专题4：外接球模型汇总
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：墙角模型......................................................................2
考点二：对棱相等模型................................................................2
考点三：汉堡模型......................................................................2
考点四：垂面模型......................................................................3
考点五：切瓜模型......................................................................4
考点六：斗笠模型......................................................................4
考点七：鳄鱼模型......................................................................4
考点八：矩形模型......................................................................5
考点九：折叠模型......................................................................5
模块二：题型分类.........................................................................6
题型一：墙角模型......................................................................6
题型二：对棱相等模型................................................................ 7
题型三：汉堡模型......................................................................7
题型四：垂面模型.................................................... 错误！未定义书签。
题型五：切瓜模型......................................................................8
题型六：斗笠模型......................................................................9
题型七：鳄鱼模型.................................................................... 10
题型八：矩形模型.................................................................... 10
题型九：折叠模型.................................................................... 11
模块三：综合巩固....................................................................... 11
专题4：外接球模型汇总
模块一：基础知识
考点一：墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外
接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，
则2R＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c2
4
．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
考点二：对棱相等模型
适用范围：对棱相等相等的三棱锥
对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（
CD
AB
，
BC
AD
，
BD
AC
）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为
c
b
a
,
,
，
x
BC
AD
，
y
CD
AB
，
z
BD
AC
，列方程组，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
a
c
y
c
b
x
b
a
2
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
c
b
a
R
，
补充：
abc
abc
abc
V
BCD
A
3
1
4
6
1
第三步：根据墙角模型，
2
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
c
b
a
R
，
8
2
2
2
2
z
y
x
R
，
8
2
2
2
z
y
x
R
，求出R .
考点三：汉堡模型
【方法总结】
汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面
的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或
代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由
对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O1 与△A1B1C1 的外心O2 连线的中点，算出小圆O1 的半径AO1
＝r，OO1＝2
h ，
2
2
2
4
h
R
r
．
考点四：垂面模型
适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。
推导过程：
第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，
作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .
第二步：
1
O 为ABC 的外心，所以
1
OO 平面ABC ，
算出小圆
1
O 的半径
1
O D
r
(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理sin
a
A
1
1
2
,
sin
sin
2
b
c
r
OO
PA
B
C
.
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
（1）
2
2
2
(2 )
(2 )
2
R
PA
r
R
2
2
(2 )
PA
r
；
（2）
2
2
2
2
2
1
1
R
r
OO
R
r
OO
.
公式：
2
2
2
4
h
R
r
垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD
的外心O1 与△AB2D2 的外心O2 连线的中点，算出小圆O1 的半径AO1＝r，OO1＝2
h ，
2
2
2
4
h
R
r
．
考点五：切瓜模型
切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平
面BCD，如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角
形，类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在
平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心O1
作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD 的高为h，外接球的半径为R，
球心为O．△BCD 的外心为O1，O1 到BD 的距离为d，O 与O1 的距离为m，则
R2＝r2＋m2，
R2＝d2＋h－m 2，
解得
R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－l2
4(其中r1、r2 为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)
考点六：斗笠模型
适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥
推导过程：取底面的外心
10 ，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h ，在h 上取一点作为球心0，根
据勾股定理
2
2
2
2
2
( -
)
2
r
h
R
h R
r
R
h
公式：
2
2
2
r
h
R
h
考点七：鳄鱼模型
适用范围：所有二面角构成的棱锥，普通三棱锥
方法：找两面外接圆圆心到交线的距离
,
m n ，找二面角，找面面交线长度l
推导过程：取二面角两平面的外心分别为
1
O ,
2
O 并过两外心作这两个面的垂线，
两垂线相交于球心O ，取二面角两平面的交线中点为E ，
则
1
2
,
, ,
O O E O 四点共圆，由正弦定理得：
1
2
2
sin
OO
OE
r
①
在
1
2
OO E
中，由余弦定理得：
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
OO
OE
O E
OE O E
②
由勾股定理得：
2
2
2
1
1
OD
OO
O D
③
由①②③整理得：
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
sin
2
cos
sin
2
cos
sin
OD
O O
O D
OE
O E
O D
O O
O E
O D
O E
O E
O E O E
O E
O D
O E
O E
O E O E
O E
O B
记
1
2
,
,
,
O E
m O E
n AB
l
则
2
2
2
2
2
2
cos
sin
2
m
n
mn
l
R
公式：
2
2
2
2
2
2
cos
sin
2
m
n
mn
l
R
考点八：矩形模型
适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径
推导过程：图中两个直角三角形PAB
和QAB
，其中
90
APB
AQB
，求外接圆半径
取斜边AB 的中点O ，连接
,
OP OQ ，则
1
2
OP
AB
OA
OB
OQ
所以O 点即为球心，然后在POQ
中解出半径R
公式：
2
2
2
l
R
（l 为斜边长度）
考点九：折叠模型
适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.
