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专题8：空间中的平行于垂直综合
题型一：空间中的平行及证明...................................................... 2
题型一：空间中的垂直及证明.................................................... 10
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专题8：空间中的平行于垂直综合
题型一：空间中的平行及证明
1．若m ，n 是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（
）
A．若
/ /m
，
/ /m
，那么
/ /
B．若
/ /
m
，n ，那么
//
m
n
C．若
//
m
n，
/ /
n
，那么
/ /
m
D．若
/ /
，m
，那么
/ /
m
2．（多选）下列说法中正确的是（
）
A．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C．一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D．一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
3．（多选）如图，空间四边形ABCD中，
,
E F 分别是边AB ，BC 的中点，
,
G H 分别在线段
,
DC DA 上，且
满足DG
DC
，DH
DA
，
,
0,1
，则下列说法正确的是（
）
A．当
1
2
λ
μ
时，四边形EFGH 是矩形
B．当
2
3
时，四边形EFGH 是梯形
C．当
时，四边形EFGH 是空间四边形
D．当
时，直线
,
,
EH FG BD 相交于一点
4．已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为3，点M 满足
1
3
CC
CM
．若在正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
内有一动点P 满
足
/ /
BP
平面
1
AMD ，则动点P 的轨迹长为（
）
A．3
B．10
C．13
D．3 2
5．如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点E 是棱
1
CC 上的一个动点，若平面
1
BED 与棱
1
AA 交于点F ，
给出下列命题：
①四棱锥
1
1
B
BED F
的体积恒为定值；
②四边形
1
BED F 是平行四边形；
③当截面四边形
1
BED F 的周长取得最小值时，满足条件的点E 至少有两个；
④直线
1
D E 与直线DC 交于点P ，直线
1
D F 与直线DA 交于点Q ，
则P 、B 、Q 三点共线.
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其中真命题是（
）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
6．（多选）如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点P 在线段
1
BC 上运动，则下列判断中正确的
是（
）
A．
1
/ /
A P
平面
1
ACD
B．三棱锥
1
C
APD
的体积不变
C．以D 为球心，5 为半径的球面与侧面
1
1
BB C C 的交线长为π
D．异面直线
1A P 与
1
AD 所成的角的范围是π π
,
3 2
7.点P 是
ABCD
Y
所在平面外一点，M 是PC 中点，在DM 上任取点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于
GH ．证明：AP
GH
∥
．
8.如图，在四棱锥P-ABCD 中，M 是PA 上的点，
ABD
△
为正三角形，CB
CD
，PA
BD
．若
120
BCD
，
/ /
DM
平面BPC，求证：点M 为线段PA 的中点．
9.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M 为AB 的中点，求证：BC1 // 平面MA1C．
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10.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，BC∥AD，E 为侧棱PD 的中点，且BC=2，AD=4，求证:CE
∥平面PAB．
11.正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面正三角形的边长为2 ，D 为BC 的中点，
1
3
AA
.证明：1
/ /
A B
平面
1
ADC .
12.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
1
4
AA
，E
F
、
分别为AB ，1AC
的中点. 证明:
//
EF
平面
1
1
AA D D；
13.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
,
D D 分别为棱
1
1
,
AC AC 的中点.求证：平面
1
1
AB D / / 平面
1
BC D.
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14.如图：已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为BC 边上一点，
1
D 为
1
1
B C 中点，且
1A B ∥平面
1
ADC ．证明：平
面
1
1//
A BD
平面
1
ADC ．
15.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 为
1
BB 中点，
1
1
B C 与平面
1
AD E 交于点F ．
（1）求证：
1 / /
BC
面
1
AD E ；
（2）求证：F 为
1
1
B C 的中点．
16.如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，N，M，Q 分别为PB，PD，PC 的中点．
（1）求证：QN∥平面PAD；
（2）记平面CMN 与底面ABCD 的交线为l，试判断直线l 与平面PBD 的位置关系，并证明．
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17.如图，某组合体是由正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
与正四棱锥
1
1
1
1
P
A B C D
组成，且
1
3
2
PA
AB
．
（1）若该组合体的表面积为
36 5
2
，求其体积；
（2）证明：
1A B∥平面
1
D AC
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，N，M，Q 分别为PB，PD，PC 的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN 与底面ABCD 的交线为l，试判断直线l 与平面PBD 的位置关系，并证明．
19．如图所求，四棱锥P
ABCD
，底面ABCD为平行四边形，F 为PA 的中点，E 为PB 中点.
