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7.5 外接球（精练）（提升版）
题组一 汉堡模型
1．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，已知底面ABCD为矩形， 底面ABCD，
， ， ，则四棱锥 的外接球O的表面积是（ ）
A．80π B．160π C．60π D．40π
【答案】D
【解析】由题意底面矩形的外接圆半径 ，则原四棱锥外接球半径 ，
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中，若 ，则该直
三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点 ，
直三棱柱 的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线 的中点，连接AO，
,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r= ，则
，该直三棱柱外接球的表面积为 ,故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱 所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图， 为棱 的中点， 为正△ 的中心， 为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知 ∥ ， ，外接球半径 ，
∵正△ 的边长为6，则
∴
外接球的表面积
故选：C．4．（2022·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图
所示，现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且 ，三棱锥外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径 .
所以三棱锥外接球表面积 .
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 中，底面BCD是边长为 的正三角形， 底面
BCD，且 ，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意知：底面BCD是正三角形， 底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心
，易得球心即为 中点 ，连接 ，易得 ， ，
设外接球半径为 ，则 ，则 .
故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知S，A，B，C是球O表面上的点， 平面ABC，AB⊥BC，
， ，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 、 、 、 是球 表面上的点，
所以
又 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以 ，
所以可得 为 的中点， ， ，
所以 ，
所以球 的半径径为 ，所以球 表面积为 ．
故选：A．
y=lnx
7．（2022·河北衡水·高三阶段练习）在三棱锥 中， ， ， ，
，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .又 ， ，所以 平面SAC.在 中，
y=lnx， ，所以 .又 ，则 外接圆的半径为 ，
取BC，AC的中点D，E， 的外心为F，过D作平面ABC的垂线l，过F作平面SAC的垂线交l于点
O，即为球心，连接DE，EF，FA，OA，则四边形DEFO为矩形，则 ， ，所以
，即三棱锥 外接球的半径为 ，所以三棱锥 外接球的体积
为 .
故选：D
题组二 墙角模型
1．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑
堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵 中，， ， ，则在堑堵 中截掉阳马 后的几何体的外接球的体积
与阳马 的体积比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题知：剩余的几何体为三棱锥 ， 平面 ， ．
将三棱锥 放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：
外接球半径 ，所以外接球体积 ，
阳马 — 的体积为 ． ．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点．若四棱锥 的体积为 ，则三棱锥 外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】由题意知：四边形 的面积 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，解得： ，
又 为 中点， 平面 ， ；
， 两两互相垂直，
三棱锥 的外接球半径 ，
三棱锥 的外接球表面积 .
故答案为： .
3（2022·四川雅安·三模（文））在三棱锥 中， ， ，则三棱
锥 外接球的表面积是___________.
【答案】
【解析】因为 ， ，则 ， ，
同理可证 ， ，所以， 、 、 两两垂直，
将三棱锥 补成正方体 ，如下图所示：正方体 的体对角线即为三棱锥 的外接球直径，
设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，所以， ，
因此，三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为： .
4．（2022·河北保定·二模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑
P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且 ，则鳖臑P-ABC外接球的体积是___________.
【答案】
【解析】由题意可得三角形ABC外接圆的半径 ，
因为PA⊥平面ABC，
所以鳖臑P-ABC外接球的半径 ，
故鳖臑P-ABC外接球的体积是 .
故答案为：
题组三 斗笠模型
1．（2022·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球
的体积之比为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为 ，则展开后扇形的弧长为 ，
再设圆锥的底面圆半径为 ，可得 ，即 ，
圆锥的高为 ，
设圆锥外接球的半径为 ，则 ，解得 ．
圆锥的体积为 ，
圆锥外接球的体积 ，
∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为 ．故选：C．
2．（2022广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为
，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设底面半径为 ，圆锥母线为 ，所以 ，所以 ，
如图， 是圆锥轴截面，外接圆 是球的大圆， 是圆锥底面的圆心，
设球半径为 ，则 ， ，所以 ，
如图1， ，即 ，
解得 ，不符合题意，
当为如图2时，即 ，
解得 ，所以球表面积为 ．
故选：A．
3．（2022·宁夏银川市）已知一个圆锥的底面圆面积为 ，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等
于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，母线长为 ，圆锥的外接球半径为 ，
则 ，可得 ，由于圆锥的侧面展开图是半圆，则 ，可得 ， ，
由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，
所以， ，解得 ,
因此，该圆锥的外接球的表面积为 .
