专题4：外接球模型汇总
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：墙角模型......................................................................2
考点二：对棱相等模型................................................................2
考点三：汉堡模型......................................................................2
考点四：垂面模型......................................................................3
考点五：切瓜模型......................................................................4
考点六：斗笠模型......................................................................4
考点七：鳄鱼模型......................................................................4
考点八：矩形模型......................................................................5
考点九：折叠模型......................................................................5
模块二：题型分类.........................................................................6
题型一：墙角模型......................................................................6
题型二：对棱相等模型................................................................ 8
题型三：汉堡模型.................................................................... 10
题型四：垂面模型.................................................................... 11
题型五：切瓜模型.................................................................... 13
题型六：斗笠模型.................................................................... 15
题型七：鳄鱼模型.................................................................... 17
题型八：矩形模型.................................................................... 20
题型九：折叠模型.................................................................... 21
模块三：综合巩固....................................................................... 25
专题4：外接球模型汇总
模块一：基础知识
考点一：墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外
接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，
则2R＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c2
4
．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
考点二：对棱相等模型
适用范围：对棱相等相等的三棱锥
对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（
CD
AB
，
BC
AD
，
BD
AC
）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为
c
b
a
,
,
，
x
BC
AD
，
y
CD
AB
，
z
BD
AC
，列方程组，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
a
c
y
c
b
x
b
a
2
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
c
b
a
R
，
补充：
abc
abc
abc
V
BCD
A
3
1
4
6
1
第三步：根据墙角模型，
2
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
c
b
a
R
，
8
2
2
2
2
z
y
x
R
，
8
2
2
2
z
y
x
R
，求出R .
考点三：汉堡模型
【方法总结】
汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面
的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或
代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由
对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O1 与△A1B1C1 的外心O2 连线的中点，算出小圆O1 的半径AO1
＝r，OO1＝2
h ，
2
2
2
4
h
R
r
．
考点四：垂面模型
适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。
推导过程：
第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，
作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .
第二步：
1
O 为ABC 的外心，所以
1
OO 平面ABC ，
算出小圆
1
O 的半径
1
O D
r
(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理sin
a
A
1
1
2
,
sin
sin
2
b
c
r
OO
PA
B
C
.
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
（1）
2
2
2
(2 )
(2 )
2
R
PA
r
R
2
2
(2 )
PA
r
；
（2）
2
2
2
2
2
1
1
R
r
OO
R
r
OO
.
公式：
2
2
2
4
h
R
r
垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD
的外心O1 与△AB2D2 的外心O2 连线的中点，算出小圆O1 的半径AO1＝r，OO1＝2
h ，
2
2
2
4
h
R
r
．
考点五：切瓜模型
切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平
面BCD，如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角
形，类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在
平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心O1
作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD 的高为h，外接球的半径为R，
球心为O．△BCD 的外心为O1，O1 到BD 的距离为d，O 与O1 的距离为m，则
R2＝r2＋m2，
R2＝d2＋h－m 2，
解得
R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－l2
4(其中r1、r2 为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)
考点六：斗笠模型
适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥
推导过程：取底面的外心
10 ，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h ，在h 上取一点作为球心0，根
据勾股定理
2
2
2
2
2
( -
)
2
r
h
R
h R
r
R
h
公式：
2
2
2
r
h
R
h
考点七：鳄鱼模型
适用范围：所有二面角构成的棱锥，普通三棱锥
方法：找两面外接圆圆心到交线的距离
,
m n ，找二面角，找面面交线长度l
推导过程：取二面角两平面的外心分别为
1
O ,
2
O 并过两外心作这两个面的垂线，
两垂线相交于球心O ，取二面角两平面的交线中点为E ，
则
1
2
,
, ,
O O E O 四点共圆，由正弦定理得：
1
2
2
sin
OO
OE
r
①
在
1
2
OO E
中，由余弦定理得：
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
OO
OE
O E
OE O E
②
由勾股定理得：
2
2
2
1
1
OD
OO
O D
③
由①②③整理得：
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
sin
2
cos
sin
2
cos
sin
OD
O O
O D
OE
O E
O D
O O
O E
O D
O E
O E
O E O E
O E
O D
O E
O E
O E O E
O E
O B
记
1
2
,
,
,
O E
m O E
n AB
l
则
2
2
2
2
2
2
cos
sin
2
m
n
mn
l
R
公式：
2
2
2
2
2
2
cos
sin
2
m
n
mn
l
R
考点八：矩形模型
适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径
推导过程：图中两个直角三角形PAB
和QAB
，其中
90
APB
AQB
，求外接圆半径
取斜边AB 的中点O ，连接
,
OP OQ ，则
1
2
OP
AB
OA
OB
OQ
所以O 点即为球心，然后在POQ
中解出半径R
公式：
2
2
2
l
R
（l 为斜边长度）
考点九：折叠模型
适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.
推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，
设折叠的二面角
,
A EC
CE
A E
h
.
如图，作左图的二面角剖面图如右图：
1
H 和
2
H 分别为
,
BCD
A BD
外心，
分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心O
1
1
1
,
,
(
) tan
2sin
2
BD
CH
r
EH
h
r OH
h
r
BCD
由勾股定理可得：
2
2
2
2
2
2
2
1
1
(
) tan
2
R
OC
OH
CH
r
h
r
.
公式：
2
2
2
2
(
) tan
2
R
r
h
r
模块二：题型分类
题型一：墙角模型
1.已知三棱锥A－BCD 的四个顶点A，B，C，D 都在球O 的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝
3，BC＝2，CD＝5，则球O 的表面积为(
)
A．12π
B．7π
C．9π
D．8π
答案
A
解析
由AC⊥平面BCD，BC⊥CD 知三棱锥A－BCD 可构造以AC，BC，CD 为三条棱的长
方体，设球O 的半径为R，则有(2R)2＝AC2＋BC2＋CD2＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR2＝12π，故选A．
2.若三棱锥
ABC
S
的三条侧棱两两垂直，且
2
SA
，
4
SC
SB
，则该三棱锥的外接球半径为(
)．
A．3
B．6
C．36
D．9
答案
A
解析
6
16
16
4
)
2
(
2
R
，
3
R
，故选A．
3.三棱锥A-BCD 中，AD 平面BCD，DC
BD
，2
2
AD
BD
DC
，则该三棱锥的外接球表面积为（
）
A．3π
2
B．9π
2
C．9π
D．36π
【答案】C
【解析】由AD 平面BCD，DC
BD
，
知三棱锥A-BCD 可补形为以AD，DC，BD 为三条棱的长方体，如图所示，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，
设外接球的半径为R，
则
2
2
2
2
2
1 4
4
9
R
AD
DC
BD
，
所以该三棱锥的外接球表面积为
2
4π
9π
S
R
.故选：C．
4.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑A
BCD
中，满足AB
平面BCD，且
5
AB
BD
，
3
BC ，
4
CD
，则此鳖臑外接球的表面积为（
）
A．25π
B．50π
C．100π
D．200π
【答案】B
【解析】由
5
BD
，
3
BC ，
4
CD
，∴
2
2
2
BD
BC
CD
，即有BC
CD
，
又AB 平面BCD，所以AB ，BC ，CD 两两互相垂直，该鳖臑如图所示：
图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，
AD 是长方体的体对角线，也是外接球的直径，
设外接球半径为R，则
2
2
2
2
2
3
4
5
50
R
（
）
，
所以鳖臑的外接球表面积为
2
4π
50π
R
.故选：B．
5.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底
面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P
ABCD
是阳马，PA
ABCD
平面
，
5
PA
，
3
AB ，
4
BC
．则该阳马的外接球的表面积为（
）
A．125 2π
3
B．50π
C．100π
D．500π
3
【答案】B
【解析】因PA
ABCD
平面
，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
则
，
PA
AB
PA
AD
，又因四边形ABCD 为矩形，则AB
AD
.