推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，
设折叠的二面角
,
A EC
CE
A E
h
.
如图，作左图的二面角剖面图如右图：
1
H 和
2
H 分别为
,
BCD
A BD
外心，
分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心O
1
1
1
,
,
(
) tan
2sin
2
BD
CH
r
EH
h
r OH
h
r
BCD
由勾股定理可得：
2
2
2
2
2
2
2
1
1
(
) tan
2
R
OC
OH
CH
r
h
r
.
公式：
2
2
2
2
(
) tan
2
R
r
h
r
模块二：题型分类
题型一：墙角模型
1.已知三棱锥A－BCD 的四个顶点A，B，C，D 都在球O 的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝
3，BC＝2，CD＝5，则球O 的表面积为(
)
A．12π
B．7π
C．9π
D．8π
2.若三棱锥
ABC
S
的三条侧棱两两垂直，且
2
SA
，
4
SC
SB
，则该三棱锥的外接球半径为(
)．
A．3
B．6
C．36
D．9
3.三棱锥A-BCD 中，AD 平面BCD，DC
BD
，2
2
AD
BD
DC
，则该三棱锥的外接球表面积为（
）
A．3π
2
B．9π
2
C．9π
D．36π
4.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑A
BCD
中，满足AB
平面BCD，且
5
AB
BD
，
3
BC ，
4
CD
，则此鳖臑外接球的表面积为（
）
A．25π
B．50π
C．100π
D．200π
5.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底
面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P
ABCD
是阳马，PA
ABCD
平面
，
5
PA
，
3
AB ，
4
BC
．则该阳马的外接球的表面积为（
）
A．125 2π
3
B．50π
C．100π
D．500π
3
题型二：对棱相等模型
1.正四面体的各条棱长都为
2 ，则该正面体外接球的体积为________．
2.在三棱锥A－BCD 中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥
BCD
A
外接球的表面积为
________．
3.已知三棱锥S
ABC
的四个顶点都在球O的球面上，且
2
SA
BC
，
7
SB
AC
，
5
SC
AB
，
则球O的体积是（
）
A．8 π
3
B．32 2 π
3
C．4 2 π
3
D．8 2 π
3
4.在△ABC 中，
3
2
cos
4
AB
AC
A
，
，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得
2
AD
，如图所示，
则三棱锥D
ABC
外接球的体积为_____________．
5.如图，在ABC
中，
2 5,
2 10,
2 13
AB
BC
AC
，D，E，F 分别为三边中点，将
,
,
BDE
ADF
CEF
分别沿
,
,
DE EF DF 向上折起，使A，B，C 重合为点P，则三棱锥P
DEF
的外接球表面积为（
）
A．7
2
B．7 14
3
C．14
D．56
题型三：汉堡模型
1.已知直三棱柱ABC－A1B1C1 的6 个顶点都在球O 的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则
球O 的半径为(
)．
A．3 17
2
B．2 10
C．13
2
D．3 10
2.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(
)．
A．
2
a
B．
2
7
3
a
C．
2
11
3
a
D．
2
3
7
a
3.直三棱柱ABC－A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面
积等于(
)．
A．10π
B．20π
C．30π
D．40π
4.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积
等于(
)
A．4π
B．16π
3
C．32π
3
D．16π
题型四：垂面模型
1.已知在三棱锥S－ABC 中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2 3，SA＝1．则该三棱锥的外
接球的体积为(
)
A．13
8
13π
B．13π
C．13
6 π
D．13 13
6
π
2.三棱锥P－ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC 的外
接球的表面积为(
)
A．23π
B．23
4 π
C．64π
D．64
3 π
3.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，
6
PA
，
3
BC ，
π
6
CAB
，则三棱锥
P
ABC 的外接球半
径为（
）
A．3
B．2 3
C．3 2
D．6
4.已知A，B，C，D 在球O 的表面上，
ABC
为等边三角形且边长为3，AD 平面ABC，
2
AD
，则球O
的表面积为（
）
A．4
B．8π
C．16π
D．32π
5.在三棱锥
P
ABC 中，
2,
3,
AP
AB
PA
面ABC ，且在ABC
中，
60
C
，则该三棱锥外接球的表
面积为（
）
A．20
3
B．8
C．10
D．12
题型五：切瓜模型
1.已知在三棱锥P－ABC 中，VP-ABC＝4 3
3 ，∠APC＝π
4，∠BPC＝π
3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平
