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第51 讲 习题课 带电粒子在立体空间运动问题
目录
01 考情解码·命题预警..........................................................................................................................2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................3
带电粒子在立体空间中的运动.....................................................................................................................25
知识点1 带电粒子的旋进运动..............................................................................................................25
知识点2 带电粒子在立体空间中的偏转..............................................................................................26
考向1 带电粒子在叠加场中的旋进运动..............................................................................................26
考向2 带电粒子在立体空间的运动......................................................................................................29
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................37
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
带电粒子在立
体空间中的运
动
选择题
非选择题
湖南卷T15
考情分析：
考情分析：
1.命题形式：单选题非选择题
2．在湖南高考中物理选考中，带电粒子在带电粒子在立体空间中的运动考查较为频繁，大多在综合性的
计算题中出现，对能力要求较高。
3.备考建议：分析带电粒子在立体空间中的运动时，要充分发挥空间想象力，由受力确定粒子的运动状
态，进而确定粒子在空间中的运动轨迹.将带电粒子通过不同空间的运动过程分为不同的阶段，只要分析出
每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可求解问题.
复习目标：
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要充分发挥空间想象力，由受力确定粒子的运动状态，进而确定粒
子在空间中的运动轨迹.将带电粒子通过不同空间的运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运
动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可求解问题.
。
2
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考点 带电粒子在叠加场中的运动
知识点1 带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直线运动
粒子所受合力为0
平衡条件
匀速圆周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：
qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，
也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
带电粒子在匀强磁场中“旋进”运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种
情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁
场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速
圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运
动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
知识点1 带电粒子的旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种
情况：
3
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(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁
场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速
圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运
动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
条件:粒
子
场
速度与磁
0
0或180
0
y
向
方
,
y
匀
速
直
运动
＝v yt ＝v❑cosθ⋅t
z
向
方
,
运动
运
动
匀
速
周
q v z B＝m v z
r
r ＝mv z
qB ＝mv❑sinθ
qB
T ＝2πr
v z
＝2πm
qB
螺距: Δ y ＝v❑cos θ⋅T ＝v❑cos θ⋅2πm
qB
1.
y
点必须满足
点
要求
沿着
直
上某必足
过
线
须
满
t ＝y
v y
＝
L
v❑cosθ ＝n⋅2πm
qB
(n＝1,2,3…)
B＝n⋅
2πm
q⋅
L
v❑cos θ
＝n⋅2πm v❑cos θ
L
n＝1,B
在
存
最
小值
Bmin＝2πm v❑cos θ
L
2.要求离子不能穿过x>d 的范围，2r≤d，⇒mv❑sinθ
qB
≤d ⇒B≥mv❑sinθ
qd
3.求经
过t
粒子到出发点的距离
粒子到出点的距离间
y 方向: y ＝v❑cosθ⋅t
x 方向:转过圆心角α ＝t
T ⋅2π ＝
t
2πm
qB
⋅2π ＝qBt
m
x＝r −rcos α ＝r −rcos t
T ⋅2π ＝r −rcos qBt
m
4
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z 方向: z＝|r sin α |＝|r sin qBt
m |
点
到出
距离D＝x
2+ y
2+ z
2⇒D＝(v❑cos θ⋅t )
2+(r −rcos qBt
m )
2+(rsin qBt
m )
2
知识点2 带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子
依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个
空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分
解为两个互相垂直的分运动来求解。
考向1 带电粒子在叠加场中的旋进运动
例1（2025·湖南岳阳模拟] 如图甲所示,在xOy 平面内存在沿y 轴正方向的匀强电场和垂直于平面向
外的匀强磁场,电场强度大小未知,磁感应强度大小为B.让质量为m、电荷量为q 的带正电小球从坐
标原点O 沿xOy 平面以不同的初速度入射,均能在复合场中做匀速圆周运动.已知重力加速度大小为
g.
