文档内容
重难点突破 02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................4
题型一：平移法求异面直线所成角....................................................................................................4
题型二：定义法求线面角....................................................................................................................5
题型三：等体积法法求线面角............................................................................................................7
题型四：定义法求二面角....................................................................................................................9
题型五：三垂线法求二面角..............................................................................................................11
题型六：射影面积法求二面角..........................................................................................................13
题型七：垂面法求二面角..................................................................................................................15
题型八：补棱法求二面角..................................................................................................................16
题型九：距离问题..............................................................................................................................18
03过关测试.........................................................................................................................................20技巧一：二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角 的棱上任取一点 ，以 为垂足，分别在半平面 和 内作垂直于棱的射线 和
，则射线 和 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面 或面 内找一合适的点 ，作 于 ，过 作 于 ，则 为斜线 在面 内
的射影， 为二面角 的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点 ，作 于 ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过 作 于 ，连接 ；
③计算： 为二面角 的平面角，在 中解三角形．
A
C
A
B
a
A'
C'
B
O B' b
b
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面
积公式（ ，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
技巧二：线与线的夹角
¿
¿ ¿
¿
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设 是两条异面直线，经过空间任一点 作直线 ，把 与 所成的锐角（或
直角）叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）．
②范围：
③求法：平移法：将异面直线 平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
技巧三：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点 做 平面 ，交平面 于点 ；连接 ，则 即为直线 与
平面 的夹角．接下来在 中解三角形．即 （其中 即点 到面 的距
离，可以采用等体积法求 ，斜线长即为线段 的长度）；题型一：平移法求异面直线所成角
【典例1-1】在正三棱柱 中， ， ， 分别是 中点，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】如图，已知正三棱柱 为 的中点，则 与 所成角的余弦
值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-1】在正四棱台 中， ，点 为底面 的中心，则异面直线
与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD
所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【变式1-3】已知空间四边形 中， 、 分别是 、 的中点，若 ， ， ，
则 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
题型二：定义法求线面角
【典例2-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）如图，在四面体 中， .若从直线
， ， ， 中任选两条，则它们互相垂直的概率为 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若四面体 的体积为 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【典例2-2】如图，四边形 是矩形， ， ， 平面 ， ， .点 为
线段 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)求 和平面 所成角的正弦值.
【变式2-1】如图，已知 平面 ， ， ，点 为
的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
【变式2-2】如图，在四棱锥 ， 底面 ， ， ， ，
.(1)证明：平面 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
题型三：等体积法法求线面角
【典例3-1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，
是棱PA上一点，且 .
(1)求证: 平面MCD;
(2) ，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
【典例3-2】如图1，在四边形 中， ，将 沿
边BD翻折至 ，使得平面 平面 ，如图2所示．E是线段PD上的一点，且 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线BE与平面 所成角的正弦值．【变式3-1】正方体 的棱长为 ， 是线段 上的动点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2) 与平面 所成的角的余弦值为 ，求 的长．
【变式3-2】在直三棱柱 中，D、E分别是棱 的中点，F为线段 上的点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，当 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值．题型四：定义法求二面角
【典例4-1】如图，在边长为4的菱形 中， 分别是 的中点，将 沿
折起，使点 到 的位置，且 ．
(1)若平面 平面 ，判断 与 的位置关系并说明理由；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求二面角 大小的余弦值．
【典例4-2】如图 为三棱锥 的高，点 在三角形 内， 为 中点（图中未画），
， 平面 .
(1)求直线 与平面 所成角；
(2)若 ，且 ，求二面角 的大小.
【变式4-1】如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个不同的动点 .(1)求证： 平面 ；
(2)二面角 的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由.
【变式4-2】五面体 中， ， ， ， 均为正三
角形.
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值.
【变式4-3】如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， ， 为 的中
点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， .
求二面角 的余弦值；题型五：三垂线法求二面角
【典例5-1】如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，
分别为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【典例5-2】如图1，平面图形 由直角梯形 和 拼接而成，其中 ，
， ， ， ， 与 相交于点 ，现沿着 将其折成四棱锥
（如图2）．
(1)当侧面 底面 时，求点 到平面 的距离；(2)在（1）的条件下，线段 上是否存在一点 ．使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【变式5-1】如图，在四棱锥 中， 为 边上的中点， 为 边上的中点，平面 平面
， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)若直线 与底面 所成角的余弦值为 ，求二面角 的正切值．
【变式5-2】如图，已知四棱锥 中， 平面 ，且
.
(1)证明： 平面 ；
(2)已知锐二面角 的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.题型六：射影面积法求二面角
【典例6-1】如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面
，求平面 与平面 所成二面角的大小．
【典例6-2】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面
ABCD．
(1)证明：AB⊥平面PAD；
(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．
【变式6-1】如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面，求平面 与平面 所成二面角的大小．
【变式6-2】类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线
、 、 构成的三面角 ， ， ， ，二面角 的大小为
，则 .
(1)如图2，四棱柱 中，平面 平面 ， ， ，求
的余弦值；
(2)当 时，证明以上三面角余弦定理；
(3)如图3，斜三棱柱 中侧面 ， ， 的面积分别为 ， ， ，记二面角
，二面角 ，二面角 的大小分别为 ， ， ，试猜想正弦定理在三维空
间中推广的结论，并证明.题型七：垂面法求二面角
【典例7-1】（2024·高三·山东济南·开学考试）如图，在四棱柱 中，底面 和侧面
均是边长为2的正方形.
(1)证明： .
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
【典例7-2】已知二面角 ，若直线 ，直线 ，且直线 所成角的大小为 ，则二面角
的大小为_________.
【变式7-1】如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 底面 ， 为正三角
形，E是AB的中点， .
