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7.10 复数单元测试（二）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1．已知
5i
2
i
z
，则z
z
（
）
A．2i
B．4i
C．1
D．2
【答案】D
【解析】
5i
5i(2
i)
1
2i
2+i
(2
i)(2
i)
z
，故
1
2i
1
2i
2
z
z
．故选：D．
2．已知,
R
a b
，
2i
i i
a
b
，若
i
z
a
b
，则z 的虚部是（
）
A．-2
B．1
C．-2i
D．2i
【答案】A
【解析】由
2i
i i
1
i
a
b
b
，可得
1,
2
a
b
，所以
1
2
z
i
，所以z 的虚部是2
．故选：A．
3．若
2023
3
4i
1 i
z
，则z （
）
A．1
7 i
2
2
B．7
2
i
1
2
C．7
1 i
2
2
D．1
7 i
2
2
【答案】C
【解析】由题得
3
4i 1 i
3
4i
3
3i
4i
4
7
1 i
1 i
1 i 1 i
2
2
2
z
，所以
7
1 i
2
2
z
．故选：C
4．在复平面内，复数
1
3 i
2
2
z
对应的向量为OA
，复数
1
z 对应的向量为OB
，那么向量AB
对应的复
数是（）
A．1
B．1
C．
3i
D．
3i
【答案】A
【解析】由题意得
1
3
,
2
2
A
，
1
3
,
2
2
B
，
1,0
AB
，则AB
对应复数1.故选：A．
5．在复平面内，复数z 和
2
i i
表示的点关于虚轴对称，则复数z＝（
）
A．1
2i
B．1
2i
C．1
2i
D．1 2i
【答案】B
【解析】由题意可得
2
2
i i
2i
i
2i 1
对应的点为
1,2 ，
该点关于虚轴对称的点为(
)
1,2
-
，所以复数z 对应的点为(
)
1,2
-
，所以
1
2i
z
.故选：B
6．已知a R ，若
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
1
z
（
）
A．
2
B．5
C．2 2
D．10
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【答案】B
【解析】由
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，得
1
0
a
，
1
0
a
，解得
1
a ，
所以
2
2
2i,
1
1 2i
1
2
5
z
z
，故选:B．
7．“
4
0
3
m
”是“复数
3
2
1 i
Z
m
m
在复平面内对应的点位于第四象限”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为复数
3
2
1 i
Z
m
m
在复平面内对应的点位于第四象限
3
2
0
2
1
1
0
3
m
m
m
，
而
4
0
3
m
成立推不出2
1
3
m
成立，2
4
1
0
3
3
m
m
，
所以
4
0
3
m
是复数
3
2
1 i
Z
m
m
在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，
故选：B
8．已知
1 i
i 1
2i
b
a
，其中,
R
a b
，i 为虚数单位，则以,a b为根的一个一元二次方程是（
）
A．
2
1
0
x - =
B．
2
2
x
x
C．
2
0
x
x
D．
2
0
x
x
【答案】A
【解析】因为
1 i
i 1
2i
b
a
，所以
i
2 i
b
b
a
a
，
所以
2
b
a
b
a
，所以
1
1
a
b
，
因此所选方程的两根为1
，仅有
2
1
0
x - =
符合要求，故选：A.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目
9．在复平面内，下列说法正确的是（
）
A．
2i
1
B．
2
( i)
1
C．若a
b
，则
i
i
a
b
D．若复数z 满足
2
0
z
，则z 是纯虚数
【答案】AD
【分析】利用复数的运算和性质判断ABD；虚数无法比较大小判断C.
