文档内容
重难点突破 02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................4
题型一：平移法求异面直线所成角....................................................................................................4
题型二：定义法求线面角....................................................................................................................7
题型三：等体积法法求线面角..........................................................................................................12
题型四：定义法求二面角..................................................................................................................17
题型五：三垂线法求二面角..............................................................................................................24
题型六：射影面积法求二面角..........................................................................................................33
题型七：垂面法求二面角..................................................................................................................38
题型八：补棱法求二面角..................................................................................................................42
题型九：距离问题..............................................................................................................................48
03过关测试.........................................................................................................................................54技巧一：二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角 的棱上任取一点 ，以 为垂足，分别在半平面 和 内作垂直于棱的射线 和
，则射线 和 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面 或面 内找一合适的点 ，作 于 ，过 作 于 ，则 为斜线 在面 内
的射影， 为二面角 的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点 ，作 于 ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过 作 于 ，连接 ；
③计算： 为二面角 的平面角，在 中解三角形．
A
C
A
B
a
A'
C'
B
O B' b
b
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面
积公式（ ，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
技巧二：线与线的夹角
¿
¿ ¿
¿
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设 是两条异面直线，经过空间任一点 作直线 ，把 与 所成的锐角（或
直角）叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）．
②范围：
③求法：平移法：将异面直线 平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
技巧三：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点 做 平面 ，交平面 于点 ；连接 ，则 即为直线 与
平面 的夹角．接下来在 中解三角形．即 （其中 即点 到面 的距
离，可以采用等体积法求 ，斜线长即为线段 的长度）；题型一：平移法求异面直线所成角
【典例1-1】在正三棱柱 中， ， ， 分别是 中点，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ,
易知 , ,
所以异面直线 与 所成角为 或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得 , ， .
,
,
， ，
,
在 中，由余弦定理可得 ,
所以直线 与 所成角的余弦值为 .
故选:A.【典例1-2】如图，已知正三棱柱 为 的中点，则 与 所成角的余弦
值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取 的中点 ，连接 、 ，易知 ，
所以异面直线 与 所成角就是直线 与直线 所成的角，即 （或其补角），
由题意可知正三棱柱 的所有棱长都相等，
可设三棱柱的棱长都为 ，则 ， ， ，
因为 ，所以 为直角三角形，
所以
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选： .
【变式1-1】在正四棱台 中， ，点 为底面 的中心，则异面直线
与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接 ，则 ，连接 ，因为 ，所以 ．易知四边形 为平行四边形，则 ，且 ，
所以 或其补角为异面直线 与 所成的角，
同理知 ，又 ，所以 为等边三角形，所以 ，
故选：C．
【变式1-2】如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，
则 为异面直线EC与BD所成角或其补角，
不妨设 ，易得 ，
，
在 中，由余弦定理得 ，
所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为 ．
故选：A．【变式1-3】已知空间四边形 中， 、 分别是 、 的中点，若 ， ， ，
则 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 为 的中点，连接 ， ，又 、 分别是 、 的中点，
所以 、 分别为 、 的中线，
所以 且 ， 且 ，
所以 与 所成的角即为 与 所成的角，
又 ，所以 ，所以 为直角三角形，且 ，
所以 ，所以 ，
即 与 所成的角为 .
故选：C
题型二：定义法求线面角
【典例2-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）如图，在四面体 中， .若从直线
， ， ， 中任选两条，则它们互相垂直的概率为 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若四面体 的体积为 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【解析】（1）证明：从直线 ， ， ， 中任选两条，不同的选法共有 种，
因为它们互相垂直的概率为 ，所以互相垂直的直线有3对.
又 ，所以 与 ， 均不垂直.
若 ，则 恰与 ， ， 的其中两条垂直，
不妨设 ， ，则 平面 ，则 ，不符合题意.
若 与 不垂直，则 ， ， ，
， 平面 ，
则 平面 ，符合题意，故 平面 .
（2）设 ，则 ，
解得 ，则 或 .
若 ，则 为正三角形，则 ，不符合题意.
若 ，则 ，符合题意.
如图，过点 作 ，垂足为 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 .
连接 ，则 为直线 与平面 所成的角.
，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【典例2-2】如图，四边形 是矩形， ， ， 平面 ， ， .点 为
线段 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)求 和平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）连接 交 于 ，连接 ，因为 为 、 的中点，
所以 为 的中位线；
所以 ，而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又由 ，而 ， 平面 ，
故 平面 ；
故 即为 和平面 所成的角.
由已知， ， ，
在直角三角形 中，可得 ，
所以 和平面 所成角的正弦值为 .
【变式2-1】如图，已知 平面 ， ， ，点 为
的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ， ，如图所示，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为点 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 ，点 为 的中点，
所以 ，
因为平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
由（1）得四边形 为平行四边形，所以 ，
所以直线 与平面 所成角和直线 与平面 所成角相等，
因为 平面 ，
所以 即为直线 与平面 所成角，
因为点 为 的中点， ，所以 ，
所以 ，由 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角为 ．
【变式2-2】如图，在四棱锥 ， 底面 ， ， ， ，
.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）在 中， ， ， ，则 ， ，
所以
在 中， ，
故 ，所以 为直角三角形，故 ，
又因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，故平面 平面 .
（2）如图：作 于 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故 为 与平面 所成的角，
中， ， ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
题型三：等体积法法求线面角
【典例3-1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，
是棱PA上一点，且 .
