文档内容
应用题-经典应用题-还原问题基本知
识点-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
还原问题基本知识点 B 1.了解还原问题的基本概念。 少考
2.能够运用倒推法来求解还原问
题。
知识提要
还原问题基本知识点
概念
还原问题：已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用
问题。
它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或
还原法
方法：倒推法
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
关键：从最后结果出发，向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加
为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号．精选例题
还原问题基本知识点
1. 甲、乙、丙三人一起去钓鱼，他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果
都睡着了．甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成 3 份，发现还多一条，就将多的这条鱼扔回
河中，拿着其中的一份鱼回家了．乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成 3 份，发现还
多一条，也将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了．丙最后醒来，他也将鱼篓中的
鱼平均分成 3 份，这时也多一条鱼．这三个人至少钓到 条鱼．
【答案】 25
【分析】 假设丙分成三份后，每份有 a 条鱼，所以乙拿走一份后还有（3a+1）条，
[3 ]
那么乙没有分鱼，甲拿走一份之后还有 (3a+1)+1 条，同理甲没分鱼之前，即3个人钓
2
{3[3 ] }
的总数为 (3a+1)+1 +1 条，根据整除的性质 a 的最小值为 3，一共有 25 条鱼．
2 2
2. 如有 a#b 新运算，a#b 表示 a、b 中较大的数除以较小数后的余数．例如；2#7=1，
8#3=2，9#16=7，21#2=1．如 (21#(21#x))=5，则 x 可以是 ．（
x 小于 50）
【答案】 13，29，37．
【分析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题．
可采用枚举与筛选的方法．
第一步先把 (21#x) 看成一个整体 y．对于 21# y=5，这个式子，一方面可把 21
作被除数，则 y 等于 (21-5)=16 的大于 5 的约数，有两个解 8 与 16；另一方面可把
21 作除数，
这样满足要求的数为 26，47⋯，即形如 21N+5 这样的数有无数个．但必须得考
虑，这些解都是由 y 所代表的式子 (21#x) 运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中
的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于 21 的那些 y 的值都
得舍去．现在只剩下 8，与 16．
第二步求：(21#x)=8 与 (21#x)=16．对于 (21#x)=8 可分别解得，把 21 作
被除数时：x=13，把 21 作除数时为：x=29，50，⋯ 形如 21N+8 的整数（N 是正整
数）．
对于 (21#x)=16，把 21 作被除数无解，21 作除数时同理可得：x=37，58⋯ 所
有形如 21N+16 这样的整数．（N 是正整数）．所以符合条件的答案是 13，29，37．
3. 如图，有三只小老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分．第二天，第一只老鼠最早来
到，它发现花生米无法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成三份，它拿着自己的一份走了．第二只和第三只老鼠随后依次来到，遇到同样的问题，也采取了同样的方法，都是吃掉一粒后，
把花生米分成三份，拿走其中的 一份．那么，这堆花生米至少有 粒．
【答案】 25
【分析】 设最后剩的两份为 2x，那么第三只老鼠所要处理的花生米总数为 3x+1，
第二只老鼠所要处理的花生米总数为
3x+1
×3+1,
2
第一只老鼠所要处理的花生米总数为
(3x+1 ) 1
×3+1 × ×3+1,
2 2
首先由于第三只老鼠处理的花生米 3x+1 为第二只老鼠分配以后的两份，所以一定为偶数，
即：x 为奇数，同理，
3x+1
×3+1
2
也为偶数，综上：对于 x 为奇数进行试数即可，最小 x=3，满足上述条件，此时这堆花生
米总数为
(3x+1 ) 1
×3+1 × ×3+1=25(粒).
2 2
4. 有砖 26 块，兄弟二人争着挑．弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟挑的
太多，就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块．这
时哥哥比弟弟多 2 块．问：最初弟弟准备挑几块砖？
【答案】 16
【分析】 先用“和差”解法求出弟弟最后挑几块砖：
(26-2)÷2=12(块).
再用倒推法求出弟弟最初准备挑几块砖．{(26-〔26-(12+5)]×2}×2=16(块).
答：弟弟最初准备挑砖 16 块．
5. 甲乙两个油桶各装了 15 千克油．售货员卖了 14 千克．后来，售货员从剩下较多油的甲
桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这
时甲桶油恰好是乙桶油的 3 倍．问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？
【答案】 4；10
【分析】 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克．已知“甲、乙两个油
桶各装油 15 千克．售货员卖了 14 千克”．可以求出甲、乙两个油桶共剩油
15×2-14=16(千克).
又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的 3 倍”．就可以求出甲、乙
两个油桶最后有油多少千克．
求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前
甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克．
解：① 甲乙两桶油共剩多少千克？
15×2-14=16(千克);
② 乙桶油剩多少千克？
16÷(3+1)=4(千克);
③ 甲桶油剩多少千克？
4×3=12(千克);
用倒推法画图如下：
④ 从甲桶卖出油多少千克？
15-11=4(千克);
⑤ 从乙桶卖出油多少千克？
15-5=10(千克).
