复数
知识点+题型归纳全集
7.1 数系的扩充和复数的概念...................................................................................................................................4
模块一：基础知识..............................................................................................................................................4
考点一：复数的引入..................................................................................................................................4
考点二：复数的概念..................................................................................................................................4
考点三：复数的表示..................................................................................................................................4
考点四：复数的分类..................................................................................................................................4
考点五：复数相等......................................................................................................................................4
模块二：题型分类..............................................................................................................................................5
题型一：复数的概念..................................................................................................................................5
题型二：求复数的实部与虚部..................................................................................................................6
题型三：虚数单位i 及其性质..................................................................................................................6
题型四：复数相等的充要条件..................................................................................................................7
题型五：复数的分类及应用......................................................................................................................7
题型六：复数中的比较大小......................................................................................................................8
题型七：根据复数的概念求参数..............................................................................................................9
模块三：综合巩固..............................................................................................................................................9
7.2 复数的几何意义.................................................................................................................................................11
模块一：基础知识............................................................................................................................................11
考点一：复平面........................................................................................................................................11
考点二：复数的几何意义（与点对应）............................................................................................... 11
考点三：复数的几何意义（与向量对应）........................................................................................... 11
考点四：复数的模....................................................................................................................................11
考点五：共轭复数....................................................................................................................................11
考点六：复数的模的几何意义................................................................................................................12
模块二：题型分类............................................................................................................................................12
题型一：复数的坐标表示........................................................................................................................12
题型二：复数的向量表示........................................................................................................................13
题型三：判断复数对应点所在的象限....................................................................................................13
题型四：实轴、虚轴上对应的复数........................................................................................................14
题型五：复数的模的计算........................................................................................................................15
题型六：复数的模的几何意义................................................................................................................16
题型七：根据复数的模求参数................................................................................................................17
题型八：共轭复数....................................................................................................................................18
题型九：复数与三角函数、集合的综合问题....................................................................................... 19
模块三：综合巩固............................................................................................................................................19
7.3 复数的加减运算及其几何意义........................................................................................................................ 23
模块一：基础知识............................................................................................................................................23
考点一：复数的加法运算及其几何意义............................................................................................... 23
考点二：复数的减法运算及其几何意义............................................................................................... 23
考点三：|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义........................................................................................... 23
模块二：题型分类............................................................................................................................................24
题型一：复数的加、减运算....................................................................................................................24
题型二：复数加减运算求参数................................................................................................................24
题型三：复数加减法的几何意义............................................................................................................25
题型四：复数的加减与模的几何意义综合应用................................................................................... 26
题型五：复数的加减与复数的特征........................................................................................................27
模块三：综合巩固............................................................................................................................................28
7.4 复数的乘、除运算.............................................................................................................................................31
模块一：基础知识............................................................................................................................................31
考点一：复数的乘法运算........................................................................................................................31
考点二：复数代数形式的乘方................................................................................................................31
考点三：共轭复数的性质........................................................................................................................31
考点四：复数的除法................................................................................................................................31
考点五：复数运算的常用技巧................................................................................................................31
考点六：复数范围内方程的根................................................................................................................32
模块二：题型分类............................................................................................................................................32
题型一：复数的乘法运算........................................................................................................................32
题型二：复数的除法运算........................................................................................................................33
题型三：复数的乘方运算........................................................................................................................34
题型四：复数范围内分解因式................................................................................................................35
题型五：复数范围内方程的根................................................................................................................36
题型六：复数乘除法运算求参数............................................................................................................38
题型七：复数的四则运算求复数特征....................................................................................................38
题型八：求共轭复数的特征....................................................................................................................39
题型九：复数四则运算的创新应用........................................................................................................40
模块三：综合巩固............................................................................................................................................41
7.5 复数的三角表示.................................................................................................................................................45
模块一：基础知识............................................................................................................................................45
考点一：复数的三角表示式....................................................................................................................45
考点二：辅角的主值................................................................................................................................45
考点三：三角形式下的复数相等............................................................................................................45
模块二：题型分类............................................................................................................................................45
题型一：复数的三角表示........................................................................................................................45
题型二：求复数的辅角主值....................................................................................................................47
题型三：复数的代数形式与三角形式的互化....................................................................................... 48
题型四：三角形式下复数的乘、除运算............................................................................................... 48
题型五：复数乘除运算的几何意义........................................................................................................50
题型六：三角表示下复数的乘方与开方............................................................................................... 51
模块三：综合巩固............................................................................................................................................52
7.6 实系数一元二次方程的解法............................................................................................................................ 53
模块一：基础知识............................................................................................................................................53
考点一：实系数一元二次方程................................................................................................................53
考点二：求解复数集上的方程的方法....................................................................................................53
考点三：实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）.......................................................53
模块二：题型分类............................................................................................................................................54
题型一：解实系数一元二次方程............................................................................................................54
模块三：综合巩固............................................................................................................................................54
7.7 复数题型归纳精讲精练.....................................................................................................................................56
模块一：题型分类............................................................................................................................................56
题型一：复数的基础概念........................................................................................................................56
题型二：复数的分类................................................................................................................................56
题型三：复数的几何意义........................................................................................................................57
题型四：复数相等及应用........................................................................................................................58
题型五：复数的模....................................................................................................................................58
题型六：复数代数形式的四则运算........................................................................................................59
题型七：共轭复数....................................................................................................................................60
题型八：复数的乘方运算........................................................................................................................60
题型九：复数范围内解方程....................................................................................................................61
题型十：求辅角主值................................................................................................................................61
题型十一：复数的代数形式与三角形式的互化................................................................................... 62
题型十二：三角形式下的复数的乘、除运算....................................................................................... 63
题型十三：复数的最值问题....................................................................................................................64
题型十四：复数的综合问题....................................................................................................................64
模块二：综合巩固............................................................................................................................................65
7.8 复数大题专项.....................................................................................................................................................69
模块一：题型分类............................................................................................................................................69
题型一：复数的四则运算........................................................................................................................69
题型二：复数范围内方程的根的问题....................................................................................................71
题型三：复数的四则运算与复数特征的综合应用............................................................................... 73
题型四：复数与其他模块综合................................................................................................................75
7.9 复数单元测试（一）.........................................................................................................................................79
7.10 复数单元测试（二）...................................................................................................................................... 83
高一数学必修二
复数知识点+题型归纳全集
7.1 数系的扩充和复数的概念
模块一：基础知识
考点一：复数的引入
为了解决
+1=0 这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①
=-1，即i 是方程
+1=0 的根；
②实数可以和数i 进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a 与i 相加，结果记作a+i；实数b 与i 相乘，结果记作bi；实数a 与bi 相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i 都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
考点二：复数的概念
我们把形如
, ,
a
bi a b
R
的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,满足
2
1
i .全体复数所构成的集合
{
| ,
}
C
a
bi a b
R
叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母z 表示,即
, ,
z
a
bi a b
R
,其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.
考点三：复数的表示
复数通常用字母z 表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi 都有a,b∈R，其中的a
与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.
考点四：复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0 时，它是实数；当且仅当a=b=0 时，它是实数0；当b≠0 时，它叫做虚
数；当a=0 且b≠0 时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R 是复数集C 的真子集，即R
C.
复数z=a+bi 可以分类如下：
复数
，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
考点五：复数相等
在复数集
{
| ,
}
C
a
bi a b
R
中任取两个数a
bi
，c
di
，（
, , ,
a b c d
R
），我们规定
a
c
a
bi
c
di
b
d
.
模块二：题型分类
题型一：复数的概念
1．复数2i （
）
A．i
B．i
C．1
D．1
2.在2 +
7，
2
7 i，8 + 5i，(1 −
3)i，0.618 这五个数中，纯虚数的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．下列说法正确的是（
）
A．i 表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．1
的平方根是
i
C．
ib bR 是纯虚数
D．若
z
a a
R ，则复数z 没有虚部
4.写出复数4，2
3i
，0，
1
4 i
2
3
，5
2i
，6i 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是
纯虚数．
5．复数
3
2
i
4
z
的虚部为（
）
A．2
B．
3
4
C．
3
2
4
D．
3
2
4
i
6.已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（
）
A．若�2 + 1 = 0，则�= i
B．实部为零的复数是纯虚数
C．�= �2 + 1 i 可能是实数
D．复数�= 2 + i 的虚部是i
7．若复数
2
3
2 i
z
a
a
的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为
．
8．若
2
(1 i)
2 i(
n
n n
N 且
0)
n
，则（
）
A．
4 (
n
k k
N 且
0)
n
B．
4
1(
n
k
k
N 且
0)
n
C．
4
2(
n
k
k
N 且
0)
n
D．
4
3(
n
k
k
N 且
0)
n
9.已知
1z ＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，
2z ＝2a＋(a2＋a)i，其中a
R
，
1
2
z
z
，则a 的值为（
）
A．0
B．－1
C．
3
2
D．1
6
10.下列四种说法正确的是（
）
A．如果实数a
b
，那么
(
)i
a
b
a
b
是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果
0
a
，那么
i
z
a
b
是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
11.（多选）下列关于复数
i
x 的说法一定正确的是（
）
A．存在x 使得
i
x 小于0
B．存在x 使得
2023
i
1
x
C．不是实数
D．实部和虚部均为1
题型二：求复数的实部与虚部
1．已知复数
2
i
z ，则z 的实部是（
）
A．
2
B．2
C．
1
D．i
2．设
6
2i
z
，则复数z 的虚部为（
）
A．2
B．2
C．2i
D．2i
3．复数
sin
icos
6
6
π
π
z
，则复数z 的虚部是（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．1 i
2
D．
3 i
2
4．复数
1
2i
z
，则（
）
A．z 的实部为1
B．z 的虚部为
2
C．z 的实部为1
D．z 的虚部为
2i
5．（多选）
cos
icos2 (0
2 π)
z
的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（
）
A．π
3
B．2π
3
C．π
D．5π
3
题型三：虚数单位i 及其性质
1.计算：
(1)
2
3
4
i i
i
i
；
(2)
2
3
4
5
6
7
8
i
i
i
i
i
i
i
i
．
2：
2
3
2023
1 i
i
i
i
.
3.计算下面式子：
2
3
2022
2023
i
2i
3i
2022i
2023i
．
5.已知i 为虚数单位，则2033
i
（
）
A．i
B．i
C．1
D．1
题型四：复数相等的充要条件
1．求适合下列各方程的实数x ，y 的值：
（1）
i
6
7i
x
y
xy
；
（2）
2
2
4
5
3
4 i
0
x
x
y
y
；
（3）
2
1
1 i
i
x
y
x
y
x
y
．
2.已知
2
i
2
5
3
i
x
y
x
y
x
x
y
，求实数x ，y 的值．
3.若
2
i
2i
2 i
x
y
y
，,
R
x y
，则复数
i
x
y
等于（
）
A．2
i
B．4
2i
C．1
2i
D．1
2i
4．已知�
1
2 −
i
2 = 1 −�i，其中x，y 是实数，i 是虚数单位，则�−�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．若,
R
a b
，i 是虚数单位，
2020i
2
i
a
b
，则
2
i
a
b
＝（
）
A．2020
2i
B．2020
4i
C．2
2020i
D．4
2020i
6．已知
2
1
2
log (
)
(
3 )i
1
m
n
m
m
，且
*
N
n
，则m
n
.
7．（1）若
2
1
1 i
i
x
y
x
y
x
y
，则实数,x y 的值为多少？
（2）若
2
2
1
2
3
4i,
3
1
6 i
z
z
n
m
n
m
，且
1
2
z
z
，则实数,n m 的值分别为多少？
8.已知复数�1 = �+ 4 −�2 i, �2 = 2cos�+ �+ 3sin�i, �, �, �∈�，且�1 = �2，则�的取值范围是（
）
A．−
9
16 , 1
B．−
9
16 , 7
C．−
9
16 , + ∞
D．1,7
题型五：复数的分类及应用
1.当实数m 取什么值时，复数
2
2
(
2
8)
(
2 )i
m
m
m
m
是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
2.若
2
2
2
3
2
2
k
k
k
k i
是纯虚数，则实数k 的值等于（
）
A．0 或2
B．2 或
1
2
C．
1
2
D．2
3．已知复数
2
2
3
28
16 i
z
m
m
m
m
R ．
（1）若z 为实数，求m 的值；
（2）若z 为纯虚数，求m 的值．
4．实数x 分别取什么值时，复数
2
2
6
(
2
15)i
3
x
x
z
x
x
x
是（1）实数？（2）虚数？
5．已知复数
2
2
1 i
z
m
m
m
（
R
m
，i 为虚数单位）为纯虚数，则m 的值是（
）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
6．复数
2
2
i
z
a
b
a
a
，
,a bR 为实数的充要条件是（
）
A．a
b
B．a<0 且a
b
C．
0
a
且a
b
D．
0
a
7．（多选）下列命题不正确的是（
）
A．复数
i
,
R
a
b
a b
不可能是纯虚数
B．若
1
x ，则复数
(
1)
(
1)i
z
x
x
为纯虚数
C．若
2
2
(
4)
(
3
2)i
x
x
x
是纯虚数，则实数
2
x
D．若复数
i
z
a
b
，则当且仅当
0
b
时，z 为虚数
题型六：复数中的比较大小
1.已知
2
1
3
2 i
z
m
m
m
，
2
2
2
4
2 i
z
m
m
m
，且
1
2
z
z
，则实数m
．
2．已知
2
2
1
4
5
6 i
z
k
k
k
，
2
2
3
5
6 i(
R)
z
k
k
k
k
．若
1
2
z
z
，则k 的值为（
）
A．2
B．3
C．2 或3
D．不存在
3．已知a ，bR ，若
2
2
a
b
a
b i
（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（
）
A．
2
a
或
1
a
B．
1
a 或
2
a
C．1
2
a
D．2
1
a
4．已知复数
2
2
3
(
5
6)i
z
k
k
k
k
（k R ），且
0
z
，求k 的值.
5．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10 成立，求实数m 的值.
6.已知
2
1
2
log (
)
(
3 )i
1
m
n
m
m
，且
*
N
n
，则m
n
.