(1)求证: 平面MCD;
(2) ，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
【解析】（1）取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为 为PB的中点，
所以 ，又 ，所以 ，故S，M，C，D四点共面，
由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故 ，
又 平面 平面MCD，因此 平面MCD；
（2）连接AC，BD交于点 ，则 为平行四边形ABCD的中心，
又 ，
则等腰 中，根据三线合一，有 ，
又 ， 平面 ，
故 平面 ，
设 ，
则 ，，
，
相加并整理得 ，①
在Rt ，Rt 中，有 ，
即 ，（2）， ，③
解方程组①②③得， ，
故 ，
于是 ，
在 中， 是PC中点，
故 ，
于是 ，
设点A到平面PBC的距离为 ，由 ，得 ，
故 ，
故所求线面角 的正弦值 .
【典例3-2】如图1，在四边形 中， ，将 沿
边BD翻折至 ，使得平面 平面 ，如图2所示．E是线段PD上的一点，且 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线BE与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）因为平面 平面BCD，平面 平面 ，
且 平面 ，由题意易知 ，所以 平面PBD，又 平面 ，所以 ，
又 ，且 平面PCD，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）在 中，结合已知有 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ， ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
所以 中，易得 ，
所以 ．
因为 平面PBD，所以CD是三棱锥 的高，
解法一：所以 ．
设点D到平面 的距离为h，因为 ，
所以 ，解得 ，
易得 ，所以点E到平面 的距离为 ，
所以直线BE与平面 所成角的正弦值为 ．
解法二：在 中，BE是边PD的高，可求出 ，
所以 ，
设点E到平面 的距离为d，则 ，
由等体积可知，令 ，解出 ，
所以直线BE与平面 所成角的正弦值为 ．
【变式3-1】正方体 的棱长为 ， 是线段 上的动点.(1)求证：平面 平面 ；
(2) 与平面 所成的角的余弦值为 ，求 的长．
【解析】（1）因为 平面A B C D ，且 平面 ，可得 ，
1 1 1 1
四边形A B C D 为正方形，则 ，
1 1 1 1
且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）设 在平面 上的射影点为 ，连接 ，
可知 是以边长为 的等边三角形，则 ，
因为 ，即 ，解得 ，
设 与平面 所成的角的大小为 ，因为 ，则 ，
则 ，可得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得PB=√2.
【变式3-2】在直三棱柱 中，D、E分别是棱 的中点，F为线段 上的点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，当 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值．
【解析】（1）如图，连接 、 、 、 、 ，
由直棱柱性质 且 ，
所以四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ；
又由直棱柱性质有 且 ， 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，
所以平面 平面 ，因为 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 ，
所以 ， ， ，设 ，则 ，所以 ，
由（1）可知点F到平面 的距离是一个定值，将其设为 ，
由直棱柱性质 平面 ， 平面 ，故 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ，
，
又 ，所以 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 即 ，
所以 即 ，故 .
题型四：定义法求二面角
【典例4-1】如图，在边长为4的菱形 中， 分别是 的中点，将 沿
折起，使点 到 的位置，且 ．(1)若平面 平面 ，判断 与 的位置关系并说明理由；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求二面角 大小的余弦值．
【解析】（1） ，理由如下：
由 分别是 的中点，得 ，而 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，又平面 平面 ， 平面 ，
所以 .
（2）令 ，连接 ，由 是菱形， ，得 都是正三角形，
则 ， ，而 平面 ，
于是 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 ，
在平面 内过 作 于 ，由平面 平面 ，
因此 平面 ，连接 ，则 是直线 与平面 所成的角，
在正 中， ， ，
，则 ，
于是 ， ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值是 .
（3）在 中， ，
即 ，显然 ，则有 ，同理 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，有 ，
因此 是二面角 的平面角，而 ，则 ，
所以二面角 大小的余弦值是 .
【典例4-2】如图 为三棱锥 的高，点 在三角形 内， 为 中点（图中未画），
， 平面 .
(1)求直线 与平面 所成角；
(2)若 ，且 ，求二面角 的大小.
【解析】（1）
因为 为三棱锥 的高，故 平面 .
又 平面 ，故 .
因为点 为 的中点，则
又 ，故 ，
则 为等边三角形，故 .
又 平面 ，则 即为直线 与平面 所成的角，
故 与平面 所成角的大小为 .
（2）如图，延长 交 于点 ，连接 .
由 平面 , 平面 ，
故 ，又 ，则 .在 与 中，
故 ， .
又在 与 中，
故 ，故 ，
即 为 的平分线，
又 ，则 ，且 为 的中点，
又 ，则 ，
则 即为二面角 的平面角，
由 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，故 .
，
由（1）知， ，
即二面角 的大小为 .
【变式4-1】如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个不同的动点 .
(1)求证： 平面 ；
(2)二面角 的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由.
【解析】（1）直线 就是直线 ，
根据正方体的性质知 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）平面 就是平面 ，平面 就是平面 ，
∵平面 与平面 固定，
∴二面角 的大小是定值，设 ， ，
∵ ， 是 的中点，∴ ，
根据正方体的性质可知 ， ，
∴ 里二面角 的平面角，
在直角 中， ，
∴ .
∴二面角 的余弦值为 .
【变式4-2】五面体 中， ， ， ， 均为正三
角形.
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值.
【解析】（1）因为 ， ， 均为正三角形，
所以 ，
记 的中点为 ，连接 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .
易知在 中， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）记 的交点为 ，连接 ， 的中点为 ，
作 ，垂足分别为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由题设易得 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
所以四边形 为菱形，所以 ， ，
所以 ，则 ，
解得 ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ， ，
所以 ，所以 或者其补角即为平面 与平面 所成夹角，
又 ，所以 ，
所以平面 与平面 所成夹角的余弦值为 .
