+ 3i �∈R （i 为虚数单位），满足____.
(1)若�= �1 + �2，求复数�以及�；
(2)若�2是实系数一元二次方程�2 + ��+ 4 −3�= 0 的根，求实数�的值.
【解题思路】（1）选条件①，根据����= ��+ �= ��求出a 的值；选条件②，求出
��
��在复平面上表示点
的坐标，代入直线方程求出a 的值；选条件③，计算��(�−i)，根据��(�−i) > �求出a 的值；计算�和�
的值即可；
（2）根据��是实系数一元二次方程的根，��也是方程的根，利用根与系数的关系求出m 的值.
【解答过程】（1）选条件①：����= ��(�> �)，因为��= �+ i，��= �+ �i，
所以����= ��+ �= ��，解得��= �，又�> �，所以�= �；
选条件②：复平面上表示
��
��的点在直线�+ ��= �上.
因为��= �+ i，��= �+ �i，所以
��
��=
�+i
�+�i =
�+�
��+�+
�−�
��+�i，
其表示的点为(
�+�
��+�，
�−�
��+�)，有
�+�
��+�+ �×
�−�
��+�= �，解得�= �；
选条件③：��(�−i) > �.因为��= �+ i，所以��(�−i) = (�+ i)(�−i) = (�+1)+(�−�)i > �，
所以�+ �> �
�−�= �，解得�= �.
所以�= ��+ ��= �+ i + �−�i = �−�i，所以�=
(�)�+ ( −�)�= ��；
（2）��是实系数一元二次方程��+ ��+ �−��= �的根，
则��也是该方程的根，所以m=−(��+��)=−(�+ �i+1 −3i)= −2.
题型六：复数乘除法运算求参数
1.若1 + i
�+ i =−5 + �i，其中�, �∈�，则�=（
）
A．3
B．2
C．-2
D．-3
【解题思路】等式左侧展开，应用两个复数相等（实部等于实部且虚部等于虚部）列方程组求解即可.
【解答过程】∵(�+ �)(�+ �) = �+ �+ ��+ ��= (�−�) + (�+ �)�=−�+ ��
∴�−�=−�
�+ �= �
解得�=−�
�=−�
故选：D.
2.已知复数�= �+ �i（�,�∈R），且
�i
1+i = 1 + 2i，则ab=（
）
A．-9
B．9
C．-3
D．3
【解题思路】由题意可得�+ �i i = �+ �i
�+ i ，化简后利用复数相等即可解得�= �，�= �，从而
可解.
【解答过程】由题意可得�+ �i i = �+ �i
�+ i ，则−�+ �i =−�+ �i，
从而�= �，�= �，故��= �．
故选：D.
3.已知i 为虚数单位，若
1
1+i = �−�i �, �∈�，则��=（
）
A．1
B．
2
2
C．2
D．2
【解题思路】由复数的除法运算公式将其化为
�
�+i =
�
�−
�
�i 可求得a，b 的值，再由分数指数幂与根式互化
公式�
�
�=
���(�> �, �, �∈�∗, �> �) 可求得结果.
【解答过程】∵
�
�+i =
�−i
(�+i)(�−i) =
�−i
�−i�=
�
�−
�
�i=�-�i
∴�=
�
�，�=
�
�
∴��= (
�
�)
�
�=
�
�=
�
�
故选：B.
4.设复数
1 2i
i
R ,
z
a
a
z
的实部与虚部互为相反数，则
a
（
）
A．3
B．
1
3
C．2
D．3
【答案】D
【详解】
1
2i
i
2
1
2
i
z
a
a
a
，
由已知得
2 1 2
0
a
a
，解得
3
a
，
故选：D
5.已知i 是虚数单位，若复数
i
1 i
a
z
a
R 的实部是虚部的2 倍，则
a
（
）
A．
1
3
B．1
3
C．
1
2
D．
1
2
【答案】B【详解】
i 1 i
1
1
i
1 i 1 i
2
2
a
a
a
z
，所以
1
1
2
2
2
a
a
，解得
1
3
a
，故选：B.
6.（1）若复数
2
2
2
3
5
6
i
z
m
m
m
m
是纯虚数，求实数m 的值；
（2）若复数z 满足：
i
1 i
z z
z
z
，求复数z .
