专题6：线线角、线面角、面面角
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：线与线的夹角................................................................ 2
考点二：线与面的夹角................................................................ 2
考点三：二面角.........................................................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：平行四边形平移法求线线角...............................................4
题型二：中位线平移法求线线角.................................................... 7
题型三：补形平移法求线线角......................................................11
题型四：异面直线证明异面直线垂直.............................................13
题型五：由异面直线所成的角求其它量..........................................18
题型六：垂线法求线面角........................................................... 22
题型七：等体积法求线面角........................................................ 24
题型八：由线面角的大小求长度...................................................28
题型九：定义法求二面角........................................................... 32
题型十：三垂线法求二面角........................................................ 38
题型十一：垂面法求二面角........................................................ 43
题型十二：补形法求二面角........................................................ 47
题型十三：射影面积法求二面角...................................................51
模块三：综合巩固....................................................................... 56
专题6：线线角、线面角、面面角
模块一：基础知识
考点一：线与线的夹角
1、空间中直线间的关系
（1）位置关系的分类：
点
一个平面内，没有公共
异面直线：不同在任何
相交直线
平行直线
共面直线
（2）异面直线所成的角
①定义：设a
b
，是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a
a
b
b
∥，∥，把a与b所成的锐角（或
直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．
②范围：(0
]
2
，
2、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是0, 2
，
所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①平行四边形平移法；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
考点二：线与面的夹角
1.定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
2.范围：[0
]
2
，
3.求法：
常规法：过平面外一点B 做
BB
平面，交平面于点
'
B ；连接
AB ，则
BAB 即为直线AB 与平
面的夹角．接下来在
△
Rt
ABB 中解三角形．即sin
斜线长
BB
h
BAB
AB
（其中h 即点B 到面的距离，
可以采用等体积法求h ，斜线长即为线段AB 的长度）；
4.求解线面角其他方法：
（1）等体积法
对于垂线段较难找出的问题，利用等体积法可以求出垂线段长度，设斜线与平面所成的角为θ，垂线长度
h，斜线长l，则sinθ=h/l.
（2）转化法
垂线段的长度是点到面的距离，可以利用线面平行，线上的点到面的距离都相等的这一性质，将该点或面
进行转化或者按比例进行转化.
（3）投影法
斜线段与它在平面上的投影构成的角称为线面角，与另一条边（不一定是垂线段），构成三角形，利用解
三角形求出线面角，投影通过找出一个斜线所在面与已知面垂直，两平面交线即为投影的方法确定.
（4）角度互余
利用斜线与平面所成的角和斜线与平面的垂线的夹角的互余关系求解线面角.
（5）补体法
把不规则图形转化为规则的熟悉的图形，进而求解线面角.
考点三：二面角
1.二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两
个平面称为二面角的面．（二面角
l
或者是二面角A
CD
B
）
2.二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两
条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0
]
，
．
3.二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角
l
的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和
OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点A ，作AO
于O ，过A 作AB
c
于B ，则BO 为斜线AB 在面内
的射影，
ABO
为二面角
c
的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点A ，作AO
于O ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A 作AB
c
于B ，连接BO ；
③计算：
ABO
为二面角
c
的平面角，在Rt
ABO
△
中解三角形．
图1
图2
图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影
面积公式（
'
'
'
cos
=
A B C
ABC
S
S
S
S
射
斜
，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
例如：过二面角内一点A 作AB
于B ，作AC
于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则
BOC
就是二
面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
模块二：题型分类
题型一：平行四边形平移法求线线角
1.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
1
4
AA
，
1
1
60
A AD
A AB
o ，
则异面直线AC 与
1
DC 直线所成角的正弦值为（
）
A．
14
7
B．
70
14
C．11 14
14
D．3 14
14
【答案】B
【解析】连接
1
1
,
AB B C ，
在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，由AD 与
1
1
B C 平行且相等得平行四边形
1
1
AB C D ，
因此
1
1
/ /
C D
AB ，
∴
1
B AC
是异面直线AC 与
1
DC 直线所成角或其补角，
由已知
2 2
AC
，
1
120
ABB
，
1
60
B BC
，
由余弦定理得
2
2
1
2
4
2
2
4 cos120
2 7
AB
，
2
2
1
2
4
2
2
4 cos60
2 3
CB
，
1
28
8 12
3
cos
2 2 7
2 2
14
B AC
，
∴
1
9
70
sin
1 14
14
B AC
．故选：B．
2.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 是BC 的中点，则异面直线
1
BC 和
1
D E 所成角的大小为______．
【答案】45/ 4
【解析】如下图所示，连接
1
AD 、AE 、DE ，设正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为2 ，
因为
1
1
//
AB C D 且
1
1
AB
C D
，则四边形
1
1
ABC D 为平行四边形，故
1
1
//
AD
BC ，
所以，异面直线
1
BC 和
1
D E 所成角为
1
AD E
或其补角，
因为
2
2
2
2
2
1
5
AE
AB
BE
，同理可得
1
2 2
AD
，
5
DE
，
由勾股定理可得
2
2
2
1
1
2
5
3
D E
DD
DE
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
1
1
1
1
2
cos
2
2
AD
D E
AE
AD E
AD D E
，
所以，
1
45
AD E
，故异面直线
1
BC 和
1
D E 所成角的大小为45.故答案为：45.
3.在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，P 为
1
1
B C 的中点，那么直线CP 与
1
1
B D 所成角的余弦值是（
）
A．
3
2
B．10
10
C．3
5
D．4
5
【答案】B
【解析】连接
1
1
AC 交
1
1
B D 于Q ，取DC 中点为M ，连接
1
,
,
D M QM QP ，
由正方体可知，
1
1
1
1
/ /
,
D C
DC D C
DC
，
又
1
1
AC 交
1
1
B D 于Q ，Q 为
1
1
B D 中点，
所以
1
1
1
1
1
/ /
,
2
QP
D C QP
D C
，即
/ /
,
QP
CM QP
CM
，
所以四边形PCMQ 为平行四边形，所以
/ /
,
MQ
CP MQ
CP
则直线CP 与
1
1
B D 所成角为
1
MQD
或其补角，
在
1
D MQ
中，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
5
1
5
,
1
,
1
2
2
2
2
2
2
D Q
D B
MQ
CP
D M
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
5
1
5
10
4
2
4
cos
2
10
5
2
2
2
2
MQ
D Q
D M
MQD
MQ D Q
,
则直线CP 与
1
1
B D 所成角的余弦值是
10
10
.故选：B.
4.如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
2
AA
AB
，
1
AD ，点E，F，G 分别是
1
DD ，AB ，
1
CC 的
中点，则异面直线
1A E 与GF 所成的角是_____.
【答案】90
【解析】连接
1
GB ，
1B F ，EG ，点E，F，G 分别是
1
DD ，AB ，
1
CC 的中点，
1
1
1
1
/ /
,
EG
D C EG
D C
，
1
1
1
1
1
1
1
1
/ /
,
D C
A B D C
A B
，
1
1
1
1
/ /
,
A B
EG A B
EG
，四边形
1
1
A EGB 为平行四边形，
则
1
1
/ /
GB
A E ，故
1B GF
或其补角即为
1A E 与GF 所成的角，
易得
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
B G
C B
C G
，
2
2
2
2
1
1
2
1
5
B F
B B
BF
，
2
2
2
3
GF
CG
CB
BF
，所以
2
2
2
1
1
B G
FG
B F
，所以
1
90
B GF
.
故答案为：90.
5.在正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E，F 分别是棱
1
1
A B ，
1
1
B C 的中点，且
1
1
1
2
2
B C
BC
BB
，则异面直线AE
与BF 所成的角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【解析】连接
,
EF CF ，
因为E，F 分别是棱
1
1
A B ，
1
1
B C 的中点，
所以EF ∥
1
1
AC ,
1
1
1
2
EF
AC
，
因为正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
1
2
2
B C
BC
BB
，
所以AC ∥
1
1
AC ，
1
1
1
2
AC
AC
，
所以EF ∥AC ，FE
AC
，
所以四边形ACFE 为平行四边形，所以AE ∥CF ，
所以
BFC
为异面直线AE 与BF 所成的角，
设
1
BC ，则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2,
1
A B
AC
B C
BC
BB
AB
AC
AA
CC
，
在等腰梯形
1
1
BCC B 中，
1
1
1
1
2
cos
1
2
BB C
，
因为
1
1
0
90
BB C
，所以
1
1
60
BB C
，
因为
1
1
1
BB
B F
,
所以
1
BB F
为等边三角形，所以
1
BF ，同理
1
CF ,
所以
BFC
△
为等边三角形，所以
60
BFC
，
所以异面直线AE 与BF 所成的角为60，故选：C
题型二：中位线平移法求线线角
1.已知PC 是圆锥PO的一条母线，AB 是底面圆O的一条直径，PAB
为正三角形，
30
ABC
，则PC 与
AB 所成角的余弦值为（
）
A．1
4
B．1
3
C．1
2
D．7
8
【答案】A
【解析】如图，延长CO交圆O于D ，连接PD ，取PD 的中点E ，连接OE ，则
//
OE PC ，
则
EOB
为PC 与AB 所成的角，
不妨设圆O的半径为1，则
2
PC
PD
PB
，
1
1
2
OE
PC
，
因为O为AC 、BD 的中点，则四边形ACBD为平行四边形，
30
ABC
，
60
BAC
，则
1
DB
AC
，
在
PBD
△
中，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
7
cos
2
2 2 2
8
PB
PD
BD
DPB
PB PD
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
7
3
2
cos
2
1
2 2 1
8
2
BE
PB
PE
PB PE
DPB
，
所以，
2
2
2
2
2
3
1
1
1
2
cos
2
2 1 1
4
OB
OE
BE
EOB
OB OE
．故选：A．
2.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中,
,
E F 分别为
,
AB AD 的中点,则异面直线
1
B C 与EF 所成角的大小为（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】C
【解析】如下图所示,连接
1
1
1
,
,
BD B D DC
1
1
//
,
//
EF DB DB D B
,
1
1
//
EF D B
则异面直线
1B C 与EF 所成角为
1
1
D B C
1
1
1
1
D B
B C
D C
,即
1
1
B CD
为等边三角形
1
1
60
D B C
.故选:C.
3.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
,
,
E F G H 分别为
1
1
1
,
,
,
AB A D BC CC 的中点，则直线EF 与GH 夹角的余
弦值为（
）
A．
3
3
B．
2
3
C．
2
2
D．
3
2
【答案】D
【解析】如图，取
1
AA 的中点M．连接
1
1
,
,
,
EM FM BC AD ，
由于
,
,
,
E F G H 分别为
1
1
1
,
,
,
AB A D BC CC 的中点，
故
1
1
,
MF
AD GH
BC
∥
∥
,而
1
1
1
1
,
AB
D C AB
D C
∥
,即四边形
1
1
ABC D 为平行四边形，
故
1
1
AD
BC
∥
,所以FM
GH
∥
，
则
MFE
或其补角即为EF 与GH 所成的角．
不妨设
2
AB
，则
2
2
2,
2
( 2)
6
MF
ME
EF
，
即MEF
为等腰三角形，故
3
cos
2
2
E
MFE
M
F
F
，
则直线EF 与GH 夹角的余弦值为
3
2
，故选：D
4.在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为棱AB 的中点，
1
BC 与
1
B C 交于点E，若
1
AB
AA
，则CD 与
1A E 所成角
的余弦值为___．
【答案】
3
4
【解析】连接
1B D，取
1B D中点F，连接
1A F ，EF，则
/ /
EF
CD ，
所以
1A EF
为CD 与
1A E 所成的角（或其补角）．
因为在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为棱AB 的中点，
所以CD ⊥AB ，
1
BB ⊥平面ABC ，
因为CD 平面ABC ，所以
1
BB ⊥CD ，
因为
1
BB
AB
B
，
1,
BB AB 平面
1
1
ABB A ，
所以CD⊥平面
1
1
ABB A ，
可得EF⊥平面
1
1
ABB A ，又
1A F 平面
1
1
ABB A ，
所以
1
EF
A F
．
不妨设
2
AB
，则
3
CD
，
1
5
B D
，所以
1
3
5
,
2
2
EF
B F
，
又
1
1
1
1
cos
cos
5
A B F
B DB
，
所以
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
cos
A F
A B
B F
A B B F
A B F
13
2
，
所以
2
2
1
1
2
A E
A F
EF
，
所以
1
1
cos
EF
A EF
A E
＝
3
4
．
故答案为：
3
4
5.如图，
，
l
，A
，B
，点
,
A B 在棱l 上的射影分别是
1
1
,
A B ，若
1
1
2
AA
BB
，
4
AB
，
则异面直线
1
AB 与
1A B 所成角的余弦值为（
）
A．4
5
B．3
5
C．2
3
D．1
3
【答案】C
【解析】分别取
1
1
1
1
,
,
A B BB AA 中点
,
,
D E F ，连接
1
,
,
,
DE DF EF A E ，
, ,
D E F
分别为
1
1
1
1
,
,
A B BB AA 中点，
1
//
DE A B
，
1
//
DF AB 且
1
1
2
DE
A B
，
1
1
2
DF
AB
，
异面直线
1
AB 与
1A B 所成角即为
EDF
或其补角；
Q
，
l
，
1
AA
l
，
1
AA
，
1
AA
，同理可知：
1
BB
；
1
1
,
A E A B
，
1
1
AA
A E
，
1
1
AA
A B
，
2
2
1
4
2
2 3
A B
，
2
2
1
1
2 3
2
2 2
A B
，
2
2
1
1
1
2
2 2
3
2
2
DF
AB
，
1
1
3
2
DE
A B
，
又
2
2
1
2 2
1
3
A E
，
2
2
3
1
10
EF
，
2
2
2
3
3 10
2
cos
2
3
2
3
3
DE
DF
EF
EDF
DE DF
，
异面直线
1
AB 与
1A B 所成角的余弦值为2
3 .故选：C.
题型三：补形平移法求线线角
1.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AD
DC
，
1
2 3
AA
，则异面直线
1
BC 与
1
DB 所成角的正弦值为
（
）
A．1
5
B．2 5
5
C．
5
5
D．
2
2
【答案】B
【解析】依题意作上图，延长
1
1
1
1
,
,
,
A A B B C C D D
至
2
2
2
2
,
,
,
A B C D ，
使得
2
2
2
2
1
AA
BB
CC
DD
A A
，连接
2
1
2
,
BD C D
，
1
2
1
2
,
/ /
B B
DD B B
DD
，
∴四边形
1
2
B BD D 是平行四边形，
1
2
/ /
B D
BD
，
异面直线
1
B D 与
1
BC
的夹角就是
1
BC 与
2
BD 的夹角
1
2
C BD
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 3
2 5
BD
BC
CD
BB
，
2
2
1
1
4
BC
BC
CC
，
2
2
1
2
1
2
2 13
C D
CD
CC
，
由余弦定理得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5
cos
2
5
BC
BD
C D
C BD
BC BD
，
1
2
0
C BD
，∴
2
1
2
1
2
2 5
sin
1
cos
5
C BD
C BD
；故选：B.
2.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
（平面
1
1
1
1
D
C
B
A
为下底面）中，
1
2
3
6
AA
AD
，
4
AB
，点F 为线段
1
1
C D 的
中点，则异面直线
1A D 与BF 所成角的余弦值为___________.
【答案】5 221
221
/ 5
221
221
【解析】在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的上方
补一个全等的长方体
2
2
2
2
ABCD
A B C D
，
所以，由长方体的性质可知：直线
1
2
A D
BC
∥
，
因为
1
2
3
6
AA
AD
，
4
AB
，点F 为线段
1
1
C D 的中点
所以
17
BF
，
2
13
BC
，
2
40
FC
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
5 221
cos
2
221
BF
BC
FC
FBC
BF BC
，
所以，异面直线
1A D 与BF 所成角的余弦值为5 221
221
.
3.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
2,
3
AB
AA
AD
，点E 为棱AB 的中点，则异面直线
1
1
,
A E B C 所成
角的余弦值为__________.
【答案】4 65
65
/ 4
65
65
【解析】如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，延长
,
AB DC ，
构造一个与
1
1
1
1
ABCD
ABC D
全等的长方体
1
1
BGHC
B MNC
，
且点F 为棱BG 的中点，所以
1
1
//
A E B F ，
所以
1
CB F （或其补角）为异面直线
1
1
,
A E B C 所成角，
由题意得
1
1
13,
5,
10
B C
B F
CF
，
所以由余弦定理得
2
2
2
1
1
1
1
1
2
cos
CF
B F
B C
B F B C
CB F
，
所以
1
4 65
cos
65
CB F
.