则阳马的外接球与以
，
，
PA
AB
AD 为长宽高的长方体的外接球相同.
又
5
PA
，
3
AB ，
4
AD
BC
．
则外接球的直径为长方体体对角线，
故外接球半径为：
2
2
2
2
2
2
3
4
5
5 2
2
2
2
PA
AB
AD
R
，
则外接球的表面积为：
2
50
4
4
50
4
π
π
π.
S
R
故选：B
题型二：对棱相等模型
1.正四面体的各条棱长都为
2 ，则该正面体外接球的体积为________．
答案
3
2
解析
这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，
3
2
R
，
2
3
R
，
2
3
8
3
3
3
4
V
．
2.在三棱锥A－BCD 中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥
BCD
A
外接球的表面积为
________．
答案
29
2
解析
构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为
c
b
a
,
,
，则
9
2
2
b
a
，
4
2
2
c
b
，
16
2
2
a
c
29
16
4
9
)
(
2
2
2
2
c
b
a
，
29
16
4
9
)
(
2
2
2
2
c
b
a
，
2
29
2
2
2
c
b
a
，
2
29
4
2
R
，
2
29
S
．
3.已知三棱锥S
ABC
的四个顶点都在球O的球面上，且
2
SA
BC
，
7
SB
AC
，
5
SC
AB
，
则球O的体积是（
）
A．8 π
3
B．32 2 π
3
C．4 2 π
3
D．8 2 π
3
【答案】D
【解析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为, ,
a b c ，如图所示：
则
2
2
2
2
2
2
5
7
4
a
b
a
c
b
c
，故
2
2
2
8
a
b
c
，球O的半径
2
2
2
2
2
a
b
c
R
，
故体积为
3
4
8 2
π
π
3
3
R
.故选：D
4.在△ABC 中，
3
2
cos
4
AB
AC
A
，
，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得
2
AD
，如图所示，
则三棱锥D
ABC
外接球的体积为_____________．
【答案】5 5
6
【解析】在△ABC 中，由余弦定理得
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
4
BC
，所以
2
BC
．
在三棱锥D—ABC 中，
2
2
AB
AC
DB
DC
AD
BC
，
．
将三棱锥D—ABC 放入长方体，
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
棱锥D—ABC 外接球的半径为R，
则
2
2
2
2
2
2
4,
4,
2
a
b
b
c
a
c
，
所以
2
2
2
5
a
b
c
，
所以
2
2
2
1
5
2
2
R
a
b
c
，
从而三棱锥D—ABC 外接球的体积
3
4
5 5
.
3
6
V
R
故答案为：5 5
6
5.如图，在ABC
中，
2 5,
2 10,
2 13
AB
BC
AC
，D，E，F 分别为三边中点，将
,
,
BDE
ADF
CEF
分别沿
,
,
DE EF DF 向上折起，使A，B，C 重合为点P，则三棱锥P
DEF
的外接球表面积为（
）
A．7
2
B．7 14
3
C．14
D．56
【答案】C
【解析】由题意可知，
10,
13,
5
PE
DF
PF
DE
PD
EF
，
即三棱锥P
DEF
的对棱相等，先将该三棱锥补充成长方体，如图所示：
设
,
,
FH
x HD
y HP
z
，则
2
2
2
2
2
2
10,
5,
13
x
y
y
z
x
z
，所以
2
2
2
14
x
y
z
，
于是三棱锥P
DEF
的外接球直径为14 ，半径为14
2
，
所以该三棱锥外接球的表面积为：
2
14
4
14
2
.故选：C.
题型三：汉堡模型
1.已知直三棱柱ABC－A1B1C1 的6 个顶点都在球O 的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则
球O 的半径为(
)．
A．3 17
2
B．2 10
C．13
2
D．3 10
答案
C
解析
如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M．又AM＝1
2BC＝5
2，
OM＝1
2AA1＝6，所以球O 的半径R＝OA＝
5
2 2＋62＝13
2 ．
另解
过C 点作AB 的平行线，过B 点作AC 的平行线，交点为D，同理过C1 作A1B1 的平行线，过
B1 作A1C1 的平行线，交点为D1，连接DD1，则ABCD－A1B1C1D1 恰好成为球的一个内接长方体，故球的
半径r＝
2
2
2
3
4
12
13
2
2
．故选C．
2.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(
)．
A．
2
a
B．
2
7
3
a
C．
2
11
3
a
D．
2
3
7
a
答案
B
解析
2
2
2
2
2
2
2
7
4
3
12
a
a
R
OB
OE
BE
a
，
2
2
7
4
3
S
a
a
．故选B．
3.直三棱柱ABC－A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面
积等于(
)．
A．10π
B．20π
C．30π
D．40π
答案
B
解析
如图，先由余弦定理求出BC＝2 3，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，外接球的直径
R＝12＋22＝5，所以该球的表面积为4πR2＝20π．故选B．
4.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积
等于(
)
A．4π
B．16π
3
C．32π
3
D．16π
答案
D
解析
由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r＝OB＝OA2＋AB2＝
12＋（3）2＝2．故这个球的表面积S＝4πr2＝16π．故选D．
题型四：垂面模型
1.已知在三棱锥S－ABC 中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2 3，SA＝1．则该三棱锥的外
接球的体积为(
)
A．13
8
13π
B．13π
C．13
6 π
D．13 13
6
π
答案
D
解析
∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2 3，∴△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，其外接
圆半径r＝AC
2 ＝3，则三棱锥外接球即为以△ABC 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接
球的半径R 满足R＝
r2＋
SA
2
2
＝13
2 ，故三棱锥外接球的体积V＝4
3πR3＝13 13
6
π．故选D．
2.三棱锥P－ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC 的外
接球的表面积为(
)
A．23π
B．23
4 π
C．64π
D．64
3 π
答案
D
解析
如图1，设O 为三棱锥外接球的球心，O1 为正△PAC 的中心，则OO1＝1
2AB＝2．2AO1
＝
2
sinπ
3
＝4 3
3 ，AO1＝2 3
3 ，R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝4
3＋4＝16
3 ，故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝64
3 π．
另解：如图2，设O′为正△PAC 的中心，D 为Rt△ABC 斜边的中点，H 为AC 中点．由平面PAC⊥
平面ABC，则O′H⊥平面ABC．作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O 为三棱锥外接球的球心，连接OP，
又O′P＝2
3PH＝2
3× 3
2 ×2＝2 3
3 ，OO′＝DH＝1
2AB＝2．∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝4
3＋4＝16
3 ．故几何体外接
球的表面积S＝4πR2＝64
3 π．
3.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，
6
PA
，
3
BC ，
π
6
CAB
，则三棱锥
P
ABC 的外接球半
径为（
）
A．3
B．2 3
C．3 2
D．6
【答案】C
【解析】由正弦定理得,△ABC 外接圆直径为
3
2
6
π
sin 6
r
，得r=3.