【答案】（1）
1
m ；（2）
1
3 i
2
2
z
或
1
3 i
2
2
z
【详解】（1）复数
2
2
2
3
5
6
i
z
m
m
m
m
是纯虚数，则
2
2
2
3
0
5
6
0
m
m
m
m
，
解得
1
m ；
（2）设
i
z
a
b
，,
R
a b
，
i
1 i
z z
z
z
，
即
2
2
i
i
i
i i
2 i
1 i
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
，故
2
2
1
2
1
a
b
a
，
解得
1
2
3
2
a
b
或
1
2
3
2
a
b
，故
1
3 i
2
2
z
或
1
3 i
2
2
z
.
题型七：复数的四则运算求复数特征
1.设复数z 的共轭复数为�、复数z 满足1 + i =
2−4i
�（i 为虚数单位），则�的虚部为（
）
A．3
B．−3
C．3i
D．−3i
【解题思路】求出复数z，进而求出复数z 的共轭复数为�，即可得到答案.
【解答过程】�=
�−�i
�+i =
�−�i
�−i
�+i
�−i =
−�−�i
�
=−�−�i，则�=−�+ �i.则�的虚部为3.
故选：A.
2．设复数z 的共轭复数为z 、复数z 满足
2
4i
1
i
z
（i 为虚数单位），则z 的虚部为（
）
A．3
B．3
C．3i
D．3i
【答案】A
【分析】求出复数z，进而求出复数z 的共轭复数为z ，即可得到答案.
【解析】
2
4i
1 i
2
4i
2
6i
1 3i
1
i
1
i
1 i
2
z
，则
1 3i
z
.则z 的虚部为3.
故选：A.
3．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若
2 i
z
，则
i
z
z
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的运算公式，以及复数的几何意义，即可求解.S
【解析】由条件可知
i
2
i
i 2
i
2
2i 1
1 i
z
z
i
，
对应的点是
1,1 ，位于第一象限.
故选：A
4．设复数
1 2i
i
R ,
z
a
a
z
的实部与虚部互为相反数，则
a
（
）
A．3
B．
1
3
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.
【解析】
1
2i
i
2
1
2
i
z
a
a
a
，
由已知得
2 1 2
0
a
a
，解得
3
a ，
故选：D
5．已知复数z 满足
2
2
1
i
1
i
z
a
，a R ，则z 为实数的一个充分条件是（
）
A．
2
a
B．
2
a
C．
1
a
D．
2
a
【答案】C
【分析】首先，设z
b
，代入化简后，利用等式两边相等，即可求得a，再根据充分条件的概念即可得出
答案.
【解析】解：若z 为实数，则设z
b
，
已知
2
2
1
i
1
i
z
a
，可得
2
2
1
i
1
i
b
a
，即
2
2 i
1
2 i
b
a
a
，
所以
2
1
0
2
2
a
b
a
，解得
1
a ，
z 为实数的一个充分条件是
1
a 或
1
a ，
故选：C.
6．已知a，b 为实数，复数
2i
z
a
，若
2 i
z
b
a
z
，则|
|
a
b
（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
【答案】A
【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出|
|,|
|
a
b 即可得答案.
【解析】因为
2i
z
a
，所以
2i
z
a
，
则
2i
2 i
2i
z
b
a
b
a
a
z
，即
2
2i
2 i(
2i)
4
2 i
a
b
a a
a
a
，
从而
2
4
2
2
a
a
b
a
，即
2
3
1
b
a
a
，解得|
| 1,|
| 3
a
b
，故|
|
|
|
2.
a
b
故选：A.
7.解答下列各题：
(1)已知z 是复数，
3i
z
为实数，
5i
2
i
z
为纯虚数（i 为虚数单位），求复数z；
(2)已知复数
2
1 i
3i
2i 1
z
m
m
，实数m 为何值时，复数z 表示的点位于第四象限．
【答案】(1)
1
3i
z
(2)
1,2
【详解】（1）（1）设复数
i( ,
R)
z
a
b a b
，
因为
3i
3 i
z
a
b
为实数，所以
3
b
，则复数
3i(
R)
z
a
a
，
又因为
2i
2
i
2
2
4 i
5i
2i
2
2
4 i
2
i
2
i
2
i
2
i
5
5
5
a
a
a
z
a
a
a
为纯虚数，
则
2
2
0
4
0
a
a
，得
1
a ，
所以复数
1
3i
z
．
（2）
2
2
2
1 i
3i
2i 1
1
3
2 i
z
m
m
m
m
m
，
由复数z 表示的点位于第四象限，可得
2
2
1
0
3
2
0
m
m
m
，解得1
2
m
，
当1
2
m
时，复数z 在复平面内对应的点在第四象限，
∴m 的取值范围为
1,2 .