故选：B.
4．（2022·河南）一圆台的两底面半径分别为 ，高为 ，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设该圆台的外接球的球心为 ，半径为 ，
则 或 ，解得 ，
所以该圆台的外接球的表面积为 .
故选：C.
5．（2022·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，面积为
，则球 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥母线为 ，底面半径为 ，
则 ，解得 ，如图， 是圆锥轴截面，外接圆 是球的大圆，设球半径为 ，
， ，
， ，
所以球表面积为 ．
故选：A．
6．（2022·天津南开区）已知一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，其体积大小等于某球的表面积大小，则
此球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【】解析设球的半径为 ，圆锥的体积为 ，
由于球的体积大小等于某球的表面积大小，则 ， ，
因此，该球的体积为 .故选：D.题组四 L模型
1．（2022·安徽·巢湖市第一中学）已知三棱锥 中，平面 平面 ，且 ，
，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A．64π B．128π C．40π D．80π
【答案】D
【解析】由题意得， 平面 ，将三棱锥补成三棱柱 ，如图，
则三棱柱 的外接球即为所求.
设外接球的球心为 ，则 的外心为 ，则 ，
又 ，则外接球的半径 ，
表面积 ，故选：D
2．（2022·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习（理））已知三棱锥 中， ，
，平面 平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：因为 ，所以 为 的外接圆圆心，
又因为 ， 为 的中点，所以 .
因为平面 平面 ，所以 平面 ，
所以三棱锥 的外接球球心在直线 上.
在 上取一点 ，使得 ，即 为三棱锥 的外接球球心，
设 ， ，所以 ，
.
在 中， ，
所以 ，解得 ，
所以三棱锥的外接球的表面积为 .
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】【解析】
如图所示：设点D为AB的中点，O为 外接圆的圆心，∵ ，∴O在CD上，且
，
，∴ ，∵平面 平面ABC，平面 平面 ，
平面ABC，∴ 平面PAB，
又AB， 平面PAB，∴ ， ，在 中， ，D为AB的中点，∴
，
∴ ，∴O即为三棱锥 外接球的球心，且外接球半径 ，
∴该三棱锥外接球的表面积 .
故答案为： .
4．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））在三棱锥 中， ，
平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，
则 外接圆圆心 在DE上，且 ，解得 ，设三棱锥 外接球球心为O，
连接 ， ，过 作 ，垂足为 ，
由平面 平面 ，得 ，故四边形 为矩形，
因为 ，
所以 ，
且 ，
所以 ，设三棱锥 外接球半径为R，
有 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 .
故选：D.
5．（2022·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥 中、平面 平面 ， ，且，则三棱维 的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， 为直角三角形，故 在三棱维 的外接球的一个切面圆上， 为该圆
直径；
又平面 平面 ，故外接球的球心 在 所在的平面内，又 ，故
为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上 ， 点到线段 的距离为 ，
设外接球的半径为 ，则 ，
解得 ，则外接球的表面积为 .
故选：C.
6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知四棱锥 中，平面 平面
ABCD，其中 为正方形， 是边长为2的等边三角形，则四棱锥 外接球的表面积为
（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 交 于 ，球心 在底面的射影必为点 ，取 的中点 ，在截面 中，连接 ，
如图，在等边 中， 的中点为 ，
所以 ，又平面 平面 ， 是交线，
所以 平面 ，且 ，
设 ，外接球半径为 ，
则在正方形 中， ， ，
在 中， ，
而在截面 中， ，
由 可得：
解得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
题组五 怀表模型
1．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形， ， ，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为 ，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.