(1)求证：PC 平面BFD ；
(2)已知M 点在PD 上满足EC 平面BFM ，求PM
MD 的值.
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20.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为平行四边形，E 为棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点
F．
（1）求证：
/ /
PA
平面BDE ；
（2）求证：F 为PD 的中点；
21.如图：在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中
2
AB
，M 为
1
DD 的中点.
（1）求三棱锥M
ABC
的体积；
（2）求证：
1 / /
BD
平面AMC ；
（3）若N 为
1
CC 的中点，求证：平面
/ /
AMC
平面
1
BND .
22.如图，在棱长为a 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q 分别是被DD1，AB 的中点．
（1）若平面PQC 与直线
1
AA 交于R 点，求
1
AR
A R 的值；
（2）若M 为棱
1
CC 上一点且
1
CM
CC
＝
，若
//
BM
平面PQC ，求的值．
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23.已知点P 为正方形ABCD所在平面外一点，
13
PA
PB
PC
PD
AB
，M 、N 分别为PA 、BD 上
的点，且
5
8
PM
BN
MA
ND
.
（1）求证：
//
MN
平面PBC ；
（2）求线段MN 的长.
24.在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，FB 平面ABCD.
（1）求证：AE ∥平面BFC ；
（2）若
1
AD
DE
，
2
AB
，
3
DB
，求三棱锥F
AEC
的体积.
25.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，S是
1
1
B D 的中点，
,
,
E F G 分别是
,
,
BC DC SC 的中点，求证：
（1）
/ /
EG
平面
1
1
BDD B ；
（2）平面
/ /
EFG
平面
1
1
BDD B .
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26.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M 是线段B1D1上的一个动点，E，F 分别是BC，CM 的中点．
（1）求证：EF∥平面BDD1B1；
（2）设G 为棱CD 上的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1．
27.如图，已知在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是平行四边形，M 为PC 的中点，在DM 上任取一点G ，
过G 和AP 作平面PAHG 交平面DMB 于GH .
（1）求证：
//
BC
平面PAD ；
（2）求证：
//
AP 平面BDM ；
（3）求证：
//
AP GH .
28.如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'，E，F 分别为AD，AB 的中点，点G 在上底面A'B'C'D'（含边界）
上运动．请补充一个恰当条件，当点G 满足__条件时，有BC′∥平面EFG．
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题型二：空间中的垂直及证明
1．如图所示，长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
1
2,
1
AA
A B
AD
，O 是
1
1
B D 的中点，直线
1AC 交平面
1
1
AB D
于点M，则下列结论错误的是（
）
A．A，M，O 三点共线
B．
1A M 的长度为1
C．直线AO 与平面
1
1
BCC B 所成角的正切值为
5
4
D．
1A MO
△
的面积为
5
6
2.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，E，F 分别为AB，BC 的中点，则（
）
A．
1
1
AC
B D
B．
1
1
A F
AB
C．
1
BD 平面
1B EF
D．
1
/ /
D F
平面
1A DE
3.如图，在三棱锥A
BCD
中，
90
BCD
，AB
AC
AD
．
（1）证明：平面ABD 平面BCD；
（2）设
2
BC
CD
，E 为AC 的中点，
90
BED
，求点B 到平面ACD 的距离．
4.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是直角梯形，
90
ABC
，
//
AB
CD ，PA 平面ABCD，
2
AB
，
1
PA
AD
DC
.证明：BC 平面PAC；
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5.（多选）如图：在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面为正三角形，且
1
1
45 ,
1
A AB
A AC
AB
，则下列
说法正确的是（
）
A．直线
1A A与底面
1
1
1
A B C 所成角的余弦值为
6
3
B．设BC 中点为P ，则线段
1
PA 的长度的最小值为1
2
C．平面
1
1
A B BA与平面
1
1
BCC B 夹角的余弦值为
2
2
D．直线
1A A与平面
1
1
C AB 所成角的余弦值的最大值为
3
2
6.三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧棱与底面垂直，
90
ABC
，
1
2
AB
BC
BB
，M，N 分别是AB ，
1AC 的
中点．求证：MN 平面
1
1
A B C ；
7.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P
ABCD
中，
/ /
,
90 ,
AD
BC
ABC
PA
平面ABCD，
2
,
6
4,
,
2 3
AD
A
B
PA
B
C
．求证：BD 平面PAC .
