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专题 8.5 球的外接和内切
题型一 长（正）方体的外接球
题型二 线面垂直模型
题型三 对棱相等模型
题型四 共斜边模型
题型五 球心在外心正上方模型
题型六 面面垂直模型
题型七 折叠模型
题型八 外接球的最值问题
题型九 内切球
题型一 长（正）方体的外接球
例1．（2023·河南·校联考模拟预测）棱长为2的正方体 的外接球的球心为
O，则四棱锥 的体积为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】求出 到平面 的距离，利用体积公式进行求解.
【详解】正方体 的外接球的球心为O，由对称性可知O为正方体的中心，
O到平面 的距离为1，即四棱锥 的高为1，而底面积为 ，
所以四棱锥O-ABCD的体积为 ．
故选：B
例2．（2023·江苏·高一专题练习）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方
体的表面积为18，则这个球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.
【详解】设正方体的边长为 ，则 ，
正方体的对角线长为 ，所以球的直径 ，半径 ，
所以球的体积为 .
故选：A
练习1．（2023·全国·高一专题练习）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
，这个长方体外接球的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出长方体共顶点的三边的长度，然后利用外接球半径的计算公式求出
半径，进而求出外接球的表面积.
【详解】设长方体共一顶点的三边长分别为 ，不妨令 ，
由题意可得 ，解得 ，
则长方体的体对角线长度为 ，可得外接球半径 ，
所以外接球的面积为 .
故选：A.
练习2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体 的底面是边长为2
的正方形，若 ，则该长方体的外接球的表面积为___________
【答案】24π
【分析】由余弦定理可求出长方体的高，再由外接球直径为长方体对角线得解.
【详解】设长方体的高为c，外接球的半径为 ，
如图，则 ， ， ，
由余弦定理知， ，
解得 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
练习3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体 的底面是边长为
的正方形，若 ，则该长方体的外接球的表面积为__________.
【答案】
【分析】如图连接 ，即可得到 ，利用锐角三角函数求出 ，即可求出
即外接球的直径，再根据球的表面积公式计算可得.
【详解】如图连接 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即外接球的半径 ，
所以外接球的表面积 .故答案为：
练习4．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）已知长方体
中， ， ，若 与平面 所成的角的余弦值为 ，则该长方体外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线与平面所成角的定义得 ，即 ，设
，求出 ，根据该长方体外接球的直径是 ，可求出 ，再根据球
的表面积公式可求出结果.
【详解】连 ，因为 平面 ，所以 是 与平面 所成的角，
所以 ，所以 ，
设 ，则 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ， ，
因为该长方体外接球的直径是 ，所以半径 ，
所以该外接球的表面积为 .
故选：B练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九
章算术注》中，称一个正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱所组成的公共部分为“牟合方
盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比
应为 ，若“牟合方盖”的体积为 ，则正方体的体积为______，正方体的外接球的表
面积为______.
【答案】 8 12π
【分析】根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的
直径为其棱长，外接球的直径为其对角线，即可求解.
【详解】因为“牟合方盖”的体积为 ，
又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ，
所以正方体的内切球的体积 ，
所以内切球的半径 ，所以正方体的棱长为 ，则正方体的体积 ，
所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即 ，
所以 ，所以正方体的外接球的表面积为 ．
故答案为： ； .
题型二 线面垂直模型
例3．（2023·湖南·校联考模拟预测）在直三棱柱 中，已知 ，
， ，则该三棱柱外接球的表面积为_______________．
【答案】
【分析】根据直三棱柱的特征及其棱长可知，构造长方体即可求得外接球半径 ，即可
求的结果.【详解】如下图所示：
由直三棱柱 可知， 平面 ，
又 ，所以 两两垂直，
设直三棱柱 外接球的半径为R，
通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以 为边长的长方体外接球相同；
即可得 ，解得 ，
所以所求外接球的表面积 ．
故答案为：
例4．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，已知二面角 的棱是
， ， ，若 ， ， ，且 ， ，则
二面角 的大小为______，此时，四面体 的外接球的表面积为______．
【答案】 / /
【分析】把二面角 转化为 与 的夹角，由 ，利用向量的
运算，求得 ，求得二面角 的大小为 ，把三棱锥 补成一
个直三棱柱 ，利用正弦定理求得 外接圆的半径为 ，结合球的截
面圆的性质，求得 ，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】空1：由题意知 且 ，
根据二面角的平面角的定义，可得向量 与 的夹角就是二而角 的平面角，
又由 ，且 ， 和 ，
所以 ，即 ，化简得 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以二面角 的大小为 ．
空2：如图所示，把三棱锥 补成一个直三棱柱 ，
可得三棱锥 的外接球即为直三棱柱 的外接球，
设外接球的半径为 ，底面 的外接圆的半径为
在 中，由 ，
可得 ，
由正弦定理得 ，可得 ，
又由球的截面圆的性质，可得 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为： ； .
练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）在矩形 中， 平面
，则 与平面 所成的角是_____．四棱锥 的外接球的表面
积为____．
【答案】 /
【分析】先求得 与平面 所成的角，进而求得其大小；先求得四棱锥 的
外接球半径，进而求得其表面积.
【详解】四棱锥 中， 平面 ，
则 是 与平面 所成的角，
又矩形 中， ，则 ，又 ， ，则 ， ，
又 ，则 ，
则 与平面 所成的角是 ；
四棱锥 可以补形为长方体 ，
则四棱锥 的外接球的直径为 ，
又 ，则四棱锥 的外接球的半径为1，
则四棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为： ；
练习7．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）在三棱锥 中，
平面 ， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理求出 外接圆的半径 ，设三棱锥
外接球的半径为 ，再根据 结合球的表面积公式即可得解.
