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专题突破卷 18 外接球和内切球
1.长方体及柱体的外接球
1．长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为 ，那么这个球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．在直三棱柱 中， ， ， ，则此三棱柱外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
3．一个正方体的体对角线长为 ，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为_____.4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为64，则这个球的表面积是_____.
5．已知直三棱柱 中， ，则该三棱柱外接球的体积为_____.
2.补形法解决墙角模型
6．在三棱锥 中， ， ， ，则该三棱锥的外接球表面积是
（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有
一“阳马”（如图所示），其中 底面 ， ， ， ，则该“阳马”的外接球的表
面积为_____．
8．如图，已知在三棱锥 中， ， ，且 ，求该三
棱锥外接球的表面积是_____．
9．球面上有 四个点，若 两两垂直， ，则该球的表面积为_____．
10．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥 的外接球的
表面积为_____.
3.线面垂直模型
11．则三棱锥 中， 平面 ，则三棱锥 的外接球半径为
（ ）A．3 B． C． D．6
12．已知三棱锥 的各顶点都在同一球面上，且 平面ABC，若该棱锥的体积为 ， ，
， ，则此球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
13．已知在三棱锥 中， 平面SBC， ， ， ，则该三棱锥外接
球体积为（ ）
A． B． C． D．
14．已知在三棱锥 中， 平面 ，且 ，则三棱锥
外接球的体积为_____.
15．已知在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则该三棱锥外接
球体积为_____.
4.侧棱相等模型
16．已知正三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，棱锥的底面是边长为 的正三角形，侧棱长
为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．设高为 的正三棱锥 的侧棱与底面所成角为60°，且该三棱锥的每个顶点都在球 的球面
上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
18．已知正三棱锥 内接于半径为2的球 ，且扇形 的面积为 ，则正三棱锥 的体
积为_____．
19．已知正三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，侧棱 ，且 ，则球 的体积为_____.
20．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，
粽子的形状和味道也不同，某地流行的“四角粽子”，其形状可以看成所有棱长都相等的正三棱锥，现在
需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当蛋黄体积最大时，三棱锥的高与蛋黄半径
的比值是_____
21．（多选）正四棱锥 的底面边长为 ， 外接球的表面积为 ， 则正四棱锥
的高可能是 （ ）
A． B． C． D．
5.台体的外接球
22．如图，已知四棱台 的上下底面均为正方形，
，则下述正确的是（ ）
A．该四棱台的高为 B．
C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为
23．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为 ，则正四棱台外接球的半径为_____.
24．在正四棱台 中，上、下底面边长分别为 、 ，该正四棱台的外接球的球心在
棱台外，且外接球的表面积为 ，则该正四棱台的高为_____．
25．正四棱楼台的上、下底面的面积分别为 ， ，若该正四棱台的体积为 ，则其外接球的表
面积为_____ ．26．现有一个高为2的三棱锥 被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台
．已知 ， ， ，则该棱台的外接球体积为_____．
27．在正四棱台 中，底面 是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线
与直线 的交点为P，则四棱锥 的外接球的体积为_____.
6.面面垂直模型
28．在四棱锥 中，侧面 底面 ，侧面 是正三角形，底面 是边长为 的正
方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
29．在菱形 中， ， ，将 绕对角线 所在直线旋转至 ，使得 ，
则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
30．已知四棱锥 的体积是 ，底面 是正方形， 是等边三角形，平面 平面
，则四棱锥 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
31．如图，边长为 的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直， ，N为AF的中点，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
32．已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面 平面BCD， ， 为等边三角形，
且 ，则球O的表面积为_____.
33．如图，已知矩形 中， ，现沿 折起，使得平面 平面 ，连接 ，得
到三棱锥 ，则其外接球的体积为_____．
7.折叠模型
34．两个边长为2的正三角形 与 ，沿公共边 折叠成 的二面角，若点 在同一
球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
35．在菱形 中， ， ，将 沿 折起到 的位置，若二面角 的
大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为_____.