【答案】
【解析】如图，取 的中点为 ，连接AM,DM,则 ,
则二面角 的平面角为 ， ，
由四边形ABDC是菱形， 可知 为正三角形，
设球心 在平面 内的射影为 ，在平面 内的射影为 ，
则 为 的中心，
所以 ， ， ，
由于二面角A-BD-C的余弦值为 ，
故设 ，则 ， ，
故 ，则 ，
，球 的半径 ，所求外接球的体积为 ，
故答案为： ．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，二面
角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图1，过 作 垂足为 ，取 的中点 ，连接
过 作 ∥ ,且 = ，连接 ，则
∵△ 为等边三角形，则
∴ ， ，根据题意可得
∵ ，则
由题意可得 ，则 ，则
如图2，∵ ，则顶点 在平面 的投影为△ 的外接圆圆心 ，则三棱锥 的
外接球的球心 在直线 上，连接
，则∴△ 的外接圆半径 ，则
设棱锥 的外接球的半径为 ，则
即 ，解得
三棱锥 的外接球的表面积为
故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）两个边长为2的正三角形 与 ，沿公共边 折叠成 的二面
角，若点 在同一球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，设正三角形 与 的中心分别为 ，根据外接球的性质有 平面 ，
平面 ，又二面角 的大小为 ，故 ，又正三角形 与 的边长
均为2，故 ，故 .易得 ，故 ，故 ，又 ，故球 的半径 ，故球 的表面积为
故选：B
4．（2022·全国·模拟预测）已知四边形 为菱形，且 ，现将 沿 折起至 ，
并使得 与平面 所成角的余弦值为 ，此时三棱锥 外接球的体积为 ，则该三棱锥的
表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在菱形 中， ，设 ，则 和 均为边长为 的正三角形．
将 折起后， ，取 的中点 ，连接 、 ，如图．因为 ，则 ， ，
又因为 ， 平面 ，
过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，连接 ，
平面 ，则 ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ， ，
所以，直线 与平面 所成角为 ，
在 中， ，所以 ， ．
在 中， ， ，所以 ，则 ，
因此点 为正 的中心，所以三棱锥 是棱长为 的正四面体．
将正四面体 补成正方体 ，则正方体 的棱长为 ，
所以，三棱锥 外接球半径为 ，
三棱锥 外接球的体积为 ，解得 ，
因此，正四面体 的表面积为 .
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形 中， ，将其沿对角线 折成四面体 ，
使得二面角 的大小为 ，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在菱形 中， ，则 为等边三角形，
设线段 的中点为 ，连接 、 ，则 ，
因为 ，则 ，同理可知 ，
所以，二面角 的平面角为 ，即 ，
因为 ，则 为等边三角形，所以， ，
延长 至点 ，使得 为 的中点，连接 、 ，
易知 ， ，则 为等边三角形，可得 ，同理 ，
所以， 为 的外心，
延长 至点 ，使得 为 的中点，同理可知点 为 的外心，
过点 在平面 内作 ，过点 在平面 内作 ，设 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
平面 ， ，
， ， 平面 ，同理可证 平面 ，
所以， 为三棱锥 的外接球球心，如下图所示：因为 ， ， ，所以， ，
所以， ，则 ，
因为 ，由勾股定理可得 ，
因此，三棱锥 的外接球半径为 ，
因此，三棱锥 的表面积为 .
故选：A.
6（2021·安徽高三月考（文））已知三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上，平面 平面
， ， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
取 的中点 ，连接 ，则 .
因为 为直角三角形，所以其外接圆圆心为 的中点 ，
设四面体 的外接球球心为 ，则 平面 ，易知点 ，点 位于平面 同侧，又因为 平面 ，所以 ，连接 ， ，
故四边形 为直角梯形，过 作 于点 ，则四边形 为矩形，连接 ，
设四面体 的外接球的半径为 ， .
在 中， ， ，
所以 ， .
在 中， ，
所以 ，①
在 中， ，
在直角梯形 中， ， ， .
在 中， ，即 .②
解①②组成的方程组，得 ，
所以 ，解得 (负值舍去).
所以四面体 的外接球的表面积 .
故选：C
题组六 矩形模型
1．（2022·安徽合肥市）在三棱锥 中， ， ， .