【详解】在 中， ，
则 ，
所以 ，
设 外接圆的半径为 ，则 ，所以 ，
设 外接圆的圆心为 ，三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ，由 平面 ，得 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 .
故选：A.
练习8．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形 中， ，现
将 沿 折起，使异面直线 与 所成角为 ，且 为锐角，则折后三棱
锥 外接球的表面积为_________．
【答案】 /
【分析】根据折叠前后的几何性质，将三棱锥 补成三棱柱，利用三棱柱的外接球
即可求得答案.
【详解】由于 ，故 和 均是腰长为2的等腰直角三
角形，将其补充如图（1）所示的长方形，折后得到图（2）所示的直三棱柱，
又由异面直线 与 所成角为 ，可知 或 ，又 为锐角，故可
知 ，则图（2）所示的直三棱柱上下底面均是边长为2的等边三角形，且该三
棱柱的外接球即为三棱锥 的外接球．
设 外接圆的半径为 ，则 ，所以 ，又三棱锥的高为2．
所以三棱柱外接球的半径 ，所以所求外接球的表面积为 ．故答案为： .
练习9．（2023春·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 ，点 为 上靠近 的三等分点，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理可得三角形 的外接圆半径为 ，根据勾股定理即可求解外接球
半径，进而可求表面积.
【详解】由题意可得
所以在三角形 中，由等面积法可得
,
设三角形 的外接圆半径为 ，圆心为 ,则由正弦定理得
，
由于 平面 ,设三棱锥 外接球的半径为 ,球心到平面 的距离为 ，
过 作 ,则 ， 因此 ,
故外接球的表面积为 ,
故选：A
练习10．（2023春·安徽·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知三棱锥
的体积为6，且 .则该三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】【分析】先利用题给条件求得 三者间的位置关系，求得该三棱锥外接球的半径，
进而求得该三棱锥外接球的表面积
【详解】由题意得 ，
设点A到平面 的距离为h，则
，又 ，
则 两两垂直，取BC中点M，连接PM并延长至D，
使 ，连接 ，
则四棱锥 中， 底面 ，且 为矩形，
故四棱锥 可以补形为以 为底面的长方体，
且 为该长方体的体对角线， 中点即为外接球球心O，
又 ，
则该三棱锥外接球的表面积为
故答案为：
题型三 对棱相等模型
例5．（2022春·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）已知三棱锥 中，
， ，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为
______.
【答案】 .
【分析】根据已知，将三棱锥拓展为以 为顶点的长方体，三棱锥的各棱为长方体
面的对角线，求出长方体外接球的半径，即可求解.
【详解】三棱锥 中， ，
，
将三棱锥拓展为以 为顶点的长方体，
如下图所示，长方体的上下底面的对角线长 ，即边长为 的正方形，侧面的对角线长为 ，
侧棱长 ，所以长方体的对角线长为 ，
外接球的直径为长方体的对角线长 ，该球的体积为
故答案为: .
【点睛】本题考查几何体与球的“接”“切”问题，合理应用条件巧妙转化为熟悉几何体
与球的“接”“切”关系，减少计算量，属于中档题.
例6．（2022春·山西朔州·高二朔州市朔城区第一中学校校考期末）已知 四点在
半径为 的球面上，且 ， ， ，则三棱锥
的体积是__________．
【答案】
【分析】根据题意构造长方体，然后求解长方体长宽高，再求体积即可.
【详解】设长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC，如图所示，设长方体的长、宽、
高分别为a，b，c，则有 解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积为
4×3×5-4× × ×4×3×5=20.
故答案为20练习11．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥 中，对棱 ，
， ，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为
________.
【答案】 /
【分析】将三棱锥 补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱
锥 的外接球半径，计算出 的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱
锥内切球的半径，利用球体的体积和表面积公式可求得结果.
【详解】因为三棱锥 每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥 放入长方体中，
设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，如下图所示：
则 ， ， ，解得 ， ，
外接球直径 ，其半径为 ，
三棱锥 的体积 ，
在 中， ， ，取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
则 ，且 ，所以， ，
因为三棱锥 的每个面的三边分别为 、 、 ，
所以，三棱锥 的表面积为 ，
设三棱锥 的内切球半径为 ，则 ，可得 ，
所以该三棱锥的外接球体积为 ，内切球表面积为 .故答案为： ； .
练习12．（2023·全国·高三专题练习）在四面体 中，
，则四面体 外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公
式即可求解.
【详解】由题意可知，此四面体 可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、
高分别为 ， ， ，四面体 如图所示，
所以此四面体 的外接球的直径为长方体的体对角线，即
,解得 .
所以四面体 外接球表面积是 .
故答案为：B.
练习13．（2023·全国·高三专题练习）四面体 中， ，
，则此四面体外接球的表面积为 _____．
【答案】
【分析】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，则长方体
的外接球即为四面体 的外接球，利用数据计算长方体的体对角线即为外接球的直
径，可得球的表面积．
【详解】将四面体 放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，
如图：
则长方体的外接球即为四面体 的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径 ，
设长方体的长宽高分别为 ，
则有 ， ， ，
所以 ，
所以外接球的表面积为 ，
故答案为：
练习14．（2022秋·天津和平·高三天津二十中校考期中）已知 、 、 、 四点在半径
为 的球面上，且 ， ， ，则三棱锥 的体
积是______．
【答案】
【分析】构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥 ，计算出长方体的长宽高，即
可求得三棱锥 的体积．
【详解】由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥 ，如图所示，
其中长方体的外接球的半径为 ，即长方体的体对角线为 ，
设长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，
则 ，解得 ， ， ，
三棱锥 的体积是
故答案为： ．
练习15．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥 中，
，若 均在半径为2的球面上，则 的最
大值为_________．【答案】
【分析】将三棱锥 补为长方体，设出长方体棱长，利用球的直径即可表示出
，结合参数方程即可求解.