【解析】对于A，
2i
1
1
1
，故A 正确；
对于B，
2
2
2
( i)
1
i
1
，故B 不正确；
对于C，两个虚数不能比较大小，故C 不正确；
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对于D，设
i
,
R
z
a
b a b
，则
2
2
2
2
i
2
i
z
a
b
a
b
ab
，
2
0
z
Q
，则
2
2
0
2
0
a
b
ab
，解得
0
0
a
b
，
故
i
z
b
是虚数，故D 正确；
故选：AD
10．已知复数
1z ，
2z 满足
1
2
3
i
z
z
，
1
2
5
3i
z
z
，则，（
）
A．
1
4
i
z
B．
2z 在复平面内对应的点位于第三象限
C．
1
2
2z
z
为纯虚数
D．
1 2
z z 的共轭复数为2
9i
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出复数
1z ，
2z ，再逐一计算判断各个选项作答.
【解析】因为
1
2
3
i
z
z
，
1
2
5
3i
z
z
，则
1
i
2
(
)
(
)
8
i
2
3
5
3i
z
，
2
3
i
5
3i
i
2
(
)
(
)
2
4
z
，
解得
2
1
i,
1
4
2i
z
z
，A 正确；
复数
2z 在复平面内对应的点( 1, 2)
位于第三象限，B 正确；
1
2
7
2
i
1
2i
2(4
)
(
)
z
z
，则
1
2
2z
z
为实数，C 错误；
1
2
i)( 1
2i)
(4
2
9i
z z
，所以
1 2
z z 的共轭复数为2
9i
，D 正确.
故选：ABD
11．已知复数z1，z2，则下列有关复数运算正确的是（
）
A．
1
2
1
2
|
| |
|
|
|
z
z
z
z
B．
1
2
1
2
|
| |
|
|
|
z
z
z
z
C．
1
2
1
2
|
| |
| |
|
z
z
z
z
D．
1
1
2
2
|
|
|
|
|
|
z
z
z
z
【答案】CD
【分析】根据复数乘法和除法的运算法则，结合复数模的运算公式、特例法逐一判断即可.
【解析】当
1
2
,
1 i
1 i
z
z
时，显然
1
2
1
2
2,
2i
z
z
z
z
，
显然有
1
2
|
| |
|
2
z
z
，
1
2
|
| 2
z
z
，因此选项AB 都不正确；
设
1
2
i,
i, , , ,
R
z
a
b z
c
d a b c d
，
1
2
i
i
i
z
z
ac
ad
bc
bd
ac
bd
ad
bc
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
|
|
z
z
ac
bd
ad
bc
a c
b d
a d
b c
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
|
| |
|
z
z
a
b
c
d
a c
b d
a d
b c
，因此选项C 正确，
1
2
2
2
i
i
i
i
i
i
a
b
c
d
ac
bd
bc
ad
z
a
b
z
c
d
c
d
c
d
c
d
，
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
ac
bd
bc
ad
a c
b d
a d
b c
a
b
z
c
d
c
d
c
d
c
d
，
所以
1
1
2
2
|
|
|
|
|
|
z
z
z
z
，因此选项D 正确，
故选：CD
12．已知方程
2
2 1
2
0
,
x
i x
a
b i
ab
a b
R
，则下列说法正确的是（
）
A．若方程有一根为0，则
0
a
且
0
b
B．方程可能有两个实数根
C．
1
2
ab
时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根
0x ，则
0
0
x
或
0
2
x
【答案】ACD
【分析】将方程进行等价变形为
2
2
2
2
0
x
x
ab
a
b
x i
，利用复数的定义，若复数为0，则实部为
0，虚部也为0，判断AB 选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D 选项；举例当
0
a
且
4
b 时，有
纯虚根判断C.
【解析】解：A 选项：若方程有一根为0，则代入方程有
2
0
a
b i
ab
，则有a
b
，2
0
ab
，即
0
a
且
0
b
，故A 正确；
B 选项：方程可变形为：
2
2
2
2
0
x
x
ab
a
b
x i
，
即
2
2
2
0,
0
2
x
x
ab
a
b
x
，则
2
b
a
x
，只有一解，故B 错误；
C 选项：当
0
a
且
4
b 时，方程为
2
2 1
4
0
x
i x
i
，
2
x
i
是该方程的一个纯虚根，故C 正确；
D 选项：若方程存在实数根
0x ，则
0
2
b
a
x
，代入方程可得：
2
2
4
4
6
0
b
a
b
a
ab
，即
2
4
8
0
b
a
b
a
a b
，即
2
2
4
2
0
b
a
b
a
b
a
，解得：
0
b
a
或
4
b
a
，即
0
0
x
或
0
2
x
，故D 正确
故选：ACD
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．已知x、y R ，若(
2)
i
1
i
x
y
，则x
y
．
【答案】2
【解析】由题意，得
2
1
1
1
1
x
x
y
y
，所以
2
x
y
.