故答案为：4 65
65
.
4.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 为
1
1
A D 的中点，平面
1
1
AC B与平面
1
CEC 的交线为l，则l 与AB 所成角
的余弦值为（
）
A．1
3
B．2
3
C．
3
3
D．
6
3
【答案】D
【解析】延长
1
BA ，CE 交直线于点M，延长
1
1
1
,
C E B A 交于点N ，连接
1
1
,
,
MN MC MD ，
则直线
1
MC 即为交线l ，
又
1
1
AB
C D
∥
，则
1
1
MC D
即为l 与AB 所成的角，设正方体棱长为1，
因为E 为
1
1
A D 的中点，
1
1
1
A E
B C
BC
∥
∥
，
所以
1A 为MB 的中点，
1A 为
1
NB 的中点，点E 为MC 的中点，E 为
1
NC 的中点，
则
1
,
EM
EC EN
EC
，
又
1
MEN
CEC
，所以
1
EMN
ECC
，
所以
1
1
1,
90
MN
CC
MNE
CC E
，
则
1
1
1
C D ，
1
6
C M
，
1
3
MD
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
cos
2
3
C D
C M
MD
MC D
C D C M
，
即l 与AB 所成角的余弦值为
6
3
.故选：D.
5.已知体积为6 的四面体ABCD满足AB
BC
，BC
CD
，
2 3
AB
BC
CD
，则异面直线AD 与BC
所成的角的大小为______．
【答案】π
4 或π
3
【解析】如图过点A 作
/ /
AE
BC 且AE
BC
，连接
,
CE DE ，
所以
DAE
为异面直线AD 与BC 所成的角或其补角，
由题可知AECB 是正方形，所以AE
EC
，
因为BC
CD
，
/ /
AE
BC ，所以AE
CD
，
又CE 平面CDE ，CD 平面CDE ，CE
CD
C
，
所以
AE
平面CDE ，
又DE 平面CDE ，所以AE
ED
，
过D 作DF
CE
于F ，由
AE
平面CDE ，DF 平面CDE ，所以DF
AE
，
又
,
,
AE
EC
E AE EC
平面AECB ，
所以DF 平面AECB ，
因为四面体ABCD体积为6，
则四棱锥D
ABCE
的体积为
1
1
12
12
3
3
ABCE
S
DF
DF
，
所以
3
DF
，又
2 3
CD
CE
，
所以sin
3
2
DCE
DF
DC
，又
0,π
DCE
，
所以
π
3
DCE
或
2π
3
DCE
，
当
π
3
DCE
时，DEC
为等边三角形，
2 3
DE
，
在Rt
ADE
△
中,
2 3
tan
1
2 3
DE
DAE
AE
，
π
4
DAE
，
当
2π
3
DCE
时，
2 3
CD
CE
，
6
DE ，
在Rt
ADE
△
中,
6
tan
3
2 3
DE
DAE
AE
，
π
3
DAE
，
所以异面直线AD 与BC 所成的角的大小为π
4 或π
3 .
题型四：异面直线证明异面直线垂直
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点P 在侧面
1
1
BCC B 及边界上运动并保持
1
AP
BD
，在图中画出点P
的运动轨迹．
【答案】轨迹见解析
【分析】根据正方体的性质，得
1
BD 面
1
ACB ，点P 在侧面
1
1
BCC B 及其边界上运动，即可求解点P 的运动
轨迹.
【详解】先找到一个平面总是保持与
1
BD 垂直，连接AC ，
1
AB ，
1B C ，
在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
DD 平面ABCD，AC 平面ABCD,故
1
DD
AC
；
又AC
BD
,
1
BD
DD
于D 点，故AC 平面
1
1
BDD B ，
又
1
D B 平面
1
1
BDD B ,故
1
AC
D B
；
同理可得
1
1
AB
D B
,又
1
AC
AB
于A 点，故
1
D B 平面
1
ACB ；
又点P 在侧面
1
1
BCC B 及其边界上运动，根据平面的基本性质得：
点P 的轨迹为平面
1
ACB 与平面
1
1
BCC B 的交线段
1
CB ．
2.如图，ABC
是等腰直角三角形，
90 ,
BAC
EA FC
､
都垂直于平面ABC ，且
2
2
2.
FC
EA
AC
D
为
线段FB 的中点．证明：ED
BC
.
【答案】证明见解析
【分析】取BC 中点为G，连接DG，AG，通过证明
/ /
AG
ED ，结合AG
BC
可证明结论；
【详解】取BC 中点为G，连接DG，AG．
因
,
D G 分别为
,
BF BC 中点，则
1
/ /
/ /
,
2
DG
FC
EA DG
FC
EA
．
则四边形EAGD是平行四边形，故
/ /
ED
AG ．
因为AB
AC
，则AG
BC
，所以ED
BC
.
3.空间四边形ABCD，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，DC 的中点，
2
FG
，
5
GE
，
3
EF .求证：AC
BD
.
【答案】证明见解析
【分析】利用平行关系，证明AC
BD
，转化为证明GE
GF
.
【详解】∵点G，E 分别是CD，BC 的中点，∴GE / / BD，同理GF / / AC.∴∠FGE 或∠FGE 的补角是异
面直线AC 与BD 所成的角．
在△EFG 中，∵FG＝2，GE＝
5 ，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC 与
BD 所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
4.如图，在正三棱柱ABC
A B C
中，E 为棱AC 的中点，
2
AB
BB
.求证：BE
AC
.
【答案】证明见解析
【分析】根据异面直线的夹角结合勾股定理分析证明.
【详解】如图，取CC的中点F，连接EF ，BF ，
∵E 为AC 的中点，F 为CC的中点，
∴
/ /
EF
AC，∴BE 和EF 所成角为
BEF
，
即为异面直线BE 与AC所成角，且
1
2
EF
AC
.
在正三棱柱ABC
A B C
中，
2 2
AC
，
2
EF
.
在等边三角形ABC 中，
2
2
2
1
3
BE =
-
=
，
在Rt BCF
中，
2
2
2
1
5
BF
.
在
BEF
△
中，
2
2
2
BE
EF
BF
，
∴BE
EF
，∴BE
AC
.
5.《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个
平行四边形）､两个不平行对面是三角形的五面体.如图，羡除ABCDEF 中，ABCD是边长为1 的正方形，
且EAD
，FBC
均为正三角形，棱EF 平行于平面ABCD，
2
EF
AB
.
(1)求证：AE
CF
；
(2)求三棱锥B
CDE
的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
2
12
.
【分析】（1）延长AB ，在平面EFBA中构造与EA 平行的直线FM ，再在△CFM 中利用勾股定理证明线
线垂直；
（2）构造平面ABCD的垂直，利用等体积法即可求得三棱锥的体积.
【详解】（1）延长AB 到M 点，使BM
AB
，连接CM ，FM ，
∵EF ∥平面ABCD，EF 面AMF ，平面AMF 平面ABCD
AM
，
∴EF
AM
∥
，
∵
2
AM
AB
EF
，
∴四边形AMFE 是平行四边形，
∴AE
MF
∥
.
在
FCM
△
中，
1
FC
FM
，
2
CM
，
∴
2
2
2
FC
FM
CM
，
∴
90
CFM
，即MF
CF
.
∴AE
CF
.
（2）取
,
AD BC 中点为
,
M N ，过M 作MH
EF
，连接
,
EM MN 如下所示：
因为MN // AB // EF ，故
,
,
,
E F M N 四点共面，
又因为ABCD为正方形，故AD
MN
，又EDA
为等边三角形，故AD
EM
，
又
,
EM MN 面EFMN ，EM
MN
M
，则AD 面EFNM ，又MH 面EFNM ，
故MH
AD
，又MH
EF
，EF // AB ，故MH
AB
，
又
,
AD AB 面
,
ABCD AD
AB
A
，故MH 面ABCD，
又EF //面ABCD，故点E 到面ABCD的距离为HM ，
又
1
1
2
2
BCD
ABCD
S
S
，
2
2
2
2
3
1
2
2
2
2
MH
EM
EH
，
故
1
2
3
12
B CDE
E BCD
BCD
V
V
S
MH
.
题型五：由异面直线所成的角求其它量
1.在空间四边形ABCD中，
,
,
AB
CD E F
分别为
,
BC AD 的中点，若AB 与CD 所成的角为30，则EF 与AB
所成角的大小为（
）
A．15
B．75
C．15或75
D．以上都不正确
【答案】C
【分析】根据异面直线所成角的定义转化为相交直线所成角，利用几何图形求EF 与AB 所成角的大小.
【详解】取AC 的中点M ，BD 的中点N ，连结
,
,
,
,
ME EN NF FM EF ，
,
,
,
M E N F
分别是
,
,
,
AC BC BD AD 的中点，
/ /
,
/ /
ME
AB NF
AB
，
/ /
ME
NF ，同理
/ /
EN
MF ，四边形MENF 是平行四边形，
且
AB
CD
，
ME
EN ，四边形MENF 是菱形，
AB 与CD 所成的角为30，
30
MEN
或150，
EF 与AB 所成角是
1
15
2
MEF
MEN
或75.
故选：C
2.（多选）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AA
，
1
AB
BC
，
90
ABC
，点E 是侧棱
1
BB 上的
一个动点，则下列判断正确的是(
)
A．AE
BC
B．
1
AE
EC
的最小值为5
1
C．直线
1
AC 与平面
1
1
BB C C 所成角的正弦值为
6
6
D．存在点E ，使得异面直线
1
1
AC 与AE 所成角为30°
【答案】AC
【分析】A：证明BC 平面
1
1
ABB A 即可判断；B：将矩形
1
1
BB C C 沿
1
BB 翻折到与矩形
1
1
ABB A 在同一个平
面，由
1
1
AE
EC
AC
-
即可求；C：易知
1
AC B
为直线
1
AC 与平面
1
1
BB C C 所成角，在Rt△
1
AC B 中即可求直
线
1
AC 与平面
1
1
BB C C 所成角的正弦值；D：设BE=x，0≤x≤2，易知∠CAE 为异面直线
1
1
AC 与AE 所成角或
其补角，在△ACE 中，由余弦定理可判断是否存在E．
【详解】对于A，由题可知
1
BB 平面ABC ，BC 平面ABC ，
1
BB
BC
，
又∵AB
BC
，
1
AB
BB
B
Ç
=
，∴BC 平面
1
1
ABB A ，
AE
平面
1
1
ABB A ，
BC
AE
，故A 正确；
对于B，将矩形
1
1
BB C C 沿
1
BB 翻折到与矩形
1
1
ABB A 在同一个平面，如图，
则
2
2
1
1
1
1
1
4
4
2 2
AE
EC
AC
AA
AC
-
，故B 错误；
对于C，由A 项可知BC 平面
1
1
ABB A ，同理可知AB 平面
1
1
BB C C ，∴
1
AC B
为直线
1
AC 与平面
1
1
BB C C
所成角，∴
1
2
2
1
1
1
1
1
1
6
sin
6
5 1
AB
AC B
AC
AB
B C
，故C 正确；
对于D，∵
1
1
AC ∥AC，∴∠CAE 为异面直线
1
1
AC 与AE 所成角或其补角，
设BE=x，0≤x≤2，则
2
1
CE
AE
x
，
2
AC
，
则若∠CAE=30°或150°时，在△ACE 中，由余弦定理得，
2
2
2
2
cos
CE
AC
AE
AC AE
CAE
，经验证，无论∠CAE=30°还是150°，x 均无解，故不存在E 使得
异面直线
1
1
AC 与AE 所成角为30°，故D 错误；
故选：AC．
3.（多选）三棱锥D
ABC
中，
4
AD
BC
，且AD 与BC 所成角为60，E，F 分别是棱DC，AB 的中点，
则线段EF 的长可能等于（
）
A．2
B．2
3
C．2 3
D．3
【答案】AC
【分析】取BD 的中点G ，连接FG ，GE ，由三角形中位线定理可得AD ∥FG , BC ∥GE ，
1
2
FG
AD
，
1
2
GE
BC
，从而得
EGF
或其补角即为AD 与BC 所成角，则
60
EGF
或
120
EGF
，然后分两种
情况求解即可
【详解】解：取BD 的中点G ，连接FG ，GE ,如图，
因为E，F 分别是棱DC，AB 的中点，
所以AD ∥FG , BC ∥GE ，
1
2
FG
AD
，
1
2
GE
BC
，
所以
EGF
或其补角即为AD 与BC 所成角，
由题意得，
60
EGF
或
120
EGF
，
因为
4
AD
BC
，所以
2
FG
GE
，
当
60
EGF
时，EFG
为等边三角形，
所以
2
EF
FG
，
当
120
EGF
时，由余弦定理得
2
2
2
2
cos120
EF
GE
FG
GE FG
2
2
1
2
2
2
2
2
12
2
，
所以
2 3
EF
，
故选：AC
4.如图所示，在三棱锥A-BCD 中，AB＝CD，E、F 分别为BC、AD 的中点．
(1)若AB⊥CD，求EF 与AB 所成的角的大小；
(2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°，求线段EF 的长．
【答案】(1)45°；
(2)
1
EF 或3
【分析】（1）取BD 的中点G，连接EG、FG；利用中位线定理得到EG＝GF 且EG⊥GF，所以EF 与
AB 所成的角即为∠EFG，进而求解；
（2）根据题意可得∠EGF＝60°或120°，然后分情况讨论即可求解.
【详解】（1）取BD 的中点G，连接EG、FG；
因为E、F 分别为BC、AD 的中点，所以EG∥CD，GF∥AB，
且EG＝1
2 CD，GF＝1
2 AB；又AB＝CD，所以EG＝GF；
因为AB⊥CD，所以EG⊥GF；
在△EGF 中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF 为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°；
因为GF∥AB，所以EF 与AB 所成的角即为∠EFG，
即EF 与AB 所成的角的大小为45°；
（2）因为AB＝CD＝2，所以EG＝GF＝1；
因为AB 与CD 所成角的大小为60°，所以∠EGF＝60°或120°；
在△EGF 中，当∠EGF＝60°时，此三角形为等边三角形，故EF＝1；
在△EGF 中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故EF＝
3 ，
综上，
1
EF 或3
题型六：垂线法求线面角
1.如图，MA 平面ABC ，在直角三角形BMC 中，
=90
BCM
，
60
MBC
，
5
BM
，
3
MA
，求MC
与平面ABC 所成角的正弦值.
【答案】2 3
5
【解析】因为MA 平面ABC ，所以
MCA
即为MC 与平面ABC 所成的角，
又因为
60
MBC
，
=90
BCM
，
5
BM
，所以
5 3
sin
2
MC
BM
MBC
，
所以
3
2 3
sin
5
5 3
2
MA
MCA
MC
，即MC 与平面ABC 所成角的正弦值为2 3
5
.
2.已知ABC
为等腰直角三角形，P 为空间一点，且
5 2
AC
BC
PC
AC
，
，
5,
PC
BC
PC
AB
，
的
中点为M ，连接PM
CM
，
，则PM 与平面ABC 所成的角的大小为_________.
【答案】45°/ 4
【解析】由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC=C，
,
AC BC 面ACB，
所以PC⊥平面ACB，
则∠PMC 为PM 与平面ABC 所成的角，
因为△ABC 为等腰直角三角形，M 是AB 的中点，
所以AB
2
2
(5 2)
5 2
10
，CM
1
5
2 AB
，又PC=5，
所以∠PMC=45°.
3.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
BC
，
1A D 与
1
BC 所成的角为π
2 ，则
1
BC 与平面
1
1
BB D D 所
成角的正弦值为________
【答案】1
2 /0.5
【解析】因为在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
BC
，
∴上下底面为正方形，
连接
1
AD ，则
1
1
/ /
BC
AD ，
1A D 与
1
BC 所成的角为π
2 ，
∴
1A D 与
1
AD 所形成的角为π
2 ，即
1A D
1
AD ，
∴
1
1
AA D D为正方形，
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为正方体，
设
1
1
1
1
AC
B D
O
，则
1
1
1
C O
B D
，
因为
1B B 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，
1
C O 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，所以
1B B
1
C O ，
又
1
1
1
1
1
,
B B
B D
B B B
平面
1
1
BB D D ，
1
1
B D 平面
1
1
BB D D ，
所以
1
C O 平面
1
1
BB D D ，连接BO，
则
1
C BO
为直线
1
BC 与平面
1
1
BB D D 所成角，
由题可知
1
Rt C BO
中，
1
2 2
BC
，
1
2
C O
，
∴
1
1
sin
2
C BO
，即
1
BC 与平面
1
1
BB D D 所成角的正弦值为
1
2 .