【详解】由 ，
均在半径为2的球面上，
可将三棱锥 放置于长方体中，如图，
设棱长分别为 ，则 ，
故长方体对角线平方为 ，
可设 ， ，
，
故 的最大值为 ．
故答案为：
题型四 共斜边模型
例7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、
踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是
指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物
质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面
上有四个点 ， 平面 ，则该鞠（球）的表
面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】取 的中点为 ，连接 ，可证 为外接球的球心，故可求半径，从而可
得球的表面积.
【详解】
取 的中点为 ，连接 ，
因为 平面 ，而 平面 ，故 ，
故 .
同理 ，而 ， 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
故 ，
综上， 为三棱锥 外接球的球心，
而 ，故外接球的半径为3，
故球的表面积为 ，
故选：C
例8．（2022·贵州贵阳·高一阶段练习）已知三棱锥 ，在底面 中，
， 面 ， ，则此三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：底面三角形内，根据正弦定理，可得 , ,满
足勾股定理， , 底面 ,所以 ,那么 平面 ,所以
,那么直角三角形 有公共斜边 ,所以三棱锥的外接球的球心就是
的中点 , 是其外接球的直径， ,所以外接球的表面积 ,故
选D.考点：球与几何体
练习16．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知 为球 的
表面的四个点， 平面 ， ，则球 的表面积等于
__________.
【答案】
【分析】先说明 是直角三角形， 是直角三角形，球的直径就是 ，求出 ，
即可求出球的表面积
【详解】解：如图所示
因为
所以 的外接圆的直径为
由 平面 ，得
所以 和 时直角三角形，
所以 为外接球的直径， ，
所以球的半径 ，
故球的表面积为 .故答案为：
【点睛】本题考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出 是球的直径，是
本题的突破口.
练习17．（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥 中， 平面 ， ，
．过点 分别作 ， 交 于点 ，记三棱锥
的外接球表面积为 ，三棱锥 的外接球表面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取 的中点 ， 的中点 ，连 ， ， ， ，证明 是三棱锥
的外接球的球心， 为该球的直径； 是三棱锥 的外接球的球心，
为该球的直径，设 ，求出 ，根据球的表面积公式可求出结果.
【详解】取 的中点 ， 的中点 ，连 ， ， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ， ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在直角三角形 中， 是斜边 的中点，所以 ，
在直角三角形 中， 是斜边 的中点，所以 ，
所以 是三棱锥 的外接球的球心， 为该球的直径.
因为 ， 是斜边 的中点，所以 ，
因为 ， 是斜边 的中点，所以 ，
所以 是三棱锥 的外接球的球心， 为该球的直径.
设 ，则 ，
则 ， ，所以 .
故选：B.
练习18．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，边长为3的正方形 所在平面与矩
形 所在的平面垂直， ． 为 的中点， ，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线面垂直可得 ， ，结合直角三角形分析可得 为外接
球直径，结合球的表面积公式运算求解.
【详解】由题意可知， ，可得 ，
所以 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，可得 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以 为外接球直径，设其半径为R，在 中， ，即 ，故外接球表面积为 ．
故选：A．
练习19．（2022·全国·高三校联考专题练习）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结
了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥
称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑
的组合体，已知 平面 ，四边形 为正方形， ， ，若鳖臑
的外接球的体积为 ，则阳马 的外接球的表面积等于
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件画出图形，在三棱锥 （鳖臑）中, ，四棱锥
中 ，设 ，求出外接球的高和半径，然后求解球的表面积.
【详解】由题意，在三棱锥 （鳖臑）中， ， 平面 ，所以其外
接球的直径 ．设 ，则 ，所
以其外接球的体积 ，解得 ．设四棱锥
（阳马）的外接球半径为 ，则 ，所以
该球的表面积 ．故选C．
【点睛】本题考查几何体的外接球，几何体的表面积的求法，直线与平面的垂直关系的应
用，考查空间想象能力以及计算能力．
练习20．（2021·天津蓟州·天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）已知三棱锥 的各顶点都在同一球面上，且 平面 ，若该棱锥的体积为 ， ， ，
，则此球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件确定三棱锥 的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积
公式求外接球的表面积.
【详解】由已知 ， ， ，可得三棱锥的底面是直角三角形，
，由 平面 可得 就是三棱锥外接球的直径，
， ，即 ，则
，故三棱锥外接球的半径为 ，所以三棱锥外接球的表面积为
．
故选：D.
题型五 球心在外心正上方模型
例9．（2023·全国·校联考二模）在正四棱台 中，上､下底面边长分别为
，该正四棱台的外接球的表面积为 ，则该正四棱台的高为__________.
【答案】1或7
【分析】求出外接球半径，找到球心的位置，分球心 在线段 上和在 的延长线上两
种情况，求出高.
