专题6：线线角、线面角、面面角
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：线与线的夹角................................................................ 2
考点二：线与面的夹角................................................................ 2
考点三：二面角.........................................................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：平行四边形平移法求线线角...............................................4
题型二：中位线平移法求线线角.................................................... 5
题型三：补形平移法求线线角....................................................... 6
题型四：异面直线证明异面直线垂直...............................................7
题型五：由异面直线所成的角求其它量............................................8
题型六：垂线法求线面角............................................................. 9
题型七：等体积法求线面角........................................................ 10
题型八：由线面角的大小求长度...................................................12
题型九：定义法求二面角........................................................... 13
题型十：三垂线法求二面角........................................................ 14
题型十一：垂面法求二面角........................................................ 16
题型十二：补形法求二面角........................................................ 17
题型十三：射影面积法求二面角...................................................18
模块三：综合巩固....................................................................... 20
专题6：线线角、线面角、面面角
模块一：基础知识
考点一：线与线的夹角
1、空间中直线间的关系
（1）位置关系的分类：
点
一个平面内，没有公共
异面直线：不同在任何
相交直线
平行直线
共面直线
（2）异面直线所成的角
①定义：设a
b
，是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a
a
b
b
∥，∥，把a与b所成的锐角（或
直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．
②范围：(0
]
2
，
2、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是0, 2
，
所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①平行四边形平移法；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
考点二：线与面的夹角
1.定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
2.范围：[0
]
2
，
3.求法：
常规法：过平面外一点B 做
BB
平面，交平面于点
'
B ；连接
AB ，则
BAB 即为直线AB 与平
面的夹角．接下来在
△
Rt
ABB 中解三角形．即sin
斜线长
BB
h
BAB
AB
（其中h 即点B 到面的距离，
可以采用等体积法求h ，斜线长即为线段AB 的长度）；
4.求解线面角其他方法：
（1）等体积法
对于垂线段较难找出的问题，利用等体积法可以求出垂线段长度，设斜线与平面所成的角为θ，垂线长度
h，斜线长l，则sinθ=h/l.
（2）转化法
垂线段的长度是点到面的距离，可以利用线面平行，线上的点到面的距离都相等的这一性质，将该点或面
进行转化或者按比例进行转化.
（3）投影法
斜线段与它在平面上的投影构成的角称为线面角，与另一条边（不一定是垂线段），构成三角形，利用解
三角形求出线面角，投影通过找出一个斜线所在面与已知面垂直，两平面交线即为投影的方法确定.
（4）角度互余
利用斜线与平面所成的角和斜线与平面的垂线的夹角的互余关系求解线面角.
（5）补体法
把不规则图形转化为规则的熟悉的图形，进而求解线面角.
考点三：二面角
1.二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两
个平面称为二面角的面．（二面角
l
或者是二面角A
CD
B
）
2.二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两
条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0
]
，
．
3.二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角
l
的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和
OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点A ，作AO
于O ，过A 作AB
c
于B ，则BO 为斜线AB 在面内
的射影，
ABO
为二面角
c
的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点A ，作AO
于O ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A 作AB
c
于B ，连接BO ；
③计算：
ABO
为二面角
c
的平面角，在Rt
ABO
△
中解三角形．
图1
图2
图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影
面积公式（
'
'
'
cos
=
A B C
ABC
S
S
S
S
射
斜
，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
例如：过二面角内一点A 作AB
于B ，作AC
于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则
BOC
就是二
面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
模块二：题型分类
题型一：平行四边形平移法求线线角
1.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
1
4
AA
，
1
1
60
A AD
A AB
o ，
则异面直线AC 与
1
DC 直线所成角的正弦值为（
）
A．
14
7
B．
70
14
C．11 14
14
D．3 14
14
2.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 是BC 的中点，则异面直线
1
BC 和
1
D E 所成角的大小为______．
3.在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，P 为
1
1
B C 的中点，那么直线CP 与
1
1
B D 所成角的余弦值是（
）
A．
3
2
B．10
10
C．3
5
D．4
5
4.如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
2
AA
AB
，
1
AD ，点E，F，G 分别是
1
DD ，AB ，
1
CC 的
中点，则异面直线
1A E 与GF 所成的角是_____.