设球心到平面ABC 的距离为d ，则
1
3
2
d
PA
.
∴三棱锥
P
ABC 的外接球半径为
2
2
2
2
3
3
3 2
R
d
r
.故选：C
4.已知A，B，C，D 在球O 的表面上，
ABC
为等边三角形且边长为3，AD 平面ABC，
2
AD
，则球O
的表面积为（
）
A．4
B．8π
C．16π
D．32π
【答案】C
【解析】球心O在平面ABC 的投影为ABC
的中心，设为
1
O ，连接
1
,
,
OD OO OA，
H 是AD 中点，连接OH ，如图所示：
1
3
3
2sin 60
AO
，OA
OD
R
，
则OH
AD
，四边形
1
AO OH 为矩形，
1
1
OO
AH
，
2
2
2
1
1
3 1
4
R
AO
OO
，
故
2
R
，
2
4π
16π
S
R
.故选：C
5.在三棱锥
P
ABC 中，
2,
3,
AP
AB
PA
面ABC ，且在ABC
中，
60
C
，则该三棱锥外接球的表
面积为（
）
A．20
3
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【解析】根据题意得出图形如右图：
O 为球心，N 为底面ABC
截面圆的圆心，ON⊥面ABC，
∵在三棱锥P-ABC 中，AP=2，
3
AB
，PA⊥面ABC，且在ABC
中，
60
C
∴根据正弦定理得出：
3
2
sin 60
r
，解得r
1
，
∵PA⊥面ABC，∴PA//ON，
∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，
∴根据等腰三角形得出：
2
2
2
2
1
(2
)
1
d
d
，解得
1,
1 1
2
d
R
∴三棱锥的外接球的表面积为
2
4
8
R
.故选：B.
题型五：切瓜模型
1.已知在三棱锥P－ABC 中，VP-ABC＝4 3
3 ，∠APC＝π
4，∠BPC＝π
3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平
面PBC，那么三棱锥P－ABC 外接球的体积为________．
答案
32π
3
解析
如图，取PC 的中点O，连接AO，BO，设PC＝2R，则OA＝OB＝OC＝OP＝R，
∴O 是三棱锥P－ABC 外接球的球心，易知，PB＝R，BC＝3R，∵∠APC＝π
4，PA⊥AC，O 为PC 的中
点，∴AO⊥PC，又平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AO⊥平面PBC，∴VPABC＝
VAPBC＝1
3×1
2×PB×BC×AO＝1
3×1
2×R× 3R×R＝4 3
3 ，解得R＝2，∴三棱锥P－ABC 外接球的体积V＝4
3πR3
＝32π
3 ．
2.如图，已知平面四边形ABCD 满足AB＝AD＝2，∠A＝60˚，∠C＝90˚，将△ABD 沿对角线BD 翻折，使
平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD 外接球的体积为________．
答案
32 3π
27
解析
在四面体ABCD 中，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60˚，∴△ABD 为正三角形，设
BD 的中点为M，连接AM，则AM⊥BD，又平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，∴AM
⊥平面CBD．∵△CBD 为直角三角形，∴其外接圆的圆心是斜边BD 的中点M，由球的性质知，四面体
ABCD 外接球的球心必在线段AM 上，又△ABD 为正三角形，∴球心是△ABD 的中心，则外接球的半径
为2
3×2× 3
2 ＝2 3
3 ，∴四面体ABCD 外接球的体积为4
3×π×(2 3
3 )3＝32 3π
27
．
3.在三棱锥A
BCD
中，已知
,
2,
6
AC
BC AC
BC
AD
BD
，且平面ABD 平面ABC，则三棱锥
A
BCD
的外接球表面积为（
）
A．8π
B．9π
C．10π
D．12π
【答案】B
【解析】如图，设外接球的半径为R，取AB 的中点
1
O ，连接
1
O D ，
则由AD
BD
，得
1
O D
AB
，
因为平面ABD 平面ABC，平面ABD 平面ABC
AB
，
1
O D 平面ABD ，
所以
1
O D 平面ABC，则球心O 在直线
1
O D 上．
连接OA，则OD
OA
R
，
因为
,
2
AC
BC AC
BC
，所以
2 2
AB
；
因为
6
AD
BD
，所以
1
1
2,
2
AO
O D
.
因为
1
1
O D
AO
，所以球心在线段
1
O D 上．
在
1
Rt
O OA
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
1
1
OO
O A
OA
，
即
2
2
(2
)
2
R
R
，解得
3
2
R
，
所以三棱锥A
BCD
的外接球表面积为
2
2
3
4π
4π
9π
2
R
.
故选：B．
4.三棱锥A
BCD
的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD 平面BCD，
6
AB
AD
，AB
AD
，
2
60
BDC
DBC
，则球O 的体积为（
）
A．4 3
B．32
3
C．49
3
D．32 3
【答案】A
【解析】如图所示：取BD 的中点O，
因为AB
AD
则
ABD
△
是直角三角形，
因为
2
60
BDC
DBC
，所以
BCD
△
是直角三角形，
所以
ABD
△
和
BCD
△
的外接圆的圆心都是O，
又因为平面ABD 平面BCD，所以O 为外接球的球心，
因为
6
AB
AD
，AB
AD
，
所以外接球的半径为
3
R
AO
，
所以外接球的体积为
3
4 π
4 3π
3
V
R
，故选：A
5.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
BC
，
1
4
AB
BC
AA
，点P 为
1
1
B C 的中点，则四面体PABC 的外接
球的体积为（
）
A．. 41 41 π
6
B．41 41 π
3
C．41 41 π
2
D．41 41π
【答案】A
【解析】如图，分别取
1
1
,
,
AC AC BC 的中点
,
,
M N Q ，连接
,
,
MN PQ MQ ，
则
1
//
//
MN CC
PQ，
因为
1
CC 平面ABC ，所以MN 平面ABC ，PQ平面ABC ，
因为AB
BC
，所以M 即为ABC
外接圆的圆心，
所以四面体PABC 的外接球的球心O在MN 上，
设OM
x
，四面体PABC 的外接球的半径为R ，则OA
OP
R
，
1
1
2 2,
2
2
2
AM
AC
MQ
AB
，
则
2
2
2
8
4
4
R
x
x
，解得
3
2
x
，所以
9
41
8
4
2
R
，
所以四面体PABC 的外接球的体积为
3
4
41 41
π
π
3
6
R
.故选：A.
