文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
第45 讲 带电粒子在磁场中的运动
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识............................................................................4
知识点 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识.............................................................................4
考向 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识.........................................................................................5
考点二 带电粒子在非匀强磁场中的运动........................................................................................9
知识点 处理带电粒子在非匀强磁场中的运动问题的基本思路.............................................................9
考向 带电粒子在非匀强磁场中的运动.....................................................................................................9
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动..................................................................................13
知识点1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动................................................................................13
知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题................................................................14
考向1 直线边界........................................................................................................................................14
考向2 弧形边界........................................................................................................................................18
考向3 根据粒子运动确定磁场区域范围................................................................................................25
考向4 电性不确定导致的多解问题........................................................................................................26
考向5 磁场方向不确定导致的多解问题................................................................................................29
考向6 临界状态不唯一导致的多解问题................................................................................................34
04 真题溯源·考向感知.......................................................................................................................41
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
带电粒子在磁场
中的运动
选择题
非选择题
\
\
全国甲卷T7，6 分
考情分析：
1．在黑吉辽高考物理中，带电粒子在磁场中的运动是电磁学板块的重难点，对考生的知识掌握和应用能
力有着较高要求。
2．从命题思路上看，磁场内容与电场、电磁感应、力学等知识的综合考查趋势将愈发明显。
复习目标：
目标一：理解带电粒子在磁场中运动的基础知识，学会计算周期、半径等等。
目标三：正确解决带电粒子在有界匀强磁场中的运动。
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识
知识点 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识
1.在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动。
2.带电粒子以速度v 垂直磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与
磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝m v
2
r
。
(2)轨迹半径：r＝mv
qB 。
(3)周期：T＝2π r
v
＝2π m
qB ，可知T 与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有
关。
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝θ
2π T。
3.粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F 的方向，其交点即为圆心，如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图
乙。
③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝mv
qB 计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为
r 的位置为圆心，如图丙。
(2)半径的计算方法
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
方法一 由R＝mv
qB 求得。
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得。
如图甲，由R＝L
sinθ 或R2＝L2＋(R－d)2求得。
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝1
2α。
(3)时间的计算方法
方法一 利用圆心角θ、周期T 求得t＝θ
2π T。
方法二 利用弧长l、线速度v 求得t＝l
v 。
考向 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识
例1 科学家可以利用磁场对带电粒子的运动进行有效控制。如图所示，圆心为O、半径为r的圆形区域外
存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场。P点为纸面内一离子源，可以沿着与PO成θ =37
∘的方向发射速度
大小不等的同种正离子，已知OP=5r，不计粒子重力。为使离子源发射的正离子都能射入圆形区域，则
正离子在磁场中做圆周运动的轨道半径R需满足（ ）
A．3r < R<6r
B．3r < R<5r
C．4 r < R<5r
D．4 r < R<6r
【答案】A
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】若速度较小，粒子的轨迹圆如图所示，由几何关系可知
在△OPO1中，根据余弦定理可得(r + R1)
2= R1
2+25r
2−2⋅R1⋅5r ⋅cos(
π
2 −θ)
解得R1=3r
若速度较大，粒子的轨迹圆如图所示，根据几何关系可知，在△OPO2中，由余弦定理则有
(R2−r)
2= R2
2+25r
2−2 R2⋅5r ⋅cos(
π
2 −θ)
解得R2=6r
综上若要求粒子进入圆形区域，则粒子运动的半径应满足的条件为3r < R<6r
故选A。
【变式训练1】如图所示，一质量为
、电荷量为
的带负电物体，从粗糙绝缘斜面的顶端由静止滑到底
端时的速度为；若在空间加上一个垂直纸面向外的匀强磁场，该物体仍能从斜面顶端由静止滑到底端，
则该物体滑到底端时的速度（ ）
A．大于
B．小于
C．等于
D．无法确定
【答案】B
【详解】未加磁场时，根据动能定理有
