文档内容
专题 07 立体几何
一、单选题
1．（2022·江苏·如皋市第一中学高一期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥
得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为 ，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据圆台的底面半径之比可得母线之比，进而根据锥体的侧面积公式即可求解.
【详解】
设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，设圆台的母线为 ，则圆锥的底面半径为 ，圆锥的母线为
，
圆锥的侧面积记为 ，
截去的小圆锥的侧面积即为 ，
故圆台的侧面积为 ,
故选：C
2．（2018·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知直线 平面 ， 表示直线， 表示平面，有以
下四个结论：① ；② ；③ ；④若 与 相交，则 与
相交.其中正确的结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
根据线线，线面的位置关系，线面垂直的性质，面面的位置关系及面面垂直的判定定理，逐项分析即得.
【详解】对于①， 或 ，故①错误；
对于②， ， ，又 ，所以 ，故②正确；
对于③， ， ，故③正确；
对于④，若 与 相交，则 与 相交或平行，故④错误.
故正确的结论的个数是2.
故选：C.
3．（2022·河北廊坊·高二期末）如图所示，在长方体 中， ，点E是
棱 的中点，则点E到平面 的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点E到平面 的距离为h，根据 ，利用等体积法即可得出答案.
解：设点E到平面 的距离为h，因为点E是棱 的中点，
所以点E到平面 的距离等于点B到平面 的距离的一半，又平面 过 的中点，
所以点B到平面 的距离等于点D到平面 的距离，由等体积法 ，
所以 ， ， ，
在 中， ，所以 ，则 解得 ，即点E到平面 的距离为 .故选：B.
4．（2020·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二开学考试）在三棱锥 中 、 、 两
两垂直， 是 在平面 内的射影，则 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】
连接 ，利用线面垂直的判定定理和性质定理可以得到 ， ，进而得点 是
垂心.
解：连接 ，点 是 在平面 内的射影， 面 ，
面 ， ，
∵ 、 、 两两垂直，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
面 ， 面 ，
面 ， 面 ，
面 ， 面 ，
；
∴ 是△ 的高线的交点，记为垂心．故选：D
5．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面
积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，根据圆锥的侧面积公式可得 ，再结合
圆心角之和可将 分别用 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得
解.
【详解】
解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，所以 ，又 ，则 ，所以 ，
所以甲圆锥的高 ，乙圆锥的高 ，
所以 .故选：C.
6．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体
积的取值范围.
【详解】∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .故选：C.
7．（2022·全国·高考真题（文））在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
【分析】证明 平面 ，即可判断A；如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，分别求出平
面 ， ， 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
解：在正方体 中， 且 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，所以 ，又 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
选项BCD解法一：如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ， 则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，则 ，
所以平面 与平面 不垂直，故B错误；
因为 与 不平行，所以平面 与平面 不平行，故C错误；因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故D错误，故选：A.选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面 的交线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，
则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，
底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，
从而有： ，
据此可得 ，即 ，据此可得平面 平面 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项C错误；
对于选项D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项D错误；
故选：A.
8．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高一期末）如图，矩形 中， ， 为边 的中点.
将 沿直线 翻折成 （ 平面 ）.若 在线段 上（点 与 ， 不重合），则
在 翻折过程中，给出下列判断：
①当 为线段 中点时， 为定值；
②存在某个位置，使 ；③当四棱锥 体积最大时，点 到平面 的距离为 ；
④当二面角 的大小为 时，异面直线 与 所成角的余弦值为 .
其中判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
①利用余弦定理判断；②用线线垂直判断；③由垂线段判断；④由二面角与线线角公式判断.
【详解】
在矩形 中, , 不妨令 2, 则：
(1)取DC的中点 , 连接 ,
易知 且为定值,
(定值)
所以MB的长为定值, 故①正确;(2)假设存在某个位置, 使 , 连接 , 取DE的中点 , 连接 ,
显然 , 而 平面 ,
平面 ,
进而有 , 但 , 不可能相等,
所以不可能有 , 故②错误;
(3)由题意得, 是等腰直角三角形, 到 的距离是 ,
当平面 平面 时, 四棱雉 DE体积最大,
点 到平面 的距离为 , 故③正确;
(4)易知二面角 的平面角 , 当二面角 的大小为 时，
又 , 所以 ,
又易知异面直线 与 所成角为 ,
故④错误,
综上可知, 正确的有2个.
故选: B.9．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）已知正方体 的棱长为1，E为 中点，F为棱
CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据给定的几何体，利用面面平行的性质结合平面的基本事实，探讨截面形状确定F点的位置，推理计算
作答.
【详解】
在正方体 中，平面 平面 ，而 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，则平面 与平面 的交线过点B，且与直线EF平行，与直线 相
交，令交点为G，如图，
而 平面 ， 平面 ，即 分别为 与平面 所成的角，
而 ，则 ，且有 ，
当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形， ，即G为棱 中点M，
当点F由点C向点D移动过程中， 逐渐增大，点G由M向点 方向移动，
当点G为线段 上任意一点时，平面 只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形，
当点G在线段 延长线上时，直线 必与棱 交于除点 外的点，而点F与D不重合，此时，平面 与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图，
因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段 （除点M外）上，即
,
显然， ，则 ，
所以线段的CF的取值范围是 .
