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空间向量和立体几何高考复习专题四
知识点一 证明线面平行,线面角的向量求法
典例1、如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为 的正方形， .再
从条件①： 、条件②： 、条件③：平面 平面 、中选择两
个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.
（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
随堂练习： 如图，四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形，点 ，
分别是 ，
的中点，若 ， .
（1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.典例2、如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 丄平面
，且
， ，点 是 的中点.
（1）求证: 平面 ; （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
随堂练习： 如图，在直三棱柱 中，D，E分别是棱AB， 的中点，
， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．
并求直线 与平面 所成的角的正弦值．条件①： ； 条件②： ； 条件③： 到平面 的距离为
1．
典例3、在①平面 平面 ，② ，③ 平面 这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中并作答.
如图，在四棱锥 中，底面 是梯形，点 在 上， ， ，
， ，且______.
（1）求证：平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.随堂练习： 已知底面为菱形的四棱锥 中， 是边长为2的等边三角形，平
面 平面
ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点.
（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；
①F是AB的中点；②E是PC的中点；③ 平面PFD.
（2）若 .求PB与平面PDC所成角的正弦值.
知识点二 证明线面平行,线面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥 中， ， ， 平面ABCD，
，
M为PC的中点.
（1）求证： 平面PAD；（2）设点N在平面PAD内，且 平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
随堂练习：如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为
中点，___.
（1）求证：四边形 是直角梯形； （2）并求直线 与平面 所成角的正弦值.
从① ；② 平面 这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成
解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.典例5、如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4的菱形， ，
点D为棱AC
上动点（不与A，C重合），平面 与棱 交于点E.
（1）求证： ；
（2）若 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直
线AB与平面 所成角的正弦值.条件①：平面 平面 ；条件②：
；条件③： .
随堂练习：如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
，
，点 ， 分别为棱 ， 的中点.（1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
典例6、如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ， ，
，E为PB
的中点，______．从① ；② 平面PAD这两个条件中选一个，补充在
上面问题的横线中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答
计分．
（1）求证：四边形ABCD是直角梯形． （2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
（3）在棱PB上是否存在一点F，使得 平面PCD？若存在，求 的值；若不存在，
请说明理由．随堂练习：如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 平面
， 为 的
中点.
（1）证明: 平面 ;
（2）在① ，② 这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作
答.若________，求 与平面 所成的角. 注:如果选择多个条件分别解答，按
第一个解答计分.
空间向量和立体几何高考复习专题四答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）解：（1）选①②：由 ， ， ，易知： ，
又 ， ， 面 ，则 面 ；
选①③：由 ， ， ，易知： .
又面 面 ，面 面 ， 面 ， ∴ 平面
（2）由（1）知： ， ，又四边形 是正方形，则 ，
如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ，
， ，
∴ ， ，
设面 的一个法向量为 ，则 ，即
令 ，则 ， ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）解：（1）取 中点 ，连接 ，
分别为 中点， ， ；
四边形 为矩形， 为 中点， ， ；
且 ， 四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 .
（2）以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ， ， ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，解得： ， ， ；
， 即直线 与平面 所成角的正弦
值为 .
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）连接BD交AC于F点，连接EF， 在 中，∵EF是中位线，∴ ．
又∵ 平面AEC， 平面AEC， ∴ 平面AEC．
（2）由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图，
以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴
建立空间直角坐标系A-xyz．
则 ， ， ， ∴ ，
易知平面PAB的一个法向量为 ，设直线CE与平面PAB所成角为 ，
则 ．
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为 ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取 的中点为 ，连接 .
分别是 ， 的中点, . D是 的中点，
直三棱柱 ， . ， .
四边形 为平行四边形.
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）选择条件①： ；
直三棱柱 ， 平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，
所以 平面 .而 平面 .
又 ， .
以 为原点，分别以 所在方向为 轴， 轴， 轴
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， 所以
，
设 为平面 的一个法向量， 则 ， 即 ，
令 ，则 ， ，
设直线DE与平面 所成的角为 ，则
所以直线DE与平面 所成的角的正弦值为 .