解得
加磁场后，物体在运动时会受洛伦兹力，根据左手定则可知洛伦兹力的方向垂直斜面向下，洛伦兹力不做
功，但斜面对物体的支持力变大，斜面对物体的滑动摩擦力也变大，下滑相同的距离，则克服摩擦力做的
功更多；根据动能定理有
解得
因
，所以
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故选B。
【变式训练2】（2025·吉林松原·高三月考）如图所示，在xOy 坐标系第一象限内存在方向沿x 轴负方向的
匀强电场（图中未画出），电场强度大小为E，一质量为m、电荷量为
（
）的带电粒子从坐标原
点O 以速度
沿y 轴正方向射入电场，带电粒子恰好经过点
．若将匀强电场换为垂直于纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，带电粒子在偏转的过程中离x 轴的最远距离与M 点到x 轴的距离相
等，不计粒子的重力．则E、B 分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可知，带电粒子做类平抛运动经过M 点，加速度为
由类平抛知识可知
，
联立解得
根据洛伦兹力提供向心力有
由题述可知
联立解得
故选A。
【变式训练3】（2025·吉林松原·模拟预测）如图所示，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁
感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面同时加有匀强磁场2 和匀强电场（图中均未画出），磁
场2 的磁感应强度大小是磁场1 的二倍。已知电子电荷量为e、质量为m，若电子恰好可以在圆环平面内沿
顺时针方向做半径为R、速率为v 的匀速圆周运动。则以下说法错误的是（ ）
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．电场方向垂直圆环平面向里
B．电子运动周期为
C．匀强磁场2 的磁感应强度大小为
D．电场强度大小为
【答案】D
【详解】A．根据左手定则可知电子在磁场1 中受到的洛伦兹力
的方向垂直圆环平面向里，由于电子在
垂直圆环平面上受力平衡，即电子所受电场力与电子在磁场1 中受到的洛伦兹力
等大反向，故电场力方
向垂直圆环平面向外，则电场方向垂直圆环平面向里，故A 正确；
B．电子在圆环平面内沿顺时针方向做半径为R、速率为v 的匀速圆周运动，则电子运动周期为
故B 正确；
C．电子受到磁场2 的洛伦兹力提供电子做匀速圆周运动的向心力，有
解得
故C 正确；
D．磁场1 的磁感应强度大小
电子在垂直圆环平面上受力平衡，则有
解得
故D 错误。
故选D。
【变式训练4】（24-25 高二下·黑龙江·期末）如图所示，匀强磁场中有两个相同的弹簧测力计，测力计下
方竖直悬挂一副边长为L，粗细均匀的均质金属等边三角形，将三条边分别记为a、b、c。在a 的左右端点
M、N 连上导线，并通入由M 到N 的恒定电流，此时a 边中电流大小为I，两弹簧测力计的示数均为F1。
若仅将电流反向，两弹簧测力计的示数均为F2。电流产生的磁场忽略不计，下列说法正确的是（ ）
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．三条边a、b、c 所受安培力相同
B．两次弹簧测力计示数F1=F2
C．金属等边三角形的总质量
D．匀强磁场的磁感应强度大小
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，b 与c 串联后再与a 并联，电压相等，bc 的电阻为a 的电阻的两倍，此时a 边
中电流大小为I，则bc 中的电流为
，则三边安培力大小不相等，而且三边安培力方向也不相同，故A 错
误；
BCD．电流反向前，根据左手定则，可知a 边的安培力方向竖直向上，bc 边安培力的合力方向也竖直向上。
a 边的安培力大小为
bc 边的安培力大小为
电流反向前，根据平衡条件得
电流反向后，根据平衡条件得
解得
，
，
故BD 错误，C 正确。
故选C。
考点二 带电粒子在非匀强磁场中的运动
知识点 处理带电粒子在非匀强磁场中的运动问题的基本思路
处理带电粒子在非匀强磁场中的运动问题时，首先要弄清楚该非匀强磁场如何变化，其次分析粒子的受力
情况，然后根据受力情况推算出运动情况，最后得出结论。
考向 带电粒子在非匀强磁场中的运动
例1 如图所示，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N 两小孔中，O 为M、N 连线的中点，
连线上的a、b 两点关于O 点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
磁场的磁感应强度B =k I
r （式中k 是常数、I 是导线中的电流、r 为点到导线的距离）。一带负电的小球以
初速度v0从a 点出发沿M、N 连线运动到b 点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a 点运动到b 点的过
程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球做匀加速直线运动
B．小球做匀减速直线运动
C．小球对桌面的压力一直在减小
D．小球对桌面的压力一直在增大
【答案】C
【详解】CD．已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度B =k I
r
根据安培定则，结合磁感应强度的叠加原理可知，直线MON 上靠近M 处的磁场方向垂直于MN 向里，靠
近N 处的磁场方向垂直于MN 向外，磁场大小先减小，过O 点后反向增大，根据左手定则可知，带负电的
小球受到的洛伦兹力方向开始时竖直向下，大小逐渐减小，过O 点后洛伦兹力的方向向上，大小逐渐增
大，小球在竖直方向受力平衡，则桌面对小球的支持力逐渐减小，根据牛顿第三定律可知，小球对桌面的
压力一直在减小，故C 正确，D 错误；
AB．结合上述可知，由于桌面光滑，小球仅在竖直方向上受到重力、洛伦兹力与支持力作用，在沿速度
方向不受外力作用，小球所受外力的合力为0，则小球将做匀速直线运动，故AB 错误。
故选C。
【变式训练1】如图所示，纸面内固定的两平行长直导线ab、cd中通有大小相同、方向相反的电流，位于
纸面内两导线间P处（靠近ab）的粒子源沿平行于ab方向发射一速度为v0的带正电粒子。已知通有电流为
I的长直导线，在距离导线为r处产生的磁场的磁感应强度为B =k I
r ，k为常量。不计粒子重力，图中虚线
到ab、cd的距离相等。则粒子在导线间的运动轨迹可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【答案】C
【详解】根据安培定则可知，两导线中的电流在导线间任一点产生的磁场方向均相同，设两导线间的距离
为d，距离ab导线为x处磁场的磁感应强度
B =kI(
1
x +
1
d −x)=
kld
x (d −x)
当x = d
2 时，B最小，带电粒子在磁场中运动过程中，速度大小不变，由qvB =m v
2
r ，解得轨迹的曲率半径
r = mv
qB
即在虚线附近曲率半径较大，靠近导线处曲率半径较小，可能正确的是C。
故选C。
【变式训练2】如图所示，四根通有恒定电流的长直导线垂直xOy平面放置，四根长直导线与xOy平面的
交点组成边长为2a的正方形且关于x轴和y轴对称，各导线中电流方向已标出，其中导线1、3 中电流大小
为I，导线2、4 中电流大小为2 I。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小与电流成正比、与该点到通电
长直导线的距离成反比，即B = kI
r 、下列说法正确的是（ ）
A．长直导线1、4 之间的相互作用力为吸引力
B．一垂直于纸面并从O点射入的粒子，将做圆周运动
C．导线4 受到的导线1、2、3 的作用力的合力方向指向O点
D．仅将导线2 中的电流反向，则导线2 和4 连线上各点磁感应强度方向均相同
【答案】D
【详解】A．当通有同向电流时，通电导线之间表现为吸引力，当通有反向电流时，通电导线之间表现为
斥力，A 错误；
B．由右手螺旋定则并结合矢量叠加可知O点的磁感应强度为零，因此过O点垂直于纸面射入的粒子，将
做匀速直线运动，B 错误；
C．长直导线1 在长直导线4 处产生的磁感应强度大小为
B1= kI
2a
方向水平向左，导线3 在长直导线4 处产生的磁感应强度大小也为B1，方向竖直向上，长直导线2 在长直
导线4 处产生的磁感应强度大小为
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B2= k ⋅2 I
2√2a = √2kI
2a
方向垂直导线2、4 的连线指向右下方，所以三根导线在4 处的合场强为零，导线4 不受安培力，C 错误；
D．根据右手螺旋定则以及磁场叠加原理可知，导线1、3 在导线2、4 的连线上除O点的磁感应强度为零
外，其他位置合磁感应强度均垂直于导线2、4 的连线指向斜向左上方。仅将导线2 中的电流反向，导线
2、4 在导线2、4 的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4 的连线指向斜向左上方。磁场叠加原理可
知，四根导线在导线2、4 的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4 的连线指向斜向左上方。D 正
确。
故选D。