【变式4-3】如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， ， 为 的中
点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， .
求二面角 的余弦值；
【解析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
因为底面 为菱形，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 ，所以 为等边三角形，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
在 中，作 交 于点 ，
所以 为二面角 的平面角，
在 中，因为 ，所以 ，所以 ，
在 中， ，
所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理 ，
所以二面角 的余弦值为 ；
题型五：三垂线法求二面角
【典例5-1】如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，
分别为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以
因为 是等边三角形， 是 的中点，所以 ，
又 ， 、 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 平面 平面 ，所以平面 平面 ，
在 中，过 作 的垂线，垂足为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，
连接 ，如图所示，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 为二面角 的平面角，
在 中， ，
又 平面 平面 ，所以 ，
在 中， ，
又 ，
所以 ，解得 ，
因为 平面 平面 ，所以 ，又 ，
在 中， ，
所以 ，即二面角 的平面角的余弦值为 .
【典例5-2】如图1，平面图形 由直角梯形 和 拼接而成，其中 ，
， ， ， ， 与 相交于点 ，现沿着 将其折成四棱锥
（如图2）．(1)当侧面 底面 时，求点 到平面 的距离；
(2)在（1）的条件下，线段 上是否存在一点 ．使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）在 中， ，所以 ，
因为在直角梯形 中， ， ， ，
所以 ，所以四边形 为正方形，
所以 ， ，
因为侧面 底面 ，侧面 底面 ， 平面 ，
所以 底面 ，
连接 ，因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
设点 到平面 的距离为 ，由题意得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离为 ；
（2）过 作 交 于点 ，
因为侧面 底面 ，侧面 底面 ， 平面 ，
所以 底面 ，
作 交 于点 ，连接 ，
因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，所以 为二面角 的平面角，
则 ，所以 ，
所以 ，
连接 ，交 于点 ，因为四边形 为正方形，所以 ，
所以 ，设 ，
由 ，得 ，得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 底面 ， 底面 ，所以
所以 ，所以 ，即 ,
所以线段 上存在一点 ．使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，此时 .
【变式5-1】如图，在四棱锥 中， 为 边上的中点， 为 边上的中点，平面 平面
， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)若直线 与底面 所成角的余弦值为 ，求二面角 的正切值．
【解析】（1）证明：法一：连接 ，
在 中，因为 为对应边上的中点，
所以 为中位线， ，
又 平面 平面 ，
平面 ；
法二：设 中点为 中点为 ，连接 ，在 中，因为 为对应边上的中点，
所以 为中位线， 且 ，
同理，在 中， 且 ，
且 ，
四边形 为平行四边形，
，
又 平面 平面 ，
平面 ；
（2）在四边形 中， ，
所以 都为等腰直角三角形，即 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
（3） 直线 与底面 所成角的余弦值为 ，且 平面 ，
直线 与底面 所成的角为 ，又 ，
则 ，
在 中， ，
，
设 的中点为 ，连接 ，过点 作 的垂线交 于 ，连接 ，
由（1）知， ，且 平面 ，
则 平面 ， 平面 ， ，平面 ， 平面 ，
平面 ， ，又 ，
则 是二面角 的平面角，
，
，
设二面角 的平面角为 ，则二面角 的正切值为 ．
【变式5-2】如图，已知四棱锥 中， 平面 ，且
.
(1)证明： 平面 ；
(2)已知锐二面角 的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
【解析】（1）法一：如图1，延长 和 相交于点 ，连接 ，
， ，则 ，
又 ， ，
则 平面 平面 平面 .
法二：如图2，过 作 平行 交 于点 ，，则 ，
，
， ， ，
， 均平行于平面 ，
且 是平面 内的两条相交直线，
平面 平面 ，又 平面 平面 .
法三：如图2，过 作 平行 交 于点 ，连接 ，
，且 ，
平行 ， ，则 ，
平行于 ， ，
.. 均平行于平面 ，且 是平面 内的两条相交直线，
平面 平面 ，又 平面 平面 .
（2）法一： 平面 平面 平面 平面 ，
如图3，过点 作 交 于 平面 平面 ，
平面 平面 .
过点 作 交 于 ，又 ，
且 平面 ， 平面 ，为二面角 的平面角，则 ，
设 ，则 ，
平面 平面 ， ，
又 ， ，
中， ，则 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，
则 为二面角 的平面角，
，
综上所述，二面角 的余弦值为 .
法二：如图4，在平面 内过点 作 的垂线于 的延长线交于点
过 作 交 于 ，连接 ，
平面 平面 平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，
平面 ，
平面 ，
又 平面 ，即 为二面角 的平面角，
平面 平面 ， ，又 ，
中， ，则 ，
，，
中，边 上的高 ，
设二面角 的平面角为 平面 ，
，
综上所述，二面角 的余弦值为 .
题型六：射影面积法求二面角
【典例6-1】如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面
，求平面 与平面 所成二面角的大小．
【解析】因为 平面 平面 ，
所以 ，
又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理 平面 ，
所以 在平面 上的射影为 ．
设平面 与平面 所成二面角为 ，所以 ，所以 ．故平面 与平面 所成二面角的大小为 ．
【典例6-2】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面
ABCD．
(1)证明：AB⊥平面PAD；
(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．
【解析】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，
∴AB⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，
∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD；
（2）(法一)由题意，△PBD在面PAD上的射影为△PAD．
设AD＝a，则S PAD ，
△
△PBD中，PD＝a，BD a，PB a，
∴S PBD ，
△
∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为 ，
∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为 ．
（法二）如图所示：取 中点 ，连接 .