8.已知复数
i
R
z
b
b
（
，i 是虚数单位），
3
1
i
z
是实数.
(1)求b 的值；
(2)若复数
2
8
m
z
m
在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
3
b ；
(2)
0,9 .
【详解】（1）∵
i
z
b
，∴
3
i 1 i
3
3 i
3
3
i
1 i
1 i
2
2
b
b
b
z
b
∵z
3
1 i
是实数，∴
3
0
b
，解得
3
b .
（2）由（1）知
3i
z
,
∴
2
2
2
8
3i
8
8
9
6 i
m
z
m
m
m
m
m
m
，
∵复数
2
8
m
z
m
在复平面内对应的点在第二象限，
∴
2
8
9
0
6
0
m
m
m
，解得0
9
m
，
故实数m 的取值范围是
0,9 .
题型八：求共轭复数的特征
1．已知复数
|
3
i |
3
i
z
，则z （
）
A．3
1i
5
5
B．
3
1 i
5
5
C．6
2 i
5
5
D．
6
2 i
5
5
【答案】A
【分析】首先根据复数除法运算，化简复数，再求其共轭复数.
【解析】
2 3
i
|
3
i |
2
3
i
3
1 i
3
i
3
i
3
i
3
i
5
5
5
z
，
所以
3
1 i
5
5
z
.
故选：A
2.已知
3
4
1 i
z
（i 为虚数单位），则z
z
（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
【答案】D
【详解】因为
3
2 1 i
4
4
2
1 i
1 i
2i 1 i
1 i
1 i
1 i
1 i
z
，
所以
1 i
z ，所以
1
i
1
i
2
z
z
．
故选：D．
3.已知复数
i
R
z
a
a
满足
2
z z
，则a 的值为
.
【答案】1
【详解】解：因为
i
R
z
a
a
，所以
i
z
a
，
∴
2
1
2
i
i
z
a
a
a
z
，所以
2
1
a .
∴
1
a .
故答案为：1
.
4．已知
1
i
z
i
，复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可得选项.
【解析】
1
1
1
1
1
,
1
2
2
2
2
2
i
i
i
z
i
z
i
i
，
复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点是1 1
,
2 2
，在第一象限.
故选：A.
题型九：复数四则运算的创新应用
1.已知集合
i
i
,
N
n
n
M
x x
n
∣
（其中i 为虚数单位），则满足条件的集合M 的个数为
.
【答案】8
【详解】in 周期为4，当
1
n 时，
1
i
i
0
x
；当
2
n
时，
2
2
i
i
2
x
；
当
3
n
时，
3
3
i
i
0
x
；当
4
n
时，
4
4
i
i
2
x
，所以集合{
}
2,0,2
-
的子集个数为
3
2 =8 个.
故答案为：8 个.
2.复平面上两个点
1
2
,
Z Z 分别对应两个复数
1
2
,
z z ，它们满足下列两个条件：①
2
1 2i
z
z
；②两点
1
2
,
Z Z 连
线的中点对应的复数为3
4i
，若O为坐标原点，则
1
2
Z OZ
△
的面积为
【答案】20
【详解】设
1
( ,
)
z
a
bi a b
R ，
则
2
1 2i
(
i) 2i
2
2 i
z
z
a
b
b
a
.
所以点
1
2
,
Z Z 的坐标分别为
1
2
( , ),
( 2 ,2 )
Z a b Z
b
a
又两点
1
2
,
Z Z 连线的中点对应的复数为3
4i
，
2
3,
2
2
4,
2
a
b
a
b
解得
22 ,
5
4 .
5
a
b
2
2
2
2
1
2
22
4
8
44
2 5,
4 5
5
5
5
5
OZ
OZ
.
又
1
2
( , ),
( 2 ,2 ),
OZ
a b OZ
b
a
1
2
1
2
0,
OZ OZ
OZ
OZ
1
2
Z OZ
的面积为
1
2 5
4 5
20
2
S
.
故答案为：20 .