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14．设复数z 满足
6
3
16i
z
z
，则z
.
【答案】5
【解析】设
i
z
a
b
，则
i
6
3
3 i 16i
a
b
a
b
，
于是
6
3
3
16
a
a
b
b
，解得
3
4
a
b
，则
2
2
5
z
a
b
.
15．已知a 为实数，若复数
2
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
2023
i
1
i
a
的值为
.
【答案】i
【解析】因为复数
2
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，可得
1
a ，所以
2
2023
1 i
i
1 i
i
1 i
1 i
1 i 1 i
a
.
16．如果
,p q 都是实数，关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
有一个根2
3i
，则p
q
【答案】18
【解析】因为2
3i
为关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，
所以2
3i
为关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，
所以
2
3i
2
3i
2
2
3i
2
3i
2
p
q
，解得
8
p
，
26
q
，
所以
8
26
18
p
q
.
四．解答题：本小题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算下列各题:
（1）
1
3
3
1
i
i
1 i
2
2
2
2
；
（2）3
2i
3
2i
2
3i
2
3i
.
【答案】（1）
1
3
1
3 i
2
2
；（2）2i
【解析】（1）
1
3
3
1
i
i
1 i
2
2
2
2
2
3
1
3
3
i
i
i
1
i
4
4
4
4
3
1 i
1
i
2
2
2
3
3
1
1
i
i
i
2
2
2
2
1
3
1
3i
2
2
.
1
3
3
1
1
3
1
3
i
i
1
i
i
2
2
2
2
2
2
；
（2）3
2i
3
2i
2
3i
2
3i
3
2i
2
3i
3
2i
2
3i
2
3i
2
3i
2
2
6
9i
4i
6i
6
9i
4i
6i
2
3i
2
3i
26i
2i
13
.
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3
2i
3
2i
2i
2
3i
2
3i
.
18．已知复数：
2
2
3
2
1
6
5
1 i
z
m
m
m
m
，
R
m
.
（1）若复数z 在复平面上对应的点在虚轴上，求m 的值.
（2）若复数z 在复平面上对应的点z 在第一象限，求m 的范围.
【答案】（1）
1
m 或
1
3
m
；（2）
1
2
m
或
1
m
【解析】（1）
2
2
3
2
1
6
5
1 i
z
m
m
m
m
，
R
m
且复数z 在复平面上对应的点在虚轴上
2
3
2
1=0
m
m
解得
1
m 或
1
3
m
（2）
2
2
3
2
1
6
5
1 i
z
m
m
m
m
，
R
m
且复数z 在复平面上对应的点z 在第一象限
2
2
3
2
1
0
6
5
1
0
m
m
m
m
，即
3
1
1
0
3
1
2
1
0
m
m
m
m
，则
1
1
3
1
1
2
3
m
m
m
m
或
或
解得：
1
2
m
或
1
m
19．已知复数
1
2i
z
．
（1）求|
|
z ；
（2）若
1
3
4i
z
z
，求
1z ；
（3）若
2
|
|
5
z
，且
2
zz 是纯虚数，求
2z ．
【答案】（1）
5 ；（2）
1
2 i
5
5
；（3）
2
2
i
z
或
2
2
z
i
【解析】（1）
2
2
|
| = 1
( 2)
5
z
；
（2）
2
1
2
2
1
2i
3
4i
1
2i
3
4i
6i
8i
5 10i
1
2i
3
4i
3
4i
3
4i
3
4i
25
5
5
3
4i
z
z
；
（3）设
2z
a
bi
，
则
2
2
2
|
|
5
z
a
b
，所以
2
2
5
a
b
①
2
1 2i
i
2
2
i
zz
a
b
a
b
b
a
，
因为
2
zz 是纯虚数，所以
2
0,
2
0
a
b
b
a
②
由①②联立，解得
2
1
a
b
或
2
1.