设AD＝a，则 ，所以 ,
所以 是平面PAD与平面PDB所成的二面角的平面角，
在 中， ,
所以 .
【变式6-1】如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面
，求平面 与平面 所成二面角的大小．
【解析】因为 平面 平面 ，
所以 ，
又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理 平面 ，
所以 在平面 上的射影为 ．
设平面 与平面 所成二面角为 ，所以 ，所以 ．
故平面 与平面 所成二面角的大小为 ．
【变式6-2】类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线
、 、 构成的三面角 ， ， ， ，二面角 的大小为
，则 .(1)如图2，四棱柱 中，平面 平面 ， ， ，求
的余弦值；
(2)当 时，证明以上三面角余弦定理；
(3)如图3，斜三棱柱 中侧面 ， ， 的面积分别为 ， ， ，记二面角
，二面角 ，二面角 的大小分别为 ， ， ，试猜想正弦定理在三维空
间中推广的结论，并证明.
【解析】（1）由平面 平面 ，得 ，
由三面角余弦定理得 ，
因为 ， ，
所以 ；
（2）过射线PC上一点H作 交PA于M点，
作 交PB于N点，连接MN，如图所示：
则 是二面角 的平面角，
在 中，由余弦定理得：
，
在 中，由余弦定理得：
，
两式相减得：
，
则： ，两边同除以 ，
得 ；
（3）已知三棱锥 ， ，SB=b，SC=c，侧面 ， ， 的面积分别为 ， ， ，
以 ， ， 为棱的二面角分别为 ， ， ，
求证： .
证明：
在 上取点 ，使得 ，过 作 平面 ， ， ，
设 ， ， ，
则 ， ，
同理 ，
所以 ，即 ，
同理可证 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
同理 ， ，
所以 ，同乘 得：
.题型七：垂面法求二面角
【典例7-1】（2024·高三·山东济南·开学考试）如图，在四棱柱 中，底面 和侧面
均是边长为2的正方形.
(1)证明： .
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
【解析】（1）连结 ，
因为底面 和侧面 均是边长为2的正方形，
所以四边形 是边长为2的菱形，则 ，
且四边形A B C D 和 也是边长为2的正方形，
1 1 1 1
所以 ，且 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面
所以 ，且 ，且 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ,
所以 ；
（2）由（1）可知， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ，又因为平面 平面 ，
所以平面 平面 ，且平面 平面 ，
因为 ，所以 ，
所以 为等边三角形，
取 的中点 ，连结 ，则 ， 平面
所以 平面 ，再取 的中点 ，连结 ,则 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
， ， ，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .
【典例7-2】已知二面角 ，若直线 ，直线 ，且直线 所成角的大小为 ，则二面角
的大小为_________.
【答案】 或
【解析】设点 是二面角 内的一点，过P分别作直线 的平行线 ，且 垂直于 于 ，
垂直于 于 ，设平面 交直线 于点 ，连接 ， ，由于 ， ， ， ，
故 ， ，又 ， 平面 ，
故 平面 ，又 ， 平面 ，故 ， ，
所以 为二面角 的平面角，
因为直线 所成角的大小为 ，所以 或 ，
当 时，如图
因为 ，所以 ；
当 时，如图
因为 ，所以 ;
综上，二面角 的大小为 或
故答案为： 或
【变式7-1】如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 底面 ， 为正三角
形，E是AB的中点， .
(1)求点C到平面 的距离.
(2)求二面角 的余弦值.
【解析】（1）由题设 ，面 面 ， 面 ，面 面 ，
所以 面 ， 面 ，故 ，即 ，
所以 ，而 ， ，
中 上的高 ，故 ，
令点C到平面 的距离为 ，又 ，且 ， 到面 的距离为正三角形
的高，
所以 ，可得 ，故点C到平面 的距离为 .
（2）由 ，面 面 ， 面 ，面 面 ，
所以 面 ， 面 ，故 ，则 ，
又 ，故 为等腰三角形，则 上的高为 ，
令 到 的距离为 ，则 ，由（1）知：点C到平面 的距离为 ，
若锐二面角 为 ，则 ，故 ，
所以二面角 的余弦值为 .
【变式7-2】在三棱台 中， ， ，且
平面 平面 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【解析】（1）平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，故 平面 ， 平面 ，故 ， 中点为 ，连接 ，
，则 ， ，
，则 ， ， ，
故四边形 为矩形，
， ， ，
故 ，即 ，
， 平面 ，故 平面，
又 平面 ，故平面 平面 .（2）设 ，连接 ， 平面 ， 面 ，故 ，
又因为 ，所以二面角 的平面角为 ，
， ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
在 中， ，解得 ，从而 ，故二面角
的正弦值为 .
题型八：补棱法求二面角
【典例8-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在三棱台 中， 为正三角形，
， ，点 为 的中点，平面 平面 ．
(1)若 ，证明：平面 平面 ；
(2)若 ，记平面 与平面 的交线为 ，求二面角 的余弦值．
【解析】（1）因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
因为 ，且点 是 ，所以 ，又 面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）由题意知， ， ，
因为 是等边三角形，且点 为 的中点，则 ，又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以 ，可得 ，
取 的中点 ，连结 ， ，
因为 ， ，则 ， ，
且 ， 平面 ，则 平面 ，
对于梯形 ，故点 作 ，垂足为 ，
因为 ，则 ，可得 ，
由 ，可知 ，且 ， ，
将三棱台 补成三棱锥 ，则 ，
设 ，可知 即为直线 ，则 ，即 ，可得 ，
由 ，则 、 、 三点共线，且 ，
可知 为线段 的中垂线，则 ，
过点 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，连结 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
且 ， 平面 ，
可得 平面 ，由 平面
可得 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，由 平面 ，可得 ，
可知二面角 的平面角为 ，
因为 平面 ，由 平面 ，所以 ，
在 中， ， ， ，
可得 ， ，则 ，
在 中， ， ，可得 ，
在 中，可得 ，
在 中，则 ，可得 ，
所以二面角 的余弦值为 .