题型七：根据复数的概念求参数
1．已知复数
2
2
7
6
36 i
z
m
m
m
是纯虚数，则实数m 的值为（
）
A．6
B．1 或6
C．6
D．1
2．已知a，b 均为实数，复数：
2
(
2 )i
z
a
b
b
a
，其中i 为虚数单位，若
3
z
，则a 的取值范围为（
）
A．
1,3
B．(
, 1)
(3,
)
C．(
, 3)
(1,
)
D．
3,1
3．若,
R
a b
，i 是虚数单位，
i
2021
2
i
a
b
，则
2
i
a
b
等于（
）
A．2021 2i
B．2021 4i
C．2
2021i
D．4
2021i
模块三：综合巩固
1．若aR ，则“
1
a ”是复数“
2
1 (
1)i
z
a
a
为纯虚数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.复数3i 1
的虚部是（
）
A．1
B．1
C．3
D．3
3.若a R ，则“
2
a
”是复数“
2
4
(
2)i
z
a
a
”为纯虚数的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.适合
3i
8
i
(
)
x
x
y
的实数x、y 的值为（
）
A．
0
x
且
3
y
B．
0
x
且=
3
y
C．
5
x
且
3
y
D．
3
x
且
0
y
5.已知i 为虚数单位，若复数
(
1)
2i
z
a
为纯虚数，则实数
a
（
）
A．1
B．0
C．1
D．i
6.如果复数
2
2
3
1 i
z
m
m
m
是纯虚数，
R
m
，i 是虚数单位，则（
）
A．
1
m 且
3
m
B．
3
m
C．
1
m
D．
1
m 或
3
m
7.已知纯虚数
2
1 i
4
i
3
z
m
m
，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为（
）
A．1
B．3
C．1 或3
D．0
8.已知a，b 均为实数，复数：
2
(
2 )i
z
a
b
b
a
，其中i 为虚数单位，若
3
z
，则a 的取值范围为（
）
A．
1,3
B．(
, 1)
(3,
)
C．(
, 3)
(1,
)
D．
3,1
9.已知复数
1z 和
2z ，则“
1
2
z
z
”是“
1
2
0
z
z
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10.已知a ，bR ，若
2
2
a
b
a
b i
（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（
）
A．
2
a
或
1
a
B．
1
a 或
2
a
C．1
2
a
D．2
1
a
11.（多选）对于复数
i
,
z
a
b a b
R ，下列结论错误的是（
）
A．若
0
a
，则
i
a
b
为纯虚数
B．若
i=3+2i
a
b
，则
3,
2
a
b
C．若
0
b
，则
i
a
b
为实数
D．2i
1
12.（多选）下列命题不正确的是（
）
A．复数
i
,
R
a
b a b
不可能是纯虚数
B．若
1
x ，则复数
(
1)
(
1)i
z
x
x
为纯虚数
C．若
2
2
(
4)
(
3
2)i
x
x
x
是纯虚数，则实数
2
x
D．若复数
i
z
a
b
，则当且仅当
0
b
时，z 为虚数
13.已知i 为虚数单位，复数
2
2
2
3
12 i
z
a
a
a
a
，
R
a
，若z 为纯虚数，则
a
.
14.已知复数
2
1
2
1
2 i
R ,
sin
2sin
4 i
z
m
m m
z
a
，
0,
，若
1
2
z
z
，求实数a 的取值范
围
.
15.当m 为何实数时，复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
分别是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数：
(4)0？
16.已知复数
1
sin2
i
z
x
，
2
3 cos 2
i
z
m
m
x
，（，m ，xR ），且
1
2
z
z
．
(1)若
0
且0
π
x
，求x 的值；
(2)设
f
x
，关于x 的方程
f x
k
在
0,π 上恰有3解，求实数k 的值以及方程的解集．
7.2 复数的几何意义
模块一：基础知识
考点一：复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi
有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)
平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z 的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi 可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系
来
表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.
考点二：复数的几何意义（与点对应）
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C 中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi
复平面内的
点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
考点三：复数的几何意义（与向量对应）
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z 表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量
由点Z 唯一确定；反过来，点
Z(相对于原点来说)也可以由向量
唯一确定.
因此，复数集C 中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0 与零向量对应)，即复数
z=a+bi
平面向量
，这是复数的另一种几何意义.
考点四：复数的模
向量
的模r 叫做复数z=a+bi 的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi 是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a 的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=
(r
0,r∈R).
考点五：共轭复数
1.定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z 的共轭复数用
表示，即若z=a+bi，则
=a-bi.特别地，实数a 的共轭复数仍是a
本身.
2.共轭复数几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
3.共轭复数的性质
①
=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=
z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
考点六：复数的模的几何意义
1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi 在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
2.复数z 在复平面内对应的点为Z，r 表示一个大于0 的常数，则满足条件|z|=r 的点Z 组成的集合是以原点
为圆心，r 为半径的圆，|z|<r 表示圆的内部，|z|>r 表示圆的外部.
模块二：题型分类
题型一：复数的坐标表示
1．在复平面内作出表示下列复数的点：
(1) 1
2i
；
(2)
2
2 i
2
2
；
(3)3i ；
(4)5．
2．求实数m 的值或取值范围，使得复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
分别满足：
(1)z 是实数；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 在复平面中对应的点位于第三象限.
3．复数
1
2
,
z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若
1
3
2i
z
，i 为虚数单位，则
2z （
）
A．3
2i
B．3
2i
C．3
2i
D．2
3i
4．当1
2
m
时，复数
1
(
2)i
m
m
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.若复数
3
i
2
i
z
m
，其中2
1
3
m
，则复数z 在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6.四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，
,
,
A B C 三点对应的复数分别是1
3i
，2
i
，3
i
，则点D 对
应的复数为
．
7.复平面上给定四个点
,
,
,
O A B C 可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为
0
Oz
，
1 i
Az ，
3
2i
Cz
，则
Bz
．
题型二：复数的向量表示
1.向量��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2, −3 对应的复数为（
）
A．2 −3i
B．2 + 3i
C．3 + 2i
D．−3 −2i
2．在复平面内，复数1
2i
，3
4i
对应的向量分别是OA
，OB
，其中O是坐标原点，则向量AB
对应的
复数为
．
3．在复平面内，O是原点，向量OZ
对应的复数是1
i
，将OZ
绕点O按逆时针方向旋转π
4 ，则所得向量
对应的复数为（
）
A．
2
B．
2i
C．1
D．i
4.已知复数�1 = 1 −i, �2 =−1 + 2i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点分别为�, �，将向量��Ԧ
ሬሬሬሬ绕着点�
（�为复平面内的原点）逆时针旋转90∘得到向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ对应的复数为（
）
A．−1 + 2i
B．2i
C．3i
D．1 −2i
5.在复平面内，�是原点，向量��Ԧ
ሬሬሬሬ对应的复数为5 + 3i，��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ关于�轴对称，则点�对应的复数是（
）
A．5 −3i
B．−5 −3i
C．5 + 3i
D．−5 + 3i
题型三：判断复数对应点所在的象限
1．复数
3 i
z
在复平面上对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．复平面上表示复数1 i
的点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．当1
2
m
时，复数
1
(
2)i
m
m
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4.复数
2sin
icos
z
R 对应的点在第四象限，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
5.已知复数
2
6
2
3 i
z
m
m
m
，若在复平面内z 对应的点在第二象限，则m 的取值范围为
．
6.在复平面内，复数
cos1 sin1
sin2
cos2 i,(i
z
为虚数单位)的共轭复数对应的点在第
象
限.
7．欧拉公式
ie
cos
isin
x
x
x
（i 为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数
函数的关系．当
π
x
时，
iπ
e
1
0
.根据欧拉公式可知，
4i
e 对应的点在复平面内位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
题型四：实轴、虚轴上对应的复数
1．实轴上的点
2,0 表示实数
；虚轴上的点
0, 1
表示纯虚数
.
2．已知P 是复平面内表示复数
i
,
a
b a b
R 的点，若复数
i
a
b
是虚数，则点P（
）
A．在虚轴上
B．不在虚轴上
C．在实轴上
D．不在实轴上
3.若复数
2
2
2
3
2 i
z
m
m
m
m
在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m 的取值集合
为
.
4.已知复数
2
2
2
3
4
3 i
R
z
m
m
m
m
m
在复平面上对应的点为Z，
(1)求点Z 在实轴上时，实数m 的取值；
(2)求点Z 在虚轴上时，实数m 的取值；
(3)求点Z 在第一象限时，实数m 的取值范围.
5.已知m
R
，复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
在复平面内对应的点Z .
(1)点Z 位于第二象限，求m 的取值范围；
(2)复数z 是纯虚数，求m 的值.
6.若复数
2
2
2
2 i
z
a
a
a
a
对应的点在虚轴上，求实数a 应满足的条件．
7.求实数m 的值或取值范围，使得复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
分别满足：
(1)z 是实数；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 在复平面中对应的点位于第三象限.
8.已知复数
2
2
1
2 i
z
m
m
m
，mR .
(1)若z 是实数，求m 的值；
(2)若z 是纯虚数，求m 的值；
(3)若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围.
题型五：复数的模的计算
1.已知复数�= 1 + 2i（i 为虚数单位），则|�| =（
）
A．1
B．4
C．3
D．5
2.设复数z 在复平面内对应的点为0, �，若�= 2，则a=（
）
A．2i
B．2i
C．±2
D．±
2
3.已知在复平面内复数z 对应的点的坐标为−3,4 ，则�=（
）
A．3
B．4
C．5
D．4 2
4.在复平面内，复数�= 2 −�i(�∈�)对应的点位于第四象限，且|�| = 4，则�=（
）
A．−2 3
B．4 3
C．2
D．2 3
5．i 为虚数单位，若
2
3i
4i
z
，则z （
）
A．5
B．7
C．9
D．25
6．已知a R ，若
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
1
z
（
）
A．
2
B．5
C．2 2
D．10
7.已知
3
1 i
z
m
m
m
R
在复平面内对应的点在第四象限，则复数z 的模的取值范围是（
）
A．
2 2,4
B．
2,4
C．
2 2,4
D．
2,4
8.若
2
i
1
2i
4
3i
a
b
，其中a，
R
b
，i 是虚数单位，则
i
a
b
（
）
A．2
B．5
C．3
D．5
9．已知复数z 满足
i
1 i
z
，z 在复平面内对应的点为
,x y ，则（
）
A．
2
2
(
1)
2
x
y
B．
2
2
(
1)
2
x
y
C．
2
2
(
1)
2
x
y
D．
2
2
(
1)
2
x
y
10.（多选）已知复数
2
1
i
z
a
a
，i 为虚数单位，a
R
，则下列正确的为（
）
A．若z 是实数，则
1
a
B．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上
C．
3
2
z
D．若
2
1
z
z
，则
1
a
题型六：复数的模的几何意义
1．复数z 满足
1
z ，且在复平面内z 对应的点为Z，则复平面内点Z 的轨迹是（
）.
A．点
B．圆
C．线段
D．圆环
2．已知
C
z
，在复平面内z 对应的点为Z ，则满足
1
z 的点Z 的集合对应的图形为
.
3．设z
C
，则满足1
3
z
的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（
）
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
4．复数z 满足关系式：
2
2
7
3
0
z
z
，则复数在复平面内对应点的轨迹是（
）
A．两条直线
B．一条直线和一个圆
C．两个圆
D．一个圆
5.已知复数�满足|�+ 2 −2i| = 2，且复数�在复平面内的对应点为�．
(1)确定点�的集合构成图形的形状；
(2)求|�−1 + 2i|的最大值和最小值．
6.已知复数�1 = 2 + i, �2 = �+ �2 + 3�−3 i；
(1)若�1 = �2，求实数�, �的值；
(2)若复数�= �+ �i �, �∈R ，且满足�−�1 = 1，求复数�在复平面内所对应的点�, �到−2，4 的距离
的最大值.
7．求证：复平面内分别与复数
1
1
z ，
2
i
z ，
3
cos10
isin10
z
，
4
2
2 i
2
2
z
对应的四点
1
Z 、
2
Z 、
3
Z 、
4
Z 共圆．
8.若�= �+ �i �, �∈�，i 为虚数单位，在复平面内�所对应的点为�，且�+ 2 −2i = 1，
（1）求满足上述条件的点�的集合是什么图形并且求该图形的方程；
（2）�−2 −2i 的最小值．
9.设复数�= �+ �i，�0 = �0 + �0i，记复数�与�0分别对应复平面内的点��, �和�0 �0, �0 .
（1）根据复数及其运算的几何意义，求�和�0两点间的距离；
（2）已知�−�0 = �（�为正实数）表示动点�的集合是以点�0为圆心，�为半径的圆.那么满足条件1 ≤|�−
1 + i | ≤3 的点�的集合是什么图形？并求出该图形的面积.
题型七：根据复数的模求参数
1．已知复数
i
z
a
b
a
b
为纯虚数（,a bR ，i 是虚数单位），且
2
z
，则（
）
A．
1
a 且
1
b
B．
1
a 且
1
b = -
C．
1
a 或
1
b = -
D．
1
b 或
1
b = -
2.设复数
π
cos
2 sin
i
2
z
（i 为虚数单位）且
π ,0
2
，若
1
z ，则tan2
．
3.已知复数
4 i
z
a
a
a
R （i 为虚数单位），若
2 2
z
，则实数a 的值为（
）
A．2
B．0
C．1
D．2
4.已知复数z 满足
3
4i
1
z
，当z 的虚部取最大值时，z （
）
A．3
3i
B．3
3i
C．3
5i
D．3 5i
5.已知是实系数一元二次方程
2
2
(2
1)
1
0
x
m
x
m
的一个虚数根，且|
|
5
，若向量
(2
1,3
)
a
m
m
，则向量| |a
的取值范围为
6.已知复数
3
i(
0)
z
a a
的模为5，则
a
.
7.设复数
cos
2
sin
i
z
a
a
(i 为虚数单位)，若对任意实数，
2
z
，则实数a 的取值范围为（
）
A．
5
1, 5
B．
1,1
C．
0,2
D．
5
5
,
5
5
8.已知复数
2
2
6
2 i(
)
z
m
m
m
m
m
R 在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；
(2)求|
|
z 的最小值及此时实数m 的值.
题型八：共轭复数
1．若复数
3
2i
z
，则z 的共轭复数z （
）
A．3
2i
B．3
2i
C．2
3i
D．3
2i
2．已知,
R
a b
，i 是虚数单位，若
2i
a
与1
ib
互为共轭复数，则a
b
（
）
A．1
B．1
C．3
D．3
3.在复平面内，�对应的点的坐标是(1,
3)，则�的共轭复数�ത=（
）
A．1 +
3i
B．1 −
3i
C．−1 +
3i
D．−1 −
3i
4.在▱����中，点�, �, �分别对应复数4 + i, 3 + 4i, 3 −5i，则点�对应复数的共轭复数是（
）
A．2 −3i
B．4 + 8i
C．4 −8i
D．1 + 4i
5.若i 为虚数单位，则复数
3
2
2
3
z
i
i
的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6.设复数
3
4i
z
，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在第（
）
A．一象限
B．二象限
C．三象限
D．四象限
7.（多选）已知复数
4
3i
z
，则下列命题中正确的为（
）
A．|
| 5
z
B．
4
3i
z
C．z 的虚部为3i
D．z 在复平面上对应点在第二象限
题型九：复数与三角函数、集合的综合问题
1.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：
cos
isin
cos
isin
n
n
r
r
n
n
．根据复数乘方公式，复数
2023
π
π
2 cos
isin
5
5
在复平面内对应
的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.在复平面内，O 是原点，向量OA
对应的复数
2
1z
4
i
m
m
，
mR .