(1)求点C到平面 的距离.
(2)求二面角 的余弦值.
【变式7-2】在三棱台 中， ， ，且
平面 平面 ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
题型八：补棱法求二面角
【典例8-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在三棱台 中， 为正三角形，
， ，点 为 的中点，平面 平面 ．
(1)若 ，证明：平面 平面 ；
(2)若 ，记平面 与平面 的交线为 ，求二面角 的余弦值．
【典例8-2】如图，已知正方体 的棱长为 ， 、 分别为棱 、 的中点．(1)证明：直线 平面 ；
(2)设平面 与平面 的交线为 ，求点 到直线 的距离及二面角 的余弦值．
【变式8-1】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世
纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学
形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥
中， 平面 .
（1）从三棱锥 中选择合适的两条棱填空：________ ________，则三棱锥 为“鳖臑”；
（2）如图，已知 ，垂足为 ， ，垂足为 ， .
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）设平面 与平面 交线为 ，若 ， ，求二面角 的大小.题型九：距离问题
【典例9-1】（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中， ， ，
E，F分别为AB，AC的中点.
(1)证明：平面 平面BCD；
(2)求点A到平面BDF的距离.
【典例9-2】如图，在四棱锥 中， ， ．
(1)若点 为 中点，求证： 平面 ；
(2)若二面角 的平面角为 ，求点 到平面 的距离．
【变式9-1】多面体 中， ，平面 平面 ，平面 底面
ABC， ， ， ， ，且 ．(1)求 与平面 所成角；
(2)求平面 与平面 所成二面角的大小；
(3)求侧棱 到侧面 的距离．
【变式9-2】如图①，已知 是边长为2的等边三角形，D是 的中点， ，如图②，将
沿边DH翻折至 .
(1)在线段BC上是否存在点F，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为 ，求点B到直线CH的距离.
1．平面 过正方体 的顶点 平面 平面 ， 平面 ，
则 所成角的正弦值为 .
2．在三棱锥 中， 平面 ， ， 且最长的棱长为 ， 为棱 的中点，
则当三棱锥 的体积最大时，直线 与 所成角的余弦值为 .
3．菱形ABCD的对角线 ，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成 的二面角后，点A到平面
BCD的距离为 ．
4．在正三棱柱 中， 为棱 的中点，如图所示．(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 和平面 所成角的正弦值．
5．如图，在三棱台 中， 与 都垂直，已知 ．
(1)求证：平面 平面 ．
(2)直线 与底面 所成的角 为多少时，二面角 的余弦值为 ？
6．如图， 是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ,求直线 与平面 所成角的正弦值．7．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 是梯形， ，
是棱 上的一点.
(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
8．如图，在长方形 中， ， ， ，将 沿 折起至 ，使
平面 平面 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若二面角 的平面角的余弦值为 ，求 的长；
(3)设直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，证明： .
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）9．“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一
条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形， ，平面 平面 ，
平面 平面 .
(1)求证：四棱锥 是“阳马”；
(2)点M在正方形 内（包括边界）．平面PAM⊥平面 且 ，
（i）求M点轨迹长度；
（ii）是否存在M点，使得平面 平面 ，若存在，求二面角 的余弦值；若不存在，
请说明理由．
10．如图（1）梯形 中， ， ， ， ， 且 ，将梯形沿
BE折叠得到图②，使平面 平面 ， 与 和交于O，点P在 上，且 ，R是
的中点，过O、P、R三点的平面交 于Q．在图（2）中：
(1)证明：Q是 的中点；
(2)M是 上一点，已知二面角 的正切值为 ，求 的值．11．空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与
多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体
每个顶点均有3个面角，每个面角均为 ，故其各个顶点的曲率均为 .如图，在直三棱柱
中，点 的曲率为 ， ， 分别为 ， 的中点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面
体的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，则有： .利用此定理试证明：简单多面体的总曲率
（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
12．如图，在正三棱柱 中，点D是BC的中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求直线 到平面 的距离．13．如图在直三棱柱 中， ， ， ，E是 上的一点，且 ，
D、F、G分别是 、 、 的中点， 与 相交于 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
14．如图，已知三棱台 ，底面 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为 ，平
面 平面 ，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，求出 的长，若不存在，请
说明理由.15．如图，在 中， ，点 满足 ，沿 将 折起形成三棱
锥 .
(1)若 ， 在面 上的射影恰好在 上，求二面角 平面角的余弦值；
(2)若二面角 为直二面角，当 取到最小值时，求 的值及点 到平面 的距离.
16．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：
如图1，由射线 ， ， 构成的三面角 ，记 ， ， ，二面角
的大小为 ，则 ．如图2，四棱柱 中，
为菱形， ，A A =2√3， ，且 点在底面 内的射影为 的中点 ．
1
(1)求 的值；
(2)直线 与平面 内任意一条直线夹角为 ，证明： ；
(3)过点 作平面 ，使平面 平面 ，且与直线 相交于点 ，若 ，求 值．17．如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为2的菱形， ， ， ，
点E，F分别为棱AD，PC的中点．
(1)若 ， ，求异面直线EF与AB的夹角 的大小；
(2)若直线PC与平面ABCD所成角的大小为 ．
①求二面角 的余弦值；
②求点F到平面PAB的距离．
18．如图，在六面体 中， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ，
， ，
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的平面角的余弦值为 .若存在，求出 值；
若不存在，请说明理由.
19．在三棱锥 中， ，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH．(1)如图1，证明： ；
(2)如图2，记 ，直线AP与平面ABC的夹角为 ， ，求证： ，并
比较 和 的大小；
(3)如图3，已知 ，M为平面PBC内一点，且 ，求异面直线AM与直线BC夹角
的最小值．
