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第65 课时 专题强化：带电粒子在立体空间中的运动
目标要求 1.会处理带电粒子在匀强磁场中的螺旋线运动和在叠加场中的旋进运动。2.掌握解决带电粒子
在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。
考点一 带电粒子的旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就
做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这
种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
例1 (1)如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在
原点O 有一个质量为m、带电荷量为q 的带正电的粒子以速度v0垂直x 轴射入磁场，不计粒子的重力，
分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x 轴的最远距离。
(2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x 轴夹角为θ。
①试分析粒子的运动情况；
②求粒子运动的轨迹距x 轴的最远距离及轨迹与x 轴相邻交点之间的距离。
(3)如图丙所示，若在空间再加上沿x 轴方向电场强度大小为E 的匀强电场，粒子速度方向仍与x 轴方
向成θ 角。
①试分析粒子的运动情况；
②求粒子离x 轴的最大距离；
③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x 轴相交时的位置坐标。
拓展 若电、磁场方向均沿x 轴正方向，粒子射入磁场的方向与x 轴垂直，如图所示，粒子与x 轴的交
点坐标x1、x2、x3…满足什么关系？
考点二 带电粒子在立体空间中的偏转
1
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分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通
过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒
子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的
分运动来求解。
例2 现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹，如图所示，有一棱长为L 的正
方体电磁区域abcd－efgh，其中M、N 分别为棱ab、棱gh 的中点，以棱ef 中点O 为坐标原点、以ON
为x 轴正方向、OM 为y 轴正方向、Oe 为z 轴正方向建立三维坐标系O－xyz，正方体区域内可能单独或
同时存在沿z 轴负方向的匀强电场E 及匀强磁场B，在O 点有一粒子源，沿x 轴正方向发射不同速率的
带电粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，且粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范围内均匀分布，已
知磁感应强度大小为B＝3m v0
2qL ，电场强度大小为E＝81m v0
2
25 π
2qL
，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，
取√3＝1.732。
(1)若正方体区域内只存在磁场，求入射速度大小为v0的粒子在该区域中运动的时间；
(2)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求入射速度大小为v0的粒子从该区域射出的位置的坐标；
(3)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求从正方体上表面abcd 射出的粒子数占粒子总数的百分比。
2
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答案精析
例1 见解析
解析 (1)粒子在垂直x 轴的平面内做匀速圆周运动，距x 轴最远距离等于粒子轨迹圆的直径，
由qv0B＝mv0
2
R1
，D1＝2R1，
得D1＝2mv0
qB ；
(2)①粒子速度沿x 轴方向的分量v0x＝v0cos θ，
在垂直于x 轴方向的分量
v0y＝v0sin θ，
在垂直于x 轴的平面内受洛伦兹力，粒子在垂直于x 轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于x 轴方向做匀
速直线运动，即做等距螺旋线运动。
②由qv0yB＝mv0 y
2
R2
，得D2＝2R2＝2mv0sinθ
qB
。
粒子做匀速圆周运动的周期
T＝2π R2
v0 y
＝2π m
qB
轨迹与x 轴相邻交点之间的距离
Δx＝v0cos θ·T＝2π mv0cosθ
qB
；
(3)①将粒子的初速度分解为沿x 轴方向的分速度v0x和垂直x 轴方向的分速度v0y，v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ
洛伦兹力方向与x 轴垂直，粒子在垂直x 轴的平面内做匀速圆周运动，在平行x 轴方向由静电力作用下做
匀加速直线运动，粒子做螺距逐渐增大的“旋进”运动。
②由qv0yB＝mv0 y
2
R3
，得粒子做圆周运动的半径R3＝R2＝m v0 y
qB ＝m v0sinθ
qB
，
粒子离x 轴的最大距离D3＝2R3＝2mv0sinθ
qB
。
③在x 轴方向，qE＝ma，第三次与x 轴相交时的位置坐标
x＝v0xt＋1
2at2，
从射出至第三次到x 轴时间t＝3T＝
6 π R3
v0 y
＝6 π m
qB ，
3
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故x＝6 π m
qB (v0cos θ＋3 π E
B
)。
拓展 见解析
解析 粒子做“旋进”运动，且到达x 轴的时间间隔相等，在x 轴方向做初速度为0 的匀加速直线运动，
故x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…。
例2 (1)4 π L
9 v0
(2)(√3 L
3
，L，－8 L
25 ) (3)25%
解析 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝mv0
2
r1
解得r1＝2 L
3
粒子轨迹如图甲所示
根据几何关系可知cos θ＝L−r1
r1
＝1
2
则θ＝60°
设带电粒子做圆周运动的周期为T，
则有T＝2π r1
v0
解得T＝4 π L
3 v0
粒子轨迹对应的圆心角为120°，
所以运动时间t＝1
3T＝4 π L
9 v0
(2)若正方体区域内同时存在电场和磁场，粒子在做圆周运动的同时，沿z 轴负方向在静电力作用下加速运
动，
加速度a＝qE
m
沿着电场方向的位移z＝1
2at2＝8 L
25 < L
2
故粒子从上表面abcd 射出，由图甲可知x＝r1sin θ＝√3 L
3
则入射速度大小为v0的粒子从正方体电磁区域射出的位置的坐标为(√3 L
3
，L，－8 L
25 )。
4
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(3)由上述分析可知，粒子从正方体上表面abcd 射出时，粒子速率越大，粒子做匀速圆周运动的半径越大，
图甲中的p 点越靠近d，轨迹圆心角越小，粒子在电磁区域中的运动时间越短，粒子沿z 轴负方向的位移越
小。当粒子速率最大为vmax时从cd 边射出，对应的圆周运动轨迹为1
4 圆周，其半径等于L，则有
qvmaxB＝mvmax
2
L
解得vmax＝1.5v0
假设粒子沿z 轴负方向的分运动匀加速运动到f 点时(其位移大小等于L
2 )，粒子能够从bc 边射出，设粒子在
电场中运动时间为t2，
则有L
2 ＝1
2×qE
m t2
2
解得t2＝5 π L
9 v0
设此情况粒子匀速圆周运动轨迹的圆心角为β，
则有t2＝
β
360° T
联立解得β＝150°
此情况粒子的运动轨迹在正方体前表面adhe 内的投影如图乙所示
可知假设成立，此时粒子的速率是从正方体上表面abcd 射出的粒子速率的最小值vmin，设此时圆周运动半
径为r2，
由几何关系可得r2＋r2cos 30°＝L
解得r2＝
2 L
2＋√3＝2(2－√3)L
同理有qvminB＝mvmin
2
r2
解得vmin＝3(2－√3)v0
从正方体上表面abcd 射出的粒子速率范围应为
3(2－√3)v0≤v≤3
2v0
粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范围内均匀分布，则从正方体上表面abcd 射出的粒子速率范围为
0.9v0≤v≤3
2v0
所以从正方体上表面abcd 射出的粒子数占粒子总数的百分比
5
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η＝1.5 v0−0.9 v0
3.3 v0−0.9 v0
＝25%。
6