【变式训练3】如图，水平导线中有电流I 通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I 的方向相同，则
电子将（ ）
A．沿路径a 运动，轨迹是圆
B．沿路径a 运动，轨迹半径越来越大
C．沿路径a 运动，轨迹半径越来越小
D．沿路径b 运动，轨迹半径越来越小
【答案】B
【详解】由安培定则得电子所在导线下方的磁场垂直纸面向外，据左手定则判断出电子所受的洛伦兹力向
下，即沿路径a 运动，且向下运动的过程中因离导线变远，磁感应强度B 变小，由
qvB =m v
2
r
解得
r = mv
qB
知半径r 变大。
故选B。
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
知识点1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.“轨迹圆心、半径及运动时间”的确定
圆心的确定
半径的确定
时间的确定
基本
思路
（1）与速度方向垂直的直线过圆心。
（2）弦的垂直平分线过圆心。
（3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
利用平面几何知识求
半径
利用轨迹长度L 或对应圆心角θ
求时间
t＝L
v ＝θ
2π T
图例
说明
P、M 点速度
垂线的交点
P 点速度垂线与
弦的垂直平分线
的交点
S 点的速度
垂线与切点
法线的交点
常用解三角形法，
（如图）R＝
L
sinθ 或
由R2＝L2＋（R－d）
2求得R＝L
2＋d
2
2d
（1）速度的偏转角φ 等于AB
⏜
所对的圆心角θ。
（2）偏转角φ 与弦切角α 的关
系：若φ＜180°，φ＝2α；若φ
＞180°，φ＝360°－2α
2.粒子在几种常见有界磁场中的运动分析
种类
图形
特点
直线
边界
进出磁场具有对称性
平行
边界
存在临
界条件
圆形
边界
图b：粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半
径
（1）沿径向射入必沿径向射出。
（2）图b 为磁聚焦现 象
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
多解分类
多解原因
示意图
带电粒子电性不确定
带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场
中的运动轨迹不同
磁场方向不确定
题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，
而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应
强度方向有两种情况
临界状态不唯一或速度
大小不确定
带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也
可能从入射界面反向射出
运动的往复性
带电粒子在空间运动时，往往具有往复性
考向1 直线边界
例1（2025·辽宁鞍山·三模）（多选）碳-14
是碳-12
的一种同位素。如图甲是一个粒子检测装置
的示意图，图乙为其俯视图，粒子源释放出经电离后的碳-14 与碳-12 原子核（初速度不计），经直线加速
器加速后由通道入口的中缝MN 进入通道，该通道的上下表面是内半径为R、外半径为3R 的半圆环，磁感
应强度为B 的匀强磁场垂直于半圆环，正对着通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的
位置。当直线加速器的加速电压为U0时，碳-12 原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，则下列说法正
确的是（ ）
A．在图乙中，磁场的方向是垂直于纸面向外
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B．碳-14 原子核和碳-12 原子核均击中照相底片，碳-14 原子核在磁场中的运动时间一定比在磁场中的
运动时间小
C．加速电压为U0时，碳-14 原子核所击中的位置比碳-12 原子核更靠近圆心
D．当加速电压在
范围内，碳-12 原子核全部打在内圆环上
【答案】AD
【详解】A．由图可知，碳原子核受到向右的洛伦兹力，根据左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向外，
故A 正确；
B．碳原子核在磁场中运动的时间为
由于碳-14 原子核的质量数大于碳-12 原子核的质量数，所以碳-14 原子核在磁场中的运动时间一定比在磁
场中的运动时间大，故B 错误；
C．由题意知，加速电压为U0时，有
所以
原子核进入磁场中有
所以
由此可知，碳-12 原子核所击中的位置比碳-14 原子核更靠近圆心，故C 错误；
D．若碳-12 原子核全部打在内圆环上，则最小圆周运动半径为
，
最大圆周运动半径为
，
解得
，
当加速电压在
范围内，碳-12 原子核全部打在内圆环上，故D 正确。
故选AD。
【变式训练1】（多选）（24-25 高二下·辽宁朝阳·期中）如图所示，这是某速度选择器的原理示意图，两
正对平行金属板之间存在互相垂直的匀强电场与匀强磁场，匀强电场的电场强度大小为
，匀强磁场的磁
感应强度大小为
。关于此速度选择器，下列说法正确的是（ ）
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．能沿直线匀速通过速度选择器的带电粒子，其速度大小是
B．能沿直线匀速通过速度选择器的带电粒子，其速度大小是
C．从左侧
点进入复合场区的正电荷有可能匀速通过速度选择器
D．从右侧
点进入复合场区的负电荷有可能匀速通过速度选择器
【答案】BC
【详解】AB．带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是
解得
，故A 错误，B 正确；
C．正电荷从
点进入复合场区后，受到向下的电场力和向上的洛伦兹力，只要电荷的速度满足关系式
，电荷就能通过速度选择器，与电荷的电荷量及电性均无关，故C 正确；
D．负电荷从
点进入复合场区时，电荷受到的电场力和洛伦兹力均向上，不可能匀速通过复合场区，故
D 错误。
故选BC。
【变式训练2】如图所示，相互平行的两金属板竖直放置，两板之间存在着与金属板垂直的匀强电场和垂
直于纸面向里的匀强磁场，两板间距为d。一质量为m，电荷量为q 的小球以与左极板成
角的初速度
斜向右上从孔P 射入两板之间。从进入两板之间开始计时，小球刚进入叠加场时恰好做直线运动，t 时刻
将电场方向改为竖直向上且大小不变，小球恰好打到右极板上的Q 点。重力加速度为g，下列说法正确的
是（ ）
A．磁感应强度的大小为
B．小球带负电
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
C．
D．P、Q 之间的高度差为
【答案】AD
【详解】AB．小球刚进入磁场时恰好做直线运动，则小球受力平衡，对小球进行受力分析，如图甲所示
可知小球带正电，由
解得
由于初速度和左极板夹角为
，可知电场力等于重力，故A 正确，B 错误；
C．由于小球恰好打在右极板的Q 点，小球后续的运动轨迹如图乙所示
PM 段小球做匀速直线运动，MQ 段由于电场方向改为竖直向上，则电场力和重力平衡，
小球只受洛伦兹力做匀速圆周运动，由几何关系可知圆心角O 为
，由圆周运动的半径公式可得
由几何关系可得
解得
故C 错误；
D．P、Q 的高度差
故D 正确。
故选AD。
【变式训练3】（2025·吉林·模拟预测）如图甲，水平粗糙绝缘地面上方有方向垂直纸面向里的匀强磁场，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为+q 的物块沿水平地面以速度v0从左侧垂直进入磁场，物块
进入磁场后始终未离开地面，其动能与时间的Ek-t 关系图像如图乙所示，图像中z 点为曲线切线斜率绝对
值最大的位置。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块所受摩擦力逐渐增大
B．物块所受摩擦力逐渐减小
C．图中z 点对应的速度大小为
D．图中z 点对应的速度大小为
【答案】AD
【详解】AB．物块所受摩擦力大小为
随着速度的减小，摩擦力增大，A 正确，B 错误；
CD．曲线切线斜率大小为
物块所受合力大小为
解得
当
时，k 有最大值
解得
，C 错误，D 正确。
故选AD。
考向2 弧形边界
例1 如图所示，半径为R 的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒
子从图中P 点以速度v 沿直径方向射入磁场，经磁场偏转θ =60°后从Q 点射出磁场。忽略粒子的重力，下
列说法正确的是（ ）
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．粒子带负电
B．粒子的比荷为√3 BR
v
C．粒子在磁场中运动的轨迹长度为π R
3
D．若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P 点射入，仍从Q 点射出，则圆形磁场的最小面
积为3π R
2
4
【答案】D
【详解】A．根据左手定则判断可知，粒子带正电，故A 错误；
B．粒子轨迹如图
几何关系可知粒子轨迹圆半径r =
R
tan θ
2
=√3 R
根据r = mv
qB
联立解得q
m = √3 v
3 RB
故B 错误；
C．粒子在磁场中运动的轨迹长度为s= 60°
360° ×2πr
联立解得s= √3 πR
3
故C 错误；