(1)若点A 位于第四象限，求m 的取值范围；
(2)若点A 关于实轴的对称点为点B，求向量AB
对应的复数；
(3)若
2z
2cos
4sin
i
，且
1
2
z
z
，求的取值范围.
3.在复平面上，设点A 、B 对应的复数分别为2i
、
π
π
cos
isin
3
3
t
t
，当t 由π
6 连续变到π
2 时，向量AB
所扫过的图形区域的面积是（
）
A．
3
4
B．π
6
C．π
4
D．
3
π
4
12
4.已知复数
2sin
cos
sin
2cos
i
z
，其中
0,
.
(1)当
时，z 表示实数；当
时，z 表示纯虚数.求
tan
的值.
(2)复数z 的长度记作|
|
z ，求|
|
z 的最大值.
模块三：综合巩固
1．若a，bR ，i 是虚数单位，且
2 i
1 i
b
a
，则a
b
的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.设
3
2i
z
，则在复平面内z 对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.已知复数
2
3 i
(1
i) (
)
z
a
a
R 在复平面内对应的点在实轴上，则z 的值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．15
4
4.若复数
1
i
z
a
a
在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,
B．
,0
C．
0,1 D．
,0
1,
5.已知
2
3i
z
（i 虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部为（
）
A．2
B．i
C．3
D．3i
6.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（
）
A．正数
B．负数
C．实部不为零的虚数D．纯虚数
7．已知复数z 的实部和虚部均为自然数，在复平面内z 对应的点为Z，那么满足2
3
z
的点Z 的个数为
（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
8.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是
1,
3
，则z 的共轭复数z （
）
A．1
3i
B．1
3i
C．1
3i
D．1
3i
9.已知
1 i
3 i
z
m
在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是（
）
A．
3,1
B．
1,3
C．
1,
D．
, 3
10.在复平面内，O是原点，向量OZ
对应的复数是1
i
，将OZ
绕点O按逆时针方向旋转π
4 ，则所得向量
对应的复数为（
）
A．
2
B．
2i
C．1
D．i
11.（多选）复数
1
2
z
i
，i 是虚数单位，则以下结论正确的是（
）
A．
5
z
B．
1
i
z
C．z 的虚部为2
D．z 在复平面内对应点位于第一象限
12.（多选）若复数
2
2
3
1 i
z
m
m
m
m
R ，则下列说法正确的是（
）
A．若z 为实数，则
1
m
B．若z 为纯虚数，则
3
m
或1
C．z 在复平面内对应的点不可能在第二象限
D．z 在复平面内对应的点不可能在第三象限
13.若
1
2i
2
z
（i 为虚数单位），则z
．
14.写出一个模为5 的非纯虚数
．
15.设复数
2
2
2
7
6 i
z
a
a
a
a
，其中
R
a
.
(1)若z 是纯虚数，求a 的值；
(2) z 所对应的点在复平面的第四象限内，求a 的取值范围.
16.设复数
2
1
4
5 i
z
m
m
m
和复平面内的点Z 对应，若点Z 的位置满足下列要求，分别求实数m
的取值范围，并写出你的求解思路：
(1)不在实轴上；
(2)在虚轴上；
(3)在实轴下方（不包括实轴）；
(4)在虚轴右侧（不包括虚轴）；
(5)第三象限．
17.已知复平面内的
,
A B 对应的复数分别是
2
1
sin
i
z
，
2
2
cos
co 2
i
s
z
，其中
(0,π)
，设AB
对应
的复数是z .
(1)求复数z ；
(2)若复数z 对应的点P 在直线
1
2
y
x
上，求的值.
18.已知mR ，复数
2
2
6
11
24 i
z
m
m
m
m
（i 是虚数单位）.
(1)若z 是纯虚数，求m 的值；
(2)若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.
19.已知复数
i
z
a
b
，,a bR ．
(1)若
2
2
a
m
m
，
2
2
3
b
m
m
，mR , z 对应的点在第四象限，求m 的范围．
(2)若
1
1
z
，求a
b
的最大值．
20．已知复数
1
1 cos
isin
z
，
2
1 sin
icos
z
，且两复数的模的平方和不小于2，求的取值范
围.
21．平行四边形OABC 的顶点O、A 、C 对应的复数分别为0 、3
2i
、2
4i
．
（1）求点B 对应的复数：
（2）在OAB
中，求OB 边上的高h．
7.3 复数的加减运算及其几何意义
模块一：基础知识
考点一：复数的加法运算及其几何意义
1.复数的加法法则
设
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d
R)是任意两个复数，那么
+
=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
2.复数的加法满足的运算律
对任意
,
,
∈C，有
①交换律：
+
=
+
；
②结合律：(
+
)+
=
+(
+
).
3.复数加法的几何意义
在复平面内，设
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为
，
，则
=(a,b)，
=(c,d).
以
，
对应的线段为邻边作平行四边形
(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得
=
+
=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ 对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i
对应的向量.
考点二：复数的减法运算及其几何意义
1.复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
2.复数减法的几何意义
两个复数
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是
，
，那么这两个复数的差
-
对应的向量是
-
，即向量
.
如果作
=
，那么点Z 对应的复数就是
-
(如图所示).这说明两个向量
与
的差
就是与
复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
考点三：|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是
(a,b)，
(c,d)，则|
|=
，又复数
-
=(a-c)+(b-d)i，则|
-
|=
.
故|
|=|
-
|，即|
-
|表示复数
，
在复平面内对应的点之间的距离.
模块二：题型分类
题型一：复数的加、减运算
1．计算：
(1)
3
4i
5
3i
；
(2)
1 5i
2
3i
；
(3)
2
3i
6
5i
；
(4)
7
i
3
2i
．
2.设复数
1
2
2
3 ,
1
2
z
i z
i
，则复数
1
2
z
z
在复平面内对应的点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.已知复数
1
3
4i
z
，
2
3
4
z
i
，则
1
2
z
z
．
4.已知复数
1
2
2
i,
3
2i
z
z
，则复数
1
2
z
z
在复平面内对应的点位于第
象限.
5.设�的共轭复数为�ത，若2�−3�ത= 2 −5i，则�=（
）
A．−2 −i
B．2 −i
C．1 −2i
D．1 + 2i
题型二：复数加减运算求参数
1．设z1=2+bi ，z2=a+i ，当z1+z2=0 时，复数a+bi 为（
）
A．1+i
B．2+i
C．3
D．2
i
2．若
2
z
z
，则
2
z
z
的实部可能是（
）
A．3
B．1
C．3i
D．i
3．复数
1
2
4i,
3
i
z
a
z
b
，其中,a b 为实数，若
1
2
z
z
为实数，
1
2
z
z
为纯虚数，则a
b
（
）
A．6
B．6
C．7
D．7
4．若复数z 满足
2
+3
2
3i
z
z
z
z
，则z =（
）
A．1
1 i
2
2
B．1
1 i
2
2
C．2
2i
D．2
2i
5．已知复数z 的共轭复数是z ，若
2
2
3i
z
z
，则z （
）
A．2
i
B．1 2i
C．2
i
D．1 2i
题型三：复数加减法的几何意义
1.如图所示,平行四边形OABC 的顶点O,A,C 对应的复数分别为0,3
2i
, 2
4i
,其中i 为虚数单位由复数的
几何意义,知OA
与OC
对应的复数分别为3
2i
, 2
4i
.
(1)求AO
对应的复数.
(2)求CA
对应的复数.
(3)求OB
对应的复数.
2．设向量
1
OZ
及
2
OZ
在复平面内分别与复数z1＝5＋3i 及复数z2＝4＋i 对应，试计算z1－z2，并在复平面
内表示出来
3.如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1 + 2�, −2 + �, 0，那么这个正方形的第四个
顶点对应的复数为（
）．
A．3 + �
B．3 −�
C．1 −3�
D．−1 + 3�
4.复数6
5i
与3
4i
分别表示向量OA
与OB
，则表示向量BA
的复数为（
）
A．3
9i
B．2
8i
C．9
i
D．9
i
5.若复数
1
4
3
z
i
，
2
4
3
z
i
（其中i 为虚数单位）所对应的向量分别为
1
OZ
与
2
OZ
，则
1
2
OZ Z 的周长
为
.
6.复平面上有A、B、C 三点，点A 对应的复数为2
i
，BA
对应的复数为1
2i
，BC
对应的复数为3 i
，
则点C 的坐标为
．
7.若向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ分别表示复数�1 = 2 −i, �2 = 3 + i，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．5
B．5
C．2 5
D．2 2
8.如图，设向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
9.在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A，B，C 三点对应的复数分别为z1，
z2，z3，若�1 = 1, �3 =−2 + i，则z2=（
）
A．1+i
B．1－i
C．－1+i
D．－1－i
10．根据复数加法的几何意义，证明：
1
2
1
2
1
2
z
z
z
z
z
z
．
题型四：复数的加减与模的几何意义综合应用
1.若复数z 满足|z﹣2i|＝1（i 为虚数单位），则|z|的最小值为
.
2．设z 是复数且
1 2i
1
z
，则z 的最小值为（
）
A．1
B．3 1
C．5 1
D．5
3.已知复数z 满足
i
z
z
，则z 的最小值为（
）
A．1
4
B．1
2
C．3
4
D．1
4.已知i 是虚数单位，复数
i
z
a
b
，aR ，bR ，且
i
2
i
z
z
，则
3
3i
z
的最小值为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
5.若
cos
sin
z
i
(
R
i
，是虚数单位),则
2
2
z
i
的最小值是（
）
A．2 2
B．
2
C．2 2
1
D．2 2
1
6.复数z 满足1
2
i
3
z
，则z 的范围是（
）
A．
5
1, 5
3
B．
10,2 6
C．
0, 5
3
D．
10,
26
7.若i 为虚数单位，复数z 满足
1
z ，则
(1 i)
z
的最大值为（
）
A．
2
1
B．
2
C．
2
1
D．2 2
8．已知复数z 满足
2
4i
1
z
，当z 的虚部取最小值时，z （
）
A．2
3i
B．2
3i
C．3
5i
D．3
3i
题型五：复数的加减与复数的特征
1.复数(1
2i)
(3
4i)
对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数
2i
z
a
（其中
R
a
）为“等部
复数”，则复数
2 i
z
a
在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.设复数
1z ，2z 满足
1
2
2
z
z
，1
2
3
i
z
z
，复数
2
1
2
1
,
, z
z
z
z
在复平面内所对应的点分别为A，B，C，
则三角形ABC 的面积为（
）
A．3
B．2 3
C．2
D．
3
4.实数
1
m
时，复数
3
i
2
i
m
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.已知关于x 的实系数一元二次方程
2
3
0
x
kx
有两个虚根
1
x 和
2
x ，且
1
2
2 2
x
x
，则k 的值为（
）
A．2
B．2
C．2
D．2 3
6.已知复数
1z ，2z 满足
1
1
z ，
2
2
z
，3
1
2
z
z
z
，则
3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为
．
模块三：综合巩固
1．设z1=2+bi ，z2=a+i ，当z1+z2=0 时，复数a+bi 为（
）
A．1+i
B．2+i
C．3
D．2
i
2．若|z|+z=3+i，则z=（
）
A．1－4
3 i
B．1+ 4
3 i
C．4
3 +i
D．－4
3 +i
3.已知复数
2
i
z
，且
0
az
z
b
，其中a，b 为实数，则（
）
A．
1
a ，
4
b
B．
1
a ，
4
b
C．
1
a ，
4
b
D．
1
a ，
4
b
4.
2
i
1 2i
等于（
）
A．3
i
B．4
3i
C．4i
D．1 3i
5.已知复数
2
i 1
i
a
a
为纯虚数，则实数a 的值为（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
6.已知复数
1
12
3i
z
，
2
9
i
z ，则
1
2
z
z
的实部与虚部分别为（
）
A．3，2
B．3 ，2i
C．2 ，3
D．2 ，3i
7.在复平面内，复数z 对应的点Z 的坐标为
2sin120 , 2cos120
，则
2 3
z
（
）
A．2
B．2 3
C．3 3
D．1
3
8.复数2
3
4
i +2i +3i 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9.在复平面内，O为原点，i 为虚数单位，复数z 对应的向量
1,2
OZ
，则
i
z
（
）
A．3
B．
3
C．2
D．
2
10.已知复数z 满足
2
4i
1
z
，当z 的虚部取最小值时，z （
）
A．2
3i
B．2
3i
C．3
5i
D．3
3i
11.（多选）已知
1z ，
2z 为复数，则下列说法正确的是（
）
A．若
1z R ，则
1
1
z
z
B．若
1
2
z
z ，则
1
2
z
z
C．若
1
2
z
z
，则
1
2
z
z
D．若
1
2
1
z
z
z
，则
1
0
z
或
2
1
2
z
z
12.（多选）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（
）
A．z
z
R
B．z
z
是纯虚数
C．若
3
cos
isin
5
5
z
，则
1
z
D．若
i
1
z
，则z 的最大值为2
13.复数
1
4i
z
a
，2
3
i
z
b
（a、
R
b
），若它们的和
1
2
z
z
为实数，差
1
2
z
z
为纯虚数，则
i
a
b
．
14.已知复数z 满足
2i
z
z
，写出一个满足条件的复数z
．
15.计算：
(1)
1 2i
7 11i
5
6i
；
(2)
5i
6
8i
1
3i
；
(3)
i
2
3 i
3i
R
a
b
a
b
a
b
，
.
16.已知复数
2
1
6 i
z
a
a
，
2
2
2
3
i
z
a
a
，a R ．
(1)若
1
2
z
z
是纯虚数，求a ；
(2)若
1
2
0
z
z
，求
1z ．
17.已知复数z 满足
2
|
|
2
2i
0
z
z
．
(1)求z ；
(2)比较
3i
z
z
与2
3i
z
的大小．
18.（1）设z
C
，在复平面内z 对应的点为Z ，那么求满足条件：2
3
z
的点Z 的集合的图形面积；
（2）已知复数
2
1
4
i
z
m
m
mR ，
2
2
i
z
x
x
,
R
x
，且
1
2
0
z
z
，求的范围.