3.欧拉公式
ie
cos
isin
（其中e
2.718
,i
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建
立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉
公式，下列结论中正确的是（）
A．
iπ
e 的实部为1
B．
iπ
e 的共轭复数为1
C．
2i
e 在复平面内对应的点在第一象限
D．
2i
e 的模长为1
【答案】D
【详解】由欧拉公式知
iπ
e
cosπ
isinπ
1
，则
iπ
e 的实部为1
，共轭复数为1
，AB 错误；
由欧拉公式知
2i
e
cos2
isin2
，
2i
e 在复平面内对应的点为
cos2,sin2 ，
而cos2
0,sin2
0
，因此
2i
e 在复平面内对应的点在第二象限，C 错误；
显然
2i
e 的模长为
2
2
cos 2
sin 2
1
，D 正确.
故选：D
4.已知复数
i
z
x
y
，
,
x
y
R
R ，其中i 为虚数单位，且满足
2
z
，且
1
z 为纯虚数.
(1)若复数
i
z
x
y
，
,
x
y
R
R 在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求
3
2i
z
；
(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程
2
0
,
R
x
mx
n
m n
的一个根，求实数m，n 的值.
【答案】(1)
1
3
z
i
(2)答案见解析
(3)
2
m ，
4
n
【详解】（1）因为复数
i
z
x
y
，
,
x
y
R
R ，所以
1
1
i
z
x
y
，
又
1
z 为纯虚数，所以
1
x ，
又
2
2
2
z
x
y
，所以
3
y
，
又因为复数z 在复平面内对应点在第一象限，
所以
3
y
，故
1
3
z
i .
（2）由（1）可知
1
3
z
i
当
1
3
z
i 时，
3
2i 1
3i
3
2i
3
2i
3
3i
2i
2 3
3 3
1 i
4
4
4
1
3i
1
3i 1
3i
z
，
当
1
3
z
i
时，
3
2i 1
3i
3
2i
3
2i
3
5 i
4
4
4
1
3i
z
.
（3）法一：由（1）可知
1
3
z
i 是关于x 的方程
2
0
,
R
x
mx
n
m n
的一个根，
所以把
1
3
z
i，代入
2
0
x
mx
n
得
2
1
3i
1
3i
0
m
n
，
化简得
2
3
2 3 i
0
m
n
m
，
即
2
0
3
2 3
0
m
n
m
，解得：
2
m ，
4
n
法二：由（1）可知
1
3
z
i 是关于x 的方程
2
0
,
R
x
mx
n
m n
的一个根，
所以此方程的另一根为：
1
3i
z
，则
2
4
z
z
m
z z
n
，
解得：
2
m ，
4
n
5．在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real 的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary
Quantity，一般取Imaginary 的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：
Re 1 2i
1,Im 1 2i
2
.已知复
数是方程
2
1
0
x
x
的解.
(1)若
Im
0
，求证
2
；
(2)若
Im
0
，复数
i
,
R
z
a
b a b
且满足
3
z
，在复平面内z 对应的点为Z ，当
2
z
取得最大值
时，求点Z 的坐标.
【答案】(1)证明见解析
(2)
1,0
【分析】（1）根据条件求出，并根据复数的乘方运算求解；
（2）根据复数的几何意义求解.
【解析】（1）
2
1
0
x
x
的解为
1
3 i
2
2
或
1
3 i
2
2
，
若
Im
0
，则
1
3 i
2
2
2
2
1
3
1
1
3
3
1
3
i
2
i
i
2
2
4
2
2
4
2
2
，
所以
2
；
（2）若
1
3
Im
0,
i
2
2
，
所以
3
2
2
1
1
z
，
因为
1
z ，向量OZ
的模等于1，所以满足条件
1
z 的点Z 的集合为以原点O为圆心，
以1 为半径的圆的圆周，
2
z
为圆周上的点到
2,0 的距离，当距离最大时，点Z 的坐标为
1,0
.
6．设
1z ，
2z ，
3z ，L，
nz 为n个复数．
(1)如果
1
2
1
n
z
z
z
，求证：
1
2
1
2
1
1
1
n
n
z
z
z
z
z
z
；
(2)若
1
2
0
n
z
z
z
，则有什么样的结果？
【答案】(1)证明见解析
(2)应有等式
2
1
2
1
2
1
1
1
n
n
z
z
z
z
z
z
成立．
【分析】（1）设出复数
kz ，表示共轭复数及复数的模，得到
k
k
z
z
，
1
k
k
z
z
，即可证明；
（2）通过计算得到
2
k
k
z
z
，结合（1）计算即可得到等式.