【典例8-2】如图，已知正方体 的棱长为 ， 、 分别为棱 、 的中点．
(1)证明：直线 平面 ；
(2)设平面 与平面 的交线为 ，求点 到直线 的距离及二面角 的余弦值．
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 、 ，
在正方体 中， 且 ，
、 分别为 、 的中点，则 且 ，
故四边形 为平行四边形，则 且 ，
又因为 且 ，则 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
、 分别为 、 的中点，则 ，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
平面 ， 平面 .
（2）延长 、 交与点 ，连接 ，则直线 即为直线 ，
因为 且 ， 为 的中点，则 ，
故点 为 的中点， 为 的中点，
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，则 ，
，则 ，
过点 在平面 内作 直线 ，垂足为点 ，连接 ，
，所以， ，
平面 ， 平面 ， ，
， ， 、 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，故二面角 的平面角为 ，
且 ，故点 到直线 的距离为 ，，因此，二面角 的平面角的余弦值为 .
【变式8-1】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世
纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学
形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥
中， 平面 .
（1）从三棱锥 中选择合适的两条棱填空：________ ________，则三棱锥 为“鳖臑”；
（2）如图，已知 ，垂足为 ， ，垂足为 ， .
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）设平面 与平面 交线为 ，若 ， ，求二面角 的大小.
【解析】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又 平面 ，所以 ，
， ；即 ， 为直角三角形；
若 ，由 ， 平面 ，可得： 平面 ；
所以 ，即 ， 为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；
同理，可得 或 或 ，都能满足四个面都是直角三角形；
故可填： 或 或 或 ；
（2）（i）证明：
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ，又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴平面 平面 .
（ii）由题意知，在平面 中，直线 与直线 相交.
如图所示，设 ，连结 ，则 即为 .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ， .
∴ 即为二面角 的一个平面角.
在 中， ， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 .题型九：距离问题
【典例9-1】（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中， ， ，
E，F分别为AB，AC的中点.
(1)证明：平面 平面BCD；
(2)求点A到平面BDF的距离.
【解析】（1）
取CD的中点O，连接OA，OB，
因为 ， ，所以 ，且 ，
又 ， ， ， ，
所以 ，可得 ，
又 ， 平面 ，所以 平面BCD，
又 平面ACD，所以平面 平面BCD；
（2）因为 ，所以由（1）可得 ， ，
，
，
又F为AC的中点，所以 ，在△BDF中， ， ， ，
则 ，
所以 ，
则 .
设点A到平面BDF的距离为d，则 ，
解得 ，即点A到平面BDF的距离为 .
【典例9-2】如图，在四棱锥 中， ， ．
(1)若点 为 中点，求证： 平面 ；
(2)若二面角 的平面角为 ，求点 到平面 的距离．
【解析】（1）
取 中点 ，连接 ．
因为 ，
所以 ，即 ， ，
因为 ，所以四边形 是矩形，
所以 ，
又因为 ， 平面 ， ，
故 平面 ．
（2）因为 ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
故 即为二面角 的平面角，所以 ．
过点 作 于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ．
因为 ， ，
所以三角形 是等边三角形，
从而 ，
故 ．
因为 ，
又 ，
则等腰三角形 的面积为： ，
记 到平面 的距离为 ，由
可求得 ．
【变式9-1】多面体 中， ，平面 平面 ，平面 底面
ABC， ， ， ， ，且 ．
(1)求 与平面 所成角；(2)求平面 与平面 所成二面角的大小；
(3)求侧棱 到侧面 的距离．
【解析】（1）（1）取 的中点D，连接 ，
∵ .，∴ ，
∵平面 底面 ，平面 底面 ， 平面 ，∴ 底面 ，
∴ 为 与底面 所成的角，
∵ 且 ，∴ .
即 与平面ABC所成角为 .
（2）取 中点 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
连接 ，∵ 底面 ，∴ 在平面 上的射影为 ，
∴A E⊥AB，∴ 为侧面 与底面 所成二面角的平面角.
1
在等腰 中， ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，即侧面 与底面 所成二面角的大小为 .
（3）过 作 于 ，∵ 底面 ， 底面 ，∴ ，
∵平面 底面 ，平面 底面 ，
∴ 平面 ，
在 中， ， ，∴ ，
∴ ，即侧棱 到侧面 的距离为 .
【变式9-2】如图①，已知 是边长为2的等边三角形，D是 的中点， ，如图②，将
沿边DH翻折至 .(1)在线段BC上是否存在点F，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为 ，求点B到直线CH的距离.