a
b
所以
2
2
i
z
或
2
2
z
i
．
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20．设复数
1
3
i
z
，
（1）写出
1z 的三角形式；
（2）复数
2z 满足
2
2
z
，且
2
1
2
z
z
在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，
2
arg
0,π
z
，求
2z 的代数形
式．
【答案】（1）
1
π
π
2 cos
isin
6
6
z
；（2）
2
1
3i
z
【解析】（1）由已知可得，
1
2
z
，
所以，
1
3
1
π
π
3
i=2
i
2 cos
isin
2
2
6
6
z
.
（2）由已知可设
2
2 cos
isin
z
，
则
2
2
2
2
4 cos
sin
2isin
cos
4cos2
4isin 2
z
.
所以，
2
1
2
z
z
π
π
2 cos
isin
6
6
4
8 cos
cos2
sin
sin 2
8i cos
sin 2
sin
co
π
π
π
π
s
6
6
6
2
6
π
π
8cos 2
8isin 2
6
6
.
由已知可得
π
cos 2
0
6
π
sin 2
0
6
，所以
π
3π
2
2 π,
Z
6
2
k
k
，
所以，
2π
π,
Z
3
k
k
.
又0
π
，所以
2π
3
.
所以，
2
2π
2π
2 cos
isin
1
3i
3
3
z
.
21．设复数
1
2
i
z
在复平面内对应的向量为AB
，复数
2
1
i
z
在复平面内对应的向量为BE
，复数
3
2
i
z 在复平面内对应的向量为EC
，且A，E，C 三点共线.
（1）求实数的值；
（2）求BC
的坐标；
（3）已知点
3,5
D
，若A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标.
【答案】（1）
3
2
；（2）
1
3,
2
；（3）
11
6, 2
【解析】（1）复数
1
2
i
z
在复平面内对应的向量
2,1
AB
，
复数
2
1
i
z
在复平面内对应的向量
1,
BE
，
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复数
3
2
i
z 在复平面内对应的向量
2,1
EC
，
2,1
1,
1,
1
AE
AB
BE
，
因为A，E，C 三点共线，所以存在实数k，使得AE
kEC
，
所以
1,
1
2,1
k
，解得
1
2
k
，
3
2
；
（2）
3
1
1,
( 2,1)
3,
2
2
BC
BE
EC
；
（3）因为A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD
BC
，
设
,
A x y ，则
(3
,5
)
AD
x
y
，
因为
1
3,
2
BC
，所以
3
3
1
5
2
x
y
，解得
6
11
2
x
y
，
即点A 的坐标为
11
6, 2
.
22．已知复数
2
2 i
z
m
m
m
R ，z 为z 的共轭复数，且
6
z
z
．
（1）求m 的值；
（2）若
3i
z
是关于x 的实系数一元二次方程
2
0
x
ax
b
的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【答案】（1）
1
m ；（2）3
4i
【解析】（1）已知
2
2 i
z
m
m
，则
2
2 i
z
m
m
，
由于
6
z
z
，得
2
2 i
2
2 i
2
4
6
m
m
m
m
m
，解得：
1
m
（2）由（1）可知，
3
i
z
，将
3
3
4
z
i
i 代入方程可得：
2
3
4i
3
4i
0
a
b
，
即
7
3
4
24 i
0
a
b
a
，得
7
3
0
4
24
0
a
b
a
，解得：
6
a ，
25
b
，
带入一元二次方程中得：
2
6
25
0
x
x
，
解得：
1
6
64i
3
4i
2
x
，
2
6
64i
3
4i
2
x
，
即方程另外一个复数根为3
4i