选择条件②： ； 取 的中点为 ，连接 .
直三棱柱 ， 分别是 ， 的中点,
平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，
所以 平面 .而 平面 . .
分别是 ， 的中点, ， .以 为原点，分别以 所在方向为 轴， 轴， 轴建立
如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， 所以
，
设 为平面 的一个法向量，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
设直线DE与平面 所成的角为 ，则
.
所以直线DE与平面 所成的角的正弦值为 .
选择条件③： 到平面 的距离为1． 过点 作 ,垂足为 ，
直三棱柱 ， 平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，
所以 平面 . 平面 .所以由（1）知 平面 ；因为 到平面 的距离为1，
所以 .又 ，所以
又因为 是 的中点, ,所以 是 的中点, .
又 ， .
以 为原点，分别以 所在方向为 轴， 轴， 轴
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
设直线DE与平面 所成的角为 ，则
.
所以直线DE与平面 所成的角的正弦值为 .典例3、答案：选条件①（1）证明见解析；（2） ；选条件②（1）证明见解析；
（2） ；选条件③（1）证明见解析；（2） .
解:方案一：选条件①.
（1）∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 . 又 ，∴ ， ， 两两垂直.
以A为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， .
∵ ， ， ∴ ，
.
又 ，∴ 平面 . 又 平面 ，∴平面 平面
.
（2）由（1）可得平面 的一个法向量为 ， 又 ，
设直线 与平面 所成角为 ， 则.
方案二：选条件②.
（1）∵底面 为梯形， ，∴两腰 ， 必相交.
又 ， ， ， 平面 ，
∴ 平面 .
又 ，∴ ， ， 两两垂直.
以A为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， .
∵ ， ，
∴ ， . 又 ，∴ 平面 .
又 平面 ，∴平面 平面 .
（2）由（1）可得平面 的一个法向量为 ， 又 ，
设直线 与平面 所成角为 ， 则 .
方案三：选条件③.（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ .
又 ， ， 平面 ， ， ∴ 平面 .
又 ，∴ ， ， 两两垂直.
以A为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， .
∵ ， ，
∴ ， .
又 ，∴ 平面 .
又 平面 ，∴平面 平面
（2）由（1）可得平面 的一个法向量为 ， 又 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）解：（1）选①F是AB的中点，②E是PC的中点为已知条件，证明③ 平面PFD，
取 的中点 ，连接 ， 所以 ， ，
，所以四边形 是平行四边形， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面PFD.
选②E是PC的中点，③ 平面PFD为已知条件，证明 ①F是AB的中点，
取 的中点 ，连接 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
即平面 平面 ，
因为 平面PFD，所以 ， 所以四边形 是平行四边形，
，
（2）因为 ，所以 即F是AB的中点.
选①F是AB的中点，③ 平面PFD为已知条件，证明 ②E是PC的中点，取 的中点 ，连接 ， 所以 ，
四边形 是平行四边形， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面PFD，
因为 平面PFD， ，所以平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ， 平面 平面 ，所以
，
因为 是 的中点，所以E是PC的中点.
取 的中点 ，连接 ，
因为底面 为菱形， ，所以 ，
是边长为2的等边三角形，所以 ，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 ，
所以 平面 ，以 为原点，分别以 所在的直线为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
所以 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，所以 ，即 ，令 ，
则 ， 所以 ，
设PB与平面PDC所成角的为 ， 所以
.
所以PB与平面PDC所成角的正弦值为 .
典例4、答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）取PD的中点E，连接EM，AE，则 且 ，
而 ， ，则 ，又 ，
所以 ， ，从而四边形ABME是平行四边形，故 .