【详解】设正四棱台的外接球的半径为 ，则 ，解得 ，
连接 相交于点 ，连接 相交于点 ，连接 ，
则球心 在直线 上，连接 ，
如图1，当球心 在线段 上时，
则 ，
因为上､下底面边长分别为 ，
所以 ，由勾股定理得 ， ，
此时该正四棱台的高为 ，
如图2，当球心 在 的延长线上时，
同理可得 ， ，
此时该正四棱台的高为 .
故答案为：1或7
例10．（2023春·高一课时练习）正四面体 内接于半径为 的球，求正四面体的棱
长.
【答案】
【分析】 点在平面 的投影为 的中心 ，设正四面体的棱长为 ，确定
， ，根据勾股定理解得答案.
【详解】正四面体 ，则 点在平面 的投影为 的中心 ，
则内接球的球心在 上，设为 ，设正四面体的棱长为 ，
， ，
则 ，整理得到 .练习21．（2022春·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）底面是正多边形，顶点
在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该
四棱锥的体积为 ，则该四棱锥的外接球的体积为_________．
【答案】
【分析】由题意可得正方形 的中心即为球心，设球半径为 ，结合题中条件求出半
径即可得出结果.
【详解】由题可知正方形 的中心即为球心，
设球半径为 ，则 ，
，
解得 ，
该四棱锥的外接球的体积为 ．
故答案为： .
练习22．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）埃及金字塔是地球上的古文明之一，
随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人
设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为 的正四棱锥，那
么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________ ．（注：球壳厚度不计）.
【答案】
【分析】由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，
构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小
值.
【详解】由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球.
如图所示，在正四棱锥 中， ， ，
为其外接球的球心，连接 与 相交点于 ，连接 ，
为顶点 在底面 上的投影，即为正方形 的中心，设球的半径为 ，表面积为 ，
则在正方形 中， ，
在 中， ，
则 ，
在 中， ， ， ，
因为 ，所以 ，
化简得 ，则 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为： .
练习23．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）（多选）正三棱锥 的底面边长为
3，高为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥 的表面积为
C．三棱锥 的外接球的表面积为
D．三棱锥 的内切球的表面积为
【答案】ABD
【分析】求得 的位置关系判断选项A；求得三棱锥 的表面积判断选项B；
求得三棱锥 的外接球的表面积判断选项C；求得三棱锥 的内切球的表面
积判断选项D.
【详解】如图，取棱 的中点 ，连接
则正三棱锥 中， .
因为 平面 ，且 ，
所以 平面 ，则 ，故A正确；
作 平面 ，垂足为 ，则 .
由正三棱锥的性质可知 在 上，且 .
因为 ，所以 ，则 .
因为 ，所以 ，
则三棱锥 的表面积 ，故B正确；
设三棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ，则 在 上，
连接 ，则 ，
即 ，解得 ，
则三棱锥 的外接球的表面积为 ，故C错误.
设三棱锥 的内切球的半径为 ，
则 ，
解得 ，从而三棱锥 的内切球的表面积
为 ，故D正确.
故选：ABD
练习24．（2023·海南海口·统考模拟预测）在正三棱锥 中， ，则
该三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】【分析】画出正三棱锥 ，设出球心，由勾股定理建立等量关系求得外接球半径，
由球的表面积公式求解即可.
【详解】如图：在正三棱锥 ， .
在等边三角形 中， 为 中点， ，
所以 ，在直角三角形 中，
，设三棱锥外接球半径为 ，
在直角三角形 中， ， .
由勾股定理得： ，解得： ，
所以该三棱锥外接球的表面积为： .
故答案为： .
练习25．（2023·全国·校联考模拟预测）在正三棱锥P-ABC中，D，E分别为侧棱PB，PC
的中点，若 ，且 ，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题意，利用三角形相似得到 ，取线段PE的中点F，连接DF，
AF，利用余弦定理和勾股定理求出外接球半径，代入外接球的表面积公式即可求解.
【详解】如图，因为P-ABC为正三棱锥，所以 ， ．
取线段PE的中点F，连接DF，AF，因为D为PB的中点，所以 ， ．
因为AD⊥BE，所以 ．在 中， ，
由勾股定理，得 ．设 ，PA=x，在 中，由余弦定理的推论，得 ①．
同理，在 中，由余弦定理的推论，得 ②．
联立①②，解得 ， ．
在 中，由余弦定理，得
，所以
．取 的中心 ，连接 ， ，则 平面ABC，
三棱锥P-ABC的外接球球心O在 上，连接OA，设外接球半径为R．
在 中，OA=R， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以所求外接球的表面积为 ．
故选：C．
题型六 面面垂直模型
例11．（2023春·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）三棱锥 中， ，平面 平面 ， ．若三棱锥 的外接球体积的取值范围是
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据面面垂直的性质定理可得 平面 ，根据外接球的性质可得，结合外
接球体积的取值范围可得 ，进而结合外接球半径的取值范围，运算求解即可求解.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
因为 ，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
且 ，则 为Rt 的外接圆的圆心，
所以 的外接球的球心 在直线 上，连接 ，
设 ， 的外接球的半径为 ，则 ，解得
，
则 ，
因为 ，即 ，
解得 ，
可得 ，即 ，
注意到 ，则 ，所以 的取值范围是 .
故选：D.例12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面
平面BCD， ， 为等边三角形，且 ，则球O的表面积为
_______.
【答案】 /
【分析】取 的中点为 ，连接 ，根据条件可得 平面BCD，球心在 上，然
后在 中根据勾股定理建立方程可求出球的半径.