题型六：斗笠模型
1.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60，若该圆锥的侧面积为3 3，则该圆锥外接球的表面积为
________．
答案
27
2
解析
设
60
ASB
BSC
CSA
，则SA
SB
SC
AB
AC
BC
．设AB
x
，则
底面圆的直径为
2
2
sin60
3
x
x
r
，该圆锥的侧面积为1
2
3 3
2
3
x x
，解得
3
x
，高
2
2
3
( 3)
6
OS
．
3
3
3
r
．设圆锥外接球的半径为R ，所以
2
2
2
( 6
)
R
r
R
，解得
3 6
4
R
，
则外接球的表面积为
2
27
4
2
R
．
2.已知A，B，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O1 为△ABC 的外接圆．若⊙O1 的面积为4π，AB＝BC＝AC
＝OO1，则球O 的表面积为(
)
A．64π
B．48π
C．36π
D．32π
答案
A
解析
设⊙O1的半径为r，球的半径为R，依题意，得πr2＝4π，∴r＝2．由正弦定理可得AB
sin 60°
＝2r，∴AB＝2r sin 60°＝2 3．∴OO1＝AB＝2 3．根据球的截面性质，得OO1⊥平面ABC，∴OO1⊥O1A，
R＝OA＝OO2
1＋O1A2＝OO2
1＋r2＝4，∴球O 的表面积S＝4πR2＝64π．故选A．
3.正四面体S
ABC
内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（
）
A．
6
4
B．
3
3
C．2 6
3
D．
3
【答案】C
【解析】设正四面体的棱长为2a，
正四面体的外接球心为O，ABC
的内心为M，
则SM 平面ABC，由AM 平面ABC，则SM
AM
，
由
2
2
2
2 3
2 6
3 ,
,
3
3
3
a
a
AE
a
AM
AE
SM
AS
AM
，
则
2
2
2
2 6
2 3
6
2
2 6
3
3
3
3
a
a
a
R
R
a
R
R
.故选：C
4.已知正四棱锥P
ABCD
（底面四边形ABCD是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心）的各顶点
都在同一球面上，底面正方形的边长为10 ，若该正四棱锥的体积为50
3 ，则此球的体积为（
）
A．18π
B．8 6π
C．36π
D．32 3π
【答案】C
【解析】设正四棱锥的高为h ，则
2
1
50
10
3
3
h
，解得
5
h
，
正方形ABCD的对角线长为
2
2
10
10
2 5
，
设外接球的半径为R ，则
2
2
2
2 5
5
2
R
R
，解得
3
R
，
所以外接球的体积为
3
4π
3
36π
3
.故选：C
5.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1 的球，则该四
棱锥的表面积最小值是（
）
A．16
B．8
C．32
D．24
【答案】C
【解析】因为四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，
所以该四棱锥是正四棱锥，如图正四棱锥P
ABCD
，
当半径为1的球是正四棱锥P
ABCD
的内切球时，该四棱锥的表面积最小，
设正方形ABCD的边长为2a ，设AC
BD
O
，连接PO ，则PO 面ABCD，
所以正四棱锥P
ABCD
的高为PO ，
设PO
h
，正四棱锥P
ABCD
的表面积为S，
由
1
1
1
4
1
3
3
3
ABCD
PAB
ABCD
V
S
PO
S
S
S
，
即为
2
2
1
1
1
2
2
4
2
2
2
1
3
3
2
a
a h
a
a
h
a
a
，
整理可得：
2
2
1
a h
a
h
，
所以
2
2
2
2
1
a
h
a
h
，可得
2
2
2
2
h
a
h
h
，
所以正四棱锥P
ABCD
体积为
2
1
4
3
V
a
h
，
则
3
2
2
2
2
1
4
4
3
3
4
4
3
2
2
h
h
S
V
a
h
a
h
h
h
h
2
h
，
设
2
0
t
h
，可得
2
h
t
，
所以
2
4
2
4
4
4
4
4 2
4
32
t
S
t
t
t
t
t
，
当且仅当
4
t
t
即
2
t
，
4
h
时，等号成立，
该四棱锥的表面积最小值是32，故选：C.
题型七：鳄鱼模型
1.在三棱锥A
BCD
中，ABD
和CBD
均为边长为2 的等边三角形，且二面角A
BD
C
的平面角为60，
则三棱锥的外接球的表面积为________．
答案
52
9
解析
如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，因为ABD
与CBD
均为边长为2 的等
边三角形，所以AH
BD
，CH
BD
，则
AHC
为二面角A
BD
C
的平面角，即
60
AHC
，设ABD
与CBD
外接圆圆心分别为E ，F ，则由
3
2
3
2
AH
，可得
2
2 3
3
3
AE
AH
，
1
3
3
3
EH
AH
，
分别过EF 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，
HO ，则由对称性可得
30
OHE
，所以
1
tan30
3
OE
HE
，则
2
2
13
9
R
OA
AE
OE
，则三棱
锥外接球的表面积
2
13
52
4
4
9
9
R
，
2.在等腰直角
ABC
中，
2
AB
，
90
BAC
，AD 为斜边BC 的高，将
ABC
沿AD 折叠，使二面角
B
AD
C
为60，则三棱锥A
BCD
的外接球的表面积为________．
答案
14
3
解析
沿AD 折叠后二面角B
AD
C
为60，即折叠后
60
BDC
，所以
DBC
为
等边三角形，又因为
2
AB
，所以折叠后
2
AD
DB
BC
CD
，设点O 为三棱锥A
BCD
外接球的
球心，
1
O 为
BDC
的外心，所以
1
2
2
sin60
DO
，所以
1
6
3
DO
，又
1
1
2
2
2
OO
AD
，所以球心半径
2
2
2
2
2
1
1
6
2
7
(
)
(
)
3
2
6
R
DO
OO
，所以
2
14
4
3
S
R
球
．
3.已知在三棱锥S
ABC
中，AB
BC
，
2
AB
BC
，
2 2
SA
SC
，二面角B
AC
S
的大小为2
3
，
则三棱锥S
ABC
的外接球的表面积为（
）
A．124
9
B．105
4
C．105
9
D．104
9
【答案】D
【解析】如图，取AC 的中点D，连接BD，SD，
因为
2
AB
BC
，
2 2
SA
SC
，所以
,
BD
AC SD
AC
，
所以
SDB
为二面角B
AC
S
的平面角，所以
2
3
BDS
，
因为AB⊥BC，
2
AB
BC
，所以
2 2
AC
，
2
BD
CD
因为
2 2
SA
SC
，所以
8
2
6
SD
，
过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，
设球的半径为R，连接OB，OS，可得
2
2
2
2
OD
R
，