4.如图，在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，平面PAB 平面PBC ，
2
PA
，
1
BC .
（1）求证：BC 平面PAB ；
（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1
3
【解析】（1）∵PA 平面ABC ，∴PA
AB
且PA
BC
过A 作AM
PB
于点M ，
∵平面PAB 平面PBC ，平面PAB 平面PBC
PB
, AM 平面PAB ，AM
PB
，
∴AM 平面PBC ，又BC 平面PBC，∴AM
BC
∵PA
AM
A
，∴BC 平面PAB .
（2）过B 作BE
AC
于点E ，
∵PA 平面ABC ，PA 平面PAC
∴平面PAC 平面ABC ，又平面PAC 平面ABC
AC
，BE 平面PAC
∴BE 平面PAC ，
∴PB 与平面PAC 所成角即为
BPE
又sin
BE
BPE
PB
，
设AB
m
，∴
2
1
AC
m
，
2
1
m
BE
m
，
2
4
PB
m
，
∴
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
sin
3
4
9
1
4
4
5
2
5
m
BPE
m
m
m
m
m
m
,
当且仅当
2
2
4
m
m
，即
2
m
时取“=”.
直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值的最大值为1
3 .
题型七：等体积法求线面角
1.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为a 的正方形，PA 平面ABCD．若PA
a
，则直线
PB 与平面PCD所成的角的大小为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】A
【解析】因为PA 平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA AB ，PA AD ，PA CD ，又底面ABCD是边长为a 的正方形，
所以CD AD ，又
,
PA
AD
A PA
平面PAD ，AD 平面PAD ，
所以CD 平面PAD ，PD 平面PAD ，
所以CD PD ，
设B 到平面PCD的距离为h ，直线PB 与平面PCD所成的角，
则
2 ,
2
PB
a PD
a
，
所以
B PCD
P BCD
V
V
，1
1
1
1
2
3
2
3
2
a a h
a a a
，所以
2
2
a
h
，
所以
2
1
2
sin
2
2
a
h
PB
a
，
又
π
0, 2
，所以
π
6
.故选：A.
2.某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4，上底面的直径为8，已知AB 为上底面的直径，点P
是上底面圆周上一点，且AP
BP
，PC 是该圆台的一条母线，且
2 5
PC
，则PC 与平面ABC 所成的角
的正弦值为（
）
A．2
5
B．3
5
C．3
4
D．4
5
【答案】D
【解析】由题可得
8
AB
，因为AP
BP
，所以
1
8 4
16
2
ABP
S
，
由题意可得圆台的高
2
2
2
20
4
4
h
PC
，
则
2
2
2
6
2
4
4
CA
，
所以
1
1
64
16 4
3
3
3
C ABP
ABP
V
S
h
△
，
因为
6
AC
BC
，所以
1
8
36 16
8 5
2
ABC
S
△
，
设点P 到平面ABC 的距离为d ，
则
1
1
64
8 5
3
3
3
P ABC
ABC
V
S
d
d
△
，解得
8 5
5
d
，
故PC 与平面ABC 所成的角的正弦值为
8 5
4
5
5
2 5
d
PC
.故选：D.
3.三棱锥A
BCD
的各面展开图如图所示，其中
BCD
△
是边长为1的等边三角形，
2
AB
AD
AC
．P
是棱BC 上的动点，记直线DP 与平面ABC 所成角为，则sin的取值范围是（
）
A．
55
55
,
15
10
B．
55 2 55
,
10
15
C．
165
55
,
15
5
D．
165 2 55
,
15
15
【答案】D
【解析】由题意作出三棱锥A
BCD
的直观图如下图所示：
由题意可知，三棱锥A
BCD
为正三棱锥，
设点A 在底面BCD的射影为点O，
取BC 的中点M ，连接DM 、AM ，
则O为等边
BCD
△
的中心，
BCD
为等边三角形，M 为BC 的中点，
则DM
BC
，且
2
2
2
2
1
3
1
2
2
DM
BD
BM
，
2
2
3
3
3
3
2
3
OD
DM
，
AO
Q
平面BCD，OD 平面BCD，
AO
OD
，
2
2
2
2
3
33
2
3
3
AO
AD
OD
，
1
1
3
3
1
2
2
2
4
BCD
S
BC DM
，
1
1
3
33
11
3
3
4
3
12
A BCD
BCD
V
S
AO
△
，
2
AB
AC
，M 为BC 的中点，
AM
BC
，
且
2
2
2
2
1
15
2
2
2
AM
AB
BM
，
1
1
15
15
1
2
2
2
4
ABC
S
BC AM
，
设点D 到平面ABC 的距离为d ，则
D ABC
A BCD
V
V
，
即1
15
11
3
12
12
ABC
S
d
d
△
，解得
165
15
d
，
当点P 与点M 重合时，DP 取最小值，当点P 与点B 、C 重合时，DP 取最大值，
3
1
2
DP
，
165
1
165 2 55
sin
,
15
15
15
d
DP
DP
.故选：D.
4.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，
2
2
PA
AB
AC
，
60
BAC
，F 为棱PC 上一点，满足AF
PC
于F．
（1）求证：平面ABF 平面PBC ；
（2）求PB 与平面ABF 所成角的正弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）
6
4
.
【解析】（1）因为
2
2
AB
AC
，
60
BAC
，
所以
2
2
2
2
2
1
2
cos
2
1
2
2 1
3
2
BAC
BC
AB
AC
AB AC
，
所以
3
BC
，
2
2
2
BC
AC
AB
，
所以BC
AC
，又PA 平面ABC ，BC 平面ABC ，
所以PA BC ，又PA
AC
A,PA
平面PAC ，AC 平面PAC ，
所以BC 平面PAC ，又AF 平面PAC ，
所以BC AF ，又AF
PC
，
,
C
BC
PC
B
C
I
平面PBC ，PC 平面PBC ，
所以AF 平面PBC ，又AF 平面ABF ，
所以平面ABF 平面PBC ；
（2）由AF 平面PBC ，又BF 平面PBC ，所以AF BF ，
又PA
AB
，AF
PC
，所以PAF
BAF
≌
，
设点P 到平面ABF 的距离为d ，
由
P ABF
B PAF
V
V
，BC 平面PAC ，
3
BC
，
所以1
1
3
3
ABF
ABF
S
d
S
BC
，即
3
d
BC
，
又PA 平面ABC ，AB 平面ABC ，所以PA AB ，
又
2
PA
AB
，所以
2 2
PB
，
所以PB 与平面ABF 所成角的正弦值为
4
2 2
3
6
B
d
P
.
5.在四棱锥P-ABCD 中，PA 平面ABCD，E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，PA=AD=2，AB=BC=1，
2
BAD
ABC
.
（1）求证：平面PAC 平面AEF；
（2）求直线PA 与平面AEF 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
3
3
【解析】（1）证明：因为AB=BC=1，AD=2，
2
BAD
ABC
，
2
AC
CD
，AD=2，所以CD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD，且直线CD 在平面ABCD 内，
所以CD⊥PA.又因为E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，
所以CD
EF
∥
，所以EF⊥AC 且EF⊥PA
又因为PA
AC
A
，所以EF⊥平面PAC.
又因为EF 在平面AEF 内，所以平面PAC⊥平面AEF.
（2）由（1）可知，EF⊥平面PAC，所以EF⊥AF.
又因为
1
2
2
2
EF
CD
，
1
4
2
6
2
2
2
AF
PC
，
所以
1
3
2
4
AEF
S
EF
AF
△
.
在直角三角形PAC 中，PA=2，
2
AC
，
1
1
2
2
2
2
PAF
S
PA
AC
△
.
设点P 到平面AEF 的距离为d，可由
P AEF
E PAF
V
V
，得1
1
3
3
AEF
PAF
S
d
S
EF
△
△
.
所以1
3
1
2
2
3
4
3
2
2
d
，故
2 3
3
d
.
又因为PA=2，故直线PA 与平面AEF 所成角的正弦值为
2 3
3
3
2
3
d
PA
题型八：由线面角的大小求长度
1.在三棱锥A
BCD
中，
2
AB
AD
BD
，
2
BC
DC
，
2
AC
．
(1)求证：BD
AC
；
(2)若点P 在棱AC 上，当直线BP 与平面ACD 所形成的角的正弦值为3
3
7
时，求
:
AP PC 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1:5
【分析】
（1）取BD 的中点M ，连接AM ，CM ，由等腰三角形的性质有AM
BD
、CM
BD
，根据线面垂直
的判定及性质即可证BD
AC
.
（2）首先证明AM 平面BCD，即可求出
A BCD
V
，过点B 作BO 平面ADC 交于点O，连接OP ，则
BPO
即为直线BP 与平面ACD 所成的角，利用等体积法求出BO，再根据线面角的正弦值求出BP ，在ABC
中
利用余弦定理求出cos
BAC
，再在ABP
中利用余弦定理求出AP ，即可得解.
【详解】（1）取BD 的中点M ，连接AM ，CM ．
∵AB
AD
，M 为BD 的中点．
∴AM
BD
，
∵BC
CD
，M 为BD 的中点．
∴CM
BD
，又AM
CM
M
，
,
AM CM 平面AMC ，
∴BD 平面AMC ，而AC 平面AMC ，
∴BD
AC
.
（2）因为
2
2
2
1
3
AM
，
1
1
2
CM
BD
，
2
AC
，
所以AM
CM
AC
2
2
2
，所以AM
CM
，又AM
BD
，CM
BD
M
，
,
CM BD 平面BCD，所以AM 平面BCD，
又
1
2
2
1
2
BCD
S
△
，所以
1
3
3 1
3
3
A BCD
V
，
又
2
2
1
2
7
2
2
2
2
2
ADC
S
，
由图可知二面角B
AC
D
为钝二面角，
过点B 作BO 平面ADC 交于点O（O、D 在AC 两侧），连接OP 、OA 、OC ，
则
BPO
即为直线BP 与平面ACD 所成的角，
又
A BCD
B ADC
V
V
，所以1
7
3
3
2
3
BO
，所以
2 21
7
BO
，
又直线BP 与平面ACD 所形成的角的正弦值为3
3
7
，
所以
3 3
sin
7
BO
BPO
BP
，则
2 7
3
BP
，
在ABC
中由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
cos
2
2 2 2
4
AB
AC
BC
BAP
AB
AC
，
又在ABP
中由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
BP
AB
AP
AB AP
BAP
，
即
2
2
2
2 7
3
2
2 2
3
4
AP
AP
，解得
1
3
AP
或
8
3
AP
（舍去），
所以
5
3
PC
AC
AP
，所以
:
1:5
AP PC
.
2.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
,
PA
a AC
BD
O
，PA 底面ABCD．
(1)证明：平面PBD 平面PAC ；
(2)设平面PBC 平面PAD 于直线l，证明：
/ /
BC
l ；
(3)若
1
3
PE
PD
uuur
uuur
，在线段BC 上是否存在点F，使得
/ /
EF
平面PAB ，若存在点F，则a 为何值时，直线
EF 与底面ABCD所成角为45．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
3
a
【分析】（1）由面面垂直的线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由线面平行的性质定理即可证明；
（3）由线面平行的判定定理得出点F 在BC 的1
3 处，再证得EM 平面ABCD，所以
EFM
即为EF 与
底面ABCD所成角，求解即可得出答案.
【详解】（1）∵PA 底面ABCD，BD 平面ABCD，∴PA
BD
又底面ABCD为正方形，∴AC
BD
而PA
AC
A
，
,
PA AC 平面PAC ，∴BD 平面PAC ，
又∵BD 平面PBD，∴平面PBD 平面PAC .
（2）在正方形ABCD中，
/ /
BC
AD ，BC 平面PAD ，AD 平面PAD ，
∴
/ /
BC
平面PAD ，∵BC 平面PBC ，平面PBC 平面PAD
l
，
∴
/ /
BC
l .
（3）存在点F 在BC 的1
3 处，使得
/ /
EF
平面PAB ．
在线段PA 上取点K，使
1
3
PK
PA
连接KE，KB，EF．
∵PAD
中，
1
3
PE
PD
uuur
uuur
，即
1
3
PE
PK
PD
PA
，
∴
/ /
KE
AD ，且
1
3
KE
AD
，
在正方形ABCD中，F 在BC 的1
3 处，∴
/ /
BF
AD，且
1
1
3
3
BF
BC
AD
，
∴
/ /
BF
KE ，且BF
KE
，∴BFEK 为平行四边形，
∴
//
EF
BK ，又BK 平面PAB ，EF 平面PAB ，∴
/ /
EF
平面PAB ，
在AD 的1
3 处取点M，连接
,
EM FM ．
PAD
中，点E，M 分别为
,
PA AD 的1
3 处，∴
/ /
PA
EM ，且
2
3
EM
PA
∵PA 平面ABCD，∴EM 平面ABCD，
∴EF 在平面ABCD上的射影MF，
∴
EFM
即为EF 与底面ABCD所成角，
在Rt EMF
中，
2
FM
，若
45 ,
2
EFM
EM
，∴
3
PA
a
题型九：定义法求二面角
1.假设P 是ABC
所在平面外一点，而PBC
和ABC
都是边长为2 的正三角形，
6
PA
，那么二面角
P
BC
A
的大小为（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】D
【解析】取BC 的中点O，连接
,
OA OP ，
∵PBC
和ABC
都是边长为2 的正三角形，
则
,
OA
BC OP
BC
，
所以
POA
为二面角P
BC
A
的平面角，
又因为
3,
6
OP
OA
PA
，则
2
2
2
OP
OA
PA ，
所以
90
POA
，即二面角P
BC
A
的大小为90.故选：D.
2.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，求二面角
1
1
1
B
AC
B
的正切值．
【答案】
2
【解析】如图，取
1
1
AC 的中点O，连接
1B O，BO ，则
1
1
1
B O
AC
，
又
1
1
BA
BC
，O为
1
1
AC 的中点，故
1
1
BO
AC
，
故
1
BOB
∠
是二面角
1
1
1
B
AC
B
的平面角．
因为
1
BB 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，
1
OB 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，所以
1
1
BB
OB
，
设正方体的棱长为a ，则
1
2
2
OB
a
，
在
1
Rt
BB O
△
中，
1
1
1
2
ta
2
n
2
BB
a
OB
a
BOB
，
所以二面角
1
1
1
B
AC
B
的正切值为
2 .
3.如图所示，PA 平面ABC ，AC
BC
，
1
PA
AC
，
2
BC
，则二面角A
PC
B
的余弦值大小为
________.
【答案】0
【解析】作AD
PC
,垂足为D，作DE
BC
∥
交PB 于E 点，连接AE ,
因为
1
PA
AC
，故D 为PC 的中点，E 为PB的中点，
PA 平面ABC ，BC 平面ABC ，所以PA
BC
,
又AC
BC
，
,
,
PA
AC
A PA AC
平面PAC ,
故BC 平面PAC , PC 平面PAC ,故BC
PC
,
所以DE
PC
,则
ADE
为二面角A
PC
B
的平面角，
因为
1
PA
AC
，
2
BC
,故
2
PC
,
则
2
2
2
2
,
,
2
2
2
AD
DE
PB
PC
CB
,
又PA 平面ABC ，AB 平面ABC ，
所以
1
,
1
2
PA
AB
AE
PB
,
则
2
2
2
1
AD
DE
AE
,故
90
ADE
，
所以二面角A
PC
B
的余弦值大小为0，
4.如图在三棱锥S
ABC
中，SA⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D、E，
又SA
AB
，BS
BC
，则以BD为棱，平面BDE 与平面BDC 的二面角的大小为______．
【答案】60
【解析】∵BS
BC
，又点E 为SC 的中点，∴BE
SC
，
∵DE 垂直平分SC ，BE
DE
E
，
,
BE DE 平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，
∵BD 平面BDE ，∴SC ⊥BD，
∵SA⊥平面ABC ，BD 平面ABC ∴SA⊥BD，
∵SC
SA
S
，
,
SC SA 平面SAC ，∴BD⊥平面SAC ，
∵
,
DE AC 平面SAC ，∴BD⊥DE ，BD⊥AC ，
故
EDC
是平面BDE 与平面BDC 的二面角，
设S A
A B
a
，则
2
SB
a
，故
2
BC
a
，
∵AB ⊥BC ，∴
2
2
3
AC
AB
BC
a
，
故
3
tan
3
3
SA
a
SCA
AC
a
，
故
30
SAC
，
∴
90
60
CDE
SAC
.