5.在正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E，F 分别是棱
1
1
A B ，
1
1
B C 的中点，且
1
1
1
2
2
B C
BC
BB
，则异面直线AE
与BF 所成的角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
题型二：中位线平移法求线线角
1.已知PC 是圆锥PO的一条母线，AB 是底面圆O的一条直径，PAB
为正三角形，
30
ABC
，则PC 与
AB 所成角的余弦值为（
）
A．1
4
B．1
3
C．
1
2
D．7
8
2.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中,
,
E F 分别为
,
AB AD 的中点,则异面直线
1B C 与EF 所成角的大小为（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
3.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
,
,
E F G H
分别为
1
1
1
,
,
,
AB A D BC CC 的中点，则直线EF 与GH 夹角的余
弦值为（
）
A．
3
3
B．
2
3
C．
2
2
D．
3
2
4.在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为棱AB 的中点，
1
BC 与
1
B C 交于点E，若
1
AB
AA
，则CD 与
1A E 所成角
的余弦值为___．
5.如图，
，
l
，A
，B
，点
,
A B 在棱l 上的射影分别是
1
1
,
A B ，若
1
1
2
AA
BB
，
4
AB
，
则异面直线
1
AB 与
1A B 所成角的余弦值为（
）
A．4
5
B．3
5
C．2
3
D．1
3
题型三：补形平移法求线线角
1.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AD
DC
，
1
2 3
AA
，则异面直线
1
BC 与
1
DB 所成角的正弦值为
（
）
A．1
5
B．2 5
5
C．
5
5
D．
2
2
2.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
（平面
1
1
1
1
D
C
B
A
为下底面）中，
1
2
3
6
AA
AD
，
4
AB
，点F 为线段
1
1
C D 的
中点，则异面直线
1A D 与BF 所成角的余弦值为___________.
3.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
2,
3
AB
AA
AD
，点E 为棱AB 的中点，则异面直线
1
1
,
A E B C 所成
角的余弦值为__________.
4.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 为
1
1
A D 的中点，平面
1
1
AC B与平面
1
CEC 的交线为l，则l 与AB 所成角
的余弦值为（
）
A．1
3
B．2
3
C．
3
3
D．
6
3
5. 已知体积为6 的四面体ABCD满足AB
BC
，BC
CD
，
2 3
AB
BC
CD
，则异面直线AD 与BC
所成的角的大小为______．
题型四：异面直线证明异面直线垂直
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点P 在侧面
1
1
BCC B 及边界上运动并保持
1
AP
BD
，在图中画出点P
的运动轨迹．
2.如图，ABC
是等腰直角三角形，
90 ,
BAC
EA FC
､
都垂直于平面ABC ，且
2
2
2.
FC
EA
AC
D
为
线段FB 的中点．证明：ED
BC
.
3.空间四边形ABCD，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，DC 的中点，
2
FG
，
5
GE
，
3
EF .求证：AC
BD
.
4.如图，在正三棱柱ABC
A B C
中，E 为棱AC 的中点，
2
AB
BB
.求证：BE
AC
.
5.《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个
平行四边形）､两个不平行对面是三角形的五面体.如图，羡除ABCDEF 中，ABCD是边长为1 的正方形，
且EAD
，FBC
均为正三角形，棱EF 平行于平面ABCD，
2
EF
AB
.
(1)求证：AE
CF
；
(2)求三棱锥B
CDE
的体积.
题型五：由异面直线所成的角求其它量
1.在空间四边形ABCD中，
,
,
AB
CD E F
分别为
,
BC AD 的中点，若AB 与CD 所成的角为30，则EF 与AB
所成角的大小为（
）
A．15
B．75
C．15或75
D．以上都不正确
2.（多选）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AA
，
1
AB
BC
，
90
ABC
，点E 是侧棱
1
BB 上的
一个动点，则下列判断正确的是(
)
A．AE
BC
B．
1
AE
EC
的最小值为5
1
C．直线
1
AC 与平面
1
1
BB C C 所成角的正弦值为
6
6
D．存在点E ，使得异面直线
1
1
AC 与AE 所成角为30°
3.（多选）三棱锥D
ABC
中，
4
AD
BC
，且AD 与BC 所成角为60，E，F 分别是棱DC，AB 的中点，
则线段EF 的长可能等于（
）
A．2
B．2
3
C．2 3
D．3
4.如图所示，在三棱锥A-BCD 中，AB＝CD，E、F 分别为BC、AD 的中点．
(1)若AB⊥CD，求EF 与AB 所成的角的大小；
(2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°，求线段EF 的长．
题型六：垂线法求线面角
1.如图，MA 平面ABC ，在直角三角形BMC 中，
=90
BCM
，
60
MBC
，
5
BM
，
3
MA
，求MC
与平面ABC 所成角的正弦值.