在△OSD 中，∠ODS＝6
，
利用余弦定理可得
2
2
2
2
3
2
6
2
2
6
2
R
R
R
，解得R
2＝26
9 ，
所以其外接球的表面积为
2
104
4
9
R
.故选：D
4.如图，在三棱锥
P
ABC ，
PAC
△
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且
2 2
CB
，
6
AB
AC
，
二面角P
AC
B
的大小为120，则三棱锥
P
ABC 的外接球表面积为（
）
A．5 10
3
B．10
C．9
D．
4
2 3
【答案】B
【解析】根据题意，作出图形，如图所示，
因为
PAC
△
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，
所以
PAC
△
的外心在AC 中点，
设为
2
O ，设ABC
的外心为
1
O ，BC 中点为E ，
1
1
AO
r
，
因为
6
AB
AC
，所以
1
O 必在AE 连线上，
则
1
2
3
sin
AB
AB
r
AE
C
AC
，即1
3
2
r
，
因为两平面交线为AC ，
1
O 为平面ABC 所在圆面中心，
所以
1
2
O O
AC
，
2
2
1
2
1
2
3
2
O O
r
AO
，
又因为二面角P
AC
B
的大小为120，
2
PO
AC
，
所以
2
1
2
1
120 ,
30
PO O
OO O
，所以
2
1
2
2
1
3
OO
O O
，
锥体
P
ABC 外接球半径
2
2
2
2
2
2
2
6
5
1
2
2
R
AO
AO
OO
，
则三棱锥
P
ABC 的外接球表面积为
2
4
10
S
R
，故选：B
5.在三棱锥A
BCD
中，
,
,
2
2
4
AB
BC BC
CD CD
AB
BC
，二面角A
BC
D
为60，则三棱锥
A
BCD
外接球的表面积为（
）
A．16π
B．24π
C．18π
D．20π
【答案】D
【解析】如图所示，设E，F，G 分别是BC，AC，BD 的中点，则EF
AB
EG
CD
∥
，
∥
，
因为AB
BC
BC
CD
，
，所以BC
EF
BC
EG
，
，
则二面角A
BC
D
的平面角为
60
FEG
，且BC 平面EFG，
又因为
1
1
1,
2
2
2
EF
AB
EG
CD
，
所以
3
FG
，所以EF
FG
，
因为BC 平面EFG，所以BC
FG
，所以FG 平面ABC．
又因为F 是ABC
外接圆的圆心，
所以FG 经过球心，且G 是
BCD
△
外接圆的圆心，
所以G 是三棱锥A
BCD
外接球的球心，
设外接球的半径为R ，则
2
2
2
2 5
R
BD
BC
CD
，
故三棱锥A
BCD
外接球的表面积
2
4π
20π
S
R
．故选：D.
题型八：矩形模型
1.已知三棱锥A-BCD 中，
2 2
CD
，
2
BC
AC
BD
AD
，则此几何体外接球的表面积为（
）
A．
2
3
B．2
C．8 2
3
D．8
【答案】D
【解析】如图，O 为CD 的中点，
根据题意，
BCD
△
和ACD
都是直角三角形，且
2
OA
OB
OC
OD
O
是三棱锥外接球的球心，且外接球的半径
2
R
OA
所以外接球的表面积为：
2
4 ·
8
S
R
.故选：D.
2.在矩形ABCD中，
6,
8
AB
BC
，现将ABC
沿对角线AC 翻折，得到四面体DABC ，则该四面体外接
球的体积为（
）
A．196
3
B．1000
3
C．400
3
D．500
3
【答案】D
【解析】设AC 的中点为O，因为ABCD是矩形，
所以
BAC
DAC
、
是共斜边的直角三角形，
因此有
2
2
1
1
1
36
64
5
2
2
2
OA
OC
OB
OD
AC
AB
BC
，
所以该四面体外接球的体积为
3
4
500
5
3
3
，故选：D
3.矩形ABCD中，
4,
3
AB
BC
，沿AC 将三角形ABC 折起，得到的四面体A
BCD
的体积的最大时，
则此四面体外接球的表面积值为（
）
A．25π
B．30π
C．36π
D．100π
【答案】A
【解析】矩形ABCD中，
4,
3
AB
BC
，由勾股定理可得：矩形的对角线为5，
由题意得：四面体A
BCD
的外接球的半径为矩形对角线的一半，即半径为5
2 ，
当四面体的体积最大时，半径也是5
2 ，
故此四面体外接球的表面积为
2
5
4π
25π
2
.故选：A
4.在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，将△ABC 沿对角线AC 折起，则三棱锥B-ACD 的外接球的表面积为（
）
A．36π
B．64π
C．100π
D．与二面角B-AC-D 的大小有关
【答案】C
【解析】在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，
所以
2
2
2
2
6
8
10
BD
AB
AD
.
设AC
BD
O
,则OA
OB
OC
OD
.
所以O 为三棱锥B-ACD 的外接球的球心，半径为
1
5
2
R
BD
.
所以三棱锥B-ACD 的外接球的表面积为
2
4
100
R
.故选：C
题型九：折叠模型
1.已知等边ABC
的边长为2，将其沿边AB 旋转到如图所示的位置，且二面角C
AB
C
为60，则三棱
锥C
ABC
外接球的半径为
【答案】
13
3
【解析】如图，设D 为AB 的中点，连接CD,C D
,
由于ABC
，
ABC
△
为正三角形，
故
2 sin60
3
C D
CD
，
可得：
3
h
C D
，
1
2 3
2 sin 60
3
AB
r
，
代入公式可得：
2
2
2
2
13
(
) tan
2
9
R
r
h
r
，
所以外接球半径
13
3
R
2.已知菱形ABCD的边长为3，
60
ABC
，沿对角线AC 折成一个四面体，使平面ACD 垂直平面ABC ，
则经过这个四面体所有顶点的球的体积为（
）．
A．5 15 π
2
B．6π
C．5 15π
D．12π
【答案】A
【解析】法1：E 是AC 的中点，由题意可知：DE 平面ABC ，
如图所示，设球心为O，在平面ABC 中的射影为F ，
E 是AC 的中点，OF
x
，
则
2
3
3
BF
BE
，
1
3
3
2
EF
BE
,
3
3 3
2
2
DE
AD
所以
2
2
2
2
2
3 3
3
( 3)
(
)
(
)
2
2
R
x
x
，
3
2
x
2
15
4
R
球的体积为
3
4π
5 15 π
3
2
R
．故选：A．
法2：ABC
的外接圆半径
1
3
2 sin 60
AC
r
，
3 3
2
h
，
代入公式可得：
2
2
2
2
15
(
) tan
2
4
R
r
h
r
球的体积为
3
4π
5 15 π
3
2
R
．故选：A．
3.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而
“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点
,
,
,
A B C D
满足
4 3
3
AB
BC
CD
DA
DB
cm ，
2 3
AC
cm ，则该“鞠”的表面积为_______
2
cm .