5.四边形ABCD是正方形，PA 平面ABCD，且PA
AB
．求：
(1)二面角A
PD
C
的平面角的度数；
(2)二面角B
PA
D
的平面角的度数；
(3)二面角B
PA
C
的平面角的度数．
【答案】(1)90
(2)90
(3)45
【分析】
借助二面角定义或求出二面角的平面角，计算即可得.
【详解】（1）
PA
平面ABCD，CD 平面ABCD，
PA
CD
，又四边形ABCD为正方形，
CD
AD
，
,
,
PA
AD
A PA AD
平面PAD ，
CD
\
^平面PAD ，
又CD 平面PCD，平面PAD 平面PCD，
二面角A
PD
C
的平面角的度数为90；
（2）
PA
平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
AB
PA
，AD
PA
．
BAD
为二面角B
PA
D
的平面角．
又由题意可得
90
BAD
，
二面角B
PA
D
的平面角的度数为90；
（3）
PA
平面ABCD，AB 平面ABCD，AC 平面ABCD，
AB
PA
，AC
PA
．
BAC
为二面角B
PA
C
的平面角．
又四边形ABCD为正方形，
45
BAC
，
即二面角B
PA
C
的平面角的度数为45.
6.如图，在四棱锥
P ABCD 中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为菱形，
60
ADC
，
4
PA
AD
，E
为AD 的中点．
(1)求证：平面PCE 平面PAD ；
(2)求二面角A
PD
C
的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
42
7
【分析】
（1）通过证明EC 平面PAD ，即可证明面面垂直；
（2）表达出二面角
A PD C 的平面角，即可求出二面角A
PD
C
的平面角的正弦值.
【详解】（1）
由题意，
因为四边形ABCD为菱形，所以DA
DC
＝
.
连接AC.
因为
60
ADC
＝
，
所以
ADC
△
为等边三角形，从而CA
CD
＝
.
在
ADC
△
中，E 是AD 的中点，
所以CE
AD
.
因为PA 平面ABCD，CE 平面ABCD，
所以CE
PA
.
∵PA
AD
A
＝，PA 面PAD ，AD 平面PAD ，CE 面PAD ，
∴EC 平面PAD .
又CE 平面PCE ，
∴平面PCE⊥平面PAD
（2）由题意及（1）得，
在平面PAD 中，过点E 作EM
PD
，垂足为M ，连接CM .
因为EC 平面PAD , PD 平面PAD ，所以EC
PD
.
又EM
CE
E
＝
, EM 平面EMC ,CE 平面EMC ，所以PD 平面EMC .
又CM 平面EMC ，所以PD
CM
，
从而
EMC
∠
是二面角
A PD C 的平面角．
在Rt EMD
中，
2
ED＝,
45
ADP
＝
，
所以
2
EM
MD
.在Rt
CMD
△
中，
2
MD
，
4
CD
，
所以
2
2
14
CM
CD
MD
.
在Rt
CME
△
中,
2 3
42
2 3,sin
7
14
CE
CE
EMC
CM
,
所以二面角
A PD C 的平面角的正弦值为
42
7
.
7.如图，在直角梯形ABCD 中，BC
AD
∥
，AD
CD
，
2
BC
，
3
AD
，
3
CD
，边AD 上一点E 满足
1
DE ，现将ABE
沿BE 折起到
1A BE
的位置，使平面
1A BE 平面BCDE，如图所示.
(1)在棱
1AC 上是否存在点F，使直线
/ /
DF
平面
1A BE ，若存在，求出
1
1
A F
AC ，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角
1A
BC
D
的平面角的正切值.
【答案】(1)存在，
1
1
1
2
A F
AC
(2)2
【分析】（1）设
1A B 的中点为N，证得四边形DENF 是平行四边形，得到
/ /
DF
EN ，得出
/ /
DF
平面
1A BE ，
进而得到结论；
（2）连接CE，取BE 中点O，作OM
BC
于M，证得
1A M
BC
，得到
1A MO
为二面角
1A
BC
D
的
平面角，在直角
1A MO
△
中，即可求解．
【详解】（1）解：当F 是AC 的中点时，直线
/ /
DF
平面
1A BE .
证明如下：
设
1A B 的中点为N，连接EN，FN，
因为
/ /
FN
BC ，
1
2
FN
BC
，且
/ /
ED
BC ，
1
2
ED
BC
，
所以
/ /
FN
ED 且FN
ED
，所以四边形DENF 是平行四边形，所以
/ /
DF
EN ，
又因为DF 平面
1A BE ，EN 平面
1A BE ，所以
/ /
DF
平面
1A BE ，
所以存在点F，使
/ /
DF
平面
1A BE ，且
1
1
1
2
A F
AC
.
（2）解：在平面图形中，连接CE，则
30
ECD
，
60
ECB
，
所以
2
CB
CE
BE
AE
AB
，
如图所示，取BE 中点O，连接
1AO，则
1
BE
OA
，
因为
1AO 平面
1A BE ，平面
1A BE 平面BCDE ，且平面
1A BE Ç 平面BCDE
BE
，
所以
1AO 平面BCDE ，又因为BC 平面BCDE ，所以
1AO
BC
作OM
BC
于M，连接
1A M ，
因为
1AO
OM
O
，且
1 ,
AO OM 平面
1AOM ，所以BC 平面
1AOM ，
又因为
1A M 平面
1AOM ，所以
1A M
BC
，
所以
1A MO
为二面角
1A
BC
D
的平面角，
在直角
1A MO
△
中，
1
3
AO
，
3
2
OM
，可得
1
tan
2
A MO
，
故二面角
1A
BC
D
的平面角的正切值为2 ．
题型十：三垂线法求二面角
1.已知三棱锥
P
ABC 中，底面ABC 是边长为2 3 的正三角形，点P 在底面上的射影为底面的中心，且三
棱锥
P
ABC 外接球的表面积为18π ，球心在三棱锥
P
ABC 内，则二面角P
AB
C
-
-
的平面角的余弦值
为（
）
A．
1
2
B．1
3
C．
2
2
D．
3
3
【答案】B
【解析】设正ABC
的中心为O，有OA
OB
OC
，
而PO 平面ABC ，则PA
PB
PC
，
延长CO交AB 于点D，则点D 为AB 的中点，有PD
AB
，CD
AB
，
即
PDC
为二面角P
AB
C
-
-
的平面角，
由
2 3
AB
，得
2
2
OC
OD
=
=
，
显然三棱锥
P
ABC 为正三棱锥，其外接球的球心M 在线段PO 上，
由三棱锥
P
ABC 的外接球的表面积为18π ，
则该球半径
3 2
2
MC
，由
2
2
2
MC
MO
OC
，解得
2
2
MO
，
2 2
PO
，
3
PD
，所以
1
cos
3
OD
PDC
PD
，
所以二面角P
AB
C
-
-
的平面角的余弦值为1
3 .故选：B
2.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm
的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm 的球O 的球面上，且一个底而的
中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（
）
A．2 2
3
B．2
3
C．2 5
5
D．2
5
【答案】A
【解析】如图：正四棱台，由题意可知：O是底面正方形的中心也是球O 的球心，
且
50
,
40
R
OB OO
,所以
50 2,
BC
2
2
2
2
50
40
30
O B
R
OO
,
进而可得
30 2,
B C
取BC 的中点为N ，过B C
的中点P 作PM
ON
，连接PN ,
所以
1
15 2
2
OM
O P
B A
,
1
25 2
2
ON
BA
,
故
10 2
MN
ON
OM
,
在直角三角形PMN 中，
40
tan
2 2,
10 2
PM
PNM
MN
故
2 2
sin
3
PNM
，
由于
,
PN
BC ON
BC
，
所以
PNM
即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，
故正弦值为2 2
3
，故选：A
3.如图，ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，AC 与BD 相交于O 点，P 是平面ABCD 外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M
是PC 的中点，则二面角M-BD-C 的正切值为_________．
【答案】
5
2
/ 1
5
2
【解析】取OC 的中点N，连接MN，则MN∥PO，
∵PO⊥面ABCD，∴MN⊥面ABCD，
2
2
PO
MN
，
过点N 作NR⊥BD 于点R，连接MR，
则∠MRN 为二面角M-BD-C 的平面角，
过点C 作CS⊥BD 于点S，则
1
2
RN
CS
，
在Rt△BCD 中，CD·BC =BD·CS，
则
8
5
CD BC
CS
BD
，则
4
5
RN
，
所以
5
tan
2
MN
MRN
RN
，
所以二面角M-BD-C 的正切值为
5
2 ．
4.如图，菱形ABCD 的边长为2，
60
ABC
，E 为AC 的中点，将ACD
沿AC 翻折使点D 至点D¢ .
（1）求证：平面BD E
平面ABC；
（2）若三棱锥D
ABC
的体积为2 2
3
，求二面角D
AB
C
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1
3
【解析】（1）证明：在菱形ABCD中，
60
ABC
，
∴ABC
和ACD
均为等边三角形，
又∵E 为AC 的中点，∴BE
AC
，
D E
AC
，BE
D E
E
，BE
D E
、
平面BD E
，∴AC 平面BD E
，
又∵AC 平面ABC，∴平面BD E
平面ABC.
（2）过D¢ 作D M
BE
于点M ，
∵平面BD E
I平面ABC
BE
，D M
平面BD E
，∴D M
平面ABC.
∴
1
1
2 2
2 6
2
3
3
2
3
3
D
ABC
V
D M
D M
.
过M 作MN
AB
于点N ，连接D N
，
∵AB 平面ABC，∴D M
AB ，
∵
,
D M
MN
M D M
MN
、
平面
1
D MN ，∴AB 平D MN
，
∵D N
平面
1
D MN ，∴AB
D N
.
∴
D NM
即为二面角D
AB
C
的平面角，
2
2
2 6
3
3
3
3
EM
，∴
3
2 3
3
3
3
BM
，
2 3
3
sin30
3
3
MN
，
∴
2
2
2 6
3
3
3
3
D N
，∴
3
1
3
cos
3
3
D NM
.
故二面角D
AB
C
的余弦值为1
3 .
5.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面
1
1
AAC C 为菱形，
1
60
A AC
，且
1
AB
AA
，
1
1
BC
A C
^
．
（1）证明：平面ABC⊥平面
1
1
A ACC ；
（2）若AB
AC
，求二面角
1A
BC
A
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
7
7
.
【解析】（1）连接
1
AC ，如图，由
1
1
AAC C 是菱形，所以
1
1
AC
CA
．
又
1
1
BC
CA
，
1
1
1
BC
AC
C
，
所以
1
CA 平面
1
ABC ，故
1
CA
AB
,
又
1
AA
AB
，
1
1
1
CA
AA
A
，
所以AB⊥平面
1
1
AAC C ，又AB 平面ABC．
所以平面ABC⊥平面
1
1
A ACC ．
（2）过
1A 在平面
1
1
AAC C 内引直线
1AO垂直于AC，O 为垂足，
过O 在平面ABC 内引直线OH 垂直于BC，H 为垂足，连接
1A H ．
由平面ABC⊥平面
1
1
A ACC ，平面ABC 平面
1
1
A ACC
AC
，
所以
1AO 平面ABC，所以
1AO
OH
，
1AO
BC
．
又OH⊥BC，
1AO
OH
O
，所以BC⊥平面
1AOH ，
故
1A HO
为二面角
1A
BC
A
的平面角．
设
2
AB
AC
，
由
1
60
A AC
，可知O 为AC 的中点，
所以
1
3
AO
．又
2
AB
AC
，AB 平面
1
1
A ACC ，AC 平面
1
1
A ACC ，
所以AB⊥AC，所以
2
2
OH
．
所以
2
2
1
1
1
14
3
2
2
A H
AO
OH
．
所以
1
1
2
7
2
cos
7
14
2
OH
A HO
A H
，
所以二面角
1A
BC
A
的余弦值为
7
7
．
6.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
AA ，
1
2
AC
，
6
BAC
，E ，F 为线段
1AC 的三等分点，点D 在线
段EF 上（包括端点）运动，则二面角D
AB
C
的正弦值的取值范围为（
）
A．1 2 19
,
4
19
B．1 2
,
4 3
C．1 4 19
,
2
19
D．1 2
,
2 3
【答案】C
【解析】在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中,
1
AA 平面ABC，且AC 平面ABC，故
1
AA
AC
，
又
1
1
AA ，
1
2
AC
，
所以
2
2
2
1
3
AC
，
1
6
ACA
.
如图，过点D 作DM
AC
交AC 于点M ，
则
1
//
DM A A ，故DM 平面ABC，
因为AB 平面ABC，故DM
AB
，
过点M 作MN
AB
交AB 于点N ，连接DN，
因为MN 平面MND ，DM 平面MND ，且MN
DM
M
，
所以AB 平面MND ，又DN 平面MND ，则DN
AB
，
故
DNM
即二面角D
AB
C
的平面角.
设
1
2
2
3
3
DC
a
a
，在直角
DCM
△
中，
6
DCM
，所以DM
a
，
3
CM
a
，
所以
3
3
AM
a
，
1
1
3
3
2
2
MN
AM
a
.
所以
2
2
2
1
7
6
3
2
DN
DM
MN
a
a
，
则
2
2
2
2
2
sin
1
6
3
1
7
6
3
7
3
1
4
2
DM
a
DNM
DN
a
a
a
a
a
，
易知
2
1
3
1
4
f a
a
在1 2
,
3 3
上的值域为19 ,16
4
，
所以
1 4 19
sin
,
2
19
DNM
.故选：C.
7.如图，四边形ABCD 是正方形，PA 平面ABCD ，且
2
PA
AB
＝
求二面角B
PD
A
的大小的正弦值．
【答案】
6
3
【分析】根据已知得BE
PD
，AE
PD
，可知
AEB
二面角B
PD
A
的大小的平面角，在直角三角形
BAE 中求其正弦值即可.
【详解】连接
,
BE BD ,
∵
2
2
2 2
PB
AP
AB
,
2
2
2 2
BD
AB
AD
,∴PB
BD
,
∴BE
PD
,∴
AEB
二面角B
PD
A
的大小的平面角，
又∵PA
AB
, AB
AD
,
,
AP AD 平面PAD ,且PA
AD
A
,
∴AB 平面PAD ,∴AB
AE
,
∵
2
2 2
PD
AP
,∴
1
2
2
ED
PD
,∴
2
2
6
BE
BD
ED
,
∴
6
sin
3
AB
AEB
BE
,即二面角B
PD
A
的大小的正弦值
6
3
.
题型十一：垂面法求二面角
1.如图，已知PA
，PB
，垂足为A 、B ，若
60
APB
，则二面角
l
的大小是______．
【答案】120/ 2
3
【解析】设二面角
l
的大小为，
因为PA
，PB
，垂足为A 、B ，
所以平面PAB
，平面PAB
所以
180
APB
，
又
60
APB
，所以
180
120
APB
.
2.如图，已知二面角
AB
，且
AB
，PC
，PD
，C，D 是垂足，平面PCD 与AB 交于
点H．
（1）求证：AB⊥平面PCD；
（2）若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角
AB
的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）120°
【解析】（1）证明：因为PC
，AB
，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．
又PC
PD
P
，故AB⊥平面PCD．
（2）∵P，C，D，H 四点共面，
所以由（1）可得AB⊥平面CDH，AB⊥DH，AB⊥CH，
∴∠CHD 是二面角
AB
的平面角；
∴在四边形PCHD 中，∠PCH＝∠PDH＝90°，
又根据已知条件∠CPD＝60°；
∴∠CHD＝120°；
即二面角
AB
的大小是120°．
3.已知二面角
l
，若直线a
，直线b
，且直线,a b 所成角的大小为60，则二面角
l
的
大小为_________.