【解析】（1）在图①中，取 的中点M，连接AM，如图所示，
因为 是等边三角形， 的中点为M，
所以 ,
因为 ，
所以 ，
在图②中， ， 平面BDH， 平面BDH，
所以 平面BDH，且 ，
在线段BC上取点F使 ，连接MF，FA，如图所示，
因为 ，
所以 ，
又因为 平面BDH， 平面BDH，
所以 平面BDH，
又因为 平面AMF，
所以平面 平面 ，又因为 平面 ，
所以 平面BDH，
所以存在点F满足题意，且 ；
（2）如图所示，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
由折叠性质可得 平面 ， 平面 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 为 的中点，
所以 ，
所以 即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角，
由（1）可得 ， ，
因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
设点B到直线CH的距离为 ，
则 ，
即 ，解得 ，
即点B到直线CH的距离为 .1．平面 过正方体 的顶点 平面 平面 ， 平面 ，
则 所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】由题意可知，延长 与平面 交于点 ，延长 与平面 交于点 ，连接 ，即平
面 所在平面为平面 ，如图所示
因为平面 平面 ，平面 平面 ，又 ，
所以 .
同理可证 ,
所以 所成角的大小与 所成角的大小相等，
在正方体 中， ，
所以 是等边三角形，
所以 所成角就是 ,
所以 所成角的正弦值为 .
故答案为： .
2．在三棱锥 中， 平面 ， ， 且最长的棱长为 ， 为棱 的中点，
则当三棱锥 的体积最大时，直线 与 所成角的余弦值为 .【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 ，所以 ，
又 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，当 时取最大值，
取 的中点 ，连接 ，所以 ，
所以 （或其补角）为直线 与 所成的角，
因为 ， ， ，
所以 ，
直线 与 所成角的余弦值为 .
3．菱形ABCD的对角线 ，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成 的二面角后，点A到平面
BCD的距离为 ．
【答案】 /0.75
【解析】为了区别，设折起后的点A为 ，
设 ，连接 ，可知 为 的中点， ，
则 ，可知 ，即 ，
过点 作 ，垂足为 ，则 ， ， 平面 ，
可知 平面 ，由 平面 ，可知 ，
且 ， ， 平面 ，
可得 平面 ，
所以点 到平面BCD的距离为即为 .
故答案为： .
4．在正三棱柱 中， 为棱 的中点，如图所示．
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 和平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）
证明：连接 ，设 ，连接 ，
在 中， ， ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）由正三棱柱 ，可得 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，∵ 为 的中点，∴ ，
又 ， ， 平面 ，
故 平面 ，
而 ， 平面 ，故 ， ，∴二面角 的平面角是 ，
在平面 内作 ，连接 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，
∴直线 和平面 所成的角为 ，
又 平面 ，∴ ，
∴ ，
∴直线 和平面 所成角的正弦值为 ．
5．如图，在三棱台 中， 与 都垂直，已知 ．
(1)求证：平面 平面 ．
(2)直线 与底面 所成的角 为多少时，二面角 的余弦值为 ？
【解析】（1） 与 都垂直，由棱台的性质得 ，
．又 平面 ，
平面 ．又 平面ABC，
∴平面 平面 ，即平面 平面 ．
（2）由（1）知，平面 平面ABC．如图，过 作 于D， 平面 平面 平面 ，
则 平面 ，
是 与平面ABC所成的角，即 ．
作 于E，连接 平面ABC， 平面ABC， ．
又 ， 平面A DE，
1
平面 平面 ，
则 为二面角 的平面角．
在 中， ，得 ．
平面 ， 平面 ，所以 ，则 ，
在 中， ．
由 ∽- ，得 ，则 ．
，则 ，
，即 ，
于是 ，则 ，
.
6．如图， 是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ,求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）因为 为半球 的直径， 为半球底面圆周上一点,所以 ,
因为 、 平面 ,
所以 平面 ，又因为 平面 ,
所以 ,
又因为 为半球面上一点,
所以 ,
又因为 平面
所以 平面 ,又 平面 ,
所以 ;
（2）因为三角形 为直角三角形,
所以 ,
又因为 平面 ,
所以 ，
又因为三角形 也是直角三角形，
所以 ,
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ,
则有 ，即 ,
所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 .
7．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 是梯形， ，
是棱 上的一点.(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，如图所示.
因为 ，易得 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
则 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
为 中点， .因为 平面 ，
所以直线 是直线 在平面 内的射影，
所以 是直线 与平面 所成的角，
即为直线 与平面 所成角的平面角.
如图所示，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
因为 ，所以 ,易得 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 ，
在直角 中，由 平面 平面 ，则 ，解得 ，
所以 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .8．如图，在长方形 中， ， ， ，将 沿 折起至 ，使
平面 平面 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若二面角 的平面角的余弦值为 ，求 的长；
(3)设直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，证明： .
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）
【解析】（1）因为四边形 为长方形，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ,所以 平面 ，
（2）如图所示，在（ii）图中过点S作 ,垂足为O,
交 于点E,连接 ．由翻折知 ,
所以二面角 的平面角为 ,
在（ii）图中设 ,可得 ，
因为 ，所以 ,所以 ,所以 ，
解得 ,即 或 （舍去），所以 ．（i）（ii）
（3）如图所示，由（2）知 ,所以 平面
平面 ,所以 ．由（1）问，
知 平面 且 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,又 ,
且 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ．
在（ii）图中过点E作 交 于点H，
过点E作 ,连接 ．由（2）知 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 ,
因为平面 平面 ,所以 平面 ,
所以 在平面 的射影为 ,
所以 为直线 与平面 所成角．
注意到 ,即 ，解得 ．又 ， ,所以
，
即 ，所以 ，
由（2）知 ,所以
（等号当且仅当 时成立 ）．（i）（ii）
9．“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一
条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形， ，平面 平面 ，
平面 平面 .