【详解】
取 的中点为 ，连接 ，因为 为等边三角形，所以 ，
因为平面 平面BCD，平面 平面BCD ， 平面 ，
所以 平面BCD，
因为 ，所以 的外心为 ，球心在 上，
设球的半径为 ，因为 ， ，
所以在 中， ，即 ，解得 ，
所以球的表面积为 ，
故答案为：
练习26．（2023·山东烟台·统考二模）（多选）三棱锥 中，底面 、侧面
均是边长为2的等边三角形，面 面 ，P为 的中点，则（ ）．
A．
B． 与 所成角的余弦值为
C．点P到 的距离为
D．三棱锥 外接球的表面积为【答案】ACD
【分析】根据三角形 和三角形 为等边三角形得到 ， ，然后根
据线面垂直的判定定理得到 平面 ，然后根据线面垂直的定义即可得到 ，
即可判断A选项；利用空间向量的方法求异面直线所成角即可判断B选项；利用等腰直角
三角形的性质求距离即可判断C选项；根据外接球的性质得到外接球球心的位置，然后利
用勾股定理求半径和外接球表面积即可判断D选项.
【详解】
连接 ， ，因为三角形 和三角形 为等边三角形， 为 中点，所以
， ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，故A正确；
因为面 面 ，面 面 ， ， 平面 ，所以 平
面 ，
以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， ， ，
， ， ， ，
设 与 所成角为 ，所以 ，故B错；
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为三角形 和三角形 的边长为2，所以 ，
在等腰直角三角形 中， ，所以点 到 的距离为 ，故C
正确；
分别取三角形 和三角形 的外心 ， ，再分别过 ， 作平面 ，平面
的垂线交于点 ，所以 为三棱锥 的外接球球心，
， ，所以 ，三棱锥的外接球的表面积为 ，故D正确.
故选：ACD.
练习27．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）在四棱锥 中，侧面 底面 ，
侧面 是正三角形，底面 是边长为 的正方形，则该四棱锥外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用面面垂直的性质证得 面 ， 面 ，再结合正弦定理求得三
角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积.
【详解】如图所示，
连接AC、BD交于一点 ，取AD中点E，连接 、 ，
所以由题意知， ， ， 为正方形ABCD外接圆的圆心，
又因为面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 面 ，
同理： 面 ，
设等边△SDA的外接圆的圆心为 ，过 作 的平行线交过 作 的平行线于点O，
则 面 ， 面 ，
所以O为四棱锥 外接球的球心，半径为 ，
方法1：等边△SDA的外接圆半径
方法2：在等边△SDA中由正弦定理得 ，解得： ，
又因为 ，
所以 ，所以四棱锥 外接球表面积为 .
故选：C.
练习28．（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知长方体 的体积为16，
， 与 相交于点E，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知线面关系，判断三棱锥 的外接球球心的位置并计算出求得半径，
从而得外接球的表面积即可.
【详解】解：设 ，则由长方体的体积公式，得 ，解得
，
所以 ，
由题可知，四边形 为正方形，所以 ，
所以 外接圆的圆心为AD的中点，记为点M，如下图：
又 是直角三角形，同理 外接圆的圆心为AC的中点，记为点N，
过点M，N分别作平面 与平面 的垂线，两条垂线的交点为AC的中点N，
所以三棱锥 的外接球的球心是AC的中点N.
又 ，所以外接球半径 ，所以外接球的表面积为 .
故选：D.
练习29．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）在菱形 中， ，
，将 绕对角线 所在直线旋转至 ，使得 ，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，取 的中点 ，连接的 ，利用勾股定理证明 ，则有
平面 平面 ，设点 为 的外接圆的圆心，则 在 上，设点 为三棱
锥 的外接球的球心，外接球的半径为 ，利用勾股定理求出外接球的半径，再根
据球的表面积公式即可得解.【详解】如图，取 的中点 ，连接 ，
在菱形 中， ，则 都是等边三角形，
则 ，
因为平面 平面 ，
所以 即为二面角 的平面角，
因为 ，所以 ，即 ，
所以平面 平面 ，
如图，设点 为 的外接圆的圆心，则 在 上，且 ，
设点 为三棱锥 的外接球的球心，则 平面
外接球的半径为 ，设 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：B.
练习30．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥
中，平面 平面 ，底面 为矩形，且 ．若
与平面 所成的角为 ，则四棱锥 外接球的表面积为______．【答案】
【分析】先利用面面垂直的性质证得 平面 ，从而利用线面求得 ，再利
用勾股定理求得 到四棱锥 各顶点的距离即可得解.
【详解】取 为 的中点，连结 ，连结 ，连结 ，如图，
因为 ，则 ，
因为平面 平面 且相交于 ， 平面 ，所以 平面 ，
则 为 与平面 所成的角，即 ，
设 ，则 ，
又易知 ，即 ，
解得 ， ，则 ， ，
在 中， ，
在矩形 中， ，
所以四棱锥 外接球的球心为矩形 的中心，且四棱锥 外接球的半
径 ，
所以四棱锥 外接球的表面积为 ．
故答案为： .
题型七 折叠模型
例13．（2023·全国·高一专题练习）已知等边 的边长为2，将其沿边 旋转到如图
所示的位置，且二面角 为 ，则三棱锥 外接球的半径为
____________【答案】
【分析】设D为AB的中点，连接CD， ，可得 ，设 分别是 ，
的外接圆圆心，分别过 作平面 与平面 的垂心，交点为 ，则 是三
棱锥 外接球的球心，求出 即可.