D．当PQ 为圆形磁场直径时，圆形磁场面积最小，几何关系可知PQ 长为r，则最小面积为
S = π(
r
2)
2
= 3
4 π R
2
故D 正确。
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故选D。
【变式训练1】（多选）如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直于其平面、磁感应强度大小为B 的匀强
磁场，
把圆周六等分。现有带正电的粒子由A 点以不同速度对准圆心O 进入磁场，由
圆周上的不同点射出。设粒子的质量为m、电荷量为q，速度为
时粒子正好由
点飞出磁场。则
（ ）
A．磁场的方向垂直纸面向里
B．改变带电粒子的电性，速度变为
，则一定由E 点射出
C．从圆弧CD 之间（不含C 点）飞出的带电粒子速度一定大于
D．带电粒子的比荷
【答案】ACD
【详解】A．由左手定则可知磁场的方向垂直纸面向里，故A 正确；
BC．如图所示
带正电的粒子以速度
入射，由A 运动到
时，根据几何关系，可得运动轨迹半径
由洛伦兹力提供向心力有
解得
改变带电粒子的电性，若粒子由E 点射出，根据几何关系，可得运动轨迹半径
又
解得
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由对称性分析可知从圆弧CD 之间（不含C 点）飞出的带电粒子速度一定大于
，故B 错误，C 正确；
D．根据B 选项分析有
解得
故D 正确。
故选ACD。
【变式训练2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图所示，有一个弹性绝缘材料制成的圆筒，沿一条直径开有
正对的两孔C 和D，筒内有匀强磁场，有一不计重力的带正电的粒子从D 孔以大小为v 的速度正对圆心入
射，与筒壁发生一次弹性碰撞后从C 孔飞出圆筒，粒子与筒壁碰撞时垂直于筒壁方向的速度等大反向，沿
筒壁方向的速度不变。现改变粒子从D 孔入射的方向，使入射的方向与CD 成30°角，为使粒子与筒壁发
生两次弹性碰撞后仍能从C 孔飞出，则粒子的速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．v
【答案】D
【详解】当带正电的粒子从D 孔以大小为v 的速度正对圆心入射，与筒壁发生一次弹性碰撞后从C 孔飞出
圆筒，其运动轨迹如图所示
设圆筒的半径为R，由几何知识可知，子圆周运动的轨道半径也为R，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，
则有
改变粒子从D 孔入射的方向，使入射的方向与CD 成30°角，为使粒子与筒壁发生两次弹性碰撞后仍能从C
孔飞出，其运动轨迹如下图所示
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
则D 点和第一次碰撞点对于的圆筒的圆心角为
，设粒子的速度为
，
与CD 成
角，故四边形
为菱形，所以粒子圆周运动的轨道半径为R，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
联立可得
故选D。
【变式训练3】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）一个足够长的绝缘半圆柱体固定在水平面上，整个空间中加有
沿半圆柱体半径向内的辐向磁场，半圆柱体表面处的磁感应强度大小均为B，一根长度为L、质量为m、
粗细可忽略的导体棒A 紧靠在半圆柱体底端静止，其截面如图所示。在导体棒A 中通入方向垂直于纸面向
外的变化电流，使导体棒A 沿半圆柱体从底端缓慢向上滑动，导体棒A 受到半圆柱体的摩擦力是导体棒A
对半圆柱体的压力的k 倍。在导体棒A 从底端缓慢滑动到顶端的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，导体棒A 中的电流先变大再变小
B．当
时，导体棒A 所受的支持力与安培力合力先变大再变小
C．当
时，导体棒A 所受重力与安培力的合力一直变大
D．当
时，导体棒A 所受安培力一直变大
【答案】C
【详解】AB．当
时，根据左手定则确定安培力的方向，导体棒在上升至某位置时的受力分析如图所
示
根据平衡条件可得
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
因为
逐渐变大，所以
逐渐减小，根据
可得，导体棒A 中的电流变小；根据平衡条件可知，导体棒A 所受的支持力与安培力合力始终与重力等大
反向，保持不变，故AB 错误；
CD．当
时，导体棒在上升至某位置时的受力分析如图所示
其中
则
与
的合力与
的夹角保持不变，设为
，则
设
与
的合力为
，则导体棒的受力情况可表示为如图所示
根据几何关系可知
，
根据拉密原理可得
随着
逐渐增大的过程，
不变，
先增大后减小，
增大，所以安培力
先增大
后减小，
增大。根据平衡条件可知，导体棒A 所受重力与安培力的合力与
等大反向，所以也一直增
大，故C 正确，D 错误。
故选C。
考向3 根据粒子运动确定磁场区域范围
例1（2025·黑龙江·二模）如图，是交替出现的宽为
的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3 区域为
电场，场强均为
，2、4 区域为磁场，场强均为
，方向如图所示。质量为
，带电量为
的正粒子，从
1 区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（ ）
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．粒子从4 区下边界穿出后的动能一定为
B．粒子从4 区下边界穿出后的水平速度一定为
C．粒子从4 区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为
D．若粒子恰未从第4 场区射出，则需满足
【答案】A
【详解】A．由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4 区下边界穿出，根据动能定理可得
可知粒子从4 区下边界穿出后的动能一定为
，粒子从4 区下边界穿出后的速度大小为
故A 正确；
BCD．由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4 区下边界穿出，水平
方向根据动量定理可得
其中
联立可得粒子从4 区下边界穿出后的水平速度为
则粒子从4 区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为
若粒子恰未从第4 场区射出，粒子达到4 区下边界的竖直分速度刚好为0，则有
解得
故BCD 错误。
故选A。
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【变式训练1】（多选）（24-25 高三下·辽宁·期中）一固定光滑绝缘筒截面图如图所示，圆心为
，半径
为R，SP 为直径，筒内有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一质量为
、电荷量为
的带
正电粒子从S 点沿
方向垂直射入磁场，已知粒子与筒壁碰撞时速率、电荷量都不变且碰撞时间极短，
不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．要使粒子与筒壁发生1 次碰撞后恰好打在
点，则粒子射入磁场时速度的大小为
B．若粒子仅在
的一侧运动，最后打在
点，则粒子射入磁场时速度的大小可能为
C．要使粒子与筒壁碰撞4 次后恰好打在S 点，则粒子在筒中运动的时间可能为
D．要使粒子与筒壁碰撞4 次后恰好打在S 点，则粒子在筒中运动的时间可能为
【答案】ACD
【详解】A．设粒子射入磁场时速度大小为，在磁场中做匀速圆周运动
粒子与筒壁仅发生1 次碰撞后从
点射出，则有
联立解得
故A 正确；
B．粒子从S 点射入，从
点射出，设粒子与筒壁碰撞
次，将半圆
等分为
段，每段对应的圆心角
为
，有
由几何关系可知
，
联立解得
粒子射入磁场时速度的大小不可能为
，故B 错误；
CD．第一种情况：入射速度较小时，依此打在
后恰好打在S 点。如图
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
粒子在圆筒中运动时间
第二种情况：入射速度较大时，依此打在
后恰好打在S 点。粒子在圆筒中运动时间
故CD 正确。
故选ACD。
考向4 电性不确定导致的多解问题
例1 如图所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，
在MN 边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为同m、带电荷量为q 的粒子以
某一速度从P 点射入，恰好从Q 点射出，下列说法正确的是( )
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为qBL
m
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为5qBL
2
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为πm
3qB
【答案】D
【详解】B．若粒子运动轨迹如图所示：
由左手定则可知，粒子带负电，粒子做圆周运动的速度最小，轨道半径最小
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