(1)求证：四棱锥 是“阳马”；
(2)点M在正方形 内（包括边界）．平面PAM⊥平面 且 ，
（i）求M点轨迹长度；
（ii）是否存在M点，使得平面 平面 ，若存在，求二面角 的余弦值；若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）因为四边形ABCD是边长为2的正方形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
因为 平面 ，所以 平面 ，
所以四棱锥 是“阳马”.
（2）（i）如图，以 为直径在平面 上作一个半圆，在该半圆周上任取点 ，连接 、 、 ，则 ，
又由（1）知 平面 ，而 平面 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面PAM⊥平面 ，故点 的运动轨迹在该半圆周上，
因为 ，所以 ，
所以根据扇形的弧长公式得点 的运动轨迹长度为 .
（ii）存在M点，使得平面 平面 ，且该点为 与 交点，
如图，连接 、 ，则由（i）可知此时 与 交点在（i）中所作的半圆圆周上，且满足
，
由正方体性质可知， ，又 平面 ，而 平面 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ，
所以存在M点为 与 交点，使得平面 平面 ，
过点A作 交 于点 ，过 作 交 于点 ，连接 ，
又由 平面 可得 ，
所以由 且 、 平面 得 平面 ，
所以 且由 平面 得 ，因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
所以 是二面角 的平面角，
因为正方体 边长为2， ，
所以 ，
，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .
10．如图（1）梯形 中， ， ， ， ， 且 ，将梯形沿
BE折叠得到图②，使平面 平面 ， 与 和交于O，点P在 上，且 ，R是
的中点，过O、P、R三点的平面交 于Q．在图（2）中：
(1)证明：Q是 的中点；
(2)M是 上一点，已知二面角 的正切值为 ，求 的值．
【解析】（1）如图（1）：因为 ， ， ， ， 且 ，
所以 ， ， .
图（2）中：
在 中， ， ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，平面 ，平面 平面 ，所以 ，
在 中， 为 中点，所以 为 中点.
（2）如图：
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .
作 于 ，则 平面 ，作 于 ，连 ，
则 为二面角 的平面角.
设 ，
因为 .
因为 为等腰直角三角形，所以 .
又 .
在直角 中， .
即 .
11．空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与
多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体
每个顶点均有3个面角，每个面角均为 ，故其各个顶点的曲率均为 .如图，在直三棱柱
中，点 的曲率为 ， ， 分别为 ， 的中点，且 .(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面
体的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，则有： .利用此定理试证明：简单多面体的总曲率
（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
【解析】（1）证明：因为在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以点 的曲率为 ，得 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
因为三棱柱 为直三棱柱，所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
因为 ，
所以在 中， ，
所以二面角 的余弦值为 ；（3）证明：设多面体有 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为 号，
设第 号（ ）多边形有 条边，
则多面体共有 条棱，
由题意，多面体共有 个顶点，
号多边形的内角之和为 ，
所以所有多边形的内角之和为 ，
所以多面体的总曲率为
所以简单多面体的总曲率为 .
12．如图，在正三棱柱 中，点D是BC的中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求直线 到平面 的距离．
【解析】（1）连接 ，交 点O，连接 ，则O是 的中点，因为D是 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为 为等边三角形，且D是 的中点，
所以 ，由正三棱柱的性质知， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（3）由（1）知 平面 ，
以直线 到平面 的距离等价于点B到平面 的距离，
由（2）知 平面 ，所以点A到平面 的距离为 ，
而 2 ，
4，
设点B到平面ADC 的距离为d，
1
因为 ，
所以 ，即 ，解得d ，
所以直线AB到平面ADC 的距离为 ．
1 1
13．如图在直三棱柱 中， ， ， ，E是 上的一点，且 ，
D、F、G分别是 、 、 的中点， 与 相交于 ．(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面 平面 ，
又 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
，
，
在 和 中， ，
，即 ，
又 ， 平面
平面 ．
（2）由题意知 ，
在 中， ，
又 ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
、 分别为 、 的中点，
，又 ，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
平面 平面 ．
平面 ，平面 平面 ，平面 ，
为平行平面 与 之间的距离，
，
即平面 与 之间的距离为 ．
14．如图，已知三棱台 ，底面 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为 ，平
面 平面 ，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，求出 的长，若不存在，请
说明理由.
【解析】（1）在三棱台 中，平面 平面 ， ，
而平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）由棱台性质知：延长 交于一点 ，
由 ，得 ，点 到平面 的距离为到平面 距离的2倍，则
，于是 ，由 平面 ，得 为点 到平面 的距离，
又 ，则 是 的中点， ，即 为正三角形， 为正三角形，
设 ，则 ，
，解得 ，
，由 平面 ，得 ， ，
，设点 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，解得： .
即点 到平面 的距离为 .
（3）由 平面 ， 平面 ，得平面 平面 ，取 中点 ，连接 ，
在正 中， ，而平面 平面 ，则 平面 ，而 平面 ，
则 ，又 平面 ，则平面 平面 ，作 于 ，
平面 平面 ，则 平面 ， ，而 平面 ，则 ，
作 于 ，连接 ， ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，于是 ， 即二面角 的平面角，
设 ，由（2）知： ， ，
由 ，得 ， ，
由 ，得 ，
若存在 使得二面角 的大小为 ，
则 ，解得 ，，
所以存在满足题意的点 ， .
15．如图，在 中， ，点 满足 ，沿 将 折起形成三棱
锥 .
(1)若 ， 在面 上的射影恰好在 上，求二面角 平面角的余弦值；
(2)若二面角 为直二面角，当 取到最小值时，求 的值及点 到平面 的距离.