若三棱锥 的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 和 为以 为斜边的直角三角形，则 的中点
到各个顶点的距离都相等，则 为外接球的球心.即 为直径.
过 做 平面 ，垂足为 ，连结 ， ，
则 ，解得： .
， ， ， ，则
分别为 在平面 内的射影，所以有 ，
又 ， 为公共边，所以 ，则 ，所以 在 的角平分
线上， ，
， ， ，所以有 平面 ， 平面 ，则有 ，
因为 ， ，所以 ，则 ，
则
故外接球的表面积为 .故选：D.
2．（2022·甘肃酒泉市）已知三棱锥 ，当三棱锥
的体积最大时，则外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】
如图，在 中，
由 ，可得： ，
所以 为直角三角形，
由 ，若要三棱锥 的体积最大，
则 平面 时三棱锥 的体积最大，
由 为直角三角形，所以 外接圆直径为 ，所以外接球直径 ， ，
所以外接球的表面积 ，
故答案为：
3．（2021·江西南昌市）四面体 中， ， ， ，
则该四面体的外接球表面积为__________．
【答案】
【解析】由题意 ， ， ，则 ，
所以 ， ，同理 ，
取 中点 ，则 到 四点的距离相等， 即为 外接球的球心，
所以球半径为 ，球表面积为 ．故答案为： ．
4．（2023·全国·高三专题练习）在矩形 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点，沿
将四边形 折起，使 ，若折起后点 ， ， ， ， ， 都在球 的表面上，则球
的表面积为
【答案】
【解析】因为矩形 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点，
所以四边形 和四边形 是正方形，
又沿 将四边形 折起，使 ，
所以几何体 是正三棱柱， ，设球 的球心 在底面 的射影为 ，因此 ，
显然 是等边三角形 的中心，
，
在直角三角形 中， ，
所以球 的表面积为 ，
题组七 内切球
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为 ，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,
则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，因为 ,故 ,则 ，
设该四棱锥的内切球的半径为r，
则 ，
即 ，解得 ，
故内切球的体积为 ,
故选：B
2．（2022·湖北·模拟预测）已知 中， ， ， ，以 为轴旋转一周得到一个旋转
体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】旋转体的轴截面如图所示，其中 为内切球的球心，
过 作 的垂线，垂足分别为 ，则 （ 为内切球的半径），
故 ， ，
故 ，故 ，故 ，
故旋转体的内切球的表面积为 ，故选：B3．（2022·河南）六氟化硫是一种无机化合物，化学式为 ，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，
密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正
八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为 ，则该正八面体的内切球的体积为
______．
【答案】
【解析】设该正八面体的棱长为a，则 ，解得a＝4．
故内切球圆心O到各顶点的距离为 ．
故在正三棱锥O－ABC中， ，
故 ．
由正八面体的结构特征可得 的长为内切球半径.
所以该正八面体的内切球体积为 ．
故答案为： .
4．（2022·安徽）连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正
方体内切球的表面积之比为__________.【答案】
【解析】不妨设正方体边长为2，则正方体内切球半径 ，
正八面体边长为 ，它的内切球球心为正方体中心 ，记正八面体内切球半径为 ，
将正八面体分为8个以 为顶点的三棱锥，
故 ，
解得 ，
所以该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为 .
故答案为：
5．（2022·河南）正四棱锥 的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．
【答案】【解析】设底面的中心为 ，连接 ，则 ，
设四棱锥的内切球的半径为 ，连接 ，得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为 ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴该四棱锥的内切球的表面积为 .
故答案为： .
6．（2021·山东高三）已知正三棱锥 的底面边长为 侧棱长为 ，其内切球与两侧面
分别切于点 ，则 的长度为___________.
【答案】
【解析】如图，设正三棱锥内切球的半径为 ， 为内切球与侧面 的切点， 为侧面上切点所在小圆的圆心，半径
为 ，
为等边三角形，
, , ,
,
,
, 即
,
，解得 ，
,由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故 ,
由余弦定理可得 ，
所以
故答案为：