因为 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD.（2）当N为AE的中点时， 面PBD，理由如下：
法一： 面ABCD， 面ABCD， ，又 ， ， 平
面PAD，
所以 面PAD，而 面PAD，则 ，
又 ，E是PD的中点，即 ， 而 ， 面ABME，
所以 面ABME，在面ABME中作 交AE于点N，
所以 ，又 ， 面PBD，
所以 面PBD，易知： ，而 ， ，
，即 ，而 ， N为AE的中点时， 面PBD.
作 于G，则 面 ， 是BN与平面ABCD所成角，
因为 ， ， ，则
.
即直线BN与平面AD所成角的正弦值为 .
法二：易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直
线AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
设 ，则 ， ， .
因为 平面PBD， 故 ，可得 .
，又平面 的法向量为 ，
设BN与平面ABCD所成角为 ，则 .
即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为 .
随堂练习：答案： （1）详见解析 （2）详见解析
解：选择①
(1) 证明：如图所示 因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以
又因为 ， ，即
又因为 所以 平面 ，所以
又因为 ，所以 又因为 所以四边形 是直角梯
形.
选择②.
因为 平面 ，所以 ，又因为 ，所以
又因为 ， ，即
又因为 所以 平面 ，所以
又因为 平面 ， 平面 ， 平面 ∩平面
所以 ， 又因为 所以四边形 是直角梯形
选择①.
(2)过 作 的垂线交 于点 ，由题意易知 ， ，
故以 为坐标系原点，以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标
系，
如图所示，由题意知 ， ， ， ，
因为 为 的中点，由中点坐标公式知 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，即 ， 令 ，得
设直线 与平面 所成的角为 ， 所以所以直线 与平面 所成角的正弦值为 选择②.解法同①
典例5、答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）在三棱柱 中， ，又 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又面 面 ， 面 ， 所以
.
选①②：连接 ，取 中点 ，连接 ， .
在菱形 中 ，所以 为等边三角形. 又 为 中点，所以
，
又面 面 ，面 面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ， 故 ，又 ，所以 .
（2）以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故
.
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
选②③：连接 ，取 中点 ，连接 ， .
在菱形 中 ，所以 为等边三角形.
又 为 中点，故 ，且 ，又 ， .
所以 ，则 .
又 ， 面 ，所以 面 ，
由 平面 ，故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， . 所以 ，
.
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故
.又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
选①③：取 中点 ，连接 ， .
在 中，因为 ，所以 ，且 ， .
又面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
在 中， ，又 ， ， 所以 ，则
.
由 ， 面 ，则 面 ，
由 平面 ，故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故
.
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为 平面 ， ， ，以 为坐标原点建立如
图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ，
，
则平面 的一个法向量为 ，
所以 ，则 ，又 平面 平面 ；
（2）由（1）得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ．
．直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
典例6、答案：（1）证明见解析 （2） （3）存在，
解：（1）选择①：证明： 平面 ， 平面 ， ， ，
因为 ， ，
， ， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ， ， ，
四边形 是直角梯形．
选择②：证明： 平面 ， 平面 ， ， ，
， ， ， ，
，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ， ， 四边形 是直角梯形．
（2）过 作 的垂线交 于点 ， 平面 ， ， ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ， ， ，
为 的中点， ， ， ， ， ， ， ，2， ，
，2， ，设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，令 ，得
，1， ，
设直线 与平面 所成角为 ， 则 ，
．
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
（3）设 ，则 ， ， ， ， ，
， ， ， 平面 ， ，
，解得 ． 故存在点F，且 ．
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）
解:（1）连接 ，交 于 ，连接 ，底面 是菱形， 为 中点， 为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）选①：
以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴建立如图空间
直角坐标系，
底面 是菱形， ， ，
，
则 ，
设平面 的法向量为 ， 则 ，取 可得
，
设 与平面 所成的角为 ， 则 ，所以 与平面 所成的角为 ；
选②：
以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴建立如图空间
直角坐标系，
取 中点 ，连接 ，
底面 是菱形， ， ， 平面 ， 为 的中点，
， 平面 ， ， ，
， 则
，
设平面 的法向量为 ， 则 ，取 可得
，
设 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成的角为 ；