【详解】如图，设D为AB的中点，连接CD， ，
由于 ， 为正三角形，
所以 ,所以 ,
故 .
设 分别是 ， 的外接圆圆心，
分别过 作平面 与平面 的垂心，交点为 ，则 是三棱锥 外接球的
球心，易知 ≌ ，
， 的外接圆半径为 ，
所以 ,即 ，
即 .
所以外接球半径为 .
故答案为: .
例14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）在三棱锥 中， 是边长为6的等边
三角形， ，三棱锥 体积的最大值是__________；当二面角
为 时，三棱锥 外接球的表面积是__________.【答案】
【分析】根据三棱锥的体积公式可知当高最大时，体积最大，故当二面角 为 ，
三棱锥 的体积最大，由体积公式即可求解,根据外接球的性质，利用正弦定理和勾
股定理，即可联合求解球半径.
【详解】当二面角 为 ，且 时，三棱锥 的体积最大，设线段
的中点为 ，连接 ，易求得
.
当二面角 为 时， 和 的外接圆圆心分别记为 和 ，
分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 .过 作 的垂线，
垂足记为 ，
连接 ， .在 中，由正弦定理得： ，所以
，
易知 ，在Rt 中， ，在Rt 中，
，
所以三棱锥 外接球的半径 ，所以 ，
即三棱锥 外接球的表面积是 .
故答案为：27，
练习31．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在菱形ABCD中， ， ，将
沿 折起，使得 ．则得到的四面体 的外接球的表面积为______．
【答案】
【分析】根据条件得到 ，过球心 作 平面 ，则 为等边三角形
的中心，分别利用三角形的的中心求出 的长度，再利用勾股定理求出外接球半径的平方，进而求出外接球的表面积.
【详解】设菱形 的对角线交点为 ， 因为四边形 为菱形 ，所以
和 均是边长为2的等边三角形，则 ，又因为 ，
在 中， ， ，由余弦定理可得：
，所以 ，
过球心 作 平面 ，则 为等边三角形 的中心，
因为 ， 为公共边，所以 ，
则有 ，因为 ， 为等边三角形 的中心，
则 ， ，
在 中，由 ，可得： ，
在 中， ，
设四面体 的外接球的半径为 ，则 ，
所以四面体 的外接球的表面积为 ，
故答案为： .
练习32．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形 的边长为2，且 ，沿
把 折起，得到三棱锥 ，且二面角 的平面角为 ，则三棱
锥 的外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，即可得到 为二面角 的平面角，分别取 ， 的重心为 ， ，过点 ， 分别作两个平面的垂线，交
于点 ，点 即为三棱锥的外接球的球心，连接 ， ，利用锐角三角函数求出 ，
即可取出 ，即外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得.
【详解】解：取 的中点 ，连接 ， ，因为 为菱形，所以 ，
，
故 为二面角 的平面角，则 ，
由题意可知 ， 为正三角形，则外接球球心位于过 ， 的中心且
和它们所在面垂直的直线上，
故分别取 ， 的重心为 ， ，过点 ， 分别作两个平面的垂线，交于
点 ，点 即为三棱锥的外接球的球心，
由题意可知 ，球心到面 和面 的距离相等，即 ，
连接 ， ，则 ，菱形 的边长为 ，
∴ ， ，
∴ ，
即三棱锥 的外接球的半径 ，
所以其外接球的表面积为 .
故答案为：
练习33．（2023·四川成都·统考一模）已知边长为 的菱形 中， ，沿对角
线 把 折起，使二面角 为直二面角，则三棱锥 的外接球的表
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据给定条件，确定三棱锥 的外接球的球心位置，再求出球半径即可计
算作答.
【详解】如图，三棱锥 中， ，平面 平面
，
取BD中点E，连接CE，AE，则 ，而平面 平面 ， 平面
，
则 平面 ， 平面 ，因此平面 平面 ，同理平面 平面
，
令点 分别为正 ，正 的中心，在平面 内分别过点 作 的
垂线，它们交于点O，连OC，
因此 平面 ， 平面 ，而 分别为三棱锥 的外接球被平面
，平面 所截得的小圆圆心，
则 是三棱锥 的外接球的球心，而 ， ，
显然四边形 为正方形， ，则球半径 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 .
故选：A
练习34．（2023·全国·高三专题练习）在边长为 的菱形 中， ，将
绕直线 旋转到 ，使得四面体 外接球的表面积为 ，则此时二面
角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件，得出 是二面角 的平面角，作 的中心 ，
， ， ，知四面体 外接球的球心 在 上，根据勾股定理求出 ， ，进而可得二面角 的余弦值．
【详解】由题意可知， 和 均为正三角形，
设 为 中点，延长 ，作 交 于点 ，
可得 是二面角 的平面角，
作 的中心 ，则 在 上，且 ，
作 ， ， ，可知四面体 外接球的球心 在 上，又
， ，
在 和 中，由 ， ，
， ，解得 ， ，
，二面角 的余弦值为
故选：A
练习35．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形 的边长为 ， ，将
沿对角线 翻折，使点 到点 处，且二面角 的平面角的余弦值为 ，
则此时三棱锥 的外接球的体积与该三棱锥的体积比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形性质和二面角平面角定义可知 ，利用余弦定理求得 后，
结合勾股定理可知 ， ，由此可确定三棱锥的外接球半径为 ，
代入球的体积公式可求得外接球体积；根据 平面 ，结合棱锥体积公式可求得，作比即可得到结果.