r1= 1
2 L
由牛顿第二定律得
q v1B =m v1
2
r1
解得
v1= qBL
2m
故B 错误；
AC．若粒子带正电，粒子与挡板MN 中点碰撞后恰好从Q 点射出，粒子运动轨迹如图所示：
由于粒子与挡板碰撞时方向不确定，则粒子的速度无法确定，故粒子受到挡板作用力的冲量不定，故A、
C 错误；
D．若粒子带负电，运动轨迹如下图所示：
当轨迹半径等于L 时，此时转过的圆心角为60
∘，所以在磁场中运动的时间为
t = 1
6 T = πm
3qB
故D 正确。
故选D。
【变式训练1】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN 是它的下边界。
现有质量为m、电荷量为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（
）
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．πm
3qB
B．2πm
3qB
C．4 πm
3qB
D．5 πm
3qB
【答案】AD
【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得
qvB =m v
2
R
根据线速度和周期的关系，可得
v = 2πR
T
联立解得
T = 2πm
qB
由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对
应时间分别为
t1= θ1
2π T = 300°
360° T = 5 πm
3qB
t2= θ2
2π T = 60°
360° T = πm
3qB
故选AD。
【变式训练2】（多选）如图所示，圆心为O、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一
束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部汇聚于圆周上
的C 点，C 点在圆心O 的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为
，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部汇聚于C 点，不计粒子重力。下列
说法正确的是（ ）
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．带电粒子带正电
B．带电粒子的入射速度大小为kBR
C．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为
D．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为
【答案】BD
【详解】A．带电粒子往下偏转，由左手定则可知带电粒子带负电，选项A 错误；
B．所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的
点，应满足粒子在磁场中运动轨迹的半径等于区域圆的半径，则
有
得
，故B 正确；
CD．当粒子流按如图所示的方式入射时，所经过区域面积最小，
，
故C 错误，D 正确。
故选CD。
考向5 磁场方向不确定导致的多解问题
例1 垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场
的正方向。一电荷量q =1×10
−7C、质量m=1×10
−10kg的带电粒子，位于某点O 处，在t =0时刻以初速
度v0=2πm /s沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从t =0时刻
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（ ）
A．2√2πm /s
B．4√2πm /s
C．2√2m /s
D．4√2m /s
【答案】D
【详解】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有qB v0=m v0
2
r
解得r =2π ×10
−2m
周期为T 0= 2πm
qB =2π ×10
−2s
由图可知磁场变化的周期为T =10 π ×10
−3s= 1
2 T 0
根据t = θ
2π T 0
可得在0−5 π ×10
−3s时间内偏转的角度为θ1= π
2
同理在在5 π ×10
−3s−10 π ×10
−3s时间内偏转的角度为θ2= π
2
设粒子的出发点为a，经磁场变化的一个周期的终点为b，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场
变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得粒子的位移即为a、b 两点的距离，则有x =2√2r = 4√2π ×10
−2m
从t =0时刻开始的磁场变化的一个周期T =10 π ×10
−3s内，带电粒子的平均速度的大小为
v = x
T = 4√2π ×10
−2
10 π ×10
−3 m /s= 4√2m /s
故选D。
【变式训练1】如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的
平面感光板MN，点a 为MN 与水平直线ab 的交点，MN 与直线ab 的夹角为θ =53°，ab 间的距离为
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
d =10cm。在b 点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为r =5cm，不计电
子间的相互作用和重力，sin53° =0.8，则MN 上被电子打中的区域的长度为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
【答案】C
【详解】电子从b 点射出后，在磁场中沿顺时针方向做圆周运动，
如图所示的两个圆分别表示电子打在板上的两个临界情况，一个打在a 点，一个打在C 点，打在C 点的电
子轨迹恰好与板相切，过b 点做MN 的垂线bD，过O1做bD 垂线O1E，由几何知识可得
bD =absin53
o=8cm
又因
DE =O1C =5cm
所以
bE =bD−DE =3cm
可得
CD =O1 E =√O1b
2−b E
2= 4cm
所以MN 上被电子打中的区域的长度为
aC =aD +CD =ab⋅cos53
o+CD =10cm
故选C。
【变式训练2】（多选）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为d，两
板中央各有一个小孔O、O
′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙
所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在t =0时垂直于M板从小孔O射入磁场，已
知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为
T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计离子所受重力，下列说法正
确的是（ ）
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．磁感应强度B0大小等于πm
T 0q
B．当入射速度大小为2πd
T 0
时，粒子能从O
′飞出磁场
C．当入射速度大小为πd
4T 0
时，粒子能从O
′飞出磁场
D．若正离子能从O
′孔垂直于N板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为d
4 时所用时间最短
【答案】CD
【详解】A．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力
B0q v0=m v0
2
R
做匀速圆周运动的周期
T 0= 2πR
v0
联立两式得磁感应强度
B0= 2πm
T 0q
选项A 错误；
BCD．要使正离子从N 板O′孔射出磁场，v0的方向应如图所示
结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是一个周期时，运动的时间最短，所以
tmin=T0
此时离子做匀速圆周运动的半径为d
4 ；
两板之间正离子运动n 个周期，即nT0，则
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
Rn= d
4 n
联立上式可得，正离子的速度
v0= B0q Rn
m
=
πd
2nT 0
(n=1，2，3⋯)
当n=1 时
v01= πd
2T 0
当n=2 时
v02= πd
4T 0
选项B 错误，CD 正确。
故选CD。
【变式训练3】（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、
磁感应强度大小为2B 的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。
一带负电的粒子从原点O 以某一速度沿与y 轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹
圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。