2.已知ABC
为等腰直角三角形，P 为空间一点，且
5 2
AC
BC
PC
AC
，
，
5,
PC
BC
PC
AB
，
的
中点为M ，连接PM
CM
，
，则PM 与平面ABC 所成的角的大小为_________.
3.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
BC
，
1A D 与
1
BC 所成的角为π
2 ，则
1
BC 与平面
1
1
BB D D 所
成角的正弦值为________
4.如图，在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，平面PAB 平面PBC ，
2
PA
，
1
BC .
（1）求证：BC 平面PAB ；
（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值的最大值.
题型七：等体积法求线面角
1.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为a 的正方形，PA 平面ABCD．若PA
a
，则直线
PB 与平面PCD所成的角的大小为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
2.某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4，上底面的直径为8，已知AB 为上底面的直径，点P
是上底面圆周上一点，且AP
BP
，PC 是该圆台的一条母线，且
2 5
PC
，则PC 与平面ABC 所成的角
的正弦值为（
）
A．2
5
B．3
5
C．3
4
D．4
5
3.三棱锥A
BCD
的各面展开图如图所示，其中
BCD
△
是边长为1的等边三角形，
2
AB
AD
AC
．P
是棱BC 上的动点，记直线DP 与平面ABC 所成角为，则sin的取值范围是（
）
A．
55
55
,
15
10
B．
55 2 55
,
10
15
C．
165
55
,
15
5
D．
165 2 55
,
15
15
4.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，
2
2
PA
AB
AC
，
60
BAC
，F 为棱PC 上一点，满足AF
PC
于F．
（1）求证：平面ABF 平面PBC ；
（2）求PB 与平面ABF 所成角的正弦值．
5.在四棱锥P-ABCD 中，PA 平面ABCD，E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，PA=AD=2，AB=BC=1，
2
BAD
ABC
.
（1）求证：平面PAC 平面AEF；
（2）求直线PA 与平面AEF 所成角的正弦值.
题型八：由线面角的大小求长度
1.在三棱锥A
BCD
中，
2
AB
AD
BD
，
2
BC
DC
，
2
AC
．
(1)求证：BD
AC
；
(2)若点P 在棱AC 上，当直线BP 与平面ACD 所形成的角的正弦值为3
3
7
时，求
:
AP PC 的值．
2.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
,
PA
a AC
BD
O
，PA 底面ABCD．
(1)证明：平面PBD 平面PAC ；
(2)设平面PBC 平面PAD 于直线l，证明：
/ /
BC
l ；
(3)若
1
3
PE
PD
uuur
uuur
，在线段BC 上是否存在点F，使得
/ /
EF
平面PAB ，若存在点F，则a 为何值时，直线
EF 与底面ABCD所成角为45．
题型九：定义法求二面角
1.假设P 是ABC
所在平面外一点，而PBC
和ABC
都是边长为2 的正三角形，
6
PA
，那么二面角
P
BC
A
的大小为（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
2.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，求二面角
1
1
1
B
AC
B
的正切值．
3.如图所示，PA 平面ABC ，AC
BC
，
1
PA
AC
，
2
BC
，则二面角A
PC
B
的余弦值大小为
________.
4.如图在三棱锥S
ABC
中，SA⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D、E，
又SA
AB
，BS
BC
，则以BD为棱，平面BDE 与平面BDC 的二面角的大小为______．
5.四边形ABCD是正方形，PA 平面ABCD，且PA
AB
．求：
(1)二面角A
PD
C
的平面角的度数；
(2)二面角B
PA
D
的平面角的度数；
(3)二面角B
PA
C
的平面角的度数．
6.如图，在四棱锥
P ABCD 中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为菱形，
60
ADC
，
4
PA
AD
，E
为AD 的中点．
(1)求证：平面PCE 平面PAD ；
(2)求二面角A
PD
C
的平面角的正弦值．
7.如图，在直角梯形ABCD 中，BC
AD
∥
，AD
CD
，
2
BC
，
3
AD
，
3
CD
，边AD 上一点E 满足
1
DE ，现将ABE
沿BE 折起到
1A BE
的位置，使平面
1A BE 平面BCDE，如图所示.