19.已知复数
1
2
cos
isin ,
cos
isin , ,
z
z
均为锐角，且
1
2
2 5
5
z
z
.
(1)求
cos
的值；
(2)若
4
cos
5
，求cos的值.
7.4 复数的乘、除运算
模块一：基础知识
考点一：复数的乘法运算
1.复数的乘法法则
设
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把
换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
2.复数乘法的运算律
对于任意
,
,
∈C，有
①交换律：
=
；②结合律：(
)
=
(
)；③分配律：
(
+
)=
+
.
考点二：复数代数形式的乘方
1.复数的乘方
复数的乘方就是相同复数的乘积
2.复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的
1
2
,
,
z z z
C
，
,
m n
N
，有：
①
m
n
m n
z z
z
②(
)
m
n
mn
z
z
③
1 2
1
2
(
)n
n
n
z z
z z
考点三：共轭复数的性质
设z
a
bi
，z
a
bi
（,a b
R
）
1
2
3
,
,
,
n
z z
z
z
C
①( )z
z
；②z
z
z
为实数；③z
z
且
0
z
z 为纯虚数
④
1
|
| 1
z
z
z
；⑤
2
z
z
a
，
2
z
z
bi
，
2
2
z z
a
b
考点四：复数的除法
1.定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除
以复数c+di 的商，记作(a+bi)÷(c+di)或
(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
2.复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)=
=
=
=
+
i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
考点五：复数运算的常用技巧
1.复数常见运算小结论
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
.
2.常用公式
；
（a±bi）2=a2-b2±2ab；
.
考点六：复数范围内方程的根
若一元二次方程
+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当
>0 时，方程有两个不相等的实根
，
=
；当
=0 时，方程有两个相等的实根
=
=-
；当
<0 时，
方程有两个虚根
=
，
=
，且两个虚数根互为共轭复数.
模块二：题型分类
题型一：复数的乘法运算
1．已知复数
2
3i
4i
7
z
，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（
）
A．26
B．26
C．13
D．13
2．复数
1
2
2
i,
3 i
z
z
，则
1
2
z
z
（
）
A．7
i
B．7
i
C．5 5i
D．5 5i
3．复数
1z ，
2z 满足
1
2
2
z
z
，
1
2
2i
z
z
，则
1 2
z z （
）
A．2i
B．3i
C．2
D．3
4．若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足
1 i 1 2i
2
z
，则点A 在复平面内对应
坐标为（
）
A．
1,5
B．
5, 1
C．
1,1
D．(
)
1, 1
-
5．计算：
（1）
1 i
3
4i
；
（2）
1
2i
1
2i
；
（3）
3
i
3
2i
1 i
；
（4）
5
4i
1 3i
5
2i
．
6.已知
2
i
z
，则
i
z z
的虚部是（
）
A．2
B．2
C．2i
D．2i
7.已知复数
3
1 i
1 2i
z
(i 为虚数单位)，则z 的模等于
.
8.若复数z 满足
1
1
i z
i
，则复数z 的虚部是（
）
A．
2
2
B．
2
2 i
C．
2
2
D．
2
2 i
题型二：复数的除法运算
1．已知复数
3
2i
3
2i
z
，则z 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.复数
3
2i
1 i
z
，在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.i 是虚数单位，若复数
1
i
R
1
i
b
z
b
为纯虚数，则b
．
4．若复数1
i
2
i
a
为纯虚数，则实数a 的值为
．
5.计算．
(1)
6
1
i
2
3i
1 i
3
2i
；
(2)
4
1
3
2
2 i
．
(3)
1 4i 1 i
2
4i
3
4i
；
(4)
5
5
1 i
1 i
1 i
1 i
；
(5)
2022
2
2
4
8i
4
8i
2 3
i
2
1 i
1
2 3i
11
7i
.
6.已知i 是虚数单位，若复数�=
�+i
1+i �∈�的实部是虚部的2 倍，则�=（
）
A．−
1
3
B．
1
3
C．−
1
2
D．
1
2
7．已知复数
i
1
3i
2i
z
，则复数z 的虚部是（
）
A．1
4
B．
1
4
C．1 i
4
D．
1 i
4
8.若
2021
i
2
i
z
，则z =（
）
A．1
2i
B．1
2i
C．1
2i
D．1
2i
9.若复数z 满足(1
2i)
3
i
z
，则z
10．设
,
m n 为实数，i 为虚数单位，已知复数
i
3
i
i
m
n
，
2 i
z
n
m
，则z
题型三：复数的乘方运算
1.设
2023
i
1
i
z
（i 为虚数单位），则z （
）
A．
2
2
B．
2
C．
1
2
D．2
2．若
1
i
z ，则
2z
z
（
）
A．1
i
B．1
3i
C．1 i
D．1
3i
3．已知复数
2
2023
1
i
i
i
z
，则z （
）
A．0
B．1
C．
2
D．
3
4.复数
3
1
i
2
i
z
的虚部是（
）
A．i
B．1
C．3i
D．-3
5．复数
3
3
i
1 i
z
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四像限
6.已知复数z 满足：
2023
3
i
3
i
z
，则z （
）
A．1
B．5
C．2 5
D．5
7.设复数z 对应的点在第四象限，则复数
1016
(1 i)
z
对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．
2003
1 i
1
i
（
）
A．1
B．i
C．1
D．i
9．已知
7
2
2
i
(1 i)
z
，则z 在复平面内对应的点的坐标为（
）
A．
1 ,1
2
B．
1 ,1
2
C．1 , 1
2
D．
1
1, 2
10．已知复数
2
3i
3
2i
z
，则复数
2
3
4
z
z
z
z
（
）
A．1
B．i
C．0
D．i
11.已知复数z 满足
2023
i
1
2i
z
（i 为虚数单位），则z （
）
A．3
B．
3
C．5
D．5
题型四：复数范围内分解因式
1.在复数范围内分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
2.（1）已知复数�满足�1 + i = 3 + i，求�；
（2）在复数范围内因式分解：�2 −2�+ 2.
3.在复数范围内分解因式：
(1)�2 + 8；
(2)�2 −2�+ 3；
(3)3�2 −2�+ 1.
4.在复数范围内分解因式：
(1)�4 −�4
(2)�2 + 4
(3)�2 + 2�+ 5
(4)�2 + �2 + �2 + 2��
5．多项式
2
2
4
x
x
在复数集中因式分解的结果是（
）
A．
1
3i
1
3i
x
x
B．
1
3i
1
3i
x
x
C．
1
3i
1
3i
x
x
D．
1
3i
1
3i
x
x
6．在复数范围内分解因式：
4
2
6
7
x
x
．
题型五：复数范围内方程的根
1.方程
2
1
0
x
的一个解可以是（
）
A．0
B．i
C．1
D．1
2．已知i 为虚数单位，i
2
是关于x 的方程
2
5
0
x
px
的一个根，则实数p （
）
A．2
B．3
C．4
D．5
3.已知复数z 是一元二次方程
2
2
4
0
x
x
的一个根，则|z|的值为（
）
A．1
B．2
C．0
D．
2
4.在复数范围内方程
2
2
2
0
x
x
的根为
1
x ，
2
x ，则
1x （
）
A．
2
2
B．
2
C．2
D．1
5.已知2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，则实数p，q 的值分别为
.
6.已知i 是虚数单位，2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
,
x
px
q
p q
R 的一个根，则p
q
.
7．若z 是方程
2
1
0
x
x
的一个虚数根，则
2z
z
（
）
A．0
B．-1
C．
3i
D．-1 或
3i
8．在复数范围内，
1
2
,
z z 是方程
3
2
1
0
z
z
z
的两个不同的复数根，则
1
2
z
z
的值为（
）
A．1
B．
2
C．2
D．
2 或2
9．若
1
3 i
2
2
是关于x 的实系数方程
2
1
0
ax
bx
的一个复数根，且
i
z
a
b
，则1
z
z
（
）
A．1
3i
5
5
B．1
3
5
5i
C．3
1 i
5
5
D．3
1 i
5
5
10.已知复数�1，�2在复平面内对应的点分别为�2,3 ，��, −4 ，其中�∈�．
(1)若m＝1，求�1 −�2 ；
(2)若�2是关于x 的方程�2 + 2�+ 17 = 0 的一个复数根，求m 的值及�2．
11.已知复数�= 4 + �i，其中�是正实数，�是虚数单位．
(1)如果�3�+ �i 为纯虚数，求实数�的值；
(2)如果�= 2，�1 =
�
1−i是关于�的方程�2 + ��+ �= 0(�, �∈R)的一个复根，求�+ �的值．
12.设常数�∈R，已知关于�的方程�2 + ��+ 2 = 0.
(1)若�= 2，求该方程的复数根；
(2)若方程的两个复数根为�、�，且�−�= 1，求�的值.
13.在①�2�2 = 10 �> 0 ；②复平面上表示
�1
�2的点在直线�+ 2�= 0 上；③�1 �−i > 0 这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数�1 = 1 + i，�2 = �+ 3i �∈R （i 为虚数单位），满足____.
(1)若�= �1 + �2，求复数�以及�；
(2)若�2是实系数一元二次方程�2 + ��+ 4 −3�= 0 的根，求实数�的值.
题型六：复数乘除法运算求参数
1.若1 + i
�+ i =−5 + �i，其中�, �∈�，则�=（
）
A．3
B．2
C．-2
D．-3
2.已知复数�= �+ �i（�,�∈R），且
�i
1+i = 1 + 2i，则ab=（
）
A．-9
B．9
C．-3
D．3
3.已知i 为虚数单位，若
1
1+i = �−�i �, �∈�，则��=（
）
A．1
B．
2
2
C．2
D．2
4.设复数
1 2i
i
R ,
z
a
a
z
的实部与虚部互为相反数，则
a
（
）
A．3
B．
1
3
C．2
D．3
5.已知i 是虚数单位，若复数
i
1 i
a
z
a
R 的实部是虚部的2 倍，则
a
（
）
A．
1
3
B．1
3
C．
1
2
D．
1
2
6.（1）若复数
2
2
2
3
5
6
i
z
m
m
m
m
是纯虚数，求实数m 的值；
（2）若复数z 满足：
i
1
i
z z
z
z
，求复数z .
题型七：复数的四则运算求复数特征
1.设复数z 的共轭复数为�、复数z 满足1 + i =
2−4i
�（i 为虚数单位），则�的虚部为（
）
A．3
B．−3
C．3i
D．−3i
2．设复数z 的共轭复数为z 、复数z 满足
2
4i
1
i
z
（i 为虚数单位），则z 的虚部为（
）
A．3
B．3
C．3i
D．3i
3．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若
2 i
z
，则
i
z
z
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．设复数
1 2i
i
R ,
z
a
a
z
的实部与虚部互为相反数，则
a
（
）
A．3
B．
1
3
C．2
D．3
5．已知复数z 满足
2
2
1
i
1
i
z
a
，a R ，则z 为实数的一个充分条件是（
）
A．
2
a
B．
2
a
C．
1
a
D．
2
a
6．已知a，b 为实数，复数
2i
z
a
，若
2 i
z
b
a
z
，则|
|
a
b
（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
7.解答下列各题：
(1)已知z 是复数，
3i
z
为实数，
5i
2
i
z
为纯虚数（i 为虚数单位），求复数z；
(2)已知复数
2
1 i
3i
2i 1
z
m
m
，实数m 为何值时，复数z 表示的点位于第四象限．
8.已知复数
i
R
z
b
b
（
，i 是虚数单位），
3
1
i
z
是实数.
(1)求b 的值；
(2)若复数
2
8
m
z
m
在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围.
题型八：求共轭复数的特征
1．已知复数
|
3
i |
3
i
z
，则z （
）
A．3
1i
5
5
B．
3
1 i
5
5
C．6
2 i
5
5
D．
6
2 i
5
5
2.已知
3
4
1 i
z
（i 为虚数单位），则z
z
（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
3.已知复数
i
R
z
a
a
满足
2
z z
，则a 的值为
.
4．已知
1
i
z
i
，复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
题型九：复数四则运算的创新应用
1.已知集合
i
i
,
N
n
n
M
x x
n
∣
（其中i 为虚数单位），则满足条件的集合M 的个数为
.
2.复平面上两个点
1
2
,
Z Z 分别对应两个复数
1
2
,
z z ，它们满足下列两个条件：①
2
1 2i
z
z
；②两点
1
2
,
Z Z 连
线的中点对应的复数为3
4i
，若O为坐标原点，则
1
2
Z OZ
△
的面积为
3.欧拉公式
ie
cos
isin
（其中e
2.718
,i
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建
立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉
公式，下列结论中正确的是（）
A．
iπ
e 的实部为1
B．
iπ
e 的共轭复数为1
C．
2i
e 在复平面内对应的点在第一象限
D．
2i
e 的模长为1
4.已知复数
i
z
x
y
，
,
x
y
R
R ，其中i 为虚数单位，且满足
2
z
，且
1
z 为纯虚数.
(1)若复数
i
z
x
y
，
,
x
y
R
R 在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求
3
2i
z
；
(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程
2
0
,
R
x
mx
n
m n
的一个根，求实数m，n 的值.
5．在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real 的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary
Quantity，一般取Imaginary 的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：
Re 1 2i
1,Im 1 2i
2
.已知复
数是方程
2
1
0
x
x
的解.
(1)若
Im
0
，求证
2
；
(2)若
Im
0
，复数
i
,
R
z
a
b a b
且满足
3
z
，在复平面内z 对应的点为Z ，当
2
z
取得最大值
时，求点Z 的坐标.