【详解】连接 交于 ，连接 ，易得 为 与 的中点，
四边形 为菱形， ，即 ， ，
二面角 的平面角为 ， ；
又 ， ， ， ；
在 中，由余弦定理得： ；
， ， ，
， ， 三棱锥 的外接球球心为 中点，半径为 ，
三棱锥 的外接球体积 ；
， ， ， 平面 ， 平面 ，
，
，
，
三棱锥 的外接球的体积与该三棱锥的体积之比为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的外接球问题的求解，解题关键是能够结合二面角
的大小和勾股定理确定三棱锥的侧面 和 为直角三角形，并且有公共斜边 ，结
合直角三角形的性质确定三棱锥外接球球心即为 的中点.
题型八 外接球的最值问题
例15．（2023·江西新余·统考二模）表面积为 的球内有一内接四面体PABC，其中平面平面 ， 是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】四面体PABC体积最大需要 到底面 的距离为 最大，分析出 最大时满足
，进而利用几何关系求出其最大值.
【详解】如图所示， 是四面体 外接球的球心，设球 的半径为 ，
是 外接圆的圆心，设圆 的半径为 ，设 到底面 的距离为 ，
取 中点 ，连接 ，过 作 ，
由题意，可得 ,则 ，
因为 是边长为3的正三角形，
所以由正弦定理，可得 ，则 ，
四面体PABC体积为 ，
四面体PABC体积的最大需要 最大，
由题意可知， 在过 并且与底面 垂直的圆面上运动，
当 运动到圆面的最高点时， 最大，
由圆的对称性可知，此时 ,则 ，
又平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
在 中， ， ，
则 ，
则 ， ，
在 中， ，
则 ，所以 .
故选：D.例16．（2023春·广东深圳·高一翠园中学校考期中）设A，B，C，D是同一个半径为5的
球的球面上四点， ， ，则三棱锥 体积的最大值为
___________.
【答案】
【分析】 是 外心， 是球心，求出 ，当 是 的延长线与球面交点时，三
棱锥 体积的最大，由此求得最大体积即可.
【详解】如图， 是 外心，即 所在截面圆圆心，设圆半径为 是球心，
因为 ， ，
由余弦定理得 ，
因为 ，则 ，所以 ，
所以由正弦定理得 ，则 ，则 ， ，
平面 ， 平面 ，则 ，所以 ，
当 是 的延长线与球面交点时，三棱锥 体积的最大，
此时棱锥的高为 ， ，
所以棱锥体积为 .故答案为： .
练习36．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）一封闭圆台上、下底面半
径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为______．
【答案】
【分析】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面，分析圆锥的内切球，可判断出圆锥内切球能
包含在圆台内，进而可得最大球半径与表面积.
【详解】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面如图，圆锥顶点为 ，圆台上下圆圆心分别为
，
根据截面性质，易得 ，又 ，
所以 ， ， ，则 .
故该轴截面是边长为8的正三角形，高 ，
由正三角形内心也是重心，可得 内切圆的半径 ，
又圆台高为 ，所以圆锥内切球半径即为 内切圆的半径，
所以该圆台内切球半径最大值为 .
故球表面积的最大值为 ．
故答案为：
练习37．（2023·广东潮州·统考模拟预测）已知圆柱的侧面积为 ，其外接球的表面积为
，则 的最小值为_____________．【答案】
【分析】设圆柱的底面半径为 ，高为 ，根据题意求得 ，利用基本不等式求得圆柱
的外接球半径 ，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，高为 ，因为圆柱的侧面积为 ，所以 ，得
，
设圆柱的外接球半径为 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为1，
所以外接球的表面积 的最小值为 .
故答案为： ．
练习38．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知正三棱柱 所有顶点
都在球O上，若球O的体积为 ，则该正三棱柱体积的最大值为________.
【答案】8
【分析】由条件结合球的体积公式求球的半径，设正三棱柱的底面边长为 ，求出三棱柱
的高，结合棱柱的体积求三棱柱的体积，再利用导数求其最大值.
【详解】设正三棱柱 的上，下底面的中心分别为 ，连接 ，
根据对称性可得，线段 的中点 即为正三棱柱 的外接球的球心，
线段 为该外接球的半径，设 ，
由已知 ，所以 ，即 ，
设正三棱柱 的底面边长为 ，设线段 的中点为 ，
则 ， ，
在 中， ，
所以 ， ，
又 的面积 ，
所以正三棱柱 的体积 ，
设 ，则 ， ，所以 ， ，
所以 ，
令 ，可得 或 ，舍去，
所以当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时， 取最大值，最大值为 ，
所以当 时，三棱柱 的体积最大，最大体积为 .
故答案为： .
练习39．（2023春·安徽·高三安徽省郎溪中学校联考阶段练习）如图，已知正四棱锥
的所有棱长均为4，平面 经过 ，则平面 截正四棱锥 的外接球
所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 、 交于 ，连接 ，求出 ， ，可得点 即为正四棱锥
的外接球球心，取 中点 ，连接 ，当 时，截面圆的面积最小，线段 也即此时截面圆的直径，求出截面圆的面积即可．
【详解】连接 ， 交于 ，连接 ，则 底面 且 是 中点，
， ，
所以 到 ， ， ， ， 的距离均为 ，点 即为正四棱锥 的外接球球
心，取 中点 ，连接 ，分析可知，当 时，截面圆的面积最小，线段 也即
此时截面圆的直径，所以截面圆的面积的最小值为 ．
故选：C．
练习40．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为 的球内切于圆锥，则该圆
锥的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出圆锥内切球的半径，设圆锥顶点为 ，底面圆周上一点为 ，底面圆心为 ，
内切球球心为 ，内切球切母线 于 ，底面半径 ， ，则 ，
求出 ，再换元利用基本不等式求出函数的最小值得解.