(1)粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比
(2)粒子达成一次周期性运动的时间
(3)粒子从O 点入射，第二次经过x 轴的位置到坐标原点的距离
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设粒子的速度为，由
得粒子在第二象限的轨道半径为
粒子在第三象限的轨道半径为
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
则
（2）粒子从O 点射入第二象限到再次射入第二象限，完成一次周期性运动,如图所示，粒子在磁场中运动
时的圆心角为
由
得粒子在第二象限中运动的时间为
粒子在第三象限中运动的时间为
则粒子达成一次周期性运动的时间为
（3）粒子从O 点入射，第一次经过x 轴的位置到坐标原点的距离为
第二次经过x 轴的位置到第一次经过x 轴的位置的距离为
则粒子第二次经过x 轴的位置到坐标原点的距离为
考向6 临界状态不唯一导致的多解问题
例1 如图所示，两平行竖直线MN、PQ 间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），
磁感应强度为B，在MN 上O 点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q 的带负电粒子，当速度方向与
OM 夹角θ =60°时，粒子恰好垂直PQ 方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的
是（ ）
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．粒子的速率为qBa
2m
B．粒子在磁场中运动的时间为πm
12qB
C．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为πm
qB
D．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则PQ 边界上有粒子射出的区间长度为
2√3a
【答案】D
【详解】A．根据左手定则，由粒子带负电以及磁场方向可知粒子所受洛伦兹力的方向与速度的方向垂直
指向右下方。
当速度方向与OM 夹角θ=60°时，粒子恰好垂直PQ 方向射出磁场，所以粒子运动的半径r =
a
sin30° =2a
由粒子在磁场中运动洛伦兹力作向心力可得Bqv =m v
2
r ，解得v = 2Bqa
m
，故A 错误；
B．粒子在磁场中运动的周期T = 2πr
v
= 2πm
Bq
则粒子在磁场中运动的时间t = 30°
360° T = πm
6 Bq，故B 错误；
D．当θ=0°时，如图所示，可知粒子打在PQ 上的位置为O 点水平线上方√3a处；
当θ 增大时，粒子打在PQ 上的位置下移，直到粒子的运动轨迹与PQ 相切时。
如图所示，可知粒子打在PQ 上的位置为O 点水平线下方√3a处；
当θ 继续增大直到180°，粒子的运动轨迹与PQ 不相交，直接从MN 上射出，且在MN 上的出射点不断上
移直到O 点。
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以若只改变粒子速度方向，使θ 角能在0°至180°间不断变化，则PQ 边界上有粒子射出的区间长度为
2√3a，故D 正确；
C．若只改变粒子速度方向，使θ 角能在0°至180°间不断变化，则粒子运动半径不变，那么粒子运动周期
不变。
所以粒子在磁场中运动的轨迹所对应的弦长越长，则粒子在磁场中运动的时间越长。
由D 的分析可知，当粒子的出射点在PQ 上时，粒子的弦长可取[a，2a]的任意值；
当粒子的出射点在MN 上时，粒子的弦长可取[0，2√3a]的任意值；
所以粒子运动轨迹的弦长最大可取2√3a，此时对应的中心角φ=120°。
所以粒子在磁场中运动的最长时间t = 120°
360° T = 2πm
3 Bq ，故C 错误。
故选 D。
【变式训练1】（2025·辽宁沈阳·二模）如图所示，在空间直角坐标系
、
区域内存在沿z 轴负方
向的匀强电场，在
区域内存在沿x 轴负方向、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在
区域内还可以
施加沿x 轴方向的交变电场
和沿z 轴方向的交变电场
。一质量为m、电荷量为
（
）的粒子从
yOz 平面内的
点沿着与z 轴正方向成某一角度的方向射出，经电场偏转后恰好从原点O 沿y 轴
正方向以速度v 进入磁场和交变电场区域，当粒子经过原点O 时开始计时，交变电场
、
随时间变化
的规律分别如图乙、丙所示，图乙中电场的正方向沿x 轴正方向，图丙中电场的正方向沿z 轴正方向，图
乙、丙中
，不计粒子重力。
(1)求粒子从P 点射出时的速度；
(2)若仅在
区域内施加如图乙所示的沿x 轴方向的电场
，求
时刻粒子的速度大小；
(3)若在
区域内同时施加如图乙、丙所示的交变电场
、
，求粒子相邻两次经过原点O 的时间间隔
及粒子在运动过程中与xOz 平面间的最大距离。
【答案】(1)
，速度方向与z 轴正方向间的夹角
(2)
(3)
,
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】（1）粒子偏转的逆过程可视为类平抛运动沿y 轴负方向，有
沿z 轴负方向，有
联立可得粒子从P 点射出时速度的大小
速度方向与z 轴正方向间的夹角
解得
故粒子从P 点射出时的速度与z 轴正方向间的夹角为
，斜向右上方。
（2）粒子在yOz 平面内做匀速圆周运动，沿x 轴方向做往返运动。粒子在yOz 平面内做圆周运动，则有
解得
根据
可得粒子做圆周运动的周期
在
时刻，粒子沿x 轴方向的速度
此刻粒子的速度大小
（3）粒子在复合场内可视为沿yOz 平面和沿x 轴方向的合运动。粒子在yOz 平面内的运动，在
时间
内，在yOz 平面内做圆周运动的半径
粒子在
时间内，粒子做滚轮线运动，可视为沿y 轴的匀速运动和在yOz 平面内圆周运动的叠加，匀
速直线运动的速度满足
解得
其运动轨迹的示意图如图所示
粒子在运动过程中与xOz 平面间的最大距离
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由原点出发回到x 轴的时间
（
、2、3……）
粒子沿x 轴方向做往复运动，回到yOz 平面的时间
（
、2、3…）
粒子连续两次经过原点的时间间隔，应是粒子在yOz 平面内回到x 轴和沿x 轴方向回到yOz 平面所需时间
的最小公倍数
【变式训练2】（2025·吉林白城·模拟预测）现代仪器中常用电磁场控制带电粒子的轨迹，如图所示，空间
中xOy 直角坐标系，第Ⅰ、Ⅳ象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为
、
B，其中
，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场．
时刻，一比荷为
的带正电粒子，
从坐标为
的A 点处以初速度
沿x 轴正方向射出，恰好从O 点射入磁场，不计粒子重力，求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)要使粒子不再返回电场中，k 的取值范围；
(3)若
，则粒子从x 轴上方经过x 轴的时刻。
【答案】(1)
(2)
(3)
[或
]
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
由牛顿第二定律则有
联立解得
（2）粒子到达
点时，沿
轴负方向的速度
粒子在
点的速度
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
且与
轴正方向夹角
粒子在第Ⅳ象限内有
解得
粒子在第Ⅰ象限内有
粒子恰好不再返回电场时，由几何关系得
联立解得
故
的取值范围为
（3）粒子在电场中运动的时间
粒子在第Ⅳ象限内有
粒子在第Ⅰ象限内有
故粒子在磁场中从
轴上方经过
轴的时间
故粒子从
轴上方经过
轴的时刻
解得
[或
]
【变式训练3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）在如图1 所示的回旋加速器中，两个半径为R 的正对D 形
盒处于与盒上表面垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B0，两D 形盒之间存在极窄的狭缝，且分别接在交流
电源两端，电压U 随时间t 的变化关系如图2 所示，粒子经过狭缝时会被电场加速。左侧D 形盒圆心处的
粒子源A，可不断释放初速度为零的带电粒子，其质量为m、电荷量为q，粒子经多次加速后从D 形盒边
缘出口被引出。已知粒子在电场中的加速次数等于在磁场中回旋半周的次数，图2 中
，不计粒子
重力，加速过程中不考虑相对论效应和变化的电场对磁场分布的影响，以及粒子间的相互作用。
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)当粒子能从D 形盒的边缘处被引出时，求粒子在磁场中运动的时间t；
(2)若粒子被引出时形成的等效电流为I，引出后垂直打到一块收集板（图中未画出）上，且粒子全部被收
集板吸收，不考虑收集板上的电荷对飞行中粒子束的影响，求收集板对粒子束作用力F 的大小；
(3)在实际使用过程中，回旋加速器的磁感应强度B 与B0有一定差值。若某次使用时发现粒子在
时刻
第一次被加速，且只能连续加速n 次（已知粒子运动周期小于2T 且粒子未被引出），求磁感应强度B 的范