【答案】112π
9
【解析】法1：取BD 的中点E ，连接
,
AE CE ，
因为
4 3
3
AB
BC
CD
DA
DB
cm ，
所以
2 3
3
BE
DE
cm 且
,
CE
BD AE
BD
，
故
m
2 3
3
c
3
2
CE
AE
，
因为
2 3cm
AC
，所以
2
2
2
4
4 12
1
cos
2
2
2
2
2
AE
CE
AC
AEC
AE CE
，
故
120
AEC
，
在CE 上取点F ，使得
2
CF
EF
，
则点F 为等边
BCD
△
的中心，
m
2
4
,
3 cm
c
3
EF
CF
，
设点O为三棱锥A
BCD
的外接球球心，则OF 平面BCD，
连接
,
OA OC ，设外接球半径为Rcm ，则
cm
OA
OC
R
，
过点A 作AP ⊥CE ，交CE 延长线于点P ，则
60
AEP
，
由于O在平面ACE 中，故
/ /
AP
OF ，故AP 平面BCD，
过点O作OH ⊥AP 于点H ，则
,
OH
PF PH
OF
，
m
cos 0
c
6
1
PE
AE
，
m
sin 0
c
6
3
AP
AE
，
2
5
1
3
3
PF
PE
EF
cm ，
故
cm
5
3
OH
PF
，设OF
PH
h
，则
3
AH
AP
HP
h
，
由勾股定理得
2
2
2
2
25
3
9
AO
AH
OH
h
，
2
2
2
2
16
9
OC
OF
CF
h
，
故
2
2
25
16
3
9
9
h
h
，解得
cm
2 3
3
h
，
故
2
2
2 3
16
28
3
9
9
R
，
故该“鞠”的表面积为
2
2
28
112
4π
4π
π
9
cm
9
R
.
法1：由法1 可得：
2
h
AE
，
1
4
2 sin 60
3
BD
r
，
120
AEC
，
代入公式可得
2
2
2
2
28
(
) tan
2
9
R
r
h
r
故该“鞠”的表面积为
2
2
28
112
4π
4π
π
9
cm
9
r
.
4.在三棱锥S
ABC
中，
2,
1
SA
SB
AC
BC
SC
，二面角S
AB
C
的大小为60，则三棱锥S
ABC
的外接球的表面积为____________.
【答案】52
3
/ 52
3
【解析】取AB 的中点M ，连接
,
SM CM ，
∵
,
SA
SB
AC
BC AB
AB
，则
,
,
△
△
ABC
ABS AM
AB CM
AB
@
^
^
，且，
∴二面角S
AB
C
的平面角为
60
SMC
Ð
=
°，
故SCM
为等边三角形，即
1
AM
CM
SC
=
=
= ，
则
2
2
3
2
2
2 3,tan
3
CM
AB
BM
BC
CM
CBM
BM
=
=
-
=
Ð
=
=
，
∵
π
0, 2
CBM
，则
π
6
CBM
，
设ABC
的外接圆圆心分别为
1
O ，半径为r ，
则
2
2
4
1
sin
2
AC
r
ABC
，即
2
r
，故
1
O 在CM 的延长线上，
同理ABS
的外接圆圆心分别为
2
O 在SM 的延长线上，
∵
,
,
,
,
AM
AB CM
AB AM
CM
M AM CM
I
平面
SCM ，
∴AB 平面SCM ，
且AB 平面ABC ，AB 平面ABS ，
故平面ABC 平面SCM ，平面ABS 平面SCM ，
设三棱锥S
ABC
的外接球的球心为O，连接
1
2
,
OO OO ，
则
1
OO 平面ABC ，
2
OO 面ABS ，
故
1
2
,
OO OO 平面SCM ，
连接
1
1
1
2
,
,
,
,
O A O B OO OA MO ，则
1
2
1
1
1,
2,
30
MO
MO
O A
OMO
，
可得
1
1
1
3
tan
3
O O
MO
O MO
，
则三棱锥S
ABC
的外接球的半径
2
2
1
1
39
3
R
O A
O O
=
+
=
，
故三棱锥S
ABC
的外接球的表面积
2
13
52π
4π
4π
3
3
R
.
故答案为：52π
3 .
5.已知在三棱锥中，S
ABC
中，BA
BC
，
2
BA
BC
，
2 2
SA
SC
，二面角B
AC
S
的大小为5π
6 ，
则三棱锥S
ABC
的外接球的表面积为（
）
A．56π
3
B．58π
3
C．105π
4
D．124π
9
【答案】A
【解析】如图，取AC 的中点D，连接BD，SD，
因为
2
AB
BC
，
2 2
SA
SC
，所以
,
BD
AC SD
AC
，
所以
SDB
为二面角B
AC
S
的平面角，所以
5π
6
BDS
，
因为AB⊥BC，
2
AB
BC
，所以
2 2
AC
，
2
BD
CD
，
因为
2 2
SA
SC
，所以
8
2
6
SD
，
过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，
设球的半径为R，连接OB，OS，可得
2
2
OD
R
，
在△OSD 中，
π
3
ODS
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
OS
OD
SD
OD SD
ODS
，
即
2
2
2
1
2
6
2
2
6
2
R
R
R
，解得
2
14
3
R =
，
所以其外接球的表面积为
2
56π
4π
3
R
.故选：A.
模块三：综合巩固
1.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A
BCD
中，AB 平面BCD，
CD
AD
，
2
AB
BD
，已知动点E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B 的最短距离为10 ，
则该棱锥的外接球的体积为______.
【答案】8 2 π
3
【解析】将
ACD
沿AD 翻折到与
ABD
△
共面得到平面四边形ABDC如图1 所示，
设CD
x
，即C D
x
，由题意得
10
C B
，
在C BD
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos135
C B
C D
BD
C D BD
即
2
2
2
2
10
2
2
2
2
x
x
即
2
2
8
0
x
x
，解得
2
x
或
4
x （舍去），
将三棱锥A
BCD
补成长方体如图2 所示，
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径
2
2
2
1
2
2
2
2
2
R
，
所以外接球的体积
3
4
8 2
π
π
3
3
V
R
.
故答案为：8 2 π
3
2.已知四棱锥P
ABCD
的外接球O 的表面积为64π ，PA 平面ABCD，且底面ABCD 为矩形，
4
PA
，设点
M 在球O 的表面上运动，则四棱锥M
ABCD
体积的最大值为______.
【答案】48
【解析】球O 的表面积为
2
4π
64π
R
，则半径
4
R
，
将四棱锥P
ABCD
补成长方体，长、宽、高分别设为a、b、c，
则
2
2
2
2
2
c
a
b
R
，且
4
c
PA
，∴
2
2
48
2
a
b
ab
，
∴
24
ab
，当且仅当
2 6
a
b
时取等号.
矩形ABCD 面积的最大值为
max
24
S
ab
，
要使四棱锥M
ABCD
的体积最大，
只需点M 为平面ABCD 的中心
1
O 与球心O 所在的直线
与球的其中一个离平面ABCD 较远的交点，
1
1
2
2
OO
PA
，
1
6
MO
，
可求得M
ABCD
体积最大值为
1
1
1
24 6
48
3
3
V
S MO
.