6．设
1z ，
2z ，
3z ，L，
nz 为n个复数．
(1)如果
1
2
1
n
z
z
z
，求证：
1
2
1
2
1
1
1
n
n
z
z
z
z
z
z
；
(2)若
1
2
0
n
z
z
z
，则有什么样的结果？
模块三：综合巩固
1.设�=
2+i
i 1+i ，则�+ �=（
）
A．2
B．1
C．−1
D．−2
2.已知复数z 满足
2i 1 i
2
z
，则z （
）
A．13
B．10
C．3
D．2
3.复数
1
i
i
1
i
z
，则z （
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
4.已知2
i
1
i
z
，则z （
）
A．1
i
B．1 i
C．3 i
D．3
i
5.若复数2
i
5
i
i
m
为纯虚数，则m （
）
A．5
B．5
C．3
D．3
6.已知
R
a
，
R
b
，且
3i
1
2i
1
i
a
b
，则
i
a
b
（
）
A．
2
B．2
C．10
D．10
7.已知复数z 满足
1
i
5i
z
z
，则
1
z
（
）
A．3
B．2
C．
2
D．1
8.若复数
3
4i
1
2i
z
，则z （
）
A．5
B．5 5
C．10
D．10 5
9.设复数
i
0
R
z
x
y
x
y
，
，且满足
2
18i
z
，则z （
）
A．3
2i
B．3
3i
C．3
2i
D．3
3i
10.已知复数
2π
3
cos
i
3
2
z
（i 为虚数单位），则复数
3z （
）
A．1
B．1
C．i
D．i
11.已知,
R
a b
，
2i
1
则“
1
a
b
”是“
2
i
2i
a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
12.(多选)已知复数
2
i
z
，
1
i
z
x
y
（x ，y R ）（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正
确的是（
）
A．z 的虚部为i
B．
2
2
|
|
z
z
C．|
|
1
|
|
z
z
D．若
1
1
z
z
-
£ ，则在复平面内
1z 对应的点形成的图形的面积为π
13.(多选)若复数z 满足
2023
2
i
i
2
z
（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的是（
）
A．
5
2
z
B．z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第四象限
C．z 的虚部为i
2
D．
2
5
i
4
z
14.已知复数2
i
2i 1
a
是纯虚数，则实数
a
.
15.已知a 为实数，若复数
2
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
2023
i
1
i
a
的值为
.
16.若复数：
2
3
10
i
i
i
i
z
，则z z
．
17.已知复数
1
2
1 i,
2 cos15
isin15
Z
Z
，则
1
2
Z
Z
.
18.计算：
(1)
1 i 1 i
1 i
；
(2)
2
1
2i
3 1 i
2
i
.
19.计算下列各题:
(1)
1
3
3
1
i
i
1
i
2
2
2
2
；
(2) 3
2i
3
2i
2
3i
2
3i
.
20.（1）已知复数
2 1 i +
3-5i + 2-14i
z
m
m
，
R
m
．i 是虚数单位，若z 是纯虚数，求m 的值；
（2）i 是虚数单位，
1
1
2
z
i
，
2
2
i
z
，若
1
2
2
1
1
z
z
z
，求复数z．
21．已知关于x 的方程
2
(6
i)
9
i
0(
R)
x
x
a
a
有实数根b .
(1)求实数,a b 的值；
(2)若复数z 满足|
i | 2 |
| 0
z
a
b
z
，求当z 为何值时，|
|
z 有最小值，并求出|
|
z 的最小值.
7.5 复数的三角表示
模块一：基础知识
考点一：复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r 和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地，任何一个复数z=a+bi
都可以表示成r(
+i
)的形式.
概念名称
概念的说明
模r
r 是复数z 的模，
)
辐角θ
θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量
所在射线(射线OZ)为终边的
角，且
三角形式
r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式，该式
的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
考点二：辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i 的辐角是
+2kπ，其中k 可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数
0 的辐角也是任意的.我们规定在0
<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0
argz<2π.
考点三：三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复
数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
模块二：题型分类
题型一：复数的三角表示
1．复数
1
3 i
2
2
的三角形式是（
）
A．cos60
isin60
B．cos60
isin60
C．cos120
isin60
D．cos120
isin120
2．把复数
1
3
z
i 化三角形式为（
）
A．
π
π
2 cos
isin
6
6
B．
π
2 cos
isin
6
6
C．
π
π
2 cos
isin
3
3
D．2
3
π
π
cos
isin 3
3．复数
sin15
icos15
z
的三角形式是（
）
A．cos195
isin195
B．sin75
icos75
C．cos15
isin15
D．cos75
isin75
4．（多选）下列复数的三角形式正确的有（
）
A．1
π
π
cos
2
12
6
isin
B．
π
π
2 cos
isin
3
3
C．3
π
π
cos
2
7
7
isin
D．
π
π
3 cos
6
6
isin
5．（多选）下列复数的三角形式正确的有（
）
A．1 cos
isin
2
12
12
B．2 cos
isin
6
6
C．3 cos
isin
2
5
5
D．3 cos
isin
3
3
6.欧拉公式ei�= cos�+ isin�e = 2.71828⋯是由18 世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，
被誉为数学上优美的公式.已知ei �−π
6 =−
1
2 +
3
2 i，则cos�=（
）
A．−
3
2
B．−
1
2
C．
1
2
D．
3
2
7.欧拉公式e�i = cos�+ isin�（其中i 为虚数单位，�∈R），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数
函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，
被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，e−�i
3的共轭复数为（
）
A．
1
2 +
3
2 i
B．
1
2 −
3
2 i
C．−
1
2 +
3
2 i
D．−
1
2 −
3
2 i
8.欧拉公式e�i = cos�+ isin�（其中i 为虚数单位，�∈�）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角
函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（
）
A．eπi = 1
B．e
πi
2为实数
C．
e�i
3+i =
1
2
D．复数e2i对应的点位于第三象限
9.欧拉公式e�i = cos�+ isin�（其中i 为虚数单位，�∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指
数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.
依据欧拉公式，下列选项正确的是（
）
A．eπi为虚数
B．函数�(�) = e�i不是周期函数
C．若e�i =
1−3i
2
，则�=
2π
3
D．e
π
4i ⋅e
π
3i的共轭复数是
2−6
4
−
2+ 6
4
i
题型二：求复数的辅角主值
1．写出下列复数的辐角的主值
（1）-4
（2）2i
（3）
3
3i
（4）2 cos
sin
3
3
π
π
i
2．已知复数
3
i
z
，则arg z （
）
A．5π
3
B．
π
6
C．11π
6
D．5π
6
3．
1
3
z
i
（i 是虚数单位），则z 的辐角主值
arg z （
）
A．5 π
3
B．11 π
6
C．
π
3
D．
π
6
4：2 的辐角主值为（
）
A．
π
2
B．
3π
2
C．0
D．2π
5．已知i 为虚数单位，
1
3
z
i ，则z 的辐角主值为
.
6．已知复数z 满足
2
2
4
0
z
z
，且
π
argz
, π
2
．求z 的三角形式；
7.设复数�1 =−1 + i, �2 =
1
2 +
3
2 i，则arg
�1
�2 =（
）
A．
13
12 �
B．
7
12 �
C．
5
12 �
D．−
5
12 �
8.设�< �<
5�
4 ，则复数
cos2�+isin2�
cos�−isin�的辐角主值为（
）
A．2�−3�
B．3�−2�
C．3�
D．3�−�
题型三：复数的代数形式与三角形式的互化
1.把下列复数表示成三角形式；
(1)−5 + 5i
(2)3 3 −3i
(3)−4i
(4)13
2.将下列复数化为三角形式：
(1)−
3 + i；
(2)−1 −
3i；
(3)−2 cos
�
5 + isin
�
5 ；
(4)2 sin
�
5 + icos
�
5 ．
3.把下列复数表示成代数形式：
(1)4 cos
π
3 + isin
π
3 ；
(2)6 cos
11π
6 + isin
11π
6
．
4.在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）：
(1)6；
(2)1 + i；
(3)1 −
3i；
(4)−
6 −
2i．
题型四：三角形式下复数的乘、除运算
1．计算下列各式，并把结果化成代数形式：
（1）
π
π
π
π
2 cos
isin
3 cos
isin
12
12
6
6
，
（2）
2π
2π
π
π
6 cos
isin
2 cos
isin
3
3
3
3
．
2．如果
π ,π
2
，那么复数
1 i
cos
isin
的三角形式是（
）
A．
9π
9π
2 cos
isin
4
4
B．
2 cos 2π
isin 2π
C．
π
π
2 cos
isin
4
4
D．
3π
3π
2 cos
isin
4
4
3．棣莫弗公式(cos
isin )
cos
isin
n
x
x
nx
nx
（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，
根据棣莫弗公式可知，已知复数
2π
2π
cos
i sin
3
3
，则
4
的值是（
）
A．
B．1
C．
D．
4．已知
cos
isin
cos
isin
n
x
x
nx
nx
（其中i 为虚数单位），那么复数
2023
π
π
cos
isin
5
5
在复平面内所
对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.计算2 cos75° + isin75° ⋅
1
2 −
1
2 i 的值是（
）
A．−
6
2 +
2
2 i
B．
6
2 +
2
2 i
C．
2
2 −
6
2 i
D．
2
2 +
6
2 i
6.复数
(−1+ 3i)5
1+ 3i 的值是（
）
A．−16
B．16
C．−
1
4
D．
1
4 −
3
4 i
7．计算：
（1）
π
π
π
π
8 cos
isin
2 cos
isin
6
6
4
4
；
（2）
4π
4π
5π
5π
2 cos
isin
4 cos
isin
3
3
6
6
；
（3）
3 cos225
isin225
2 cos150
isin150
（4）
π
π
4
cos
isin
4
4
8.已知i 为虚数单位，若�1 = �1(cos�1 +isin�1)，�2 = �2(cos�2 +isin�2)，⋅⋅⋅，��= ��(cos��+isin��)，
则�1�2 ⋅⋅⋅��= �1�2 ⋅⋅⋅��[cos �1 + �2 +⋅⋅⋅+ ��+isin �1 + �2 +⋅⋅⋅+ ��.特别地，如果�1 = �2 =⋅⋅⋅= ��=
�(cos�+isin�)，那么[�(cos�+isin�)]�= ��(cos��+isin��)，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754 年)创
立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（
）
A．若�= cos
�
6 +isin
�
6，则�4 =−
1
2 +
3
2 i
B．若�= cos
�
5 +isin
�
5，则�5 = 1 +i
C．若�1 = 2(cos
7�
12 +isin
7�
12 )，�2 = 3(cos
5�
12 +isin
5�
12 )，则�1�2 =−6 + 6i
D．若�1 = 3(cos
�
12 −isin
�
12 )，�2 = 4(cos
�
4 +isin
�
4 )，则�1�2 = 6 + 6i
题型五：复数乘除运算的几何意义
1．把复数1 i
对应的向量绕原点按逆时针方向旋转π
2 ，所得到的向量对应的复数是
.
2．在复平面内，将与复数3
3i
对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数，
写出你的思考过程．
3．将复数1
3i
在复平面上所对应的向量ON
绕原点按顺时针方向旋转π
2 得到向量
1
ON
，那么
1
ON
对应的
复数是
.
4．在复平面内，把与复数3
3i
对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60，则所得向量对应的复数为
（用代数形式表示）．
5.设复数�1 =−1 −i 在复平面上对应向量��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ，将��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ按顺时针方向旋转
5
6 �后得到向量��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ，令��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ对应的
复数为�2的辐角主值为�，则tan�=（
）
A．2 −
3
B．−2 +
3
C．2 +
3
D．−2 −
3
6．把复数z1 与z2 对应的向量OAOB
，
分别按逆时针方向旋转4
和5
3
后，重合于向量OM
且模相等，已知
2
1
3
z
i
，则复数
1z 的代数式和它的辐角主值分别是（
）
A．
2
2i
，3
4
B．
3
2
2 , 4
i
C．
2
2 , 4
i
D．
2
2 , 4
i
7.设�=
3 −�对应的向量为��റ
ሬሬሬሬ，将��റ
ሬሬሬሬ绕点O 按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量
对应的复数（用代数形式表示）
8.在复平面内，点A 对应的复数是3 + i，向量��റ
ሬሬሬሬ绕着点O 按逆时针方向旋转120°得到向量��റ
ሬሬሬሬ.
(1)求点C 对应的复数�0；
(2)已知点B 对应的复数z 满足�−�0 = 1，且��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ
= 120°，求复数z.
题型六：三角表示下复数的乘方与开方
1.计算：−1 +
3i
10 =（
）．
A．1024 −1024 3i；
B．−1024 + 1024 3i；
C．512 −512 3i；
D．−512 + 512 3i．
2.计算cos
π
4 + isin
π
4
−4
=（
）
A．1
B．−1
C．i
D．−i
3.在复平面内，复数�= �+ �i(�, �∈�)对应向量为��റ
ሬሬሬሬ（�为坐标原点），设|��റ
ሬሬሬሬ| = �，以射线��为始边，��
为终边逆时针旋转所得的角为�，则�= �(cos�+ isin�)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：�1 =
�1 cos�1 + isin�1 ，�2 = �2 cos�2 + isin�2 ，则�1�2 = �1�2 cos �1 + �2 + isin �1 + �2
，由棣莫弗定理
导出了复数乘方公式：��= [�(cos�+ isin�)]�= ��(cos��+ isin��) �∈�∗，则( −1 +
3i)10 =（
）
A．1024 −1024 3i
B．−1024 + 1024 3i
C．512 −512 3i
D．−512 + 512 3i
4.棣莫弗公式(cos�+ isin�)�= cos��+ isin��（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）
发现的，根据棣莫弗公式可知，复数cos
�
6 + isin
�
6
7
在复平面内所对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
模块三：综合巩固
1.已知i 为虚数单位，�1 =
2 cos60° + isin60° ，�2 = 2 2 sin30° −icos30° ，则�1 ⋅�2等于（
）
A．4 cos90° + isin90°
B．4 cos90° + isin90°
C．4 cos30° −isin30°
D．4 cos0° + isin0°
2．欧拉公式
ie
cos
isin
x
x
x
是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立
了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的
是（
）
A．复数
πi
2
e
为实数
B．
ie 对应的点位于第二象限
C．
ie
sin
icos
2
x
x
x
D．
ie
3
i
x
的最大值为1
3．（多选）已知复数
1
1
3i
z
，其在复平面内对应点A ，下列说法中正确的是（
）
A．复数
1z 的三角形式为
1
π
π
2 sin
icos
6
6
z
B．在复平面内将点A 绕坐标原点O逆时针旋转π
3 后到达点B ，点B 所对应的复数
2
1
3i
z
C．在复平面内将点A 绕坐标原点O顺时针旋转π
2 后到达点C ，点C 所对应的复数为
3z ，则
1
3
0
z
z
D．
2
3
3
1 i
2
2
z
z
4．已知复数
3
1 i
z
m
m
已在复平面内对应的点在第一象限，i 是虚数单位.