故选：D
10．（2022·河南·信阳高中高一期末）我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱
锥称为正三棱锥.现有一正三棱锥 放置在平而 上，已知它的底面边长为2，高 ，该正三棱锥绕
边在平面 上转动（翻转），某个时刻它在平面 上的射影是等腰直角三角形，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别讨论底面 在 上的射影为等腰直角三角形和侧面 在 上的射影为等腰直角三角形时的情
况可求解.【详解】
首先在 中，设其中心为 ， 中点为 ，则 ， ，
当 为等腰直角三角形时， ，
若底面 在 上的射影为等腰直角三角形 时，如图1，只需 ，
易知 ，又 ，所以 ，此时 ；
若侧面 在 上的射影为等腰直角三角形时，易知 ，
如图2和图3，可求得 ， ，所以 ，
综上， 的取值范围是 .
故选：B.11．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O
的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 ，进而得到四
棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又则
当且仅当 即 时等号成立，
故选：C
12．（2022·全国·高三专题练习）直角 中， ， ，D是斜边AC上的一动点，沿BD将
翻折到 ，使二面角 为直二面角，当线段 的长度最小时，四面体 的外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作 ， ， ， ，设 ，则有 ，从而求解即
可.
【详解】
作 ， ， ， ，
设 ， ， ， ．
在 中， ，在 中， ，
．
当 时 最小．设 ， 的外接圆半径分别为 ，
∴ ， ∴
， ．
∴
∴ .
故选:D．
二、填空题
13．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相
等， ，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写
一个你认为正确的条件即可）
【答案】 （或 ， 等都可）
【分析】
先确定所填答案，如 ，再证明平面MBD⊥平面PCD即可，根据线面垂直的性质可得 ，
从而可得 平面 ，再根据线面垂直的性质可得 ，从而可得 平面MBD，再根据面面
垂直的判定定理即可得证.
【详解】
解：可填 ，
由 为菱形，则 ，
∵ 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ，
又 ， ，
所以 平面MBD，
又因 平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
故答案为： .（或 ， 等都可）
14．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱 的各棱长均为 ，以A为球心的球与棱
相切，则球A于正三棱柱 内的部分的体积为___________.
【答案】
【分析】
球的半径即为 到直线 的距离也即底面正三角形的高， 为球心，求出半球的体积即平面 上方的
半个球的体积，而位于正三棱柱内部的部分是在两平面 和平面 所夹锐角的部分，占半球的
，由此可得体积．
【详解】
如图，
正三棱柱 的各棱长均为 ，以A为球心与棱 相切的球的半径为 ，
则以平面 为截面的上半球的体积为 .
又 ，
球A位于正三棱柱 内的部分的体积为 .
故答案为： .
15．（2022·江西萍乡·三模（理））如图，在正方形 中，点 是边 的中点，将 沿 翻
折到 ，连接 ，在 翻折到 的过程中，下列说法正确的是_________．（将正
确说法的序号都写上）
①点 的轨迹为圆弧；
②存在某一翻折位置，使得 ；
③棱 的中点为 ，则 的长为定值；
【答案】①③
【分析】依据翻折过程中 ， 均不变，判定点 的轨迹为圆弧，从而判断①正确；利用反证法
否定②；求得翻折过程中 的长恒为 ，从而判断③正确.
【详解】
设正方形 边长为a,
①在正方形 中，过点D作 于H，则
在 翻折到 的过程中， ， 均不变，
则点 的轨迹为以H为圆心，以 为半径的圆弧.判断正确；
②假设存在某一翻折位置，使得 .
在△PAM内，过点P作 于N，连接BN，由 ， ， ，可得 平面PBN
又 平面PBN，则 ，则
又在正方形 中， .
二者互相矛盾，故假设不成立，即不存在某一翻折位置，使得 .判断错误；
③棱 的中点为 .取PA中点K，连接EK，CE，MK， 则
则有 ， ，则 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
又 ，则 ，即 的长为定值.判断正确.
故答案为：①③
16．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））在平面四边形 中， ， ，且
， ，现沿着 把 折起，使点 到达点P的位置，且 ，则三棱锥
体积的最大值为_________.【答案】
【分析】
过点P作 于F，连接 .过F作EF⊥PC于E，得到 ，利用分析法，要使三棱
锥 的体积最大，只需要三角形PCF的面积最大，只需AF最大.判断出当F为BD中点时，即可求
解.求出三角形PCF的面积，即可求出体积.
【详解】
如图示：
过点P作 于F，连接 .由题意知， ， ，且 .
所以 .又 ,所以 平面 .
所以 ，所以当 最大时， 取得最大值.
过F作EF⊥AC于E.因为 ，所以只需EF最大.
在三角形ABD中， ，所以A在以D、B 为焦点的椭圆上,如图示：
因为AF⊥BD，由椭圆的几何性质可得，要使AF最大，只需A为短轴顶点，即AF为短轴的一半.此时所以 .
所以 ，所以 ，
所以 .
即三棱锥 体积的最大值为 .
故答案为：