面PBC，那么三棱锥P－ABC 外接球的体积为________．
2.如图，已知平面四边形ABCD 满足AB＝AD＝2，∠A＝60˚，∠C＝90˚，将△ABD 沿对角线BD 翻折，使
平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD 外接球的体积为________．
3.在三棱锥A
BCD
中，已知
,
2,
6
AC
BC AC
BC
AD
BD
，且平面ABD 平面ABC，则三棱锥
A
BCD
的外接球表面积为（
）
A．8π
B．9π
C．10π
D．12π
4.三棱锥A
BCD
的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD 平面BCD，
6
AB
AD
，AB
AD
，
2
60
BDC
DBC
，则球O 的体积为（
）
A．4 3
B．32
3
C．49
3
D．32 3
5.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
BC
，
1
4
AB
BC
AA
，点P 为
1
1
B C 的中点，则四面体PABC 的外接
球的体积为（
）
A．. 41 41 π
6
B．41 41 π
3
C．41 41 π
2
D．41 41π
题型六：斗笠模型
1.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60，若该圆锥的侧面积为3 3，则该圆锥外接球的表面积为
________．
2.已知A，B，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O1 为△ABC 的外接圆．若⊙O1 的面积为4π，AB＝BC＝AC
＝OO1，则球O 的表面积为(
)
A．64π
B．48π
C．36π
D．32π
3.正四面体S
ABC
内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（
）
A．
6
4
B．
3
3
C．2 6
3
D．
3
4.已知正四棱锥P
ABCD
（底面四边形ABCD是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心）的各顶点
都在同一球面上，底面正方形的边长为10 ，若该正四棱锥的体积为50
3 ，则此球的体积为（
）
A．18π
B．8 6π
C．36π
D．32 3π
5.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1 的球，则该四
棱锥的表面积最小值是（
）
A．16
B．8
C．32
D．24
题型七：鳄鱼模型
1.在三棱锥A
BCD
中，ABD
和CBD
均为边长为2 的等边三角形，且二面角A
BD
C
的平面角为60，
则三棱锥的外接球的表面积为________．
2.在等腰直角
ABC
中，
2
AB
，
90
BAC
，AD 为斜边BC 的高，将
ABC
沿AD 折叠，使二面角
B
AD
C
为60，则三棱锥A
BCD
的外接球的表面积为________．
3.已知在三棱锥S
ABC
中，AB
BC
，
2
AB
BC
，
2 2
SA
SC
，二面角B
AC
S
的大小为2
3
，
则三棱锥S
ABC
的外接球的表面积为（
）
A．124
9
B．105
4
C．105
9
D．104
9
4.如图，在三棱锥
P
ABC ，
PAC
△
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且
2 2
CB
，
6
AB
AC
，
二面角P
AC
B
的大小为120，则三棱锥
P
ABC 的外接球表面积为（
）
A．5 10
3
B．10
C．9
D．
4
2 3
5.在三棱锥A
BCD
中，
,
,
2
2
4
AB
BC BC
CD CD
AB
BC
，二面角A
BC
D
为60，则三棱锥
A
BCD
外接球的表面积为（
）
A．16π
B．24π
C．18π
D．20π
题型八：矩形模型
1.已知三棱锥A-BCD 中，
2 2
CD
，
2
BC
AC
BD
AD
，则此几何体外接球的表面积为（
）
A．
2
3
B．2
C．8 2
3
D．8
2.在矩形ABCD中，
6,
8
AB
BC
，现将ABC
沿对角线AC 翻折，得到四面体DABC ，则该四面体外接
球的体积为（
）
A．196
3
B．1000
3
C．400
3
D．500
3
3.矩形ABCD中，
4,
3
AB
BC
，沿AC 将三角形ABC 折起，得到的四面体A
BCD
的体积的最大时，
则此四面体外接球的表面积值为（
）
A．25π
B．30π
C．36π
D．100π
4.在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，将△ABC 沿对角线AC 折起，则三棱锥B-ACD 的外接球的表面积为（
）
A．36π
B．64π
C．100π
D．与二面角B-AC-D 的大小有关
题型九：折叠模型
1.已知等边ABC
的边长为2，将其沿边AB 旋转到如图所示的位置，且二面角C
AB
C
为60，则三棱
锥C
ABC
外接球的半径为
2.已知菱形ABCD的边长为3，
60
ABC
，沿对角线AC 折成一个四面体，使平面ACD 垂直平面ABC ，
则经过这个四面体所有顶点的球的体积为（
）．
A．5 15 π
2
B．6π
C．5 15π
D．12π
3.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而
“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点
,
,
,
A B C D
满足
4 3
3
AB
BC
CD
DA
DB
cm ，
2 3
AC
cm ，则该“鞠”的表面积为_______
2
cm .