（1）求实数m 的取值范围
（2）当
2
m 时，求复数z 的三角表示
（3）若复平面内，向量OZ
对应（2）中的复数z ，把OZ
绕点O顺时针方向旋转60得到
1
OZ
，求向量
1
OZ
对应的复数
1z （结果用代数形式表示）
7.6 实系数一元二次方程的解法
模块一：基础知识
考点一：实系数一元二次方程
实系数一元二次方程
2
0( , ,
,
0)
ax
bx
c
a b c
a
R
中的
2
4
b
ac
为根的判别式，那么
（1）
0
方程有两个不相等的实根
2
4
2
b
b
ac
a
；
（2）
0
方程有两个相等的实根
2
b
a
；
（3）
0
方程有两个共轭虚根
2
4
2
b
ac
b i
a
，
考点二：求解复数集上的方程的方法
①设
( ,
)
z
x
yi x y
R 化归为实数方程来解决．
②把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．
③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
考点三：实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
（1）当
2
4
0
b
ac
时，方程的两个实根满足韦达定理
1
2
b
x
x
a
，
1
2
c
x x
a
。
（2）当
2
4
0
b
ac
时，方程的两个共轭虚数根
1x 、
2x ，则
1
2
1
1
1
2Re
b
x
x
x
x
x
a
，
2
2
2
2
1
2
1
1
1
4
2
2
b
ac
b
c
x x
x
x
x
a
a
a
。
综上所述，无论方程的判别式
2
4
b
ac
的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的
情况，即实系数一元二次方程
2
0
ax
bx
c
（a 、b 、c
R
且
0
a
）的两个根与系数满足关系
1
2
2
b
x
x
a
，
1
2 c
x x
a
模块二：题型分类
题型一：解实系数一元二次方程
1.已知复数z 满足方程
2
4
5
0
z
z
，则z
．
2.若1
i
是实系数方程
2
0
x
ax
b
的一个根，则另一个根是
，
a
，
b
.
模块三：综合巩固
1.若复数z 满足方程
2
1
0
z
（i 是虚数单位），则z （
）
A．1
B．i
C．i
D．i
2.已知p 、q为实数，2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，则p
q
（
）
A．14
B．38
C．34
D．14
3.若复数z 是
2
2
0
x
x
的根，则z （
）
A．1
B．
2
C．2
D．3
4.若复数3
i
为方程
2
0
x
mx
n
（m，nR ）的一个根，则该方程的另一个根是（
）
A．3 i
B．3 i
C．i
3
D．i
3
5．（多选）若1
2i
是关于x 的方程
2
0
,
x
ax
b
a b
R 的一个复数根，则（
）
A．
2
a
B．
5
b
C．
i
a
b
的共轭复数的模为
29
D．
i
a
b
，
i
b
a
在复平面内对应的两点之间的距离为7 2
6．（多选）已知复数范围内关于x 的方程
2
3
0
x
x
的两根为
1
2
,
x x ，则下列结论正确的是（
）
A．
2
1
3
x x
B．
1
2
1
x
x
C．
1
x 与
2
x 互为共轭复数
D．
1
2
11
x
x
7．设方程
2
18
3
0
x
x
的两根为
1x ,
2x ，则
1
2
1
1
x
x
．
8．方程
2
6
25
0
x
x
在复数范围内的根为
．
9．如果
,p q 都是实数，关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
有一个根2
3i
，则p
q
10．若
1
3i
x
是关于x 的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是
.
11．设常数
R
p
，已知关于x 的方程
2
2
0
x
px
.
(1)若
2
p
，求该方程的复数根；
(2)若方程的两个复数根为、，且
1
，求p 的值.
12．已知关于x 的实系数一元二次方程
2
2
2
4
1
1
0
x
m
x
m
(1)若
2
m
，求方程的两个根；
(2)若方程有两虚根
1
2
,
z z ，
1
2
4
z
z
，求m 的值；
(3)若方程的两根为
1
2
,
x x ，其在复平面上所对应的点分别为
,
A B ，点A 关于y 轴的对称点为C（不同于点A ），
如果
1
OB OC
，求m 的取值范围.
7.7 复数题型归纳精讲精练
模块一：题型分类
题型一：复数的基础概念
1.下列四种说法正确的是（
）
A．如果实数�= �，那么�−�+ (�+ �)i 是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果�= 0，那么�= �+ �i 是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
2.在复数1 −2i，2 +
3，
1
2 i，−5 +
2i，0，7 +
5 −2 i 中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
其中虚数的实部与虚部分别是什么？
3．设mR ，则“
1
m ”是“复数
2
2
3
1 i
z
m
m
m
为纯虚数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.在复平面内，复数
2019
(1 i)i
2
3i
z
所对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.已知a 为实数，若复数
2
(
1)
(
1)i
z
a
a
为纯虚数，则
2023
i
1
i
a
（
）
A．i
B．i
C．1
D．1
题型二：复数的分类
1.已知复数�= �2 + �−6 + �2 + 5�+ 6 i（i 为虚数单位），求适合下列条件的实数m 的值；
(1)z 为实数；
(2)z 为虚数；
(3)z 为纯虚数.
2.已知复数z 为纯虚数，且满足
· 2
3i
5
i
z
m
，则实数m 的值为（）
A．10
3
B．10
3
C．15
2
D．
15
2
3.已知,
R,i
a b
为虚数单位，则“复数
i
1 i
a
b
z
是纯虚数”是“
0
a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型三：复数的几何意义
1．已知复数�= 2 + i，则�在复平面内对应第（
）象限
A．一
B．二
C．三
D．四
2.在复平面内，复数
1
3 i
2
2
z
对应的向量为OA
，复数
1
z 对应的向量为OB
，那么向量AB
对应的复数
是（）
A．1
B．1
C．
3i
D．
3i
3.已知复数z 满足
(1
i)
3
i
z
z
（i 为虚数单位），其中z 为z 的共轭复数，则复数z 在复平面上的对应点
位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4.已知复数
1
3i
1
3i
z
，z 为z 的共轭复数，则|
|
z
z
在复平面表示的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.已知复数�= �2 + 2�+ �2 −�−6 i, �∈R,i 是虚数单位.
(1)若复数�在复平面内对应的点在直线�=−
1
2 �上，求�的值；
(2)若复数�在复平面内对应的点在第四象限，求�的取值范围.
6.已知复数�= �2 −1 + �2 −�−2 i，�∈R．
(1)若z 是纯虚数，求m 的值；
(2)若z 在复平面内对应的点在直线�−�+ 1 = 0 上，求m 的值；
(3)若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围．
题型四：复数相等及应用
1.已知i为虚数单位，,x y 为实数，若
i
2
3
4i
2 i
x
y
y
，则x
y
（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
2.适合
3i
8
i
(
)
x
x
y
的实数x、y 的值为（
）
A．
0
x 且
3
y
B．
0
x 且=
3
y
C．
5
x 且
3
y
D．
3
x 且
0
y
3.已知,x y R ，i 为虚数单位，且
2
i
1
i
x
y
，则x
y
.
4.已知复数
2
1
2
1
2 i
R ,
sin
2sin
4 i
z
m
m m
z
a
，
0,
，若
1
2
z
z
，求实数a 的取
值范围
.
题型五：复数的模
1．设复数�= 3 −4i，则�的共轭复数的模为（
）
A．7
B．1
C．5
D．25
2.已知复数z 满足
1
i
5i
z
z
，则
1
z
（
）
A．3
B．2
C．
2
D．1
3.已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（
）
A．
2
2z
z
B．若
1
z ，则
1 i
z 的最大值为
2
1
C．若
2
1 2i
z
，则复平面内z 对应的点位于第一象限
D．若1 3i
是关于x 的方程
2
0(
R)
x
px
q
p q
,
的一个根，则
8
q
4.在复平面内，复数z 对应的点Z 的坐标为
2sin120 , 2cos120
，则
2 3
z
（
）
A．2
B．2 3
C．3 3
D．1
3
5.已知
1
3
z
，
2
5
z
，
1
2
6
z
z
，则
1
2
z
z
．
6.（多选）已知复数
1z 对应的向量为
1
OZ
，复数
2z 对应的向量为
2
OZ
，则下列说法正确的是（
）
A．若
1
1
OZ
，则
1
1
z 或i
B．若
1
4
3i
z
，
2
3
4i
z
，则
1
2
1, 1
Z Z
C．若
1
2
1
2
z
z
z
z
，则
1
2
OZ
OZ
D．若
1
2
1
2
OZ
OZ
OZ
OZ
，则
1
2
z
z
7 已知复数�= �2 + �−2 + �−1 i �∈R .
(1)若�为纯虚数，求实数�的值；
(2)若�在复平面内对应的点在直线�=
1
3 �上，求�.
8.已知复数�= �2 + �−6 + �2 + �−2 i(�∈�)在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；
(2)求|�|的最小值及此时实数m 的值.
题型六：复数代数形式的四则运算
1.已知复数�在复平面内对应的点为1, −2 ，则�−2�ത=（
）
A．−1 −6i
B．−1 + 6i
C．1 −6i
D．1 + 6i
2.化简下列复数
（1）6 −5�+ 3 + 2�
（2）5 −6�+ −2 −�−3 + 4�
3.若
1
3 i
2
2
是关于x 的实系数方程
2
1
0
ax
bx
的一个复数根，且
i
z
a
b
，则1
z
z
（
）
A．1
3i
5
5
B．1
3
5
5
i
C．3
1i
5
5
D．3
1 i
5
5
4.已知复数
1
3
4i
z
，
2
2i
z
，i 为虚数单位．
(1)若
1
2
z
z
z
，求z 的共轭复数；
(2)若复数
1
2
az
z
在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．
题型七：共轭复数
1.已知复数z 满足
1
i
2
z
，z 为z 的共轭复数，z
z
等于（
）
A．2i
B．2i
C．1
D．i
2.已知i 为虚数单位，复数
(1
i)(2
3i)
z
，z 为z 的共轭复数，则
i
z
（
）
A．5
B．4
C．
29
D．
37
3.已知i 为虚数单位，若
2i
1
i
z
，则z z
（
）
A．
2
B．2
C．2i
D．2i
题型八：复数的乘方运算
1.若
3
5
7
1 i
i
i
z
，则z （
）
A．1
2i
B．1
2i
C．1 i
D．1 i
2.
2
3
2022
2023
i
2i
3i
2022i
2023i
．
3.复数
15
14
(1 i)
1
i
2
2i
2
的虚部为
.( “i ”是虚数单位)
4.计算：
（1）
6
1
i
2
3i
1 i
3
2i
；
（2）
6
9
3
1
1
3
i
i
2
2
2
2
题型九：复数范围内解方程
1.在复数范围内方程
2
2
2
0
x
x
的根为
1
x ，
2
x ，则
1x （
）
A．
2
2
B．
2
C．2
D．1
2.若复数3
i
为方程
2
1
0
ax
bx
( a ，bR )的一个根，则该方程的另一个复数根是（
）
A．3
i
B．3 i
C．i
3
D．3
i
3.已知关于x 的方程
2
0
x
ax
ab
，其中a，b 为实数．
（1）设
1
3i
x
（i 是虚数单位）是方程的根，求a，b 的值；
（2）证明：当
1
4
b
a
，且
0
a
时，该方程无实数根．
4.已知关于x 的二次方程
2
tan
i
i
2
0
x
x
．
（1）当为何值时，这个方程有一个实根？
（2）是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
题型十：求辅角主值
1．�= 1 −
3i（i 是虚数单位），则z 的辐角主值arg �=（
）
A．
5
3 π
B．
11
6 π
C．−
π
3
D．−
π
6
2．任意复数�= �+ �i（�、�∈�，i 为虚数单位）都可以写成�= �cos�+ isin�的形式，其中�=
�2 + �2 0 ≤�< 2�该形式为复数的三角形式，其中�称为复数的辐角主值.若复数�=
3
2 +
1
2 i，则�的辐
角主值为（
）
A．
�
6
B．
�
3
C．
2�
3
D．
5�
6
3．求下列复数的模与辐角主值：
(1)−1 + i
(2)−
2
(3)
1
2 −
3
2 i
(4)−
2
2 +
2
2 i
4．已知复数z 满足(�+ 1)(�ത+ 1) = |�|2，且
�−1
�+1是纯虚数．
(1)求z；
(2)求z 的辐角主值．
题型十一：复数的代数形式与三角形式的互化
1.复数−
1
2 +
3
2 i 的三角形式是（
）
A．cos60∘+ isin60∘
B．−cos60∘+ isin60∘
C．cos120∘+ isin60∘
D．cos120∘+ isin120∘
2．以下不满足复数
1
2 −
3
2 i 的三角形式的是（
）．
A．cos −
π
3 + isin −
π
3 ；
B．cos
5π
3
+ isin
5π
3 ；
C．cos
π
3 + isin
π
3 ；
D．cos
11π
3
+ isin
11π
3
．
3．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4(cos
�
6 + �sin
�
6 )；
（2）2(cos
�
3 −�sin
�
3 )
4．把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)1 + i；
(3)1 −
3i
(4)−
3
2 +
1
2 i．
题型十二：三角形式下的复数的乘、除运算
1.计算2 cos75° + isin75° ⋅
1
2 −
1
2 i 的值是（
）
A．−
6
2 +
2
2 i
B．
6
2 +
2
2 i
C．
2
2 −
6
2 i
D．
2
2 +
6
2 i
2：4 cos�+ �����÷ 2 cos
�
3 + �sin
�
3 =（
）
A．1 +
3�
B．1 −
3�
C．−1 +
3�
D．−1 −
3�
3．计算：
(1)8 cos
�
6 + isin
�
6 ⋅2 cos
�
12 + isin
�
12 ；
(2)8 cos240° + isin240° ÷ 2 cos150° −isin150° ．
4．计算：
(1)3 cos
π
6 + isin
π
6 × 2 cos
π
6 −isin
π
6
(2)
6 cos
π
3 + isin
π
3
÷
3 cos
π
6 −isin
π
6
(3) −
1
2 +
3
2 i × cos
π
6 −isin
π
6
(4) 1 −i ÷ cos
π
6 + isin
π
6
题型十三：复数的最值问题
1.若复数z 满足
3
i
1
z
(i 为虚数单位），则z 的最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．
3 +1
2.设复数z 满足
3
4i
1
z
，则z 的最大值是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
3.已知三个复数
1
2
3
,
,
z z
z ，并且
1
2
3
1
z
z
z
，
1
2
,
z z 所对应的向量
1
OZ
，
2
OZ
满足
1
2
0
OZ
OZ
，则
1
2
3
z
z
z
的取值范围是
.