(1)在棱
1AC 上是否存在点F，使直线
/ /
DF
平面
1A BE ，若存在，求出
1
1
A F
AC ，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角
1A
BC
D
的平面角的正切值.
题型十：三垂线法求二面角
1.已知三棱锥
P
ABC 中，底面ABC 是边长为2 3 的正三角形，点P 在底面上的射影为底面的中心，且三
棱锥
P
ABC 外接球的表面积为18π ，球心在三棱锥
P
ABC 内，则二面角P
AB
C
-
-
的平面角的余弦值
为（
）
A．1
2
B．1
3
C．
2
2
D．
3
3
2.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm
的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm 的球O 的球面上，且一个底而的
中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（
）
A．2 2
3
B．2
3
C．2 5
5
D．2
5
3.如图，ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，AC 与BD 相交于O 点，P 是平面ABCD 外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M
是PC 的中点，则二面角M-BD-C 的正切值为_________．
4.如图，菱形ABCD 的边长为2，
60
ABC
，E 为AC 的中点，将ACD
沿AC 翻折使点D 至点D¢ .
（1）求证：平面BD E
平面ABC；
（2）若三棱锥D
ABC
的体积为2 2
3
，求二面角D
AB
C
的余弦值.
5.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面
1
1
AAC C 为菱形，
1
60
A AC
，且
1
AB
AA
，
1
1
BC
A C
^
．
（1）证明：平面ABC⊥平面
1
1
A ACC ；
（2）若AB
AC
，求二面角
1A
BC
A
的余弦值．
6.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
AA ，
1
2
AC
，
6
BAC
，E ，F 为线段
1AC 的三等分点，点D 在线
段EF 上（包括端点）运动，则二面角D
AB
C
的正弦值的取值范围为（
）
A．1 2 19
,
4
19
B．1 2
,
4 3
C．1 4 19
,
2
19
D．1 2
,
2 3
7.如图，四边形ABCD 是正方形，PA 平面ABCD ，且
2
PA
AB
＝
求二面角B
PD
A
的大小的正弦值．
题型十一：垂面法求二面角
1.如图，已知PA
，PB
，垂足为A 、B ，若
60
APB
，则二面角
l
的大小是______．
2.如图，已知二面角
AB
，且
AB
，PC
，PD
，C，D 是垂足，平面PCD 与AB 交于
点H．
（1）求证：AB⊥平面PCD；
（2）若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角
AB
的大小．
3.已知二面角
l
，若直线a
，直线b
，且直线,a b 所成角的大小为60，则二面角
l
的
大小为_________.
4.已知P 是二面角
l
内的一点，PA 垂直于于
,
A PB 垂直于于
,
8 3,
8
B AB
PA
PB
，则二面角
l
的大小为__．
5.已知P 是二面角
l
内的一点，PA 垂直于于
,
A PB 垂直于于
,
8 3,
8
B AB
PA
PB
，则二面角
l
的大小为__．
6.如图，在三棱锥S－ABC 中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC 且分别交AC，SC 于点D，E，
又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C 的大小．
题型十二：补形法求二面角
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
E F 分别为AB 、
1
AA 的中点，则平面
1
CEB 与平面
1
1
D FB 所成二面
角的平面角的正弦值为______．
2.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为正方形，二面角P
BC
A
为直二面角．
2
BP
CP
，
BP
CP
，M，N 分别为AP，AC 的中点．求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值.
3.如图，在四棱锥P
OABC
中，已知
1
OA
OP
，
2
CP
，
4
AB
，
π
3
CPO
，
π
6
ABC
，
π
2
AOC
，
E 为PB中点，F 为AB 中点.
（1）证明：平面
/ /
CEF
平面PAO ；
（2）若
3
PA
，求平面POC 与平面PAB 所成夹角的余弦值.