【解析】（1）设
i
,
R,
1,2,
,
k
k
k
k
k
z
a
b
a b
k
n
，则
i
k
k
k
z
a
b
，
2
2
k
k
k
z
a
b
，
2
2
k
k
k
z
a
b
，
由
1
2
1
n
z
z
z
，得
2
2
1
k
k
k
z
a
b
，
2
2
1
k
k
k
z
a
b
，
所以
2
2
i
i
1
k
k
k
k
k
k
k
k
z z
a
b
a
b
a
b
，
即
k
k
z
z
，
1
k
k
z
z
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
n
n
n
n
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
..
（2）若
0
1,2,
,
kz
k
n
，即
2
2
k
k
k
z
a
b
，
由（1）知，
2
2
k
k
k
k
z z
a
b
，
所以
2
2
2
k
k
k
k
z z
a
b
，即
2
k
k
z
z
，
则
1
2
1
2
1
2
n
n
n
z
z
z
z
z
z
z
z
z
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
n
n
z
z
z
z
z
z
，
即n 个模相等且不为0 的复数
1z ，
2z ，
3z ，L，
nz 应有等式
2
1
2
1
2
1
1
1
n
n
z
z
z
z
z
z
成立．
模块三：综合巩固
1.设�=
2+i
i 1+i ，则�+ �=（
）
A．2
B．1
C．−1
D．−2
【解题思路】利用复数的乘法和除法，求出复数�，得�，再求�+ �.
【解答过程】�=
�+i
i �+i =
�+i
−�+i =
�+i
−�−i
−�+i
−�−i =−
�
�−
�
�i,
�=−
�
�+
�
�i，�+ �=−�.
故选：C.
2.已知复数z 满足
2i 1 i
2
z
，则z （
）
A．13
B．10
C．3
D．2
【答案】B
【详解】
2
2
2 1 i
2
2i
2i
1 3i,
1
3
10
1 i
1 i 1 i
z
z
．
故选：B．
3.复数
1
i
i
1
i
z
，则z （
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
【答案】C
【详解】
2
1 i
1 i
2i
i
i
i
2i
1 i
1 i 1 i
2
z
，则
2
2
2
z
，
故选：C.
4.已知2
i
1
i
z
，则z （
）
A．1
i
B．1 i
C．3 i
D．3
i
【答案】B
【分析】根据条件求出z 的代入形式，进而可得其共轭复数.
【详解】2
i
2
1 i
1 i
1 i
z
z
z
，
所以
1
i
z .
故选：B．
5.若复数2
i
5
i
i
m
为纯虚数，则m （
）
A．5
B．5
C．3
D．3
【答案】A
【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列方程即可得解.
【详解】2
i
5
i
2i
5
i
5
3i
i
m
m
m
，
所以5
0
m
，解得
5
m
，
故选：A.
6.已知
R
a
，
R
b
，且
3i
1
2i
1
i
a
b
，则
i
a
b
（
）
A．
2
B．2
C．10
D．10
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等得到方程组，求出a 、b 的值，从而求模.
【详解】因为
3i
1
2i
1
i
a
b
，即
3i
1 2i 1
i
a
b
，即
2
3i
1
i
2i
2 i
1 2
2
i
a
b
b
b
b
，
因为
R
a
，
R
b
，所以
1 2
3
2
a
b
b
，解得
1
1
b
a
，
所以
2
2
i
1 i
1
1
2
a
b
.
故选：A
7.已知复数z 满足
1
i
5i
z
z
，则
1
z
（
）
A．3
B．2
C．
2
D．1
【答案】B
【分析】先求出复数z 的代数形式，再求
1
z
即可.
【详解】由
1
i
5i
z
z
，得
2
5
z
i
i，
所以
5i
2
i
5i
1
2i
2
i
5
z
，
所以
1 = 1
2i
1
2
z
.
故选：B.
8.若复数
3
4i
1
2i
z
，则z （
）
A．5
B．5 5
C．10
D．10 5
【答案】B
【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果
【详解】因为
2
3
4i 1 2i
3
6i
4i
8i
11 2i
z
，所以
2
2
11
2
5 5
z
.
故选：B.