4.已知复数z 满足
2i
4
z
，则
3i
z
的取值范围是
．
5.已知
2
z
，则|
3
4i |
z
的最大值是
．
6.设复数
1z ，
2z 满足
1
2
2
z
z
，1
2
3
i
z
z
，复数
2
1
2
1
,
, z
z
z
z
在复平面内所对应的点分别为A，B，C，
则三角形ABC 的面积为（
）
A．3
B．2 3
C．2
D．
3
7.已知复数z 满足
3i
i
z
z
，则
1
2i
z
的最小值为（
）
A．1
B．3
C．
3
D．5
题型十四：复数的综合问题
1.已知复数
2
2
6
2 i
z
m
m
m
m
m
R 在复平面内所对应的点为A.
(1)若复数z 为纯虚数，求实数m 的值；
(2)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围.
2.已知2
i
是关于x 的方程
2
0
,
R
x
mx
n
m n
的一个根，其中i 为虚数单位.
(1)求
2
m
n
的值;
(2)记复数
i
z
m
n
，求复数1+i
z 的模.
3.已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足
2
3
2i
z
z
．
(1)求复数z 的模z ；
(2)若复数
2
i
z
m
在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围．
模块二：综合巩固
1.在复平面内，
1 i
3
i
对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.已知a R ，若
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
1
z
（
）
A．
2
B．5
C．2 2
D．10
3.若
1 2i
3
2i
2
i
z
，则z （
）
A．3
3i
B．3 3i
C．3
3i
D．3
3i
4.在复数范围内，
1
2
,
z z 是方程
3
2
1
0
z
z
z
的两个不同的复数根，则
1
2
z
z
的值为（
）
A．1
B．
2
C．2
D．
2 或2
5.复数
1
2
4i,
3
i
z
a
z
b
，其中,a b 为实数，若
1
2
z
z
为实数，
1
2
z
z
为纯虚数，则a
b
（
）
A．6
B．6
C．7
D．7
6.已知复数z 满足
2
i
2i
z
，则z 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7.已知复数
1z ，
2z 是方程
2
2
2
0
x
x
的两个虚数根，则
1
2
z
z
（
）
A．0
B．
2
C．2
D．4
8.“
4
0
3
m
”是“复数
3
2
1 i
Z
m
m
在复平面内对应的点位于第四象限”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9.欧拉公式
ie
cos
isin
（其中e
2.718
,i
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建
立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉
公式，下列结论中正确的是（）
A．
iπ
e 的实部为1
B．
iπ
e 的共轭复数为1
C．
2i
e 在复平面内对应的点在第一象限
D．
2i
e 的模长为1
10.（多选）已知复数
1z ，
2z ，下列说法正确的是（
）
A．若
1
2
z
z
，则
2
1
z
z
B．若
1
2
1
2
z
z
z
z
，则
1 2
0
z z
C．若
1 2
R
z z
，则
1
2
z
z
D．若
1
2
z
z
z
z
，则z 在复平面内对应的点在一条直线上
11.（多选）已知复数
1z ，
2
C
z
，下列结论正确的有（
）
A．若
1
2
0
z
z
，则
1
2
z
z
B．若
2
2
1
2
z
z
，则
1
2
|
|
|
|
z
z
C．若复数
1z ，
2z 满足
1
2
1
2
z
z
z
z
．则
1
2
0
z
z
D．若
1
2
|
i | |
i | 1
z
z
，则
1
2
|
|
z
z
的最大值为4
12.（多选）复数
1
3i
1
3
i
z
，其共轭复数为z ，则下列叙述正确的是（
）
A．z 对应的点在复平面的第四象限
B．
2
z 是一个纯虚数
C．
2
z z
D．
i
z
z
13.（多选）已知
2
2
i
i
z
，则下列说法正确的是（
）
A．z 在复平面内对应的点的坐标为2
1
,
5
5
B．
2
1 i
5
5
z
C．z 在复平面内对应的点与点2
1
,
5
5
关于原点对称
D．
5
|
|
5
z
14.若
2
i
3i
z
，则z 的共轭复数为
．
15.已知i 是虚数单位，复数5
2i
2
i
．
16.复数
i, ,
z
a
b a b
R ，且
0
b
，若2
4
z
bz
是实数，则有序实数对
,a b 可以是
.
17.已知
2
2
0
x
x
m
m
R 的两共轭虚根为
1
x ，
2
x ，且
1
2
2 3
x
x
，则m
．
18.已知i 为虚数单位，复数
2
2
2
3
12 i
z
a
a
a
a
，
R
a
，若z 为纯虚数，则
a
.
19.已知关于x 的二次方程
2
tan
i
i
2
0
x
x
．
(1)当为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
20.设复数
1
2
1
i
,
3
4i
z
a
a
z
R
．
(1)若
1
2
z
z
是实数，求
1
2
z
z
；
(2)若
1
2
z
z 是纯虚数，求
1z ．
21.已知复数z 满足
2
2i
1 1 i
z
（i 是虚数单位）.
(1)求z ；
(2)若复数
2
2
5
2
z
z
a
az
在复平面内对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围.
22.已知复数
2
2 i
z
m
m
m
R ，z 为z 的共轭复数，且
6
z
z
．
(1)求m 的值；
(2)若
3i
z
是关于x 的实系数一元二次方程
2
0
x
ax
b
的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
23.已知复数
1
1
3i
z
，
2
2
2
z
i
，i 为虚数单位.
(1)求
1
2
z
z
及
1
2
|
|
z
z
；
(2)若
1
2
z
z
z
，求z 的共轭复数.
24.求解下列各题，并写出必要过程：已知复数
2i
1
i,
, 1 i
z
z
m
m
R
是实数.
(1)求复数z 及其z 的模；
(2)若复数
0
4
10
3
3
z
z
是关于x 的方程
2
0
,
x
ax
b
a b
R 的根，求实数a 和b 的值.
7.8 复数大题专项
模块一：题型分类
题型一：复数的四则运算
1.计算：
(1) 1 + 2i + 7 −11i −5 + 6i ；
(2)5i −
6 + 8i −−1 + 3i ；
(3) �+ �i −2�−3�i −3i �，�∈R .
2.已知复数�满足�+ 2i = 5，�= �+ 3 −�i �> 0 .
(1)求�；
(2)若复数�1满足�1 �1 + 2 = �+ 2i，求�1.
3.设�(�) = �−2�，�1 = 3 + 4�，�2 =−2 −�，
求：（1）�(�1 −�2)的值；
（2）�(�1 + �2)的值．
4．已知复数�1 + �1i，�2 + �2i，�3 + �3i �1, �2, �3, �1, �2, �3 ∈R ，分别记作�1，�2，�3，即�1 = �1 + �1i，
�2 = �2 + �2i，�3 = �3 + �3i，求证：
(1)�1�2 = �2�1；
(2) �1�2 �3 = �1 �2�3 ；
(3)�1 �2 + �3 = �1�2 + �1�3．
5．已知复数�1 = cos�+ isin�, �2 = cos�−isin�, �, �均为锐角，且�1 −�2 =
2 5
5 .
(1)求cos �+ �的值；
(2)若cos�=
4
5，求cos�的值.
6．已知复数�1 =−2 + i，�2 =−1 + 2i.
(1)求�1 −�2，�1 + �2
(2)比较|�1 −�2|与|�1 + �2|的大小.
7．计算．
(1)
1+i
1−i
6
+
2+ 3i
3−2i；
(2)
1
2 +
3
2 i
4
．
(3)
1−4i
1+i +2+4i
3+4i
；
(4)
1+i 5
1−i +
1−i 5
1+i ；
(5)
−2 3+i
1+2 3i +
2
1+i
2022
+
4−8i 2−−4+8i 2
11−7i
.
8．设复数�1 = �+ �i，�2 = �+ �i，其中�、�、�、�∈R.现在复数系中定义一个新运算⊗，规定：�1 ⊗�2 =
��+ ��+ ��+ ��i.
(1)已知2 −i ⊗�+ i
=
2，求实数x 的值；
(2)现给出如下有关复数新运算⊗性质的两个命题：
①�1 ⊗�2 = �1 ⊗�2；
②若�1 ⊗�2 = 0，则�1 = 0 或�2 = 0.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
题型二：复数范围内方程的根的问题
1.设虚数�1、�2满足�1
2 = �2.
(1)若�1、�2又是一个实系数一元二次方程的两个根，求�1、�2；
(2)把（1）中虚部大于零的根记作�，对任意整数�，计算��+ ��+1 + ��+2；
(3)若�1 = 1 + �i(i 为虚数单位，�为实数），�1 ≤
2，复数�= �2 + 3，求�的取值范围.
2.关于�的实系数一元二次方程�2 + ��+ �= 0．
(1)若方程有一个根是2 −3i，求�+ �的值；
(2)当�= 3 时，方程的两个虚根�1, �2满足�1 −�2 = 2 2，求�的值．
3.已知虚数�1 = 4cos�+ 3sin�⋅i，�2 = 2 −3sin�⋅i，其中i 为虚数单位，�∈�，�1、�2是实系数一元二
次方程�2 + ��+ �= 0 的两根．
(1)求实数m、n 的值；
(2)若�−�1 + �−�2 = 3 3，求�的取值范围．
4.已知关于x 的方程�2 −2��+ �2 −4�+ 4 = 0(�∈�)在复数范围内的两根分别为�､�.
(1)若该方程没有实根，求实数a 的取值范围；并在复数范围内对�2 −2��+ �2 −4�+ 4 进行因式分解；
(2)若|�| + |�| = 3，求实数a 的值.
5.设�, �∈�，已知�1，�2为关于�的二次方程�2 + 2��+ �= 0 两个不同的虚根，
（1）若�= 2，求实数�的取值范围；
（2）若�1 −�2 = 2，
�1
�2 +
�2
�1 = 1，求实数�，�的值.
6.已知关于�的实系数一元二次方程�2 + ��+ �= 0 �, �∈�．
（1）若一根为1 −2i，求�，�的值；
（2）若存在模为1 的虚数根，求�，�满足的条件；
（3）设�= �= 2，�0是虚数根，记�0，�02，�0 −�02在复平面上对应点分别为�，B，�，求��
→
+ ��
→
⋅��
→
的值．
7.在①�2�2 = 10(�> 0)；②复平面上表示
�1
�2的点在直线�+ 2�= 0 上；③�1(�−i) > 0 这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数�1 = 1 + i，�2 = �+ 3i；（i 为虚数单位），满足.
（1）若�=
1
�1 +
1
�2，求复数�以及|�|；
（2）若�2是实系数一元二次方程�2 + ��+ 4 −3�= 0 的根，求实数�的值
8.已知关于�的实系数一元二次方程2�2 −4 �−1 �+ �2 + 1 = 0
(1)若�= 2，求方程的两个根；
(2)若方程有两虚根�1, �2，�1 + �2 = 4，求�的值；
(3)若方程的两根为�1, �2，其在复平面上所对应的点分别为�, �，点�关于�轴的对称点为�（不同于点�），
如果��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ≤−1，求�的取值范围.
题型三：复数的四则运算与复数特征的综合应用
1.已知z 为复数，�−6 和
i�
3+i均为纯虚数，其中i 是虚数单位．
(1)求复数z 的共轭复数�ത；
(2)若复数
1
2 �ത−
1
�−1 +
2
�−2 i 在复平面内对应的点位于实轴下方，求实数m 的取值范围．
2.复数�= (1 + i)�2 −(8 + i)�+ 15 −6i(�∈R)，求实数m 的取值范围使得：
(1)z 为纯虚数；
(2)z 在复平面上对应的点在第四象限．
3.已知复数�1 = 1 + �2 −10 i，�2 = (2�−5)i(�> 0)，�1 + �2 ∈�．
（1）求实数�的值；
（2）若�∈�，�−�2 = 2，求�的取值范围．
4.已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是�，且满足�+ 2�= 3 −2i．
(1)求复数z 的模�；
(2)若复数�2 −�i 在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围．
5.已知复数�1 = �+ i，�2 = 1 −i，其中�是实数.
(1)若�1
2 =−2i，求实数�的值；
(2)若
�1
�2是纯虚数，求
�1
�2 +
�1
�2
2
+
�1
�2
3
+ ⋯+
�1
�2
2023
.
6.已知复数z 满足
1+i
�−1 =
1−i
2 （i 是虚数单位）
(1)求z 的值；
(2)若复数�−�2 −5�在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.
7.在①复数z 满足�+ i 和
�
2−i均为实数；②�为复数z 的共轭复数，且�1 + i = �+ 1；③复数�= �+ �i �∈
�, �< 0 是关于x 方程�2 −4�+ 5 = 0 的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，
按第一个解答计分），并解答问题：
(1)求复数z；
(2)在复平面内，若�1 = �+
1
�+ �2 + �−3 i 对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.
8.已知i 是虚数单位，a，�∈�，设复数�1 = 2�−
3i，�2 = 2�+ i，�3 = �+ �i，且�3 = 1.
(1)若�1 −�2为纯虚数，求�3；
(2)若复数�1，�2在复平面上对应的点分别为A，B，且O 为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量��Ԧ
ሬሬሬሬ逆时针旋转90°后与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ重合，如果存在，求实数a，b 的值；如果不
存在，请说明理由；
②若O，A，B 三点不共线，记△���的面积为��, �，求��, �及其最大值.
题型四：复数与其他模块综合
1.已知：对于任意的多项式��与任意复数z，��= 0 ⇔�−�整除��．利用上述定理解决下列问题：
(1)在复数范围内分解因式：�2 + �+ 1；
(2)若�2 + �+ 1 = 0，求�21 + �22 + �23的值；
(3)求所有满足�2 + �+ 1 整除�2�+ ��+ 1 的正整数n 构成的集合A．
2.已知复数z 满足|z|= 2，z2 的虚部为﹣2，且z 所对应的点在第二象限．
（1）求复数z；
（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤
�
�+�，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．
3.（1）计算：
3 2−i
1+3 2i +
2
1−i
10
+ −
1
2 i +
3
2
10
；
（2）若复数z 满足
�−1
�
=
1
2，arg
�−1
�
=
�
3，求复数
3
2 (�−2|�| −�) +
3的三角形式.
（3）利用复数证明余弦定理.