围。
【答案】(1)
(2)
(3)
（n=2，3，4⋯）
【详解】（1）粒子的轨迹半径达到最大时被引出，设此时的速度为v，有
设粒子加速n 次后达到最大速度，由动能定理得
由周期公式得
则粒子在磁场中运行的时间为
联立解得
（2）设在t 时间内离开加速器的带电粒子数为N，则输出时带电粒子束的等效电流为
打到收集板上后速度减为零，则由动量定理
联立解得
（3）设磁感应强度大小为B 时，粒子做圆周运动的周期为T1，又T1<2T，则在连续加速（n−1）次后即将
进行第n 次加速的时刻为
（n=2，3，4⋯）
①由
可知，当磁感应强度B 偏小时，T1大于T，要实现连续n 次加速，则加速时间不能超过
，
即
可得
解得
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
②由
可知，当磁感应强度B 偏大时，T1小于T，要实现连续n 次加速，则加速时间不能小于
，即
可得
解得
因此，磁感应强度B 的范围为
（n=2，3，4⋯）
1．（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的
直角坐标系中，x 轴上方存在垂直纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x 轴放置足够长的探测薄板MN，MN 到x
轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O 的粒子源，沿
平面向x 轴上方各个方向均匀发
射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为
。不计粒子的重力、空气
阻力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】C
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有
，可得
，故A 错误；
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B．当粒子沿x 轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y 轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知
；当粒子恰能通过N 点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y 轴最远，如图轨迹2，根据几
何关系可知，
，故上表面接收到粒子的区域长度为
，故B 错误；
C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N 点；当粒子沿y 轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒
子离y 轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y 轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故
C 正确；
D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N 点时转过的圆心角最小，用时最短，有
，
故D 错误。
故选C。
2．（多选）（2025·甘肃·高考真题）2025 年5 月1 日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导
托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示
意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为
。
在内圆上A 点有a、b、c 三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c 带正
电且比荷均为
，a 粒子的速度大小为
，方向沿同心圆的径向；b 和c 粒子速度方向相反且与a
粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．外圆半径等于
B．a 粒子返回A 点所用的最短时间为
C．b、c 粒子返回A 点所用的最短时间之比为
D．c 粒子的速度大小为
【答案】BD
【详解】由题意，作出
粒子运动轨迹图，如图所示
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
a 粒子恰好到达磁场外边界后返回，a 粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然
后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A 点，
根据a 粒子的速度大小为
可得
设外圆半径等于
,由几何关系得
则
A 错误；
B．由A 项分析，a 粒子返回A 点所用的最短时间为第一次回到A 点的时间
a 粒子做匀速圆周运动的周期
在磁场中运动的时间
匀速直线运动的时间
故a 粒子返回A 点所用的最短时间为
B 正确；
C．由题意，作出
粒子运动轨迹图，如图所示
因为b、c 粒子返回A 点都是运动一个圆周，根据b、c 带正电且比荷均为
，所以两粒子做圆周运动周期
相同，故所用的最短时间之比为1:1，C 错误；
D．由几何关系得
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
洛伦兹力提供向心力有
联立解得
D 正确。
故选BD。
3．（多选）（2025·四川·高考真题）如图所示，I 区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ
区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I 区边界重合；正方形与圆形中心同为O 点。
I 区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4 1∶。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a 点沿正方形某一条边的中垂线
方向进入磁场，一段时间后从a 点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（ ）
A．在I 区的轨迹圆心不在O 点
B．在I 区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1 2∶
C．在I 区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127 37
∶
D．在I 区和Ⅱ区的运动时间之比为127 148
∶
【答案】AD
【详解】A．由图可知
在I 区的轨迹圆心不在O 点，故A 正确；
B．由洛伦兹力提供向心力
可得
故在I 区和Ⅱ区的轨迹半径之上比为
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故B 错误；
D．设粒子在磁场Ⅱ区偏转的圆心角为α，由几何关系
可得
故粒子在I 区运动的时间为
粒子在Ⅱ区运动的时间为
联立可得在I 区和Ⅱ区的运动时间之上比为
故D 正确；
C．粒子在I 区和Ⅱ区的轨迹长度分别为
故在I 区和Ⅱ区的轨迹长度之比为
故C 错误。
故选AD。
4．（多选）（2025·河北·高考真题）如图，真空中两个足够大的平行金属板
水平固定，间距为
板接地。M 板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M 板O 点处正上方P 点有一粒子源，可
沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与
的夹角
时，粒子
恰好垂直穿过M 板Q 点处的小孔。已知
，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，
电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，
忽略边缘效应。下列说法正确的是（ ）
A．粒子一定带正电
B．若间距d 增大，则板间所形成的最大电场强度减小
C．粒子打到M 板上表面的位置与O 点的最大距离为
D．粒子打到M 板下表面的位置与Q 点的最小距离为
【答案】BCD
【详解】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A 错误；
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B．随着粒子不断打到N 极板上，N 极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒
子恰能到达N 极板时满足
，
解得
即d 越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B 正确；
C．因粒子发射方向与OP 夹角为60°时恰能垂直穿过M 板Q 点的小孔，则由几何关系
解得r=2L
可得
可得粒子从磁场上方，直接打在打到M 板上表面的位置与O 点的最大距离为
当N 极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q 点射入极板，会返回再从在Q 点射出，后继续做圆周运动，这