【解析】（1）过点 作 的垂线交 于点 ，交 于点 ，如下图所示：
翻折后仍有 ，
又因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 为二面角 所成的平面角.
由 在面 上的射影恰好在 上得 平面 ，
所以 ，
由 可知 ，因为 ，所以 ；
又易知 ，
所以 ，可得 ，所以 ；
所以 ，
即二面角 平面角的余弦值为
（2）过点 作 的垂线交 于点 ，如下图所示：
设 ，
由二面角 为直二面角可知平面 平面 ，
平面 平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
则有 ，
可得 ，
又 ，
所以 ， ；
当 时， 取到最小值 ；
.
所以 ，可得 ，所以（注： ， ，由角平分线定理得 也可）
则有 ,
，解得 .
即点 到平面 的距离为 .
16．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：
如图1，由射线 ， ， 构成的三面角 ，记 ， ， ，二面角
的大小为 ，则 ．如图2，四棱柱 中，
为菱形， ，A A =2√3， ，且 点在底面 内的射影为 的中点 ．
1
(1)求 的值；
(2)直线 与平面 内任意一条直线夹角为 ，证明： ；
(3)过点 作平面 ，使平面 平面 ，且与直线 相交于点 ，若 ，求 值．
【解析】（1）连接 ，由已知得 平面 ， ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
所以二面角 的大小为 ，因为 为菱形， ，
所以 ，又 ，所以 ，在 中， ，
由三面角余弦定理可得
.
（2）依题意可得 ，设平面 内任一条直线为 ，
若 过 点时，记 与 的夹角为 （ ），
则 ，因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ；
若 不过 点时，过 点作 使得 ，记 与 的夹角为 （ ），
则 ，因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ；
综上可得 .
（3）连接 ， ，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ，
所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，又平面 平面 ，
所以 ，又 即 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，显然 在 的延长线上，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
17．如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为2的菱形， ， ， ，
点E，F分别为棱AD，PC的中点．
(1)若 ， ，求异面直线EF与AB的夹角 的大小；
(2)若直线PC与平面ABCD所成角的大小为 ．
①求二面角 的余弦值；
②求点F到平面PAB的距离．
【解析】（1）连接BD，AC，记 ，再连接EO，FO，
如图所示，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，又E是AD的中点，
所以 ，所以异面直线EF与AB的夹角 ，
因为O是AC的中点，F是PC的中点，所以 ，
且易知 ，
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即异面直线EF与AB的夹角为 ．
（2）连接PO，在 中， ，O是BD的中点，
所以 ，又四边形ABCD是边长为2的菱形， ，
所以 ， ， ，
又 ，AC， ，所以 ．
在 中，过点P作AC的垂线，垂足为G，又 ，
所以 ，又 ， ，AC， ，
所以 ，
所以 是直线PC与平面ABCD所成的角，所以 ，
又 ， ，
所以 ， ， ，又 ，
所以 ．
取PA的中点M，连接MB，MD，
如图所示，在 中， ， ， ，点M是PA的中点，
所以 ， ．
同理可得 ， ，所以二面角 的平面角为 ．
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
即二面角 的余弦值为 ．
②在 中， ， ， ，
所以 ．
由①知 的面积 ．
因为点F是PC的中点，
所以 ．
设点F到平面PAB的距离为d，
所以 ，
解得 ，
即点F到平面PAB的距离为 ．
18．如图，在六面体 中， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ，
， ，
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的平面角的余弦值为 .若存在，求出 值；
若不存在，请说明理由.
【解析】（1）取棱 的中点 ，连接 ，因为 为等边三角形，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，故 ，
又已知 ， ，又 平面 ，
所以 平面 .
（2）连接 ，
由（1）中 平面 ，
可知 为直线 与平面 所成的角，
因为 为等边三角形， 且 为 的中点，
所以 ，
又 ，在 中， ，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）取 中点 ，连接 ， ，
在 中， ，
因为 平面 ，又 平面 ，
所以 ，在 中， ，
所以 ，所以 ，又点 为 中点，
所以 ，同理 ，所以 为二面角 的平面角，
设 ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得： ，
即： ，
化简得到： ，
所以 或 （舍去），
即线段 上存在一点 ，使得二面角 平面角的余弦值为 ，
此时 .
19．在三棱锥 中， ，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH．
(1)如图1，证明： ；
(2)如图2，记 ，直线AP与平面ABC的夹角为 ， ，求证： ，并
比较 和 的大小；
(3)如图3，已知 ，M为平面PBC内一点，且 ，求异面直线AM与直线BC夹角
的最小值．
【解析】（1）取BC的中点为D，连接 ，由 ，D为BC的中点，得 ，由 ，D为BC的中点，得 ，
而 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，而 平面 ， 平面 ，则 ，
又 平面 ，于是 平面 ，而 平面 ，
因此 ，又 ， 为锐角，
过点H向AB作垂线，垂足为点N，连接PN，则 ，
由点P在平面ABC内的投影为H，得 ，
由 平面ABC， 平面ABC，得 ，
而 ， 平面PHN，则 平面PHN，
由 平面PHN，则 ，于是 ，显然 ，
因此 ，当 时， 重合， ，等式成立，所以 ，
由 ，得 ，又函数 在 上单调递减，
所以 .
（3）设点A到平面PBC的距离为d，直线AM与直线BC的夹角 ，直线AM与平面PBC的夹角 ，
由（1）知， ， ，
， ，且 ，由 ，得 ，而 ，则直线 与平面PBC所成角 ，
，即 ，
由（2）知，直线AM与直线BC的夹角 ，
所以异面直线AM与直线BC夹角的最小值为 .