9.设复数
i
0
R
z
x
y
x
y
，
，且满足
2
18i
z
，则z （
）
A．3
2i
B．3
3i
C．3
2i
D．3
3i
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算及复数相等可以求参即可.
【详解】由题意，得
2
2
2
2
i
2
i
18i
z
x
y
x
y
xy
，
∴
2
2
0,
2
18,
x
y
xy
解得
3,
3
x
y
或
3,
3.
x
y
∵
0
x
，∴
3
3i
z
．
故选:B．
10.已知复数
2π
3
cos
i
3
2
z
（i 为虚数单位），则复数
3z （
）
A．1
B．1
C．i
D．i
【答案】A
【详解】因为
2π
3
1
3
cos
i
i
3
2
2
2
z
，
所以
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
i
i
i
i
i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
.
2
1
3
1
3
i
1
4
2
4
4
.
故选：A
11.已知,
R
a b
，
2i
1
则“
1
a
b
”是“
2
i
2i
a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性：若
1
a
b
，则
2
2
2
i
1 i
1
2i
i
2i
a
b
；
必要性：若
2
i
2i
a
b
则
2
2
2 2
2
2
i
2
i+
i =
2
i=2i
a
b
a
ab
b
a
b
ab
，
则
2
2
0
2
2
a
b
ab
，得
1
1
a
b
，或
1
1
a
b
，故不满足必要性
综上“
1
a
b
”是“
2
i
2i
a
b
”充分不必要条件，
故选：A
12.(多选)已知复数
2
i
z
，
1
i
z
x
y
（x ，y R ）（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正
确的是（
）
A．z 的虚部为i
B．
2
2
|
|
z
z
C．|
|
1
|
|
z
z
D．若
1
1
z
z
-
£ ，则在复平面内
1z 对应的点形成的图形的面积为π
【答案】CD
【详解】由题意可得
2
i
z
，所以z 的虚部为1
，A 错误，
2
2
2
2
2
i
3
4i,
2
1
5
z
z
，故
2
2|
z
z
，B 错误，
2
2
2
2
2
( 1)
|
|
1
|
|
2
1
z
z
，C 正确，
1
1
z
z
-
£ 表示点
,x y 到(2,1) 的距离不大于1 的点构成的图形，故为以(2,1) 为圆心，以1 为半径的圆以及
内部，故面积为π ，D 正确，
故选：CD
13.(多选)若复数z 满足
2023
2
i
i
2
z
（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的是（
）
A．
5
2
z
B．z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第四象限
C．z 的虚部为i
2
D．
2
5
i
4
z
【答案】AB
【详解】依题意，
2023
1
i
i
1
i
( i)
1
i
1
1
1
2
2
2
z
，
2
2
1
5
|
|
1
( )
2
2
z
，A 正确；
1
1
i
2
z
在复平面内对应的点
1
(1,
)
2
在第四象限，B 正确；
复数z 的虚部为
1
2 ，C 错误；
2
2
3
(1
i)
i
2
1
4
z
，D 错误.
故选：AB
14.已知复数2
i
2i 1
a
是纯虚数，则实数
a
.
【答案】1
【详解】由题意
2
i
2i+1
2
2
4
1 i
4
1 i
2
i
2
2
2i 1
2i 1 2i+1
4 1
5
5
a
a
a
a
a
a
，
由题意复数2
i
2i 1
a
是纯虚数，则2
2
0
5
a
且
4
1
0
5
a
，解得
1
a .
故答案为：1.
15.已知a 为实数，若复数
2
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
2023
i
1
i
a
的值为
.
【答案】i
2
2023
1 i
i
1 i
i
1 i
1 i
1 i 1 i
a
.
故答案为:
i
.
16.若复数：
2
3
10
i
i
i
i
z
，则z z
．
【答案】2
【详解】因为i
i
，2i
1
，3i
i
，4
1
i ，且
2
3
4
i
i
i
i
0
，
所以
2
3
10
i
i
i
i
z
2
3
4
4
2
3
4
8
8
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i ·i+i ·i
2
i+i
1 i
，
1 i
z
所以
2
i
1
i
1
z z
．
故答案为：2．
17.已知复数
1
2
1 i,
2 cos15
isin15
Z
Z
，则
1
2
Z
Z
.