36．已知四边形 为菱形，且 ，现将 沿 折起至 （点P在平面BCD上的
投影在面BCD内），并使得 与平面 所成角的余弦值为 ，此时三棱锥 外接球的体积为
，则该三棱锥的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
37．等边 的边长为2，点 为 的中点，将 沿 折起到 ，使得 ，若该三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_____．
38．在菱形 中， 与 交点为 ，将 沿 折起到 的位置，使
，则三棱锥 的外接球的表面积为_____．
39．如图，平面四边形 ，将 沿 折起到 的位
置，此时二面角 的大小为 ，连接 ，则三棱锥 外接球的表面积为_____;三棱锥
的体积为_____.
8.外接球的最值问题
40．球O内接三棱锥 ， 平面 ， .若 ，球O表面积为 .则三棱锥
体积最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
41．已知四棱锥 的外接球 的体积为 ， 平面 ，且底面 为矩形， ，
则四棱锥 体积的最大值为_____.
42．已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 平面 ，若球 的体积
为 ，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
43．在三棱锥 中， 为等边三角形， ，则三棱锥
外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．44．在三棱锥 中， 和 都是等边三角形， ，平面 平面 ，M是棱
AC上一点，且 ，则过M的平面截三棱锥 外接球所得截面面积的最大值与最小值之和
为（ ）
A．24π B．25π C．26π D．27π
45．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，底面 是边长为 的正三角形，若三棱锥
体积的最大值为 ，则球 的表面积为_____．
9.内切球
46．已知圆锥的底面半径为1，高为 ，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
47．已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与
球 及正四面体的三个侧面都相切，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
48．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为 ，它的内
切球的体积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
49．已知四面体ABCD满足 ， ， ，且该四面体ABCD的外接球的球半径为 ，四面体的内切球的球半径为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
50．已知三棱柱 中， ， ，平面 垂直平面 ， ，若该三棱柱存
在体积为 的内切球，则三棱锥 体积为（ ）
A． B．4 C．2 D．
51．如图， ， 分别是正方形 的边 ， 的中点，把 ， ， 折起构成一个
三棱锥 （ ， ， 重合于 点），则三棱锥 的外接球与内切球的面积之比是_____.
1．在三棱锥 中， ， 平面ABC， ， ，则三棱锥 外接球
体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．在正三棱台 中，侧棱长均为 ，侧棱 与底面所成的角60°， ，则该三棱
台的外接球的体积＝_____.3．在正三棱柱 中， ，点D在棱BC上运动，若 的最小值为 ，则三棱柱
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．正三棱锥 底面边长为 为 的中点，且 ，则正三棱锥 外接球的体积为
_____.
5．正多面体又称柏拉图多面体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成，正多
面体共有五种，它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，连接棱长为2的
正方体的六个面的中心，即可得到一个正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为_____.
6．（多选）半正多面体亦称“阿基米德体多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正
多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其
棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．该半正多面体的表面积为
B．该半正多面体的体积为
C．该半正多面体外接球的的表面积为
D．若点 分别在线段 上，则 的最小值为
7．四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ， ，若 ，
，则三棱锥 的外接球表面积为_____.8．已知正四棱台 中， ， ，点 到平面 的距离为 ，将
四棱台 放入球O内，则球O表面积的最小值为_____．
9．分子式 是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作为燃料广泛应用于民用和工业中. 近年来
科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加. 深入研究甲烷，趋利避害，成为科
学家面临的新课题. 如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点 ，
碳原子位于正四面体的中心 ，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同 、
键角相等 . 请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值为_____.
10．在平面四边形 中， 是正三角形，现将 点沿 折起到 点，连接 ，
则三棱锥 体积的最大值为_____；若 ，当二面角 的余弦值为 时，三棱锥
的外接球表面积为_____.
11．如图，在二面角 的棱上有两个点，线段 与 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 ，当 时，则四面体 外接球的半径为_____.
12．如图，已知球O的面上四点A，B，C，P，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1， ， ，
则球O的表面积等于_____．
13．等腰三角形 中， ，将它沿中线AD翻折，使点B与点C间的距离为 ，此
时四面体ABCD的外接球的表面积为_____.