【答案】60或120
【解析】设点P 是二面角
l
内的一点，过P 分别作直线,a b 的平行线
,
PA PB ，
且PA 垂直于于A ，PB垂直于于B ，
设平面PAB 交直线l 于点O，连接OA ，OB ，
由于PA
，PB
，l ，l
，故PA
l
，PB
l
，
又PA
PB
P
，
,
PA PB 平面PAB ，故l 平面PAB ，
又OA，OB 平面PAB ，故l
OA
，l
OB
，
所以
AOB
为二面角
l
的平面角，
因为直线,a b 所成角的大小为60，所以
60
APB
或120，
当
120
APB
时，如图
因为
180
APB
AOB
，所以
60
AOB
；
当
60
APB
时，
如图
因为
180
APB
AOB
，所以
120
AOB
;
综上，二面角
l
的大小为60或120
故答案为：60或120
4.已知P 是二面角
l
内的一点，PA 垂直于于
,
A PB 垂直于于
,
8 3,
8
B AB
PA
PB
，则二面角
l
的大小为__．
【答案】3
【解析】设平面PAB 交直线l 于点O，连接OA，OB ，由于PA
，PB
，l ，l
，
故PA
l
，PB
l
，又PA
PB
P
，
,
PA PB 平面PAB ，
故l 平面PAB ，又OA，OB 平面PAB ，故l
OA
，l
OB
，
所以
AOB
为二面角
l
的平面角，
由于PA
，PB
，OA
，OB
，故PA
OA
，PB
OB
，
故在四边形PAOB 中，
APB
与
AOB
互补，
又
8 3
AB
，
8
PA
PB
，
在
APB
△
中由余弦定理
2
2
2
2
cos
AB
AP
BP
AP BP
APB
，
即
2
2
2
8 3
8
8
2 8 8cos
APB
，解得
1
cos
2
APB
，
又0
APB
，所以
2
3
APB
，
故
2
3
3
AOB
，则二面角
l
的大小为3
．
5.已知P 是二面角
l
内的一点，PA 垂直于于
,
A PB 垂直于于
,
8 3,
8
B AB
PA
PB
，则二面角
l
的大小为__．
【答案】3
【解析】设平面PAB 交直线l 于点O，连接OA，OB ，由于PA
，PB
，l ，l
，
故PA
l
，PB
l
，又PA
PB
P
，
,
PA PB 平面PAB ，
故l 平面PAB ，又OA，OB 平面PAB ，故l
OA
，l
OB
，
所以
AOB
为二面角
l
的平面角，
由于PA
，PB
，OA
，OB
，故PA
OA
，PB
OB
，
故在四边形PAOB 中，
APB
与
AOB
互补，
又
8 3
AB
，
8
PA
PB
，
在
APB
△
中由余弦定理
2
2
2
2
cos
AB
AP
BP
AP BP
APB
，
即
2
2
2
8 3
8
8
2 8 8cos
APB
，解得
1
cos
2
APB
，
又0
APB
，所以
2
3
APB
，故
2
3
3
AOB
，则二面角
l
的大小为3
．
6.如图，在三棱锥S－ABC 中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC 且分别交AC，SC 于点D，E，
又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C 的大小．
【详解】∵SB＝BC 且E 是SC 的中点，
∴BE 是等腰三角形SBC 底边SC 的中线，∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，
∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，
∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，
∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE＝DE，
平面SAC∩平面BDC＝DC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∴∠EDC 是所求二面角的平面角．
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.
设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2 2.
∵AB⊥BC，∴AC＝2 3，∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.
即所求的二面角等于60°.
题型十二：补形法求二面角
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
E F 分别为AB 、
1
AA 的中点，则平面
1
CEB 与平面
1
1
D FB 所成二面
角的平面角的正弦值为______．
【答案】
3
2
【解析】设棱长为1，延长CE 、
1
D F 、DA 交于一点G ，
所以
1
2
B C
，
1
3
B G
，
5
CG
，
则
2
1B C
2
1
B G
2
CG ，故
1
1
B G
B C
．
同理
1
1
1
B D
B G
，则
1
1
CB D
即为所求二角的平面角，
而
1
1
1
1
2
D C
B D
B C
，
所以
1
1
60
CB D
，其正弦值为
3
2
．
2.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为正方形，二面角P
BC
A
为直二面角．
2
BP
CP
，
BP
CP
，M，N 分别为AP，AC 的中点．求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值.
【答案】
6
3
【解析】∵PB
PC
，
2
PB
PC
，∴
2
BC
∵面PBC 面ABCD，面PBC 面ABCD
BC
，
又∵底面ABCD为正方形，
∴
/ /
AB
CD ，BC
CD
，
2
AB
BC
CD
DA
，
又CD 面ABCD，则CD 面PBC，故AB 面PBC，PB 面PBC ，
∴CD
PB
，且面ABCD 为正方形，
如下图，作
/ /
PF
CD ，
/ /
CP
DF ，连接MF，ND，
∴四边形ABPF 、四边形CDFP 为矩形，则CP
PF
∵M、N 分别为AP 和AC 的中点
∴B、M、F 三点共线，B、N、D 三点共线，
易知：面BMN 与面BDF 为同一个平面，且面BDF 面PCD
DF
，
所以平面BMN 平面PCD
DF
，
∵BP
CP
，CP
PF
，又
,
,
BP
PF
P BP PF
面ABPF
∴
CP
面ABPF ，结合
/ /
CP
DF ，故DF 面ABPF ，
又BF 面ABPF ，则DF BF ，在矩形CDFP 中PF
DF
，
由BF 面BMN ，PF 面PCD，故平面BMN 与平面PCD 夹角为
PFB
，
∵PB
PF
，
2
PB
，
2
PF
，∴
6
BF
∴
2
6
cos
3
6
PF
PFB
BF
∴平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值为
6
3
.
3.如图，在四棱锥P
OABC
中，已知
1
OA
OP
，
2
CP
，
4
AB
，
π
3
CPO
，
π
6
ABC
，
π
2
AOC
，
E 为PB中点，F 为AB 中点.
（1）证明：平面
/ /
CEF
平面PAO ；
（2）若
3
PA
，求平面POC 与平面PAB 所成夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）3 13
13
.
【解析】（1）连接AC ，∵E 为PB中点，F 为AB 中点，
∴
/ /
EF
PA，又EF 面PAO ，PA 面PAO ，
∴
/ /
EF
面PAO ，
在
PCO
△
中，
1
OP ，
2
CP
，
π
3
CPO
，
∴
2
2
2
2
2
1
2
cos
2
2 1 2
3
2
1
OP
CP
OP C
O
P
OC
CP
，
即
3
OC
，
在
ACO
△
中，
1
OA ，
π
2
AOC
，∴
2
AC
，
π
3
OAC
，
在
ACB
△
中，
4
AB
，
π
6
ABC
，
2
AC
，
sin
sin
1
AB
ABC
ACB
AC
，
∴
π
2
ACB
，
π
3
CAB
，∴
2π
3
OAB
，
∵F 为AB 中点，∴
1
2
2
CF
AB
，
2π
3
CFB
，∴OA
CF
∥
，
又∵CF 面PAO ，OA 面PAO ，∴
//
CF
面PAO ，
又∵CF
EF
F
，CF，EF 面CEF ，
∴平面
/ /
CEF
平面PAO ；
（2）延长CO 与BA 交于H ，连PH ，则面PAB 面POC
PH
，
在
PCO
△
中，
1
OP ，
2
CP
，
3
OC
，所以OC
OP
，
又
π
2
AOC
，OA
OC
，PO
OA
O
，
,
PO OA 面POA，
∴CO 面POA，CO 面PCO，
∴面PCO 面POA，
在面POA内过A 作AM
PO
，则AM 面PCO，
∵PH 面PCO，∴AM
PH
，
过A 作AN
PH
，连MN ，∵AM
AN
A
，AM 面AMN ，AN 面AMN ，
∴PH 面AMN ，MN 面AMN ，
∴PH
MN
，
∴
ANM
即为面POC 与面PAB 所成二面角的平面角，
∵
1
OP
OA
，
3
PA
，
∴
2π
3
POA
，
2
3
AM
，
∵
2
CF
，
/ /
OA
CF ，
∴
3
OH
，
2
AH
，
2
PH
，又
3
PA
，
∴
2
2
3
2
2
2
3
AN
，
39
4
AN
，
3 3
4
MN
，
∴
3 3
3 13
4
cos
13
39
4
ANM
.
4.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
AA ，P 是棱AB 上任一点，若平面
1B DP 和平面
1
1
AA D D 所成的
角为，则tan的最小值为________．
【答案】
2
2
【解析】如下图所示：
当P 与
,
A B 重合时，可得：tan
1
；
②当P 异于
,
A B 时，延长
1
1
,
B P A A交于点Q ，连接QD ，
则DQ 为平面
1B DP 与平面
1
1
AA D D 的交线，
由PA 平面
1
1
AA D D ，DQ 平面
1
1
AA D D ，可得：PA
DQ
过A 作AH
QD
于点H ，连接PH ，可得：DQ 平面PHA
可得：PH
DQ
故
PHA
为平面
1B DP 与平面
1
1
AA D D 所成的角，即
PHA
设
(0
1)
PA
x
x
，可得：
1
x
AQ
x
，
2
2
2
1
1
x
x
DQ
x
，
2
2
2
1
x
AH
x
x
可得：
2
2
1
1
2
tan
tan
2
2
1
2
2
2
2
AP
PHA
x
x
x
AH
当且仅当
1
2
x
，即P 为AB 的中点时取等号.
综上，tan的最小值为
2
2
5.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为正方形，二面角P
BC
A
为直二面角．
2
BP
CP
，
BP
CP
，M，N 分别为AP，AC 的中点．求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值.
【答案】
6
3
【解析】∵PB
PC
，
2
PB
PC
，∴
2
BC
∵面PBC 面ABCD，面PBC 面ABCD
BC
，
又∵底面ABCD为正方形，
∴
/ /
AB
CD ，BC
CD
，
2
AB
BC
CD
DA
，
又CD 面ABCD，则CD 面PBC，故AB 面PBC，PB 面PBC ，
∴CD
PB
，且面ABCD 为正方形，
如下图，作
/ /
PF
CD ，
/ /
CP
DF ，连接MF，ND，
∴四边形ABPF 、四边形CDFP 为矩形，则CP
PF
∵M、N 分别为AP 和AC 的中点
∴B、M、F 三点共线，B、N、D 三点共线，
易知：面BMN 与面BDF 为同一个平面，且面BDF 面PCD
DF
，
所以平面BMN 平面PCD
DF
，
∵BP
CP
，CP
PF
，又
,
,
BP
PF
P BP PF
面ABPF
∴
CP
面ABPF ，结合
/ /
CP
DF ，故DF 面ABPF ，
又BF 面ABPF ，则DF BF ，在矩形CDFP 中PF
DF
，
由BF 面BMN ，PF 面PCD，故平面BMN 与平面PCD 夹角为
PFB
，
∵PB
PF
，
2
PB
，
2
PF
，∴
6
BF
∴
2
6
cos
3
6
PF
PFB
BF
∴平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值为
6
3
.
题型十三：射影面积法求二面角
1.在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）求面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2 3
3
【解析】（1）证明：∵底面ABCD 是正方形，∴AB⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，
∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD；
（2）由题意，△PBD 在面PAD 上的射影为△PAD．
设AD＝a，则S△PAD
2
3
4 a
，
△PBD 中，PD＝a，BD
2
a，PB
2
a，
∴S△PBD
2
2
2
1
7
2
2
4
4
a
a
a
a
，
∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的余弦值为
3
7
，
∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值为2
2 3
3
3
．
2.如图ABC
与
BCD
△
所在平面垂直，且AB
BC
BD
，
120
ABC
DBC
o，则二面角A
BD
C
的
余弦值为_______.
【答案】
5
5
【解析】过A 作AE
CB
的延长线于E，连结DE，
∵平面ABC 平面BCD，平面ABC 平面BCD
BC
，
∴
AE
平面BCD
∴E 点即为点A 在平面BCD内的射影，
∴
BDE
△
为
ABD
△
在平面BCD内的射影，
设AB
a
=
，则
3
sin 60
2
AE
DE
AB
a
o
，
∴
6
,
2
AD
a
由余弦定理可得
1
cos
4
ABD
，∴
15
sin
4
ABD
∴
2
2
1
15
15
2
4
8
ABD
S
a
a
V
，
又
1
2
BE
a
，∴
2
1
3
1
3
2
2
2
8
BDE
S
a
a
a
V
，
设二面角A
BD
E
为，∴
5
cos
5
BDE
ABD
S
S
V
V
.
而二面角A
BD
C
与A
BD
E
互补，
∴二面角A
BD
C
的余弦值为
5
5
.
3.如图所示，已知圆柱
1
OO 的底面直径
6
AB
，母线长
8
PA
，且C 为圆柱底面圆周上的一点，
30
ABC
．求：
（1）圆柱
1
OO 的体积和侧面积；
（2）二面角P
BC
A
的正弦值．
【答案】（1）体积72π ，圆柱的侧面积48；（2）8 73
73
【解析】（1）因为圆柱
1
OO 的底面直径
6
AB
，母线长
8
PA
，
所以，圆柱的体积为
23
8
72
V
，圆柱的侧面积为
2
3 8
48
S
侧
.
（2）因为AB 是圆柱的底面直径，所以BC
AC
，
因为PA 是圆柱的母线，所以PA 平面ABC ，
在Rt
ABC
△
中，
6
AB
，
30
ABC
，所以
3
AC
，
3 3
BC
∴
1
9 3
3 3 3
2
2
ABC
S
，
由勾股定理得
2
2
8
3
73
PC
，
2
2
8
6
10
PB
在PBC
中，∴
2
2
2
PC
BC
PB
，
则PC
BC
，
1
3 219
73 3 3
2
2
APBC
S
设二面角为，则由射影面积法可得
9 3
3 73
2
cos
73
3 219
2
ABC
PBC
S
S
所以
8 73
sin
73
，
因此，二面角P
BC
A
的正弦值为8 73
73
.
4.（多选）如图所示，
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为正方体，以下四个结论中正确的有（
）
A．
1
AC 平面
1
1
CB D
B．直线
1BC 与BD 所成的角为60°
C．二面角
1
1
1
C
B D
C
的正切值是
3
D．
1
AC 与底面ABCD 所成角的正切值是
2
【答案】AB
【解析】如图，因为正方体中对角线
1
AC 在平面
1
1
AC 上的射影为
1
1
AC ，
而
1
1
1
1
AC
B D
，
1
1
1
AA
B D
，
1
1
1
1
AA
AC
A
，
所以
1
1
B D 平面
1
1
AAC ，所以，同理可得
1
1
AC
B C
，
又
1
1
1
1
B C
B D
B
，可得
1
AC 平面
1
1
CB D ，故A 正确；
因为
1
1
//
BD B D ，所以直线
1BC 与BD 所成的角为直线
1BC 与
1
1
B D 所成的角，
1
1
CB D
即为所求，又正方体中
1
1
CB D
为正三角形，所以
1
1
60
CB D
，故B 正确；
因为
1
1
CB D
在上底面的射影三角形为
1
1
1
C B D
，
所以二面角的余弦为
1 1
1
1
1
2
1
2
1
1
3
2
cos
3
3 ( 2
)
4
C B D
CB D
CC
S
S
CC
△
△
=
=
，
所以tan
2
，故C 错误；
因为
1
C C 平面ABCD，所以
1
AC 与底面ABCD 所成角为
1
C AC
，
所以
1
1
2
tan
2
C C
C AC
AC
，故D 错误.故选：AB
5.在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）求面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2 3
3
【解析】（1）证明：∵底面ABCD 是正方形，∴AB⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，
∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD；
（2）由题意，△PBD 在面PAD 上的射影为△PAD．
设AD＝a，则S△PAD
2
3
4 a
，
△PBD 中，PD＝a，BD
2
a，PB
2
a，
∴S△PBD
2
2
2
1
7
2
2
4
4
a
a
a
a
，
∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的余弦值为
3
7
，
∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值为2
2 3
3
3
．
6.如图，在三棱锥PABC 中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D 为线段AC 的中点，E 为线
段PC 上一点.求二面角PBCA 的平面角的大小.