(1)带电小球从O 点以初速度v 沿y 轴正方向入射时,恰好能经过x 轴上的P(2a,0)点,求电场强度大小
和v 的大小;
(2)保持匀强电场的方向不变,大小变为原来的两倍,带电小球从O 点沿y 轴正方向入射,速度大小为
v0=mg
qB ,小球运动轨迹如图乙所示.研究表明:小球在xOy 平面内做周期性运动,利用运动的合成与分解
规律,可将带电小球的初速度分出一个速度v1,并且qv1B 与电场力、重力三力平衡,得到小球的一个分
运动是速度为v1的匀速直线运动;然后利用矢量运算,将初速度减去v1得到速度v2,得到另一个分运动
是线速度为v2的匀速圆周运动,再由这两个分运动得到合运动的运动规律(题中v1和v2均为未知量).
①求该带电小球运动过程中的最大速度值vm;
②写出该带电小球的y 坐标随时间t 变化的函数表达式(小球从O 点发射时为t=0 时刻).
[答案] (1)mg
q Bqa
m (2)①(√2+1) mg
qB
②y= m
2 g
q
2B
2-√2m
2 g
q
2B
2 cos (
π
4 + qB
m t)或y= m
2 g
q
2B
2-√2m
2 g
q
2B
2 sin (
π
4 - qB
m t)
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[解析] (1)带电小球在复合场中做匀速圆周运动,则Eq=mg
解得E=mg
q
小球沿y 轴正方向入射,转过半个圆周至P 点,则运动的半径R=a
由洛伦兹力提供向心力,有qvB=mv
2
R
解得v=Bqa
m
(2)电场强度大小变为原来的两倍,小球的运动为复杂的曲线运动,其两个分运动为:
一个速度为v1的匀速直线运动,有qv1B+mg=2Eq
解得v1=mg
qB ,方向水平向右;
一个线速度为v2的匀速圆周运动,轨迹半径为R2,则
v2=√v1
2+ v0
2=√2mg
qB
,方向与y 轴正方向夹角为45°,
由洛伦兹力提供向心力,有qv2B=m v2
2
R2
解得R2=√2m
2 g
q
2B
2
①带电小球运动过程中速度最大时,v1与v2同向,故vm=(√2+1) mg
qB
②带电小球在y 方向的位移只与匀速圆周运动有关,圆周运动的轨迹如图所示
小球做圆周运动的周期为T=2π m
qB
则带电小球的y 坐标随时间t 变化的函数表达式为y=R2cos π
4 -R2cos (
π
4 +ωt)=R2cos π
4 -R2cos
(
π
4 + qB
m t)
将R2=√2m
2 g
q
2B
2 代入,可得
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y= m
2 g
q
2B
2-√2m
2 g
q
2B
2 cos (
π
4 + qB
m t)
或利用正弦计算得到
y= m
2 g
q
2B
2-√2m
2 g
q
2B
2 sin (
π
4 - qB
m t)
【变式训练1】用图所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡
中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状．现将这一现象简化成如图所示的情景来讨论：
在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方
向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δ x,则下列说法中正
确的是（ ）
A．匀强磁场的方向为沿x轴正方向
B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δ x将增大
C．若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δ x将减小
D．若仅增大α角(α <90°)，则直径D增大，而螺距Δ x将减小
【答案】AD
【详解】A．将电子的初速度沿x 轴及y 轴方向分解，沿x 方向速度与磁场方向平行，做匀速直线
运动且
x = v0cosα ⋅t
沿y 轴方向速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方
向沿x 轴正方向，故A 正确；
BC．根据evB =m v
2
R ，T = 2πR
v
且v = v0sin α，解得
D =2 R = 2mv0sin α
eB
T = 2πm
eB
所以
Δ x = v xT = 2πmv0cosα
eB
所以，若仅增大磁感应强度B，则D、Δ x均减小，若仅增大v0，则D、Δ x皆按比例增大，故BC
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错误；
D．若仅增大α，根据D = 2mv0sin α
eB
得D 增大；根据Δ x = 2πmv0cosα
eB
可得Δ x减小。故D 正确。
故选AD。
【变式训练2】（2025·辽宁·二模）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O
'、O
处各开有一小孔。以O 为坐标原点，取O
'O方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤0区域有
一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥0区域有一匀强电场，场强大小为
E，方向沿y 轴正方向。一电子枪在O
'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平
面内，且在x 轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒
壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。若所有电子均能经过O 进入电场。
(1)求磁感应强度B 的最小值；
(2)取（1）问中最小的磁感应强度B，求出O
'处具有最大初速的电子在筒外x ≥0区域运动的轨迹方
程。
【答案】(1)Bmin= 2πm v0
eL
(2)y =± 2πr
L x−
Ee
2mv0
2 x
2
【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿∞轴的匀速直线和在yOz 平面内的匀速圆
周运动，设电子入射时沿y 轴的分速度大小为v y，由电子在r 轴方向做匀速直线运动得L= vd
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T， 则有Be v y =m v y
2
R
，T = 2πR
v y
由题意可知所有电子均能经过O 进入电场，则有t =nT (n=1，2，3，...)
联立得B = 2πnmv0
eL
(n=1，2，3，...)
当n=1 时，B 有最小值，可得Bmin= 2πm v0
eL
（2）将电子的速度分解，v y最大，R 最大，此时R=r，又Bmin= 2πmv0
eL
，R = mv y
Be
8
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可得v y m = 2πmv0
L
沿y 轴正、负方向射入电场的电子，则 x = v0t ，y =± v y mt + 1
2 at
2，a=−Ee
m
联立解得y =± 2πr
L x−
Ee
2mv0
2 x
2
考向2 带电粒子在立体空间的运动
例2（2025·.湖南师大附中高三月考）某粒子分析装置的核心结构如图所示。在空间三维直角坐
标系O-xyz 中，由6 面荧光屏构成的长方体容器OPMN-EFGH 安装在坐标原点O 处，OP 边与x 轴
重合，长方体的长、宽、高分别为2a、a、2a，整个空间存在方向沿z 轴正方向的匀强磁场，磁感
应强度大小为B，在MNHG 面的中心S 处有一粒子源，可以在平行于xOy 的平面内向容器内各个方
向均匀发射相同速率的带电粒子，已知带电粒子的比荷为
，有二分之一的粒子打在OPFE 面
上激发荧光屏发光，PMGF 面刚好没有发光。粒子打在荧光屏上后即被吸收，重力不计。下列说法
正确的是（ ）
A. 粒子源发射的粒子带负电，速率为v=2kBa
B. 有六分之一的粒子打在MNHG 面上激发荧光屏发光
C. 有三分之一的粒子打在ONHE 面上激发荧光屏发光
D. 打到S 的正对过OPFE 面中心Sʹ 点的粒子，所用的时间跟打在棱边HN 上的粒子运动的时间相
同
【答案】BCD
【解析】粒子源在平行于xOy 的平面内向容器内各个方向均匀发射相同速率的带电粒子，磁场方向
沿z 轴正方向，可知粒子只在平行于
xOy
的平面内运动
。画出过S 点、平行于xOy 平面的面
E'F'G'H'和运动轨迹图，如图所示。
9
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由题意知，粒子射出后向速度方向的右侧偏转，利用左手定则可判断粒子带正电。由题意E'F'边上
有二分之一的粒子打入，
边上刚好没有粒子射入，最边缘粒子分别沿x 轴的正方向和y 轴的正
方向射入磁场，入射速度夹角为
范围，在E'点和F'点分别与E'F'和
边相切射出，根据几何
关系可知，粒子运动的轨迹半径为
由
，代入数据解得
，故A 错误；根据粒
子的运动轨迹，可知打在
边上的粒子速度方向的最大入射角为
，所以可知有六分之一的粒
子打在MN-HG 面上，故B 正确；由图根据几何关系可知，打在
的粒子，从粒子源射出时的速
度方向夹角为
，所以有三分之一的粒子打在ONHE 面上，故C 正确；由图知，打到S 的正对
OPFE 面中心
点的粒子，和打在棱边HN 上即
点的粒子，它们的运动轨迹所对应的弦长相等，
所以圆心角相等，在磁场中运动的时间相等故D 正确。。
【变式训练1】(2025·湖北楚才高中二模） 如图，在空间直角坐标系
中，界面I 与
平
面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为
，与
轴的交点分别为
、
、
；
在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿
轴负方向的匀强电场
，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿
轴正方向的匀强磁场
。一
质量为
、电量为
的粒子，从
轴上距
点
处的
点，以速度
沿
轴正方向射入电场区
域，该粒子刚好从点
进入磁场区域。粒子重力不计。求：
（1）电场强度
的大小；
（2）要让粒子刚好不从界面III 飞出，磁感应强度
应多大。
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【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）粒子在电场区域做类平抛运动，设电场中粒子加速度为
，沿
轴正方向看，如图
所示
粒子从
点进入右边磁场，则由类平抛运动规律：
根据牛顿第二定律：
联立方程解得
（2）设粒子到
点时的速度为
，与
轴夹角为
，如图所示，则
，
故
即有
在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，如图所示，则
又根据几何关系
解得
【变式训练2】（2024·浙江绍兴·一模）如图甲所示，某粒子研究装置的通道长D =0.4√6m，其横
截面abcd、a
' b
' c
' d
'为边长L=1.6m 的正方形，通道四壁aa
' b
' b、bb
' c
' c、c c
' d
' d、aa
' d