8.在平行四边形ABCD中，
6
AB
，
4
BC
，
60
BAD
，过点A 作CD 的垂线交CD 的延长线于点E ，
连接EB 交AD 于点F ，如图①；将
ADE
V
沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，如图②．证明：直线AD
平面BFP ；
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9．如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
4
PA
AB
，G 为PD 中
点，E 点在AB 上，平面PEC 平面PDC ．
(1)求证：AG 平面PCD；
(2)求证：AG∥平面PEC ；
(3)求直线AC 与平面PCD所成角．
10.如图，已知三棱锥S－ABC 中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.
11．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 是棱
1
DD 的中点．
(1)试判断直线
1
BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由；
(2)求证：直线
1
BD 平面
1
AB C
(3)若正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为2，求点B 到平面
1
AB C 的距离
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12.如图，四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为矩形，PA 底面ABCD，PA
AB
，点E 是PB 的中点.求证：
（1）BC 平面PAB；
（2）平面AEC 平面PBC.
13.如图在四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD为平行四边形，AB
AC
，O为BC 的中点，且
2
AO
AC
AP
，PA 底面ABCD，M 为PC 的中点.
（1）证明：平面OAM 平面PCD；
（2）求四棱锥P
ABCD
的体积.
14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，
又知BA1⊥AC1
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求二面角A﹣A1B﹣C 的余弦值的大小．
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15.如图，正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E，F 分别是棱
1
AA ，
1
CC 上的点，CM // 平面BEF ，且M 是AB 的中
点．
（1）证明：平面BEF 平面
1
1
ABB A ；
（2）若
2
AC
AE
，求四面体C
BEF
的体积．
16.如图，四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD，PA
AB
，点E 是PB 的中点.
求证：
（1）BC 平面PAB ；
（2）AE
PC
.
17.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD为菱形，
60 ,
ABC
FA
平面
,
ABCD FA
ED
∥
，且
2
2
AB
FA
ED
.
（1）求证：BD
FC
；
（2）求点A 到平面FBD 的距离.
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18.如图，矩形ABCD中，
,
E F 分别在线段BC 和AD 上，EF
AB
∥
，将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩
形为MNEF ，且平面MNEF 平面ECDF .
（1）求证：CD
MD
；
（2）若EF
EC
，求证：平面NFC 平面NED .
19.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
,
AB
BC AA
AB
，G 是棱
1
1
AC 的中点．
（1）证明：
1
BC
AB
；
（2）证明：平面
1
AB G 平面
1A BC ．
20.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
3
AB
AD
，
1
4
AA
，
1
AM
A B
交
1
BB 于M ．
（1）求证：
1
BD 平面MAC ；
（2）设
1
BD 与平面MAC 的交点为O，求证：O为
MAC
△
的垂心．
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21.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD，AB
AD
，AC
CD
，
60
ABC
，PA＝AB＝BC，E
是PC 的中点．求证：
（1）CD
AE
；
（2）PD 平面ABE．
22.如图，四棱锥P
ABCD
的底面ABCD 是平行四边形，平面PAD 平面ABCD，
60
BAD
，
2
AD
AB，
PA
PD
.O，E 分别是AD，BC 中点.
（1）证明：BD 平面POE；
（2）
2
AB
，
2 2
PA
，求点E 到平面PCD 的距离.
23.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
1
1
AC
B C
，
1
1
1
1
AC
B C
，
1
1
1
1
2
A A
A B
，M 为棱
1
1
A B 的中点.
（1）求证：AM 平面
1
BC M ；
（2）若
1
1
2
AC
，求三棱锥
1
A
BC M
的体积.
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24.如图，四棱锥P
ABCD
中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，
1
2
2
AB
BC
AD
，
90
BAD
ABC
，O是AD 的中点.
（1）求证：平面PAC 平面POB ；
（2）点M 在棱PC 上，满足
0
1
PM
PC
且三棱锥P
ABM
的体积为
3
3
，求的值.
25.如图，在三棱锥
P
ABC 中，H 为ABC
的内心，直线AH 与BC 交于M，PAB
PAC
，PCA
PCB
.
（1）证明：平面PAM 平面ABC；
（2）若AB
BC
，
3
PA
AB
，
4
BC
，求三棱锥M
PAC
的体积.
26.如图，在四棱锥S－ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC＝60°，△SAD 为正三角形．侧面
SAD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱AD，SB 的中点．
（1）求证：AF∥平面SEC；
（2）求证：平面ASB⊥平面CSB；
（3）在棱SB 上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BM
BS 的值；若不存在，请说明理由．