【答案】
�
�
【解析】设二面角P-BC-A 的平面角为�，
∵PA⊥AB，PA⊥AC，且AB、AC⊂平面ABC，
∴PA⊥平面ABC
∴∆���为∆���的射影，PA⊥BC，
∵BC⊥AB 且PA、AB⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
∵PA=AB=BC=2，
∴��=
���+ ���=
��+ ��= ��，
∴�∆���=
�
�× �× �= �，�∆���=
�
�× �× ��= ��，
∴����=
�
��=
�
�，所以二面角P-BC-A 的平面角的大小为
�
�.
模块三：综合巩固
1.如图，在正方体ABCD
EFGH
中，O为侧面ADHE 的中心，P 是平面EFGH 的中心，求OP 和CD 所成
的角．
【答案】45
【分析】
连接
,
EG HF ，
,
AF AH ，确定异面直线OP 与CD 所成的平面角，即可求解.
【详解】
连接
,
EG HF ，则
,
O P 分别为
,
AH HF 的中点，连接
,
AF AH ，
则
/ /
OP
AF ，又
/ /
CD
AB ，
所以
BAF
(或其补角)为异面直线OP 与CD 所成的角，
由于
ABF
△
是等腰直角三角形，故
45
BAF
，
即OP 与CD 所成的角为45.
2.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M ，N 分别在上、下底面圆上，
2
NB
AN
，
2
CM
DM
，
2
AB
，
3
BC ，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（
）
A．3 30
10
B．3 30
20
C．
3
5
D．
3
4
【答案】B
【解析】如图（1），在
AB 上取点E ，使
2
AE
EB
，
连接NE ，AN ，NB ，BE ，EA ．
易知四边形ANBE 为矩形，则NB
AE
∥
，且NB
AE
．
连接MN ，CM ．因为MN
BC
∥
，且MN
BC
，
所以四边形MNBC 为平行四边形，所以CM
NB
∥
，且CM
NB
．
连接CE ，则AE
CM
∥
，且AE
CM
，
所以四边形AECM 为平行四边形，则AM
CE
∥
，
所以
NCE
或其补角是异面直线AM 与CN 所成的角．
在Rt
ABN
△
中，
2
NB
AN
，
2
AB
，
3
BN
，
1
AN ，
在Rt
BNC
△
中，
3
CB
，
3
BN
，所以
2
2
3
( 3)
2 3
CN
．
在Rt BCE
中，
3
CB
，
1
BE ，所以
2
2
3
1
10
CE
．又
2
NE
AB
，
在
NCE
△
中，由余弦定理
10 12
4
3 30
cos
20
2
10
2 3
NCE
．
故选：B.
3.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AB
BC
AC
AA
，则异面直线
1
AB 与
1
BC 所成角的余弦值等于（
）
A．
3
2
B．1
2
C．1
3
D．1
4
【答案】D
【解析】如图，将该几何体补成一个直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，由题易得底面ABCD为菱形，且ABC
为
等边三角形.
连接
1,
DC BD ，易得
1
1
AB
DC
∥
，所以
1
BC D
（或其补角）是异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角.
设AB 1，则
2
1
1
1
2,
2 1
3
2
BC
DC
BD
，
所以
2
2
2
1
2
( 2)
( 2)
( 3)
1
cos
4
2 ( 2)
BC D
.
故选：D.
4.如图，MA 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA
AB
a
，试求：
(1)点M 到BD 的距离；
(2)求异面直线MB 与AC 所成的角.
【答案】(1)
6
2 a
(2)60
【分析】
（1）根据垂直关系可得三角形边长，即可判断MBD
为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解，
（2）根据异面直线所成角的几何法求解角，即可利用三角形的性质求解.
【详解】（1）
由于MA 平面ABCD，
,
AB AD 平面ABCD，所以
,
MA
AD MA
AB
，
MA
AB
a
,四边形ABCD是正方形,
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2 ,
2
MD
AM
AD
a
a
a MB
AM
AB
a
a
a
,
又
2
2
2
2
2
BD
AB
AD
a
a
a
，
连接
,
AC BD 相交于O，
所以MBD
为边长为
2a 的等边三角形，所以MO
BD
,
故M 到BD 的距离为
3
6
2
2
MO
BD
a
,
（2）取MD 的中点为N ，连接
,
NO AN ,
由于O是BD 的中点，所以
/ /
MB
NO ,
故
AON
即为直线MB 与AC 所成的角或其补角，
由于
1
2
2
2
NO
MB
a
，
1
2
2
2
AO
AC
a
,
1
2
2
2
AN
MD
a
,
所以AON
为等边三角形，所以
60
AON
,
故直线MB 与AC 所成的角为60，
5.《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平
行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF 的底面ABCD 是边长为1 的正方形，
且△EAD、△FBC 均为正三角形，棱EF 平行于底面ABCD，EF＝2．
(1)求证：AE⊥CF；
(2)求三棱锥A-BCE 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
12
【分析】（1）延长AB 到M 点，使BM
AB
，连接CM，FM，可证
//
AE MF ，根据勾股定理可得MF
CF
，
从而得到AE
CF
.
（2）在（1）的几何体中连接AC ，取CM 的中点为S，连接
,
FS BS ，根据体积关系可得
1
3
A BCE
F CBM
C FSB
M
FSB
FSB
V
V
V
V
CB
S
，据此可求体积.
【详解】（1）延长AB 到M 点，使BM
AB
，连接CM，FM，则
2
CM
，
∵
//
EF
平面ABCD，平面AMF 平面ABCD
AM
，EF 平面AMF ，
∴
//
EF AM .
∵
2
AM
EF
，∴四边形AMFE 是平行四边形，∴
//
AE MF ，
在△FCM 中，
1
FC
FM
，
∴
2
2
2
FC
FM
CM
，∴
90
CFM
，即MF
CF
，
∴AE
CF
，
（2）在（1）的几何体中连接
,
,
,
AC AF EC EB ，则
A BCE
E ABC
V
V
，
因为
//
EF AB ，EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，
故
//
EF
平面ABCD，故
A BCE
E ABC
F
ABC
V
V
V
，
而AB
BM
，故
A BCE
F CBM
V
V
.
在三棱锥F
BCM
中，由（1）可得
FCM
△
是以CFM
Ð
为直角的等腰直角三角形，
而
1,
90
CB
BM
CBM
，故CBM
也为等腰直角三角形，
取CM 的中点为S，连接
,
FS BS ，则
1
2
2
2
FS
BS
CM
，
且
,
FS
CM BS
CM
，
因FS
BS
S
，故CM 平面FCB ，
而
1
FB ，故
2
2
2
FB
FS
BS
，所以FSB
也为等腰直角三角形，
故
2
1
2
1
2
2
4
FSB
S
，
故
1
2
3
12
A BCE
F CBM
C FSB
M
FSB
FSB
V
V
V
V
CM
S
.
6.如图，在四面体PABC 中，PC
AB
，PA
BC
，点D，E，F，G 分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点.
(1)求证：DE ∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG 为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q 的位置（不需要论证）.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，Q 点即是DF 与EG 的交点O
【分析】(1)只要证明DE 平行于平面BCP 内的一条直线即可；
(2)只要证明四边形DEFG 是平行四边形，并且有两条邻边互相垂直即可；
(3)构造另一个矩形，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可.
【详解】（1）由题意，DE 是
PAC
△
底边PC 上的中位线，
/ /
DE
PC
，
DE 平面BCP，PC 平面BCP，
/ /
DE
平面BCP；
（2）由题意，
1
/ /
,
2
DE
PC DE
PC
，同理
1
/ /
,
2
GF
PC GF
PC
，
,
/ /
DE
GF DE
GF
，四边形DEFG 是平行四边形，
同理，
/ /
,
EF
AB
,
PC
AB
EF
DE
，∴平行四边形DEFG 是矩形；
（3）如图：
设PC 的中点为J，AB 的中点为K，连接JG，EK，
则有：
1
1
/ /
,
,
/ /
,
2
2
JG
BC JG
BC EK
BC EK
BC
，
/ /
,
EK
JG EK
JG
，
∴四边形EKGJ 是平行四边形，
连接JE，KG，则有:
/ /
,
,
JE
PA PA
BC
JE
EK
，平行四边形EKGJ 是矩形，
连接JK，DG，交点为O，则O 是EG 的中点，因此也是矩形DEFG 对角线的交点，
EJG
是直角三角形，O 是斜边EG 的中点，
OJ
OE
OG
OD
OK
OF
，
即点O 到四面体PABC 的6 条棱的中点的距离相等，所以所求的Q 点即是O 点；
综上，到四面体PABC 的6 条棱的中点的距离相等的点Q 存在，就是矩形DEFG 的对角线的交点O.
7．如图，在正三棱柱ABC
A B C
中，E 为棱AC 的中点，
2
AB
BB
.求证：BE
AC
.
【答案】证明见解析
【分析】
根据异面直线的夹角结合勾股定理分析证明.
【详解】
如图，取CC的中点F，连接EF，BF，
∵E 为AC 的中点，F 为CC的中点，
∴
/ /
EF
AC，∴BE 和EF 所成角为
BEF
，
即为异面直线BE 与AC所成角，且
1
2
EF
AC
.
在正三棱柱ABC
A B C
中，
2 2
AC
，
2
EF
.
在等边三角形ABC 中，
2
2
2
1
3
BE =
-
=
，
在Rt△BCF 中，
2
2
2
1
5
BF
.
在△BEF 中，
2
2
2
BE
EF
BF
，
∴BE
EF
，∴BE
AC
.
8.如图，已知多面体FABCDE 的底面ABCD是边长为2 的菱形，
60
ABC
，FA 底面ABCD，
/ /
DE
AF ，
M 是BC 的中点，且
3
3
FA
DE
.
(1)求证AM
EF
；
(2)求三棱锥E
ACF
的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
3
【分析】（1）根据条件证明AM 底面ADEF 即可；
（2）先求出点C 到平面ADEF 的距离，再根据
E ACF
C AEF
V
V
解题即可.
【详解】（1）由题意可知，底面ABCD 是边长为2 的菱形，
60
ABC
，
∴ABC
为等边三角形，
又∵M 是BC 的中点，∴AM
BC
，
又AD ∥BC ，∴AM
AD
，
∵FA 底面ABCD，AM 平面ABCD，故FA
AM
，
∵FA 平面ADEF，AD 平面ADEF，FA
AD
A
，
∴AM 面ADEF，EF 平面ADEF，故AM
EF
.
（2）由（1）知，AD ∥BC ，AM 面ADEF，
则点C 到平面ADEF 的距离即AM 的长，
又∵ABC
是边长为2 等边三角形，
∴
3
AM
，
∵FA 底面ABCD，
/ /
DE
AF ，∴四边形ADEF 为直角梯形，
∴
1
1
3 2
3
2
2
AEF
S
AF DA
，
∴
1
3
3
E
ACF
C
AEF
AEF
V
V
S
AM
.
即三棱锥E
ACF
的体积为：
3 .
9.（多选）在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，异面直线a 和b 分别在上底面
1
1
1
1
D
C
B
A
和下底面ABCD上运动，a
与b 的夹角为，且
3 10
sin
10
，当
1
BC 与b 所成角为60时，则a 与侧面
1
1
BCC B 所成角的正切值可能为
（
）
A．2
B．3
C．1
2
D．1
3
【答案】AC
【分析】根据空间线面关系，由异面直线所成角的解法，进行不断的平移转化，结合图形利用线线平行确
定线面角即可得解.
【详解】
易得直线BD 与
1
BC 所成角为60，所以b
BD
∥
或b
AC
∥
.
当b
BD
∥
时，过点C 作直线CE 与BD 交于点O，
直线CE 与BD 夹角的正弦值为3 10
10
，则a
CE
∥
，
此时
COD
或
BOC
，a 与侧面
1
1
BCC B 所成角为
ECB
，
因为
3 10
sin
10
，所以tan
3
.
当
COD
时，
tan
tan
1
4
tan
tan
4
2
1
tan
tan 4
ECB
；
当
BOC
时，
tan
tan 4
tan
tan
tan
2
4
4
1
tan
tan 4
ECB
.当b
AC
∥
时，同理.
故选：AC
10.已知两平行平面、间的距离为
3 ，点A
B
、
，点C
D
、
，且
4,
3
AB
CD
，若异面直线AB
与CD 所成角为60，则四面体ABCD的体积为
．
【答案】3
【分析】作出异面直线所成的角，再根据等体积法求四面体的体积即可.
【详解】设平面ABC 与平面交线为CE，取CE
AB
，如图，
因为
//
，面ABC 与平面，相交，且AB，CE 为交线，
所以
//
AB CE ，
所以异面直线AB 与CD 所成角为
ECD
（或其补角），所以
60
ECD
或120，
因为
4
CE
AB
，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以
A BCD
D ABC
D CBE
B CDE
V
V
V
V
,
因为
n
1
3
3 4
3 3
1
i
2
2
2
s
CDE
S
D
ECD
C
CE
△
，
设三棱锥B
CDE
的高为h ，因为两平行平面、间的距离为
3 ，所以
3
h
.
所以
1
1
3
3 3
3
3
3
A BCD
B CDE
CDE
V
V
h S
△
.
故答案为：3
11.如图，四棱锥P
ABCD
的底面四边形ABCD为正方形，四条侧棱PA
PB
PC
PD
，点E 和F 分别
为棱BC 和PD 的中点．若过A 、E 、F 三点的平面与侧面PCD的交线线段长为7 ，且异面直线AB 与PD
所成角的余弦值为
2
4
，则该四棱锥的外接球的表面积为
．
【答案】48
【分析】连接AE 并延长交DC 的延长线于M ，连接FM 交PC 于G ，由此确定所求交线线段
7
FG
，
在平面PDM 中，过C 作
/ /
CN
PD ，交FM 于N ，利用平行关系得到
2
3
PG
PC
，
根据
/ /
CD
AB ，将异面直线AB 与PD 所成角转化为
PDC
，得到
2
cos
4
PDC
，进一步得到
2DC
PD
，
再设
2
DC
a
，在
PFG
△
中利用余弦定理求出
3
a
，从而可确定正四棱锥的底面边长及侧棱长，
最后找出外接球球心的位置，构造三角形，利用勾股定理求出外接球的半径，从而可得外接球的表面积.
【详解】如图，连接AE 并延长交DC 的延长线于M ，连接FM 交PC 于G ，
所以平面AEF 与侧面PCD的交线线段为
7
FG
.
因为E 为BC 的中点，所以C 为DM 的中点，
在平面PDM 中，过C 作
/ /
CN
PD ，交FM 于N ，
因为C 为DM 的中点，所以
1
1
2
2
CN
DF
PF
，
由
/ /
CN
PD 得，
1
2
CG
CN
PG
PF
，
1
2
GC
PG
，
2
3
PG
PC
，
因为异面直线AB 与PD 的成角余弦值为
2
4
，又
/ /
CD
AB ，
所以
2
cos
4
PDC
.
由题知，四棱锥P
ABCD
为正四棱锥，
在等腰三角形PDC 中，由
2
cos
4
PDC
，得
2DC
PD
，
设
2
DC
a
，则
4
2 ,
,
3
3
2
PD
a PF
a PG
PC
a
，
在PCD
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
cos
2
2
2
2
4
a
a
a
PD
PC
CD
DPC
PD PC
a
a
，
在
PFG
△
中，由余弦定理可得，
2
2
2
2
cos
FG
PF
PG
PF PG
DPC
，
2
2
4
4
3
7
2
3
3
4
a
a
a
a
，解得
3
a
.
所以正四棱锥P
ABCD
的底面边长为3 2 ，侧棱长为6.
连接AC ，BD ，相交于
1
O ，连接
1
PO ，
则
1
PO 为正四棱锥的高，则
2
2
1
6
3
3 3
PO
.
设四棱锥外接球的球心为O，连接OA ，
在
1
OO A
△
中，由
2
2
2
1
1
OA
OO
O A
得，
2
2
2
(3 3
)
3
R
R
，解得
2 3
R
.
所以该四棱锥的外接球的表面积为
2
4
(2 3)
48
.
故答案为：48.
12.已知四棱锥P
ABCD
，底面ABCD为菱形，PD 平面ABCD，
2
PD
AD
CD
，
π
3
BAD
，E 为
PC 上一点．
(1)平面PAD 平面PBC
l
，证明：
/ /
BC
l ．
(2)当直线BE 与平面BCD的夹角为π
6 时，求三棱锥P
BDE
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
3
【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；
（2）过点E 作CD 的垂线，垂足为M ，所以EM 平面BCD，由题意可求得直线BE 与平面BCD的夹角
为
π
6
EBM
，可得点E 为PC 中点，由等体积法求解即可.