【答案】1
3i
/
3
1
i
【详解】由题意可得，
2
3
1
2
3
2
1
cos15
cos 45
30
2
2
2
2
4
，
2
3
1
2
3
2
1
sin15
sin 45
30
2
2
2
2
4
，
则
2
3
1
3
1
2 cos15
isin1
4
2
3
1
2
3
1
i
4
i
2
2
Z
，
所以
1
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1 i
i
i
i
i
2
1
2
2
2
2
3
2
Z
Z
.
故答案为：1
3i
.
18.计算：
(1)
1 i 1 i
1 i
；
(2)
2
1
2i
3 1 i
2
i
.
【答案】(1)1
i
(2) 1
2 i
5
5
【详解】（1）
1 i 1 i
1 i
2
1 i
1 i=2 1 i
1 i
.
（2）
2
1
2i
3 1 i
2
i
3
4i
3 1 i
2
i
i
2
i
i 2
i
2
i
2
i
1
2i
1
2 i
5
5
5
.
19.计算下列各题:
(1)
1
3
3
1
i
i
1
i
2
2
2
2
；
(2) 3
2i
3
2i
2
3i
2
3i
.
【答案】(1)
1
3
1
3 i
2
2
(2) 2i
【详解】（1）
1
3
3
1
i
i
1 i
2
2
2
2
2
3
1
3
3
i
i
i
1
i
4
4
4
4
3
1 i
1
i
2
2
2
3
3
1
1
i
i
i
2
2
2
2
1
3
1
3 i
2
2
.
1
3
3
1
1
3
1
3
i
i
1
i
i
2
2
2
2
2
2
；
（2）3
2i
3
2i
2
3i
2
3i
3
2i
2
3i
3
2i
2
3i
2
3i
2
3i
2
2
6
9i
4i
6i
6
9i
4i
6i
2
3i
2
3i
26i
2i
13
.
3
2i
3
2i
2i
2
3i
2
3i
.
20.（1）已知复数
2 1 i +
3-5i + 2-14i
z
m
m
，
R
m
．i 是虚数单位，若z 是纯虚数，求m 的值；
（2）i 是虚数单位，
1
1
2
z
i
，
2
2
i
z
，若
1
2
2
1
1
z
z
z
，求复数z．
【答案】（1）
1
m ；（2）
3
i
z
【详解】（1）由
2
2
2
1
i
3
5i
2 14i
i
3
2
5
14
z
m
m
m
m
m
m
，
z 是纯虚数，所以
2
2
3
2
0
1
5
14
0
m
m
m
m
m
；
（2）由
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 1
2i
2
i
3
i
2 15
5i
2
2
1
1
3
i
3
i
3
i
10
z
z
z z
z
z
z
z
z z
z
z
.
21．已知关于x 的方程
2
(6
i)
9
i
0(
R)
x
x
a
a
有实数根b .
(1)求实数,a b 的值；
(2)若复数z 满足|
i | 2 |
| 0
z
a
b
z
，求当z 为何值时，|
|
z 有最小值，并求出|
|
z 的最小值.
【答案】(1)
3
a
b
(2)当
1 i
z 时，|
|
z 有最小值为
2
【分析】（1）根据复数相等的条件列式可求出结果；
（2）设
i
z
x
y
( ,
R)
x y
，代入|
i | 2 |
| 0
z
a
b
z
可得复数z 对应的点的轨迹是圆，根据复数的模的几
何意义可求出结果.
【解析】（1）因为b 是方程
2
(6
i)
9
i
0(
R)
x
x
a
a
的实数根，
所以
2
(6
i)
9
i
0
b
b
a
，即
2
6
9
(
)i
0
b
b
a
b
，
所以
2
6
9
0
0
b
b
a
b
，解得
3
a
b
，
（2）设
i
z
x
y
( ,
R)
x y
，由|
i | 2 |
| 0
z
a
b
z
，得
2
2
|
i
3
3i | 2
0
x
y
x
y
，
得
2
2
2
2
(
3)
(
3)
4(
)
x
y
x
y
，整理得
2
2
(
1)
(
1)
8
x
y
，
所以复数z 对应的点的轨迹是以
1( 1,1)
O
为圆心，2 2 为半径的圆，如图所示，
当复数z 对应的点在
1
O O 的延长线上时，|
|
z 取最小值，
因为
1
|
|
2
OO
，圆的半径
2 2
r
，所以|
|
z 的最小值为2 2
2
2
.
此时复数z 对应的点与
1( 1,1)
O
关于原点对称，则
1 i
z .