故答案为：48
3.在三棱锥
P
ABC 中，已知
2 13,
41,
61
PA
BC
AC
BP
CP
AB
，则三棱锥
P
ABC 外接球
的表面积为（
）
A．77π
B．64π
C．108π
D．72π
【答案】A
【解析】因为三棱锥的对棱相等，所以可以把它看成长方体的面对角线，
设长方体的同一顶点三条棱长分别为, ,
a b c ,且长方体的面对角线长为2 13,
41,
61 ，
则
2
2
2
2
2
2
2 13,
41,
61
a
b
c
b
a
c
,
长方体体对角线为长方体外接球直径，即为三棱锥外接球的直径，
2
2
2
1
2
52
61 41
77
2
R
d
a
b
c
，它外接球半径等于
77
2
，
所以球的表面积为
2
4π
77π
R
.故选:A.
4.已知四面体ABCD 的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边
三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．
【答案】27
4
/ 27
4
【解析】根据题意，只需四面体ABCD 在圆锥的内切球内，
下面求四面体ABCD 的外接球半径．
如图所示，将四面体放入长方体中，设长方体的长宽高分别为, ,
a b c ，
则
2
2
4
a
b
，
2
2
4
a
c
，
2
2
1
b
c
，故
2
2
2
2
9
4
2
R
a
b
c
，
可得四面体ABCD 的外接球半径为3 2
4
．
当圆锥的侧面积最小时，该圆锥的内切球即四面体ABCD 的外接球，
则此时圆锥的内切球的半径为
3 2
4
R
，底面圆的半径为
3 2
3 6
3
4
4
r
，
母线长为3 2
3 2
2
4
2
，所以侧面积为
3 6
3 6
27 π
π
4
2
4
S
.
故答案为：27π
4 .
5.若一个圆柱的表面积为12，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为(
)
A．(12 5
12)
B．12 3
C．(12 3
3)
D．16
答案
A
解析
设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则
2
2
2
12
r
rh
，则
6
h
r
r
．设该圆柱的外接
球的半径为R ，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 6
5
9
5
9
( )
(
)
3 2
3
3 5
3
2
4
4
4
h
R
r
r
r
r
r
r
r
r
.
，当且仅当
2
2
5
9
4 r
r
，
即
4
36
5
r
时，等号成立．故该圆柱的外接球的表面积的最小值为4 (3 5
3)
(12 5
12)
．
6.已知A，B，C，D 在球O 的表面上，ABC
为等边三角形且其面积为3 3
4
，AD 平面ABC，AD＝2，则球
O 的表面积为（
）
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
【答案】D
【解析】因为ABC
为等边三角形且其面积为
2
2
1
3
3 3
2
4
4
sin 60
a
a
，
所以ABC
的边长为
3 ，设ABC
外接圆的半径为r ，
由正弦定理可得
3
2
2
sin 60
r
，
1
r ，
取底面中心为
1
O ，即
1
1
O A
∵AD 平面ABC，AD＝2，
过
1
O 作
1 //
OO AD，且取
1
1
= 2
O O
AD ，
则O即是四面体D
ABC
外接球的球心，半径R
OA
，
在
1
Rt
O OA
△
中，
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
AD
OA
O O
O A
，则
2
R
OA
，
所以球O 的表面积为
2
4π
8π
R
.故选：D.
7.在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，
2
BC
，PC 与平面PAB 所成的角为
o
30 ，
则该四棱锥外接球的体积为（
）
A．4 3 π
3
B．4 3π
C．8 2 π
3
D．8 3 π
3
【答案】C
【解析】由于PA 平面ABCD，
,
BC CD 平面ABCD，所以
,
PA
BC PA
CD
，
由于四边形ABCD是矩形，所以
,
BC
AB CD
AD
，
由于
,
,
PA
AB
A PA AB
平面PAB ，所以BC 平面PAB ，
由于PB 平面PAB ，所以BC
PB
；同理可证得CD
PD
，
所以PC 是外接球的直径.
由BC 平面PAB 可知：
CPB
是PC 与平面PAB 所成的角，
所以
30
CPB
，所以
2
2 2
PC
BC
.
所以外接球的半径为1
2
2 PC
，
所以外接球的体积为
3
4π
8 2π
2
3
3
.故选：C
8.四棱锥P
ABCD
的顶点都在球O的表面上，PAD
是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD 平
面ABCD，若
2
AB
，
3
BC ，则球O的表面积为（
）
A．12
B．16
C．20
D．32
【答案】B
【解析】连接
,
AC BD ，AC
BD
G
，取AD 中点E ，连接PE ；
四边形ABCD为矩形，
G
为四边形ABCD的外接圆圆心；
在线段PE 上取
1
3
ME
PE
，
PAD
QV
为等边三角形，
M
为PAD
外接圆圆心，
过
,
G M 分别作平面ABCD和平面PAD 的垂线，则两垂线交点即为球O的球心O，
PAD
QV
为等边三角形，
PE
AD
∴
，
平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCD
AD
，PE 平面PAD ，
PE
平面ABCD，
//
PE OG
；
同理可得：
//
OM EG ，四边形OMEG 为矩形；
1
1
2
OM
EG
AB
，
2
2
9
9
3
3
3
4
PM
PE
，
2
2
2
OP
OM
PM
，即球O的半径
2
R
，
球O的表面积
2
4
16
S
R
.故选：B.
9.在四棱锥P
ABCD
中，平面PAD 平面ABCD，且ABCD为矩形，
π
2
DPA
，
2 3
AD
，
2
AB
，
PA
PD
，则四棱锥P
ABCD
的外接球的体积为（
）
A．16 π
3
B．32 π
3
C．64
3 π
D．16π
【答案】B
【解析】设AC
BD
O
，取AD 的中点E ，连接OE ，OP ，PE ，
因为底面ABCD为矩形，所以O为矩形ABCD的外接圆的圆心，
又
π
2
DPA
，PA
PD
，
2 3
AD
，
2
AB
，
则OE∥AB ，
1
1
2
OE
AB
，
1
3
2
PE
AD
，
因为平面PAD 平面ABCD，且平面PAD 平面ABCD
AD
，
PE
AD
，PE 面PAD ，
所以PE 面ABCD，
因为OE 面ABCD，所以PE
OE
，所以
2
2
3 1
2
PO
PE
OE
，
因为
2
2
1
1
2 3
2
2
2
2
OA
OB
OC
OD
AC
PO
，
所以O为外接球的球心，则外接球的半径为
2
R
，
所以外接球的体积
3
3
4
4
32
π
π
2
π
3
3
3
V
R
=
=
´
=
．故选：B．
10.在四棱锥P
ABCD
中，ABCD 是边长为2 的正方形，
10
AP
PD
，平面PAD 平面ABCD，则四棱
锥P
ABCD
外接球的表面积为（
）
A．4π
B．8π
C．136π
9
D．68π
3
【答案】C
【解析】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中，
如图①所示：
取AD 的中点H ，连接PH ，连接
,
AC BD 交于
1
O ，
由
10
AP
PD
，则在等腰PAD
中有：PH
AD
，
又平面PAD 平面ABCD，且平面PAD 平面ABCD= AD ，则PH 平面ABCD，
又
1
1
2
AH
AD
，所以在Rt
PAH
△
中，
2
2
2
2
10
1
3
PH
PA
AH
，
由底面为正方形ABCD，所以它的外接圆的圆心为对角线的交点
1
O ，
连接
1
O H ，则
1
PH
O H
，
PAD
外接圆的圆心为
2
O ，且在PH 上，
过点
1
O ，
2
O 分别作平面ABCD与平面PAD 的垂线，
则两垂线必交于点O，点O即为四棱锥P
ABCD
外接球的球心，
且
1
OO 平面ABCD，
又PH 平面ABCD，即
2
O H 平面ABCD，
所以
1
OO ∥PH ，所以四边形
1
2
OO HO 为矩形.