【详解】（1）因为
/ /
,
BC
AD BC 平面
,
PAD AD 平面PAD ，
所以BC / / 平面PAD ，BC 平面PBC ，
又因为平面PAD 平面PBC
l
，所以
/ /
BC
l ．
（2）过点E 作CD 的垂线，垂足为M ，则
/ /
PD
EM ，
因为PD 平面ABCD，所以EM 平面BCD，
所以直线BE 与平面BCD的夹角为
π
6
EBM
，
又
π
4
PCD
，设
,0
2
CM
x
x
，
则
2
2
2
π
,
4
2 2 cos
2
4
3
EM
x BM
x
x
x
x
，
所以
2
2
2
2
π
1
tan
2
4
6
3
EM
x
BM
x
x
，所以
1
x ，
所以M 为CD 中点，E 为PC 中点，
因为PD 平面ABCD，所以BM 平面ABCD，所以PD
BM
，
又因为BM
CD
，PD
CD
D
，
,
PD CD 平面PCD，
所以BM 平面PCD，所以点B 到平面PCD的距离为
3
BM
，
故
1
3
1
3
.
3
3
P BDE
B PDE
V
V
13.如图，已知PA
，PB
，垂足为A 、B ，若
60
APB
，则二面角
l
的大小是______．
【答案】120## 2
3
【分析】根据
APB
与二面角大小互补进行求解.
【详解】设二面角
l
的大小为，
因为PA
，PB
，垂足为A 、B ，
所以
180
APB
，又
60
APB
，所以
180
120
APB
.
故答案为：120
14.如图，大小为120的二面角
l
的棱上有两个点A，B，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个
面内，并且都垂直于棱l.若
2
MN
，
3
PM
，
4
NQ
，则PQ _____________.
【答案】
41
【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ
PM
MN
NQ
，再根据向量所成角，结合数量积公式平方
即可得解.
【详解】根据题意，PQ
PM
MN
NQ
，
由二面角
l
大小为120，可得
,
60
PM NQ
，
2
2
(
)
PQ
PM
MN
NQ
2
2
2
2
2
2
PM
MN
NQ
PM MN
NQ MN
PM NQ
1
9
4
16
2 3 4
41
2
，
所以
41
PQ
uuur
，
故答案为：
41
15.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，
如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2 倍，
则侧面与底面的夹角的正切值为___________．
【答案】
3
【分析】设此四棱锥P-ABCD 底面边长为a ，斜高为h，根据条件列式，得到h
a
，再根据二面角的定
义，找到二面角的平面角，即可计算正切值.
【详解】如图，设此四棱锥P-ABCD 底面边长为a ，斜高为h，连结AC、BD 交于点O，连结OP，PO
底面ABCD，取CD 的中点M ，连结OM ，PM ，则PM
h
，
2
a
OM
，
则
2
1
4
2
2 ah
a
，h
a
，POM
中，
2
2
3
( )
2
2
a
a
PO
a
．
PM
CD
，OM
CD
，所以
PMO
是侧面和底面的夹角，
3
2
tan
3
2
a
PO
PMO
a
OM
，
故答案为：
3
16.三棱锥
P
ABC 中，若二面角
,
,
P
AB
C P
AC
B P
BC
A
所成的平面角均相等，则点P 在底面ABC
上的投影点为ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【分析】根据顶点在底面上的射影和二面角构成的3 个三角形是全等三角形，推出垂足到三边的距离相等，
进而得出结果.
【详解】如图，设O为P 在ABC
上的射影，
过O作OE
AB
OF
AC
OG
BC
，
，
，垂足分别为E
F
G
、、
，
连接PE
PF
PG
、
、
，
则OP 平面ABC ，由OE
OF
OG
、
、
平面ABC ，
得OP
OE
，OP
OF
，OP
OG
，
即
90
POE
POF
POG
，
由AB
AC
BC
、
、
平面ABC ，
得OP AB ，OP
AC
，OP
BC
，
又PO
OE
O
PO
OF
O
PO
OG
O
，
，
，
所以AB 平面PEO ，AC 平面PFO ，BC 平面PGO ，
则3 个二面角所成的平面角分别为
PEO
PFO
PGO
、
、
，
所以
PEO
PFO
PGO
，又OP 为公共边，
所以PEO
PFO
PGO
，有OE
OF
OG
=
=
，
故O为ABC
的内心.
故选：B
17.如图,正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都为2,则平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值为（
）
A．
7
7
B．2 7
7
C．
21
7
D．
7
7
【答案】C
【分析】根据面面垂直转化面面夹角为另一个方便解答的面面夹角,分别向交线作垂线,即可得到面面夹角
或其补角,构造三角形,求出各边,用余弦定理求出夹角余弦值.
【详解】解:由题知,平面ABC 与平面
1
1
A BC 的夹角即为平面
1
1
1
A B C 与平面
1
1
A BC 的夹角,
取
1
1
AC 的中点O,连接
1
,
OB OB ,如图所示:
因为正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都为2,
所以
1
1
,
2,
AB
AA AB
AA
所以
1
2 2
BA
,
同理可得:
1
2 2
BC
,所以
1
1
BA
BC
,
又
1
1
1
1
B A
B C
,所以
1
1
1
1
1
,
OB
AC OB
AC
,
所以
1
BOB
∠
（或其补角）为平面ABC 与平面
1
1
A BC 的夹角,
又
1
1
2
AC
,所以
1
7,
3
OB
OB
,
因为
1
2
BB
,所以
1
21
cos
7
BOB
,
故选:C．
18.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，设E 是棱BC 的中点，则（
）
A．
1
BD 平面
1
C DE
B．
1
BC
AC
^
C．平面
1
1
A BC 与平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
D．三棱锥
1
D
ACD
与三棱锥
1
B
ACD
体积相等
【答案】AD
【分析】对于A 选项，在平面
1
C DE 内找到与
1
BD 平行的直线即可·.
对于B 选项，通过求出
1
BC ，AC 所成角度即可判断.
对于C 选项，可将平面
1
1
A BC 与平面ABCD所成角转化为求平面
1
1
A BC 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成角.
对于D 选项，分别计算三棱锥
1
D
ACD
与三棱锥
1
B
ACD
体积即可.
【详解】对于A 选项，如图，设
1
CD 交
1
C D 于F ，在
1
CD B
△
中，因F 为
1
CD 中点，E 为CB 中点，则FE
为
1
CD B
△
中位线，可得
1
EF
BD
∥
，又
1
BD 平面
1
C DE ，EF平面
1
C DE ，则
1
BD 平面
1
C DE ，故A 正
确.
对于B 选项，如图，因
1
1
/ /
BC
AD ，所以异面直线
1
BC 与AC 所成角就是
1
AD 与AC 所成角.又连接
1
CD ，因
1
1
AD
CD
AC
，所以
1
AD C
为等边三角形，有
1
3
π
D AC
，
得异面直线
1
BC 与AC 所成角为π
3 ，故B 错误.
对于C 选项，如图，因平面ABCD 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，所以平面
1
1
A BC 与平面ABCD所成角等于平面
1
1
A BC 与
平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成角.取
1
1
AC 中点为G，连接BG，
1
B G .
因
1
B G
1
1
AC
，BG
1
1
AC
，所以
1
BGB
为平面
1
1
A BC 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成二面角的平面角.设正方体棱长
为2，则
1
6
2
，
BG
BB
，所以
1
2
6
3
6
sin
BGB
.
故C 错误.
对于D，由图，
1
1
1
1
3
D
ACD
D
ACD
ADC
V
V
S
DD
.
1
1
1
1
3
B
ACD
D
ACB
ABC
V
V
S
DD
，又
ABC
ADC
S
S
△
△
，故
1
1
D ACD
B ACD
V
V
，
故D 正确.
故选：AD
19.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
(1)求异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角的大小；
(2)求二面角
1
C
AB
C
的大小.
【答案】(1) π
3
(2) π
4
【分析】（1）作出异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角，并求得角的大小.
（2）判断二面角
1
C
AB
C
的平面角，并求得角的大小.
【详解】（1）在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，连接
1
,
BD DC ，
由于
1
1
//
DC
AB ，所以
1
DC B
是异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角，
由于三角形
1
BDC 是等边三角形，所以
1
π
3
DC B
，
所以异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角的大小为π
3 .
（2）在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
,
AB
BC AB
BC
，
所以
1
C BC
是二面角
1
C
AB
C
的平面角，
根据正方体的性质可知
1
4
π
C BC
，
所以二面角
1
C
AB
C
的大小为π
4 .
20.如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AC
AA
，
45
ABC
.
(1)求直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角；
(2)求二面角
1
A
AC
B
的正切值.
【答案】(1) π
6 ；(2)
2
【分析】（1）取
1
1
B C 的中点D ，连接
1A D 和BD ，结合条件可证明
1A D 平面
1
1
BCC B ，由直线与平面所成
角的定义可得直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角,由解直角三角形即可求解；
（2）取
1AC 的中点，连接AO ，BO，先求得
1
1
A B
AC
BC
，再由二面角的定义找到二面角
1
A
AC
B
的
平面角
AOB
，由解直角三角形即可求解.
【详解】（1）取
1
1
B C 的中点D ，连接
1A D 和BD ，如图所示：
因为
1
1
1
1
A B
AC
，所以
1
1
1
A D
B C
，
在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
BB 平面
1
1
1
A B C ，
又
1A D 平面
1
1
1
A B C ，所以
1
BB
AD
，
因为
1
1
1
1
BB
B C
B
，
1
BB 、
1
1
B C 平面
1
1
BCC B ，
则
1A D 平面
1
1
BCC B ，又BD 平面
1
1
BCC B ，
所以
1A D
BD
，则在
1
Rt
A BD
△
中，
1
π
0
2
A BD
，
即直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角为
1A BD
，
在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA 平面ABC ，
又因为AB 平面ABC ，所以
1
AA
AB
，
因为
1
2
AB
AC
AA
，所以
45
ACB
ABC
，即
90
BAC
，
则
2
2
1
1
2 2
A B
AB
AA
，
2
2
1
1
2 2
B C
BC
AB
AC
，
所以
1
1
1
2
2
AD
B C
，则
1
1
2
1
sin
2
2 2
AD
A BD
A B
，
又
1
π
0
2
A BD
，所以
1
π
6
A BD
，
故直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角为π
6 .
（2）取
1AC 的中点，连接AO ，BO，
在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA 平面ABC ，
又因为AC 平面ABC ，所以
1
AA
AC
，
因为
1
2
AB
AC
AA
，
2
2
1
1
2 2
AC
AC
AA
，
由（1）知，
1
1
2 2
A B
AC
BC
，所以
1
BO
AC
，
1
AO
AC
，
又BO 平面
1
BAC ，AO 平面
1
AAC ，
所以
AOB
是二面角
1
A
AC
B
的平面角；
又BA
AC
，
1
BA
AA
，
1
AC
AA
A
∩
，AC 、
1
AA 平面
1
1
AAC C ，
所以BA 平面
1
1
AAC C ，AO 平面
1
1
AAC C ，则BA
AO
，
又
1
1
2
2
AO
AC
，
在Rt
AOB
△
中，
2
tan
2
2
AB
AOB
AO
，
故二面角
1
A
AC
B
的正切值为
2 .
21.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面
,
,
3
ABC CA
CB
AOC
，点O在棱AB 上且是ABC 的外心（三角形
三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心即外接圆的圆心），点G 是AOC
的内心（三角形的内心是三角
形三条角平分线的交点即内切圆的圆心），
2
PA
AB
.
(1)求证：平面OPG 平面PAC ；
(2)求二面角P
OG
B
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 4 17
17
.
【分析】（1）根据PA 平面ABC 得到PA
OG
，根据G 为AOC
的内心得到OG
AC
，即可得到OG 平
面PAC ，最后利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据OG 平面PAC 得到
PDC
为二面角P
OG
B
的平面角，根据AC
CB
，O为ABC
的外心，
得到
1
OA
OB
OC
，再结合
3
AOC
得到AOC
为等边三角形，
1
2
AD
DC
，然后利用勾股定理得
到PD ，PC ，最后利用余弦定理和同角三角函数基本公式求角即可.
【详解】（1）∵PA 平面ABC ，OG 平面ABC ，
∴PA
OG
，
∵G 为AOC
的内心，
∴OG
AC
，
∵PA
AC
A
，PA 平面PAC ，AC 平面PAC ，
∴OG 平面PAC ，
∵OG 平面OPG ，
∴平面OPG ⊥平面PAC .
（2）
延长OG 交AC 于D ，连接PD ，
∵OG 平面PAC ，PD 平面PAC ，CD 平面PAC ，平面PAC 平面OGB
OD
，
∴OG
PD
，OG
CD
，
∴
PDC
为二面角P
OG
B
的平面角，
∵AC
CB
，O为ABC
的外心，
∴O为AB 中点，且
1
OA
OB
OC
，
∵
3
AOC
，
∴AOC
为等边三角形，
1
2
AD
DC
，
在Rt PAD
中，
1
2
AD
，
2
PA
，∴
2
2
1
17
2
2
2
PD
，
在Rt PAC
中，
2
PA
，
1
AC ，∴
5
PC
，
2
2
17
1
5
2
2
17
cos
17
17
1
2
2
2
PDC
，
∵
0,
PDC
，∴
2
17
4 17
sin
1
17
17
PDC
,
所以二面角P
OG
B
的正弦值为4 17
17
.
22.如图所示，在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2 的正三角形，△ACD 是直角三角形，且AD=CD，且
BD=2，E 为DB 的中点．
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC．
(2)求二面角E
AC
B
的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)30．
【分析】（1）取AC 的中点O，连接OB，OD，先说明∠DOB 是二面角D
AC
B
的平面角,通过计算说
明二面角D
AC
B
是直二面角，即可证明结论；
（2）找到∠EOB 是二面角E
AC
B
的平面角，然后说明
30
BOE
OBD
，即可求得答案.
(1)
证明：如图所示，取AC 的中点O，连接OB，OD，
因为△ABC 是边长为2 的正三角形，△ACD 是直角三角形，且AD＝CD，
所以OB⊥AC，OD⊥AC，
所以∠DOB 是二面角D
AC
B
的平面角,
因为
1
1
2
OD
AC
，
3
OB
，BD=2，
所以
2
2
2
OD
OB
BD
，即OB⊥OD，
所以二面角D
AC
B
是直二面角，
因此，平面ACD⊥平面ABC．
(2)
解：由（1）可得AC⊥平面BOD，且
30
OBD
，OE 平面BOD ，所以AC⊥OE，
所以∠EOB 是二面角E
AC
B
的平面角．
在直角△BOD 中，因为E 是BD 的中点，
所以OE=EB，所以
30
BOE
OBD
，
即二面角E
AC
B
的大小是30．
23.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
E
BB
，截面
1A EC 侧面
1
AC .
(1)求证：
1
BE
EB
；
(2)若
1
1
1
AA
A B
，求平面
1A EC 与平面
1
1
1
A B C 所成二面角（锐角）的度数.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2) π
4 .
【分析】（1）根据三角形中位线定理、线面平行的性质定理，结合面面垂直的性质、平行四边形的判定定
理和性质进行证明即可；
（2）根据二面角的定义，结合勾股定理的逆定理、定理进行求解即可.