4.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
AA ，P 是棱AB 上任一点，若平面
1B DP 和平面
1
1
AA D D 所成的
角为，则tan的最小值为________．
5.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为正方形，二面角P
BC
A
为直二面角．
2
BP
CP
，
BP
CP
，M，N 分别为AP，AC 的中点．求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值.
题型十三：射影面积法求二面角
1.在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）求面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值．
2.如图ABC
与
BCD
△
所在平面垂直，且AB
BC
BD
，
120
ABC
DBC
o，则二面角A
BD
C
的
余弦值为_______.
3.如图所示，已知圆柱
1
OO 的底面直径
6
AB
，母线长
8
PA
，且C 为圆柱底面圆周上的一点，
30
ABC
．求：
（1）圆柱
1
OO 的体积和侧面积；
（2）二面角P
BC
A
的正弦值．
4.（多选）如图所示，
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为正方体，以下四个结论中正确的有（
）
A．
1
AC 平面
1
1
CB D
B．直线
1BC 与BD 所成的角为60°
C．二面角
1
1
1
C
B D
C
的正切值是
3
D．
1
AC 与底面ABCD 所成角的正切值是
2
5.在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）求面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值．
6.如图，在三棱锥PABC 中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D 为线段AC 的中点，E 为线
段PC 上一点.求二面角PBCA 的平面角的大小.
模块三：综合巩固
1.如图，在正方体ABCD
EFGH
中，O为侧面ADHE 的中心，P 是平面EFGH 的中心，求OP 和CD 所成
的角．
2.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M ，N 分别在上、下底面圆上，
2
NB
AN
，
2
CM
DM
，
2
AB
，
3
BC ，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（
）
A．3 30
10
B．3 30
20
C．
3
5
D．
3
4
3.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AB
BC
AC
AA
，则异面直线
1
AB 与
1
BC 所成角的余弦值等于（
）
A．
3
2
B．
1
2
C．1
3
D．1
4
4.如图，MA 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA
AB
a
，试求：
(1)点M 到BD 的距离；
(2)求异面直线MB 与AC 所成的角.
5.《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平
行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF 的底面ABCD 是边长为1 的正方形，
且△EAD、△FBC 均为正三角形，棱EF 平行于底面ABCD，EF＝2．
(1)求证：AE⊥CF；
(2)求三棱锥A-BCE 的体积．
6.如图，在四面体PABC 中，PC
AB
，PA
BC
，点D，E，F，G 分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点.
(1)求证：DE ∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG 为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q 的位置（不需要论证）.
7．如图，在正三棱柱ABC
A B C
中，E 为棱AC 的中点，
2
AB
BB
.求证：BE
AC
.
8.如图，已知多面体FABCDE 的底面ABCD是边长为2 的菱形，
60
ABC
，FA 底面ABCD，
/ /
DE
AF ，
M 是BC 的中点，且
3
3
FA
DE
.
(1)求证AM
EF
；
(2)求三棱锥E
ACF
的体积.
9.（多选）在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，异面直线a 和b 分别在上底面
1
1
1
1
D
C
B
A
和下底面ABCD上运动，a
与b 的夹角为，且
3 10
sin
10
，当
1
BC 与b 所成角为60时，则a 与侧面
1
1
BCC B 所成角的正切值可能为
（
）
A．2
B．3
C．1
2
D．1
3
10.已知两平行平面、间的距离为
3 ，点A
B
、
，点C
D
、
，且
4,
3
AB
CD
，若异面直线AB
与CD 所成角为60，则四面体ABCD的体积为
．
11.如图，四棱锥P
ABCD
的底面四边形ABCD为正方形，四条侧棱PA
PB
PC
PD
，点E 和F 分别
为棱BC 和PD 的中点．若过A 、E 、F 三点的平面与侧面PCD的交线线段长为7 ，且异面直线AB 与PD
所成角的余弦值为
2
4
，则该四棱锥的外接球的表面积为
．
12.已知四棱锥P
ABCD
，底面ABCD为菱形，PD 平面ABCD，
2
PD
AD
CD
，
π
3
BAD
，E 为
PC 上一点．
(1)平面PAD 平面PBC
l
，证明：
/ /
BC
l ．
(2)当直线BE 与平面BCD的夹角为π
6 时，求三棱锥P
BDE
的体积．
13.如图，已知PA
，PB
，垂足为A 、B ，若
60
APB
，则二面角
l
的大小是______．
14.如图，大小为120的二面角
l
的棱上有两个点A，B，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个
面内，并且都垂直于棱l.若
2
MN
，
3
PM
，
4
NQ
，则PQ _____________.