如图②连接
2
AO ，则
2
2
AO
PO
，
在
2
Rt AO H
中，
2
2
2
2
3
O H
PH
PO
PH
AO
AO
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
AO
AH
HO
AO
，解得
2
5
3
AO
，
所以
2
5
4
3
3
3
O H
，所以
1
2
4
3
OO
O H
，
在图①中连接OB ，由
1
1
2
2
O B
BD
，
所以在
1
Rt OO B
中，
2
2
2
2
1
1
4
16
34
2
2
3
9
3
OB
OO
O B
，
即四棱锥P
ABCD
外接球的半径为
34
3
R
OB
，
所以四棱锥P
ABCD
外接球的表面积为：
2
2
34
136
4πR
4π
π
3
9
S
，故选：C.
11.在三棱锥
P
ABC 中，侧棱
10
PA
PB
PC
，
4
BAC
，
2 2
BC
，则此三棱锥外接球的表面
积为_______．
【答案】50
3
【解析】因为
10
PA
PB
PC
，
所以点P 在底面ABC 的射影为ABC
的外心
1
O ，
所以球心O在直线
1
PO 上，
设三棱锥外接球的半径为R ，
因为
1
2 2
2
sin 4
AO
，所以
1
2
AO
，
1
6
PO
，
由
2
2
2
1
1
AO
OO
AO
可得，
2
2
6
4
R
R
，解得
5
6
R
，
故此三棱锥外接球的表面积为
2
25
50
4
4
6
3
R
．
故答案为：50
3
．
12.如图1，四边形ABCD中，
2
AB
AD
，
2
CB
CD
，AB
AD
，将
ABD
△
沿BD翻折至
PBD
△
，
使二面角P
BD
C
的正切值等于
2 ，如图2，四面体PBCD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表
面积为（
）
A．4π
B．6π
C．8π
D．9π
【答案】B
【解析】如图，取BD中点O，连接
,
OC OP ，
因为，在图1 中，
2
AB
AD
，
2
CB
CD
，AB
AD
，
所以
2
BD
，
2
DP
BP
，
BCD
△
为等边三角形，
所以
,
OP
BD OC
BD
，
所以，
POC
是二面角P
BD
C
的平面角，
因为二面角P
BD
C
的正切值等于
2 ，
即tan
2
POC
，所以
3
cos
3
POC
，
所以，在
POC
△
中，
1,
3
OP
OC
，
2
2
2
3
2
cos
1 3
2 3
2
3
PC
OP
OC
OP OC
POC
，即
2
PC
，
所以
2
DP
BP
PC
，
2
CB
CD
BD
，
所以
2
2
2
DP
PC
CD
，
2
2
2
BP
PC
CB
，
2
2
2
DP
PB
BD
，
所以
,
,
PD PC PB 两两垂直且相等，
所以，四面体PBCD 的外接球的半径即为以
,
,
PD PC PB 为棱的正方体的外接球半径，
所以四面体PBCD 的外接球的半径r 满足2
3
2
6
r
，
所以，该球的表面积为
2
4π
6π
r
故选：B
13.在平面四边形ABCD中，
3
AD
CD
，
90
ADC
ACB
，
60
ABC
，现将
ADC
△
沿着AC 折
起，得到三棱锥D
ABC
，若二面角D
AC
B
的平面角为135°，则三棱锥D
ABC
的外接球表面积为
__________.
【答案】10π
【解析】如图，取AC 的中点E ，AB 的中点F ，连接EF ，DE ，
因为AD
CD
，所以DE
AC
，
因为BC
AC
，
/ /
EF
BC ，所以EF
AC
，
135
DEF
；
过点E 作OE 平面DAC ，过点F 作OF 平面ABC ，OE
OF
O
，
因为点E ，F 分别是
DAC
△
和ABC
的外心，
所以点O是三棱锥D
ABC
的外接球的球心；
由
3
AD
，得
6
AC
，
2
BC
，
2 2
AB
，
所以
1
2
2
2
EF
BC
，
45
OEF
，
2
2
OF
EF
，
1
2
2
AF
AB
，
2
2
5
2
OA
OF
AF
，
则三棱锥D
ABC
的外接球的半径
5
2
R
，
所以外接球的表面积
2
4π
10π
S
R
；
故答案为：10π .
14.在三棱锥
P
ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，
2
AB
AC
，△PAC 为正三角形，且二面角P
AC
B
的平面角为π
6 ，则三棱锥
P
ABC 的外接球表面积为________．
【答案】28 π
3
【解析】若
,
O D 分别是
,
AC BC 中点，则
/ /
OD
AB ，又△ABC 为等腰直角三角形且
2
AB
AC
，
所以AB
AC
，则OD
AC
，且
1
OD ，
2 2
BC
，
由△PAC 为正三角形，故PO
AC
，且
3
PO
，
,
,
OD
PO
O OD PO
面POD ，故AC 面POD ，
综上，二面角P
AC
B
平面角为
π
6
POD
，
在△POD 中，
2
2
2
π
2
cos
1
6
PD
PO
OD
PO OD
，则PD=OD=1，
又AC 面ABC ，则面ABC 面POD ，面ABC 面POD
OD
，
则P 在面ABC 上的射影在直线OD上，
所以P 到面ABC 的距离为
π
3
sin 6
2
h
PO
，
三棱锥
P
ABC 外接球球心O在过D 垂直于面ABC 的直线上，如上图，
过P 作PE 面ABC 于E ，且E 在直线OD上，过O作
/ /
O F
DE
交PE 延长线于F ，
连接
,
,
O B O P O F
，显然EFO D
为矩形，令O D
x
，外接球半径为R ，
所以
3
1
3
,
,
,
2
2
2
2
PD
R
O B
O P h
PE
O F
DE
PF
PE
EF
PE
O D
x
，
则
2
2
2
2
2
R
P
D
O F
BD
F
O
，
所以
2
2
3
1
(
)
2
2
4
x
x
，可得
3
3
x
，故
2
7
3
R
，
外接球表面积为
2
28
4π
π
3
R
.
故答案为：
28 π
3