【详解】（1）设
1
1
AC 的中点为G ，过E 作
1
DE
AC
，垂足为D ，连接
1
,
DG GB ，
因为
1
1
1
A B C 是等边三角形，所以
1
1
1
GB
AC
，
因为
1
1
1
ABC
A B C
-
是正三棱柱，所以面
1
1
1
A B C 侧面
1
AC ，
而面
1
1
1
A B C Ç 侧面
1
1
AC
AC
，所以
1
GB 侧面
1
AC ，
因为截面
1A EC 侧面
1
AC ，截面
1A EC 侧面
1
1
AC
AC
，
所以DE 侧面
1
AC ，因此
1
/ /
DE
GB ，
因为
1
1
1
ABC
A B C
-
是正三棱柱，所以
1 / /
EB
侧面
1
AC ，
而平面
1
EB GD侧面
1
AC
DG
，所以
1 / /
EB
DG ，
因此
1
EB GD 是平行四边形，所以
1
GD
EB
，
因为
1
1
/ /
CC
BB ，所以
1 / /
CC
DG ，因为
1
1
AC 的中点为G ，所以D 是
1
AC 的中点，
于是有
1
1
2
DG
CC
，而
1
1
/ /
CC
BB 且
1
1
CC
BB
，所以E 是
1
BB 中点，
即
1
BE
EB
；
（2）延长
1
1
,
CE C B 交于点F ，
设
1
1
1
1
AA
A B
，由（1）可知：
1
B 是
1
C F 的中点，
因此
1
1
1
4
2 1 2
3
2
A F
，因为
2
2
2
1
1
1
1
A F
AC
C F
，
所以
1
1
1
A F
AC
，
1
1 1
2
AC
，
1 4
5
CF
，
因为
2
2
2
1
1
CF
A F
AC
，所以
1
1
A F
AC
，
于是
1
1
CAC
是平面
1A EC 与平面
1
1
1
A B C 所成二面角的平面角，
因为
1
1
1
1
AC
CC
，所以矩形
1
1
AC CA 是正方形，
因此
1
1
π
4
CAC
.
24．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中.
(1)求证：
1//
BC
平面
1
1
AB D ；
(2)作出二面角
1
1
B
AD
B
的平面角，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)图形见解析，理由见解析.
【分析】（1）由正方体的性质可得
1
1
ABC D 为平行四边形，即可得到
1
1
//
BC
AD ，从而得证.
（2）取
1
BC 、
1
AD 中点分别为P 、Q ，连接
1
B Q 、PQ，则
1
B QP
为二面角
1
1
B
AD
B
的平面角，根据正
方体的性质可得
1
1
B Q
AD
，再证
1
AB
AD
、
//
PQ AB ，即可得证.
(1)
证明：∵
1
1
1
1
ABCD
ABC D
是正方体，
∴
1
1
//
AB C D ，且
1
1
AB
C D
，
∴四边形
1
1
ABC D 为平行四边形，
∴
1
1
//
BC
AD ，
∵
1
BC 平面
1
1
AB D ，
1
AD 平面
1
1
AB D ，
∴
1//
BC
平面
1
1
AB D ．
(2)
解：取
1
BC 、
1
AD 中点分别为P 、Q ，连接
1
B Q 、PQ，则
1
B QP
为二面角
1
1
B
AD
B
的平面角，
理由如下：
设正方体的棱长为a ，则
1
1
1
2
AB
B D
a
，所以
1
1
B Q
AD
．
∵P 、Q 分别为
1
BC 、
1
AD 中点，
∴
//
PQ AB ．
在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，AB 平面
1
1
AA D D，
1
AD 平面
1
1
AA D D，
∴
1
AB
AD
，
∴
1
PQ
AD
，
∴
1
B QP
为二面角
1
1
B
AD
B
的平面角．
25．如图，正三棱锥S
ABC
中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，M 是BC 的中点．求：
(1) AM
SM 的值；
(2)二面角S
BC
A
的大小；
(3)正三棱锥S
ABC
的体积．
【答案】(1) 3
2 ；
(2) π
3 ；
(3) 9 3
8
.
【分析】（1）根据三角形面积公式，结合已知进行求解即可；
（2）根据二面角的定义进行求解即可；
（3）根据三棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】（1）因为S
ABC
是正三棱锥，所以ABC 是等边三角形，
即AB
AC
，而M 是BC 的中点．所以AM
BC
，
因为S
ABC
是正三棱锥，所以SB
SC
，而M 是BC 的中点．所以SM
BC
，
因为棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，
所以有
1
1
3
3
2
2
2
2
AM
SM BC
AM BC
SM
；
（2）因为S
ABC
是正三棱锥，
所以S在底面ABC 的射影为底面ABC 的中心，设为O，
由（1）可知AM 是三角形ABC 的中线，所以O在AM 上，
且
1
3
OM
AM
，
由（1）可知AM
BC
，SM
BC
，
所以
SMO
是二面角S
BC
A
的平面角，
在直角三角形SOM 中，
1
1
3
1
π
3
cos
3
2
2
3
AM
OM
SMO
SMO
SM
SM
；
（3）在等边三角形ABC 中，
2
2
1
9
3 3
(
)
9
2
4
2
AM
AB
BC
，
由（2）可知：在直角三角形SOM 中，
π
1
3 3
3
tan
3
3
3
3
2
2
SO
SO
OM
OM
，
所以正三棱锥S
ABC
的体积为1
1
3 3
3
9 3
3
3
2
2
2
8
.
26.如图，在三棱柱ABC
A B C
中，已知CB 平面
,
2
ABB A AB
，且
,
AB
BB A C
AB
.
(1)求AA的长；
(2)若D 为线段AC 的中点，求二面角A
B C
D
的余弦值.
【解析】（1）连接A B
，
因为CB 平面ABB A，AB平面ABB A，则CB
AB
，
又因为
,
A C
AB A C
CB
C
I
，
,
A C CB
平面A BC
，
所以AB平面A BC
，
且A B
平面A BC
，可得AB
A B
，
因为ABB A
为平行四边形，且AB
BB
，则ABB A
为矩形，
所以ABB A
正方形，可得
2
AA
AB
.
（2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱ABCE
A B C E
，
取
,
CE AB 的中点
,
P Q ，连接
,
,
PQ C P B Q
，则
,
,
P D Q三点共线，且PQ // BC ，
因为B C
// BC ，可得PQ// B C
，
所以平面B C D
即为平面PQB C
，
同理平面AB C
即为平面AB C E
，
因为B C
// BC ，CB 平面ABB A
，则B C
平面ABB A，
且
,
AB B Q
平面ABB A，则
,
B C
AB B C
B Q
，
所以二面角A
B C
D
的平面角为
AB Q
，
可得
2 2,
1,
5
B A
AQ
B Q
，
在
AB Q
△
中，则
2
2
2
8
5 1
3 10
cos
2
10
2 2 2
5
B A
B Q
AQ
AB Q
B A B Q
，
所以二面角A
B C
D
的余弦值为3 10
10
.
.
27.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面
1
1
BB C C 为菱形，
1
1
60 ,
2,
2
CBB
AB
BC
AC
AB
.
(1)证明：平面
1
ACB 平面
1
1
BB C C ；
(2)求二面角
1
1
1
A
AC
B
的余弦值.
【解析】（1）连
1
BC 、
1B C 交于D ，则D 为
1
BC 、
1B C 的中点，连AD ，
因为
1
AC
AB
，所以
1
AD
B C
，
因为侧面
1
1
BB C C 为菱形，
1
60 ,
2
CBB
AB
BC
，
1
2
AC
AB
，
所以
3
BD
，
1
AD ，所以
2
2
2
AB
BD
AD
，即AD
BD
，
因为
1B C
BD
B
，
1 ,
B C BD 平面
1
1
BB C C ，
所以AD 平面
1
1
BB C C ，因为AD 平面
1
ACB ，
所以平面
1
ACB 平面
1
1
BB C C .
（2）取
1
1
AC 的中点E ，连
1
AC ，AE ，
1B E ，
由（1）知，AD
BD
，又
1
BD
DC
，所以
1
2
AC
AB
，
又
1
1
2
AA
CC
，所以
1
1
AE
AC
，同理得
1
1
1
B E
AC
，
所以
1
AEB
为二面角
1
1
1
A
AC
B
的平面角，
在
1
AEB
中，
2
2
2
1
1
2
14
4
(
)
2
2
AE
AA
A E
，
2
2
2
1
1
1
1
2
14
4
(
)
2
2
B E
A B
A E
，
1
2
AB
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
cos
2
AE
B E
AB
AEB
AE B E
Ð
7
7
2
5
2
2
7
7
2
2
.
所以二面角
1
1
1
A
AC
B
的余弦值为5
7 .
28.如图，将边长为
2 的正方形ABCD沿对角线AC 折起，使得点D 到点D的位置，连接BD，O为AC 的
中点.
(1)若平面D AC
平面ABC ，求点O到平面D BC
的距离；
(2)不考虑点D与点B 重合的位置，若二面角A
BD
C
的余弦值为
2
3
，求BD的长度.
【答案】(1)
3
3
(2) 4 5
5
【分析】（1）连接OD,OB ，根据面面垂直的性质可得OD平面ABC ，然后利用锥体的体积公式结合等
积法即得；
（2）取D B
的中点E ，可得
AEC
为二面角A
BD
C
的平面角，然后利用余弦定理结合条件可得
2
2
6
5
AE
CE
，进而即得.
【详解】（1）解：连接OD，OB ，则OD
AC
，
平面D AC
平面ABC ，平面D AC
平面ABC ＝AC，OD平面D AC
，
OD
平面ABC ，又OB 平面ABC ，
OD
OB
，又正方形ABCD的边长为
2 ，
1
OD
OB
OC
,
2
BD
BC
D C
，
设点O到平面D BC
的距离为h ，则
D
OBC
O D BC
V
V
，
2
1
1
1
3
1 1 1
2
3
2
3
4
h
，
3
3
h
，即点O到平面D BC
的距离
3
3
；
（2）取D B
的中点E ，连接AE ，EC ，
2
AB
AD
BC
D C
，
AE
BD
，EC
BD
，
AEC
为二面角A
BD
C
的平面角，
2
cos
3
AEC
，
由题可知ABD
CBD
，
在
AEC
△
中，
2
AC
，AE
CE
，
2
2
2
2
cos
2
3
AE
CE
AC
AEC
AE CE
，
2
2
6
5
AE
CE
，
2
'2
2
6
4
2
5
5
D E
AD
AE
，
4 5
2
5
D B
D E
.
29.如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面ABCD和侧面
1
1
ABB A 均是边长为2 的正方形.
(1)证明：
1
1
BD
B C
.
(2)若
1
120
B BC
，求二面角
1
A
BC
D
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 7
7
【分析】
（1）要证明线线垂直，转化为证明
1
B C 平面
1
1
BC D ，利用垂直关系的转化，即可证明；
（2）利用垂直关系构造二面角的平面角，再根据三角形的边长，即可求解.
【详解】（1）
连结
1
BC ，
因为底面ABCD和侧面
1
1
ABB A 均是边长为2 的正方形，
所以四边形
1
1
BCC B 是边长为2 的菱形，则
1
1
B C
BC
，
且四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
和
1
1
CDD C 也是边长为2 的正方形，
所以
1
1
1
1
C D
B C
，且
1
1
1
C D
CC
，
1
1
1
1
1
B C
C D
C
，
1
1
1
,
CC B C 平面
1
1
BCC B ，
所以
1
1
C D 平面
1
1
BCC B ，
1
B C 平面
1
1
BCC B
所以
1
1
1
C D
B C
，且
1
1
1
1
BC
C D
C
，且
1
1
1
,
BC C D 平面
1
1
BC D ，
所以
1
B C 平面
1
1
BC D ，
1
BD 平面
1
1
BC D ,
所以
1
1
B C
BD
；
（2）
由（1）可知，
1
1
C D 平面
1
1
BCC B ，且
1
1
/ /
AB
C D ，
所以AB 平面
1
1
BCC B ，且AB 平面ABCD，
所以平面ABCD 平面
1
1
BCC B ，又因为平面
1
1 / /
BCC B
平面
1
1
ADD A ，
所以平面ABCD 平面
1
1
ADD A ，且平面ABCD 平面
1
1
ADD A
AD
，
因为
1
1
120
B BC
A AD
，所以
1
60
D DA
，
所以
1
D DA
△
为等边三角形，
取AD 的中点M ，连结
1
D M ，则
1
D M
AD
，
1
D M 平面
1
ADD A
所以
1
D M 平面ABCD，
再取BC 的中点N ，连结
1
,
MN D N ,则MN
BC
，
因为BC 平面ABCD，所以
1
D M
BC
，
又MN
BC
，且
1
D M
MN
M
，
1
,
D M MN 平面
1
D MN ，
所以BC 平面
1
D MN ，
1
D N 平面
1
D MN ，
所以
1
BC
D N
，
所以
1
D NM
为二面角
1
A
BC
D
的平面角，
1
3
D M
，
2
MN
，
1
3
4
7
D N
，
所以
1
2
2 7
cos
7
7
D NM
，
所以二面角
1
A
BC
D
的余弦值为2 7
7
.
30.在四棱锥PABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角PBCA
的正切值。
p
A
B
C
D
L
H
【答案】2
【解析】如图，PA⊥平面BD，过A 作AH⊥BC 于H，连结PH，则PH⊥BC
又AH⊥BC，故∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角。
在Rt△ABH 中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°= 2
a ；
在Rt△PHA 中，tan∠PHA=PA/AH=
2
2
a
a
31.如图，在圆锥PO 中，已知
2
PO
，
O
的直径
2
AB
，点C 在
AB 上，且
30
CAB
，点D 为AC
的中点．
(1)证明：AC 平面POD
(2)求二面角P
AC
O
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 2
3
【分析】（1）连接PC ，则由等腰三角形的性质可得PD
AC
，再由圆的性质结合三角形中位线定理得
OD
AC
，然后由线面垂直的判定定理可证得结论，
（2）由（1）可得
PDO
为二面角P
AC
O
的平面角，可证得PO
OD
，然后在Rt POD
中求解即可
【详解】（1）证明：连接PC ，则PC
PA
，
因为点D 为AC 的中点，所以PD
AC
，
因为AB 为
O
的直径，所以
90
ACB
，所以AC
BC
，
因为O 为AB 的中点，D 为AC 的中点，
所以OD ‖ BC ，
1
2
OD
BC
，所以OD
AC
，
因为PD
OD
D
I
，
,
PD OD 平面POD ，
所以AC 平面POD ，
（2）由（1）知PD
AC
，OD
AC
，
所以
PDO
为二面角P
AC
O
的平面角，
因为PO 平面ABC ，OD 平面ABC ，
所以PO
OD
，
因为
90
ACB
，
30
CAB
，
2
AB
，
所以
1
1
2
BC
AB
，所以
1
1
2
2
OD
BC
，
所以在Rt POD
中，
2
2 2
sin
3
1
2
4
OP
PDO
PD
,
所以二面角P
AC
O
的正弦值为2 2
3
32.在四棱锥PABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求BPCD 的大小。
jA
B
C
D
P
H
【答案】2
3
【解析】如图，PA⊥平面BD
BD⊥AC
BD⊥BC
过BD 作平面BDH⊥PC 于H
PC⊥DH、BH
∠BHD 为二面角B-PC-D 的平面角。
因PB=
2 a,BC=a,PC=
3 a，
1
2
PB·BC=S△PBC= 1
2
PC·BH，则BH= 3
a
=DH，
又BD=
2a 在△BHD 中由余弦定理，
得：cos∠BHD＝
2
2
2
2
2
2
6
6
2
3
3
1
2
2
6
6
2
3
3
a
a
a
BH
DH
BD
BH BD
a
a
，
又0＜∠BHD＜π ，则∠BHD= 2
3
，二面角B-PC-D 的大小是2
3
33.如图所示，已知圆柱
1
OO 的底面直径
6
AB
，母线长
8
PA
，且C 为圆柱底面圆周上的一点，
30
ABC
．求：
（1）圆柱
1
OO 的体积和侧面积；
（2）二面角P
BC
A
的正弦值．
【答案】（1）体积72π ，圆柱的侧面积48；（2）8 73
73
【解析】（1）因为圆柱
1
OO 的底面直径
6
AB
，母线长
8
PA
，
所以，圆柱的体积为
23
8
72
V
，圆柱的侧面积为
2
3 8
48
S
侧
.
（2）因为AB 是圆柱的底面直径，所以BC
AC
，
因为PA 是圆柱的母线，所以PA 平面ABC ，
在Rt
ABC
△
中，
6
AB
，
30
ABC
，所以
3
AC
，
3 3
BC
∴
1
9 3
3 3 3
2
2
ABC
S
，
由勾股定理得
2
2
8
3
73
PC
，
2
2
8
6
10
PB
在PBC
中，∴
2
2
2
PC
BC
PB
，
则PC
BC
，
1
3 219
73 3 3
2
2
APBC
S
设二面角为，则由射影面积法可得
9 3
3 73
2
cos
73
3 219
2
ABC
PBC
S
S
所以
8 73
sin
73
，
因此，二面角P
BC
A
的正弦值为8 73
73
.