【详解】设圆锥的内切球半径为 ，则 ，解得 ，
设圆锥顶点为 ，底面圆周上一点为 ，底面圆心为 ，内切球球心为 ，
轴截面如下图示，内切球切母线 于 ，底面半径 ， ，则 ，
又 ，故 ，
又 ，故 ，
故该圆锥的表面积为 ，
令 ，所以 ，
所以 .
（当且仅当 时等号成立）
所以该圆锥的表面积的最小值为 .故选：B
题型九 内切球
例17．（2023·山东泰安·统考模拟预测）将半径为 ，圆心角为 的扇形围成一个圆锥
（接缝处忽略不计），则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先算出扇形的弧长，从而可得圆锥底面的半径，故可求轴截面内切圆的半径即为
圆锥内切球的半径，最后根据公式可求体积.
【详解】
设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，由题意可得 ，由 ，所以 ．
因为 ，圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形，
该等边三角形（如图）的内切圆半径为圆锥内切球半径 ，
而等边三角形的边长为4，故 ，故 ．
故选：C．
例18．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）在底面是边长为4的正方形
的四棱锥 中，点 在底面的射影 为正方形 的中心，异面直线 与
所成角的正切值为 ，则四棱锥 的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得 为正四棱锥，由 可得异面直线 与 所成的角为
，取 中点 ，连接 、 ，即可求出 、 ，再求出四棱锥的表面积与体积，从而求出内切球的半径，再由勾股定理求出外接球的半径，即可得解.
【详解】由题可得四棱锥 为正四棱锥，即有 ．
因为 ，所以异面直线 与 所成的角为 ，
取 中点 ，连接 、 ，则 ，所以 ，
所以 ， ．
从而可以求得四棱锥 的表面积和体积分别为 ，
，
所以内切球的半径为 ．
设四棱锥 外接球的球心为 ，外接球的半径为 ，则 ，
则 ，解得 ，所以 ．
故选：C
练习41．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，平面 平面 ，
为边长为1的等边三角形，底面 为矩形.若四棱锥 存在一个内切球
（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的
内切球），则内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据内切球在等边三角形 内的“正投影”求得内切球的半径，进而求得内切
球的表面积.
【详解】由于平面 平面 ， 为边长为1的等边三角形，底面 为矩
形，所以四棱锥 的内切球在等边三角形 的“正投影”是等边三角形 的内
切圆，
设等边三角形 的内切圆半径为 ，
则 ，解得 ，
所以内切球的半径为 ，其表面积为 .
故选：D
练习42．（2023春·全国·高三专题练习）已知正四棱锥 的底面边长为4，侧棱长
为 ，其内切球 与两侧面 ， 分别切于点 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正四棱锥内切球的球心为O，半径为R，P为内切球与侧面PAB的切点， 为
侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r，E为AB中点， 底面正方形ABCD中心，利用等
体积法求得内切球的半径，再利用等面积法求得点P到 的距离求解.
【详解】解：如图所示：
设正四棱锥内切球的球心为O，半径为R，P为内切球与侧面PAB的切点，
为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r，E为AB中点， 底面正方形ABCD中心，
因为正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，侧棱长为 ，
所以正四棱锥侧面三角形的高为 ，
正四棱锥的高为 ，
正四棱锥的表面积为 ，正四棱锥的体积为 ，
由等体积法得： ，
解得 ，
因为 ，
所以 ，
由正四棱锥的定义知：内切圆与四个侧面相切，四个切点构成正方形，
所以 ，
故选：A
练习43．（2023春·全国·高三专题练习）若正四棱锥 内接于球O，且底面
过球心O，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．
【答案】
【分析】利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径，从而可求出其体积
【详解】因为正四棱锥 内接于球O，且底面 过球心O，球的半径为4，
所以 ，
所以 ，
所以正四棱锥 的表面积为 ，
正四棱锥 的体积为
设正四棱锥 内切球的半径为 ，则
，
解得 ，
所以该四棱锥内切球的体积为 ，
故答案为：
练习44．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形 为平行四边形，， ， ，现将 沿直线 翻折，得到三棱锥 ，若
，则三棱锥 的内切球表面积为_______．
【答案】 /
【分析】根据题意利用余弦定理求得 ，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三
组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可.
【详解】 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
则折成的三棱锥 中， ，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，
设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为 ，
则 ，解得 ，
又因为三棱锥 是长方体切掉四个角的余下部分，
故三棱维 的体积为 ，
又三棱锥 四个侧面是全等的，
故三棱锥 的表面积为 ，
设内切球半径为 ，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面
的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，故 ，故内切球表面积为 .
故答案为：
练习45．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1， ，将
沿AC翻折，当三棱锥 表面积最大时，其内切球表面积为______.
【答案】
【分析】求内切球的表面积，只需根据等体积法求出内切球的半径即可求解.
【详解】
因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直
三棱锥 中，面 与面 的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则
需要面 与面 最大即可，而且 ；
，当 时， 取得最大值.
过点 向平面 作垂线，设 的中点为 垂足为 ，
因为 ， ，所以由余弦定理知 ，
所以 ，易得 .
所以 .
因为 ，
设内切球的半径为 ，则根据等体积法，有：，
即 ，解之得 ，
所以其内切球的表面积为
故答案为：