4.对一般的实系数一元三次方程��3 + ��2 + ��+ �= 0 �≠0 ，由于总可以通过代换�= �−
�
3�消去其二
次项，就可以变为方程�3 + ��+ �= 0．在一些数学工具书中，我们可以找到方程�3 + ��+ �= 0 的求根
公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16 世纪意大利数学家卡尔丹（J.Cardan）的名字命名的．
卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程�3 + ��+ �= 0 可以变形为�3 =−��+ −�，把未知数x 写成两数
之和�= �+ �，再把等式�3 = �+ �3的右边展开，就得到�3 = �3 + �3 + 3���+ �，即�3 = 3���+
�3 + �3 ．将上式与�3 =−��+ −�相对照，得到
3��=−�
�3 + �3 =−�，把此方程组中的第一个方程两边同时
作三次方，�3�3 = −
�
3
3
�3 + �3 =−�
，并把�3与�3看成未知数，解得
�3 =−
�
2 +
�
2
2
+
�
3
3
�3 =−
�
2 −
�
2
2
+
�
3
3 ，于是，方程�3 + ��+
�= 0 一个根可以写成�=
3
−
�
2 +
�
2
2
+
�
3
3
+
3
−
�
2 −
�
2
2
+
�
3
3
．
阅读以上材料，求解方程�3 −3�2 −12�+ 10 = 0．
5.已知复数�0 = 1 −�i �> 0 , �= �+ �i 和�= �′ + �′i，其中�, �, �′, �′均为实数，i 为虚数单位，且对于
任意复数z，有�= �0 ⋅�ത, |�| = 2|�|．
(1)试求m 的值，并分别写出�′和�′用x、y 表示的关系式；
(2)将(�, �)作为点P 的坐标，�′, �′ 作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它
将平面上的点P 变到这一平面上的点Q，已知点P 经该变换后得到的点Q 的坐标为
3, 2 ，试求点P 的
坐标；
(3)若直线�= ��上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k 的值．
6.对于一组复数�1，�2，�3，…，���∈�, �≥3 ，令��= �1 + �2 + �3 +⋅⋅⋅+ ��，如果存在���∈1,2,3, ⋅⋅⋅, �
，
使得��≥��−��，那么称��是该复数组的“�复数”.
（1）设��= �+ �−�i �∈1,2,3
，若�3是复数组�1，�2，�3的“�复数”，求实数�的取值范围；
（2）已知�1 = i，�2 = 1 + i，是否存在复数�3使得�1，�2，�3均是复数组�1，�2，�3的“�复数”？若存在，
求出所有的�3，若不存在，说明理由；
（3）若��=
5
9
�−1
+ i ⋅−1 ��∈�, �≥1 ，复数组�1，�2，�3，…，��是否存在“�复数”？给出你的结
论并说明理由．
7.利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对
�1, �2 （其中�1, �2 ∈�）视为一个向量，记作�Ԧሬ= �1, �2 ．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量�Ԧሬ=
�1, �2 ，�Ԧሬ= �1
' , �2
' 的数量积定义为一个复数，记作�Ԧሬ⋅�Ԧሬ，满足�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �1�1
' + �2�2
' ，复向量�Ԧሬ的模定义为�Ԧሬ
=
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ．
(1)设�Ԧሬ= 1 −i,i ，�Ԧሬ= 3,4 ，i 为虚数单位，求复向量�Ԧሬ、�Ԧሬ的模；
(2)设�Ԧሬ、�Ԧሬ是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量�Ԧሬ= �1, �1 ，�Ԧሬ= �2, �2 ，（其中�1, �2, �1, �2 ∈�），�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
≤�Ԧሬ
�Ԧሬ成立，证
明：对于复向量�Ԧሬ、�Ԧሬ，�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
≤�Ԧሬ
�Ԧሬ也成立；
②当�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
= �Ԧሬ
�Ԧሬ时，称复向量�Ԧሬ与�Ԧሬ平行．若复向量�Ԧሬ= 1 + i, 1 −2i 与�Ԧሬ= i, �平行（其中i 为虚数单
位，�∈�），求复数�．
8.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对�1, �2
�1, �2 ∈C
看作一个向量，记�Ԧሬ= �1, �2 ，则称�Ԧሬ为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于�Ԧሬ= �1, �2 ，�Ԧሬ= �3, �4 ，
�1、�2、�3、�4、�∈C，我们有如下运算法则：
①�Ԧሬ± �Ԧሬ= �1 ± �3, �2 ± �4 ；
②��Ԧሬ= ��1, ��2 ；
③�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �1�3 + �2�4；
④�Ԧሬ
=
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ.
(1)设�Ԧሬ= (i, 1 + i)，�Ԧሬ= (2,2 −i)，求�Ԧሬ+ �Ԧሬ和�Ԧሬ⋅�Ԧሬ.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
①�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ
②�Ԧሬ⋅(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) = �Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ⋅�Ԧሬ
③(��Ԧሬ) ⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ⋅(��Ԧሬ).
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
(3)若�Ԧሬ= (2i, 1)，集合Ω = �Ԧሬ�Ԧሬ= (�, �), �= 2�+ 1, �, �∈C ，�Ԧሬ∈Ω.对于任意的�Ԧሬ∈Ω，求出满足条件(�Ԧሬ−
�Ԧሬ) ⋅(�Ԧሬ−�Ԧሬ) = 0 的�Ԧሬ，并将此时的�Ԧሬ记为�0Ԧ
ሬሬሬ，证明对任意的�Ԧሬ∈Ω，不等式�Ԧሬ−�Ԧሬ
≥�Ԧሬ−�0Ԧ
ሬሬሬ恒成立.
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
7.9 复数单元测试（一）
一、单选题
1．复数z 满足
(1
)
2
2
z
i
i
（i 是虚数单位），则z 的模|
|z （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．在复平面内，复数
2
(1 2 )i
对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．若复数z 满足
1 2i
3
4i
z
（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（
）
A．z 的实部是11
5
B．z 的虚部是2
5
C．复数z 在复平面内对应的点在第四象限D．
5
z
4．记i 是虚数单位，复数z 满足
3i
4
6i
z z
z
，则z （
）
A．－2 或2
3i
B．2
3i
或2
3i
C．2
3i
或2
D．2
3i
或2
5．设a 为实数，若存在实数t ，使得
2
1
(
1)i
2i
a
t
为实数（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（
）
A．
2
a
B．a<0
C．
1
a
D．2
1
a
6．下列命题一定成立的是（
）
A．若zC，则
2
0
z ³
B．若
2
2
, ,
,
0
x y z
x
y
y
z
C
，则x
y
z
C．若aR ，则(
2)i
a
是纯虚数
D．若
,
,
0
p q
p
C
且
0
q
，则
0
pq
且
0
p
q
7．
,
A B 分别是复数
1
2
,
z z 在复平面内对应的点，O是原点，若
1
2
1
2
z
z
z
z
，则OAB
一定是
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
8．任何一个复数
i( ,
)
z
a
b a b
R 都可以表示成
(cos
isin )(
0,
)
z
r
r
R 的形式，通常称之为复数
的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[ (cos
isin )]
(cos
isin
)(
)
n
n
r
r
n
n
n
Z ，我们称这个结论为棣
莫弗定理．则
2022
(1
3i)
（
）
A．1
B．
2022
2
C．
2022
2
D．i
二、多选题
9．对于复数
i
,
z
a
b a b
R ，下列结论错误的是（
）
A．若
0
a
，则
i
a
b
为纯虚数
B．若
i=3+2i
a
b
，则
3,
2
a
b
C．若
0
b
，则
i
a
b
为实数
D．2i
1
10．复数
1
3i
1
3
i
z
，其共轭复数为z ，则下列叙述正确的是（
）
A．z 对应的点在复平面的第四象限
B．
2
z 是一个纯虚数
C．
2
z z
D．
i
z
z
11．已知复数
1
2
,
z z ，下列结论正确的有（
）
A．
1
2
1
2
z
z
z
z
B．若
1 2
0
z z
，则
1
2
0
z
z
C．
1 2
1
2
z z
z z
D．
1
1
z
z
12．已知复数
1
1 i
z ，复数
2
1
2
i, ,
R,
,
z
x
y x y
z z
所对应的向量分别为
1
2
,
OZ OZ
，其中O 为坐标原点，
则（
）
A．若
1
2
OZ
OZ
∥
，则
0
x
y
B．若
1
2
OZ
OZ
，则
1
2
1
2
z
z
z
z
C．若
1
2
OZ
OZ
，则
1 2
0
z z
D．若
2
2
1
2
0
z
z
，则
1
2
OZ
OZ
三、填空题
13．设
i 1
i 1
z
，则
2
1
z
z
．
14．设i 是虚数单位，复数
i
1
2i
m
z
是实数，则实数m 的值是
.
15．设i 是虚数单位，若复数z 满足
2
z
i
，则z 的最大值为
.
16．复数
1z 、
2z 分别对应复平面内的点
1
M 、
2
M ，且
1
2
1
2
z
z
z
z
，线段
1
2
M M 的中点M 对应的复数
为4
3i
（i 是虚数单位），则
2
2
1
2
z
z
.
四、解答题
17．已知复数
2
2
3
7
2
2
5
2 i
z
m
m
m
m
.
(1)若z 为实数，求m 的值；
(2)若z 为纯虚数，求m 的值.
18．已知复数
2
1 i
3 1 i
2
i
z
．
(1)求z 的共轭复数；
(2)若
1 i
az
b
，求实数a，b 的值．
19．已知复数
1
2
3
4i,
1
2i,i
z
z
为虚数单位.
(1)若复数
1
2
z
az
在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；
(2)若
1
2
i
z z
z
，求复数z 的共轭复数.
20．已知复数1 i
是实系数一元二次方程
2
0
x
bx
c
的一个根，向量
( , ),
(cos ,sin )
m
b c n
x
x
，xR ．
(1)若m
n
∥，求实数x 的值；
(2)已知向量
( ,1)
p
t
，且m
p
，若
( )
f x
n p
，求
( )
f x 的减区间．
21．已知z 为虚数，
1
m
z
z 为实数，且1
2
m
．
(1)求|
|
z 及z 的实部的取值范围．
(2)设
1
1
z
u
z
，那么u 是不是纯虚数？请说明理由．
(3)求
2
m
u 的最小值．
22．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对
1
2
1
2
,
,
z z
z z
C
视为一个向量，记作
1
2
,
z z
ur
．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量
1
2
,
z z
ur
，
1
2
,
z z
ur
的数量积定义为一个复数，记作
，满足
1 1
2
2
z z
z z
ur ur
，复向量
的模定义为
ur
ur ur
．
（1）设
1 i,i
ur
，
3,4
，求复向量
，
的模；
（2）设
、
是两个复向量，证明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立，即：
ur ur
ur ur
；
（3）当
ur ur
ur ur
时，称复向量
与
平行.设
1 i,2
i
ur
、
i, z
z
C
ur
，若复向量
与
平行，
求复数z 的值．
7.10 复数单元测试（二）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1．已知
5i
2
i
z
，则z
z
（
）
A．2i
B．4i
C．1
D．2
2．已知,
R
a b
，
2i
i i
a
b
，若
i
z
a
b
，则z 的虚部是（
）
A．-2
B．1
C．-2i
D．2i
3．若
2023
3
4i
1 i
z
，则z （
）
A．1
7 i
2
2
B．7
2
i
1
2
C．7
1 i
2
2
D．1
7 i
2
2
4．在复平面内，复数
1
3 i
2
2
z
对应的向量为OA
，复数
1
z 对应的向量为OB
，那么向量AB
对应的复
数是（）
5．在复平面内，复数z 和
2
i i
表示的点关于虚轴对称，则复数z＝（
）
A．1
2i
B．1
2i
C．1
2i
D．1 2i
6．已知a R ，若
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
1
z
（
）
A．
2
B．5
C．2 2
D．10
7．“
4
0
3
m
”是“复数
3
2
1 i
Z
m
m
在复平面内对应的点位于第四象限”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知
1 i
i 1
2i
b
a
，其中,
R
a b
，i 为虚数单位，则以,a b为根的一个一元二次方程是（
）
A．
2
1
0
x - =
B．
2
2
x
x
C．
2
0
x
x
D．
2
0
x
x
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目
9．在复平面内，下列说法正确的是（
）
A．
2i
1
B．
2
( i)
1
C．若a
b
，则
i
i
a
b
D．若复数z 满足
2
0
z
，则z 是纯虚数
10．已知复数
1z ，
2z 满足
1
2
3
i
z
z
，
1
2
5
3i
z
z
，则，（
）
A．
1
4
i
z
B．
2z 在复平面内对应的点位于第三象限
C．
1
2
2z
z
为纯虚数
D．
1 2
z z 的共轭复数为2
9i
11．已知复数z1，z2，则下列有关复数运算正确的是（
）
A．
1
2
1
2
|
| |
|
|
|
z
z
z
z
B．
1
2
1
2
|
| |
|
|
|
z
z
z
z
C．
1
2
1
2
|
| |
| |
|
z
z
z
z
D．
1
1
2
2
|
|
|
|
|
|
z
z
z
z
12．已知方程
2
2 1
2
0
,
x
i x
a
b i
ab
a b
R
，则下列说法正确的是（
）
A．若方程有一根为0，则
0
a
且
0
b
B．方程可能有两个实数根
C．
1
2
ab
时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根
0x ，则
0
0
x
或
0
2
x
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．已知x、y R ，若(
2)
i
1
i
x
y
，则x
y
．
14．设复数z 满足
6
3
16i
z
z
，则z
.
15．已知a 为实数，若复数
2
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
2023
i
1
i
a
的值为
.
16．如果
,p q 都是实数，关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
有一个根2
3i
，则p
q
四．解答题：本小题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算下列各题:
（1）
1
3
3
1
i
i
1 i
2
2
2
2
；
（2）3
2i
3
2i
2
3i
2
3i
.
18．已知复数：
2
2
3
2
1
6
5
1 i
z
m
m
m
m
，
R
m
.
（1）若复数z 在复平面上对应的点在虚轴上，求m 的值.
（2）若复数z 在复平面上对应的点z 在第一象限，求m 的范围.
19．已知复数
1
2i
z
．
（1）求|
|
z ；
（2）若
1
3
4i
z
z
，求
1z ；
（3）若
2
|
|
5
z
，且
2
zz 是纯虚数，求
2z ．
20．设复数
1
3
i
z
，
（1）写出
1z 的三角形式；
（2）复数
2z 满足
2
2
z
，且
2
1
2
z
z
在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，
2
arg
0,π
z
，求
2z 的代数形
式．
21．设复数
1
2
i
z
在复平面内对应的向量为AB
，复数
2
1
i
z
在复平面内对应的向量为BE
，复数
3
2
i
z 在复平面内对应的向量为EC
，且A，E，C 三点共线.
（1）求实数的值；
（2）求BC
的坐标；
（3）已知点
3,5
D
，若A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标.
22．已知复数
2
2 i
z
m
m
m
R ，z 为z 的共轭复数，且
6
z
z
．
（1）求m 的值；
（2）若
3i
z
是关于x 的实系数一元二次方程
2
0
x
ax
b
的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