时打M 板在板上表面的位置
则粒子打在M 板上表面的位置的最大距离为
，选项C 正确；
D．因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ 长度时，粒子仍可从Q 点进入两板之间，
由几何关系可知此时粒子从P 点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M 板夹角为α=30°，则在两板
间运动时间
其中
打到M 板下表面距离Q 点的最小距离
解得
选项D 正确。
故选BCD。
5．（多选）（2025·河南·高考真题）手机拍照时手的抖动产生的微小加速度会影响拍照质量，光学防抖技
术可以消除这种影响。如图，镜头仅通过左、下两侧的弹簧与手机框架相连，两个相同线圈c、d 分别固定
在镜头右、上两侧，c、d 中的一部分处在相同的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。拍照时，手机可实
时检测手机框架的微小加速度a 的大小和方向，依此自动调节c、d 中通入的电流
和
的大小和方向（无
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
抖动时
和
均为零），使镜头处于零加速度状态。下列说法正确的是（ ）
A．若
沿顺时针方向，
，则表明a 的方向向右
B．若
沿顺时针方向，
，则表明a 的方向向下
C．若a 的方向沿左偏上
，则
沿顺时针方向，
沿逆时针方向且
D．若a 的方向沿右偏上
，则
沿顺时针方向，
沿顺时针方向且
【答案】BC
【详解】A．
顺时针而
，则线圈受到向右的安培力，故手机的加速度是向左，使镜头处于零加速
度状态，A 错误；
B．
顺时针而
，则
线圈受到向上的安培力，镜头处于零加速度状态，则手机加速度方向向下，B
正确；
C．若
的方向左偏上
，说明手机框架给镜头向上以及向左的作用力，要使得镜头处于零加速度状态，
线圈需要受到向右的安培力
、线圈
需要受到向下的安培力
，且
，故可知
顺时针
逆时针，
由
可知
，C 正确；
D．若
的方向右偏上
，说明手机框架给镜头向上以及向右的作用力，且向右的分力大于向上的分力要
使得镜头处于零加速度状态，线圈需要受到向左的安培力
、线圈
需要受到向下的安培力
，且
，可知
逆时针
逆时针，且
，D 错误。
故选BC。
6．（2024·辽宁·高考真题）现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ
区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，
各区边界均垂直于x 轴，O 为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m 的粒子。如
图，甲、乙平行于x 轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为
和
。甲到P 点时，乙刚好射入Ⅰ
区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O 点时，乙恰好到P 点。已知Ⅲ区存在沿＋x 方向的匀强电场，
电场强度大小
。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
（1）求磁感应强度的大小B；
（2）求Ⅲ区宽度d；
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（3）Ⅳ区x 轴上的电场方向沿x 轴，电场强度E 随时间t、位置坐标x 的变化关系为
，其中常系
数
，
已知、k 未知，取甲经过O 点时
。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的
电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F 与Δx 间的关系式（不要求写出Δx 的取值范围）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对乙粒子，如图所示
由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
联立解得，磁感应强度的大小为
（2）由题意可知，根据对称性，乙在磁场中运动的时间为
对甲粒子，由对称性可知，甲粒子沿着直线从P 点到O 点，由运动学公式
由牛顿第二定律
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
联立可得Ⅲ区宽度为
（3）甲粒子经过O 点时的速度为
因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，则
可得
设乙粒子经过Ⅲ区的时间为
，乙粒子在Ⅳ区运动时间为
，则上式中
对乙可得
整理可得
对甲可得
则
化简可得乙追上甲前F 与Δx 间的关系式为
7．（2025·云南·高考真题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，
区域存在
垂直
平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为
（未知）。第一象限内存在边长为
的正方形磁
屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直
平面向里，其磁感应强度大小为
（未
知），但满足
。某质量为m、电荷量为
的带电粒子通过速度选择器后，在
平面内垂
直y 轴射入
区域，经磁场偏转后刚好从ON 中点垂直ON 射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压
U、间距d、内部磁感应强度大小
已知，不考虑该粒子的重力。
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)求该粒子通过速度选择器的速率；
(2)求
以及y 轴上可能检测到该粒子的范围；
(3)定义磁屏蔽效率
，若在Q 处检测到该粒子，则
是多少？
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【详解】（1）由于该粒子在速度选择器中受力平衡，故
其中
则该粒子通过速度选择器的速率为
（2）粒子在
区域内做匀速圆周运动，从ON 的中点垂直ON 射入磁屏蔽区域，由几何关系可知
由洛伦兹力提供给向心力
联立可得
由于
，根据洛伦兹力提供给向心力
解得
当
时粒子磁屏蔽区向上做匀速直线运动，离开磁屏蔽区后根据左手定则，粒子向左偏转，如图所示
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
根据洛伦兹力提供向心力
可得
故粒子打在y 轴3L 处，综上所述y 轴上可能检测到该粒子的范围为
。
（3）若在Q 处检测到该粒子，如图
由几何关系可知
解得
由洛伦兹力提供向心力
联立解得
其中
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
根据磁屏蔽效率
可得若在Q 处检测到该粒子，则
8．（2025·贵州·高考真题）如图所示，
轴水平向右，
轴竖直向上，
轴垂直纸面向里（图中未画出），
在
平面里有竖直向上的匀强电场
，在
的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场
，
的平
面上方有垂直纸面向里的匀强磁场
（未知）。有一带正电的粒子，质量为
，从坐标原点
出发，沿
轴正方向以速度射出后做圆周运动，其中
，
，
点坐标
。已知重力加速度为
，粒子电荷量为
。求：
(1)电场强度
的大小及该粒子第一次经过
平面时的位置对应的
坐标值；
(2)当该带电粒子沿
轴正方向飞出到达
点时间最小时，求
的大小；
(3)若将电场
改成沿y 轴正方向，粒子同样从坐标原点
沿x 轴以速度射出，求粒子的轨迹方程。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电
场力与重力平衡，则
解得
粒子做匀速圆周运动，圆周运动轨迹如图所示
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
洛伦兹力提供向心力得
解得粒子运动的轨道半径
根据圆周运动轨迹，由几何关系得
代入数据解得
。
（2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示
设粒子进入
磁场中速度方向与磁场分界面成
角，由几何关系可得
可解得
设粒子在
磁场中运动的轨道半径为
，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到
点应满足
当
取最小值时，运动时间最短。所以当
时，运动时间最短，代入
的值解得
根据
联立可得
当该带电粒子沿
轴正方向飞出到达
点时间最小时，
的大小为
。
（3）若将电场方向改为
轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿
轴正方向的洛伦兹力、沿
轴负方向
的重力、沿
轴正方向的电场力，根据
解得粒子受到的洛伦兹力大小为
正好与重力相平衡，所以粒子在
轴正方向做匀加速直线运动，有
由牛顿第二定律有
53
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
粒子在
轴正方向做匀加速直线运动，有
联立解得轨迹方程
54