15.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，
如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2 倍，
则侧面与底面的夹角的正切值为___________．
16.三棱锥
P
ABC 中，若二面角
,
,
P
AB
C P
AC
B P
BC
A
所成的平面角均相等，则点P 在底面ABC
上的投影点为ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
17.如图,正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都为2,则平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值为（
）
A．
7
7
B．2 7
7
C．
21
7
D．
7
7
18.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，设E 是棱BC 的中点，则（
）
A．
1
BD 平面
1
C DE
B．
1
BC
AC
^
C．平面
1
1
A BC 与平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
D．三棱锥
1
D
ACD
与三棱锥
1
B
ACD
体积相等
19.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
(1)求异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角的大小；
(2)求二面角
1
C
AB
C
的大小.
20.如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AC
AA
，
45
ABC
.
(1)求直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角；
(2)求二面角
1
A
AC
B
的正切值.
21.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面
,
,
3
ABC CA
CB
AOC
，点O在棱AB 上且是ABC 的外心（三角形
三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心即外接圆的圆心），点G 是AOC
的内心（三角形的内心是三角
形三条角平分线的交点即内切圆的圆心），
2
PA
AB
.
(1)求证：平面OPG 平面PAC ；
(2)求二面角P
OG
B
的正弦值.
22.如图所示，在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2 的正三角形，△ACD 是直角三角形，且AD=CD，且
BD=2，E 为DB 的中点．
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC．
(2)求二面角E
AC
B
的大小．
23.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
E
BB
，截面
1A EC 侧面
1
AC .
(1)求证：
1
BE
EB
；
(2)若
1
1
1
AA
A B
，求平面
1A EC 与平面
1
1
1
A B C 所成二面角（锐角）的度数.
24．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中.
(1)求证：
1//
BC
平面
1
1
AB D ；
(2)作出二面角
1
1
B
AD
B
的平面角，并说明理由.
25．如图，正三棱锥S
ABC
中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，M 是BC 的中点．求：
(1) AM
SM 的值；
(2)二面角S
BC
A
的大小；
(3)正三棱锥S
ABC
的体积．
26.如图，在三棱柱ABC
A B C
中，已知CB 平面
,
2
ABB A AB
，且
,
AB
BB A C
AB
.
(1)求AA的长；
(2)若D 为线段AC 的中点，求二面角A
B C
D
的余弦值.
27.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面
1
1
BB C C 为菱形，
1
1
60 ,
2,
2
CBB
AB
BC
AC
AB
.
(1)证明：平面
1
ACB 平面
1
1
BB C C ；
(2)求二面角
1
1
1
A
AC
B
的余弦值.
28.如图，将边长为
2 的正方形ABCD沿对角线AC 折起，使得点D 到点D的位置，连接BD，O为AC 的
中点.
(1)若平面D AC
平面ABC ，求点O到平面D BC
的距离；
(2)不考虑点D与点B 重合的位置，若二面角A
BD
C
的余弦值为
2
3
，求BD的长度.
29.如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面ABCD和侧面
1
1
ABB A 均是边长为2 的正方形.
(1)证明：
1
1
BD
B C
.
(2)若
1
120
B BC
，求二面角
1
A
BC
D
的余弦值.
30.在四棱锥PABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角PBCA
的正切值。
31.如图，在圆锥PO 中，已知
2
PO
，
O
的直径
2
AB
，点C 在
AB 上，且
30
CAB
，点D 为AC
的中点．
(1)证明：AC 平面POD
(2)求二面角P
AC
O
的正弦值．
32.在四棱锥PABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求BPCD 的大小。
33.如图所示，已知圆柱
1
OO 的底面直径
6
AB
，母线长
8
PA
，且C 为圆柱底面圆周上的一点，
30
ABC
．求：
（1）圆柱
1
OO 的体积和侧面积；
（2）二面角P
BC
A
的正弦值．