' d能将
打到壁上的粒子完全吸收并及时导走，以截面abcd 中心点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，x 轴
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平行于ab 边，z 轴平行于bc 边，通道方向沿y 轴。在通道内仅x 方向和z 方向分别加随时间余弦、
正弦变化的磁场，规定沿各坐标轴正方向为磁场正方向，如图乙所示。已知粒子源位于坐标原点，
能沿y 轴正方向持续均匀发射初速度为v0=5000m/s 的带正电粒子，粒子比荷为q
m =1.0×10
6C/
kg，在磁场中的运动时间远小于磁场变化的周期，不计粒子的重力与粒子间的相互作用，不考虑磁
场变化产生电场的影响。求：
(1)t =0时刻发射的粒子在通道内的运动半径大小；
(2)t =0时刻发射的粒子能否通过截面a
' b
' c
' d
'，若能，计算粒子到达截面a
' b
' c
' d
'时的坐标；若不
能，计算粒子到达通道四壁时的坐标；
(3)通道壁bb
' c
' c吸收的粒子中，在通道内运动的最短时间与最长时间；
(4)若仅撤去x 方向磁场Bx，长时间稳定后通过通道的粒子占总发射粒子数的百分比。
【答案】(1)0.5 m
(2)(0，0.4 m ，−0.8m)
(3)127π
180 ×10
−4s(≈2.21×10
−4s)，π×10
−4s(≈3.14×10
−4s)
(4)33.33％
【详解】（1）由乙图可知，t =0时发射的粒子在运动过程中磁感应强度B =0.01T，方向沿x 轴正
向，粒子在yoz平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得
q v0 B =m v0
2
R
即
R = mv0
qB =0.5 m
（2）粒子发射后在yoz平面匀速圆周运动，轨迹如图1
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图1 yoz平面视图
最远沿y 轴运动距离为R< D，因此粒子不能通过通道，打到壁aa
' b
' b上。到达壁aa
' b
' b时
x =0 m，z =−0.8 m，
y =√
R
2−(
L
2 −R)
2
=0.4 m
因此，粒子到达壁aa
' b
' b上时坐标为(0，0.4 m ，−0.8m)。
（3）粒子在磁场中运动时磁感应强度大小不变，运动周期
T = 2πm
qB
=2π×10
−4s
如图2 所示当粒子运动轨迹在xoy平面内时到达壁bb
' c
' c上的运动时间最短（半径一定，弦长最
短）
图2 空间视图 图2 xoy平面视图 图3 空间视图
圆弧所对圆心角为127°， 所以
tmin= 127
360 T = 127π
180 ×10
−4s(≈2.21×10
−4s)
如图3 所示运动轨迹与接收屏相切时运动时间最长，粒子运动刚好为半圆，圆弧所对圆心角为
180°，所以
tmax= 1
2 T =π×10
−4s(≈3.14×10
−4s)
（4）所有粒子运动轨迹圆在xoy平面内，半径周期性变化最短半径为
R = m v0
q Bm
=0.5 m
粒子要能通过通道，运动半径需要足够大，刚好能过通道时，轨迹如图4 所示
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图4 xoy平面视图
由几何关系
R1
2=(R1−L
2)
2
+(0.4√6)
2
得
R1=1m
即粒子要能通过通道，磁感应强度需满足
B≤0.005T
结合B2随时间的变化规律，由数学三角函数知识可知，B2≤0.005T时间占磁场变化一个周期的1
3，
所以长时间稳定后通过通道的粒子占总发射粒子数的百分比为33.33％。
1．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O 处各开
有一小孔。以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤ 0 区域有一匀
强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀强电场，场强大小为E，
方向沿y 轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，
且在x 轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，
不计电子之间的相互作用及电子的重力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大夹角为
θ，求tanθ 的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x 轴的匀速直线运动和在yOz 平面内的匀
速圆周运动，设电子入射时沿y 轴的分速度大小为
，由电子在x 轴方向做匀速直线运动得
在yOz 平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
可得
且
由题意可知所有电子均能经过O 进入电场，则有
联立得
当
时，B 有最小值，可得
（2）将电子的速度分解，如图所示
有
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当
有最大值时，
最大，R 最大，此时
，又
，
联立可得
，
（3）当
最大时，电子在电场中运动时沿y 轴正方向有最大位移
，根据匀变速直线运动规律有
由牛顿第二定律知
又
联立得
2．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍
尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳
极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可
视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E 和
；
还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂
直于轴线的平面绕轴线做半径为R 的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞
并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为
，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最
终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为
；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小
；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为
n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第
二定律
解得氙离子在放电室内运动的加速度大小
（2）电子在阳极附近在垂直于轴线的平面绕轴线做半径做匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场
力与径向磁场给的洛仑兹力平衡，沿着轴线方向的匀强磁场给的洛仑兹力提供向心力，即
，
解得径向磁场的磁感应强度大小为
（3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数
k，设单位时间内进入放电室的电子数为
，则未进入的电子数为
，设单位时间内被电离的氙
离子数为
,则有
已知氙离子数从放电室右端喷出后与未进入放电室的电子刚好完全中和，则有
联立可得单位时间内被电离的氙离子数为
氙离子经电场加速，有
时间
内氙离子所受到的作用力为
，由动量定理有
解得
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由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小
则
3．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约
束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系
中，
空间内充满
匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场
II，磁感应强度大小为
，方向平行于
平面，与x 轴正方向夹角为
；
，
的空
间内充满沿y 轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以一定速度出射，速度方向与
轴正方向夹角为
，在
平面内运动一段时间后，
经坐标原点
沿
轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从
点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿
轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，求第四次穿过
平
面的位置坐标（用d 表示）；
（4）当离子甲以
的速度从
点进入磁场I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，也从
点
沿
轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点
的时间差
（忽略离子间相互作用）。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）（d，d，
）；（4）
【详解】（1）如图所示
将离子甲从
点出射速度为
分解到沿
轴方向和
轴方向，离子受到的电场力沿
轴负方向，可
知离子沿
轴方向做匀速直线运动，沿
轴方向做匀减速直线运动，从
到
的过程，有
联立解得
（2）离子从坐标原点
沿
轴正方向进入磁场I 中，在磁场I 中做匀速圆周运动，经过磁场I 偏转
后从
轴进入磁场II 中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得
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为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I 运动时，不能从磁场I 上方穿出。在磁场II 运动时，不能
xOz 平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足
，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿z 轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，离子在磁场I 中的轨
迹半径为
离子在磁场II 中的轨迹半径为
离子从
点第一次穿过到第四次穿过
平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过
平面的
坐标为
离子第四次穿过
平面的
坐标为
故离子第四次穿过
平面的位置坐标为（d，d，
）。
（4）设离子乙的速度为
，根据离子甲、乙动能相同，可得