4.在三棱锥S
ABC
中，
2,
1
SA
SB
AC
BC
SC
，二面角S
AB
C
的大小为60，则三棱锥S
ABC
的外接球的表面积为____________.
5.已知在三棱锥中，S
ABC
中，BA
BC
，
2
BA
BC
，
2 2
SA
SC
，二面角B
AC
S
的大小为5π
6 ，
则三棱锥S
ABC
的外接球的表面积为（
）
A．56π
3
B．58π
3
C．105π
4
D．124π
9
模块三：综合巩固
1.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A
BCD
中，AB 平面BCD，
CD
AD
，
2
AB
BD
，已知动点E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B 的最短距离为10 ，
则该棱锥的外接球的体积为______.
2.已知四棱锥P
ABCD
的外接球O 的表面积为64π ，PA 平面ABCD，且底面ABCD 为矩形，
4
PA
，设点
M 在球O 的表面上运动，则四棱锥M
ABCD
体积的最大值为______.
3.在三棱锥
P
ABC 中，已知
2 13,
41,
61
PA
BC
AC
BP
CP
AB
，则三棱锥
P
ABC 外接球
的表面积为（
）
A．77π
B．64π
C．108π
D．72π
4.已知四面体ABCD 的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边
三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．
5.若一个圆柱的表面积为12，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为(
)
A．(12 5
12)
B．12 3
C．(12 3
3)
D．16
6.已知A，B，C，D 在球O 的表面上，ABC
为等边三角形且其面积为3 3
4
，AD 平面ABC，AD＝2，则球
O 的表面积为（
）
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
7.在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，
2
BC
，PC 与平面PAB 所成的角为
o
30 ，
则该四棱锥外接球的体积为（
）
A．4 3 π
3
B．4 3π
C．8 2 π
3
D．8 3 π
3
8.四棱锥P
ABCD
的顶点都在球O的表面上，PAD
是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD 平
面ABCD，若
2
AB
，
3
BC ，则球O的表面积为（
）
A．12
B．16
C．20
D．32
9.在四棱锥P
ABCD
中，平面PAD 平面ABCD，且ABCD为矩形，
π
2
DPA
，
2 3
AD
，
2
AB
，
PA
PD
，则四棱锥P
ABCD
的外接球的体积为（
）
A．16 π
3
B．32 π
3
C．64
3 π
D．16π
10.在四棱锥P
ABCD
中，ABCD 是边长为2 的正方形，
10
AP
PD
，平面PAD 平面ABCD，则四棱
锥P
ABCD
外接球的表面积为（
）
A．4π
B．8π
C．136π
9
D．68π
3
11.在三棱锥
P
ABC 中，侧棱
10
PA
PB
PC
，
4
BAC
，
2 2
BC
，则此三棱锥外接球的表面
积为_______．
12.如图1，四边形ABCD中，
2
AB
AD
，
2
CB
CD
，AB
AD
，将
ABD
△
沿BD翻折至
PBD
△
，
使二面角P
BD
C
的正切值等于
2 ，如图2，四面体PBCD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表
面积为（
）
A．4π
B．6π
C．8π
D．9π
13.在平面四边形ABCD中，
3
AD
CD
，
90
ADC
ACB
，
60
ABC
，现将
ADC
△
沿着AC 折
起，得到三棱锥D
ABC
，若二面角D
AC
B
的平面角为135°，则三棱锥D
ABC
的外接球表面积为
__________.
14.在三棱锥
P
ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，
2
AB
AC
，△PAC 为正三角形，且二面角P
AC
B
的平面角为π
6 ，则三棱锥
P
ABC 的外接球表面积为________．