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可得
离子甲、离子乙在磁场I 中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场II 中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x 轴的位置，如图所示
从
点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
4．（2023·天津·高考真题）科学研究中可以用电场和磁场实现电信号放大，某信号放大装置示意如
图，其主要由阴极、中间电极(电极1,电极2, …,电极n)和阳极构成，该装置处于匀强磁场中,各相邻
电极存在电势差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级
增加,最终被阳极收集,实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x 轴放置在xOz 平面内,磁场平行于
z 轴，磁感应强度的大小为B。已知电子质量为m,电荷量为e。忽略电子间的相互作用力，不计重
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力。
（1）若电极间电势差很小可忽略,从电极1 上O 点激发出多个电子，它们的初速度方向与y 轴的正
方向夹角均为
，其中电子a、b 的初速度分别处于xOy 、yOz 平面的第一象限内，并都能运动到
电极2。
（i）试判断磁场方向；
（ii）分别求出a 和b 到达电极2 所用的时间
和
；
（2）若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电
极。设每个射入中间电极的电子在该电极上激发出
个电子,
，U 为相邻电极间电势差。试
定性画出阳极收集电子而形成的电流I 和U 关系的图像,并说明理由
【答案】（1）（ⅰ）沿z 轴反方向；（ⅱ）
，
（2）见解析
【详解】（1）（ⅰ）a 电子，初速度方向在xoy 平面内，与y 轴正方向成θ 角；若磁场方向沿z 轴
正方向，a 电子在洛伦兹力作用下向x 轴负方向偏转，不符合题题意；若磁场方向沿z 轴反方向，a
电子在洛伦兹力作用下向x 轴正方向偏转，符合题意；
b 电子，初速度方向在zoy 平面内，与y 轴正方向成θ 角。将b 电子初速度沿坐标轴分解，沿z 轴的
分速度与磁感线平行不受力，沿y 轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x 轴正方向偏转，根据
左手定则可知，磁场方向沿z 轴反方向。符合题意；
综上可知，磁感应强度B 的方向沿z 轴反方向。
（ⅱ）a 电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图
由图可知电子运动到下一个极板的时间
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b 电子，沿z 轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速
直线运动；沿y 轴方向的分速度受到洛伦兹力使电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的
时间
（2）设
，单位时间内阴极逸出的电子数量N0不变，每个电子打到极板上可以激发δ 个电子，
经过n 次激发阳极处接收电子数量
对应的电流
可得I-U 图像如图
5．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy
平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存
在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向
里，区域Ⅱ的下边界与x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向
与x 轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽
略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第
四象限的离子数与总离子数之比η。
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【答案】（1）
；
（2）
（3）60%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得
r1=2L
根据
解得
在磁场中运动的周期
运动时间
（2）若B2=2B1，根据
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系
解得
r2=2L
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根据
解得
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x 轴，则由动量定理
即
求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x 轴上的过程中
解得
则速度在
~
之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在
~
，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的
比例为
η=60%
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