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第58 讲 带电粒子在立体空间中的运动
1．（2021·湖南·高考真题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、
带电粒子流（每个粒子的质量为
、电荷量为
）以初速度
垂直进入磁场，不计重力及带
电粒子之间的相互作用。对处在
平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入圆心为
、半径为
的圆
形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点
，求该磁场磁感应强度
的大
小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于
的正方形，其几何中心位于
。在虚线框内
设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到
点的带电粒子流经过该区域后宽度变为
，
并沿
轴正方向射出。求该磁场磁感应强度
的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需
写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于
的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于
的
正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为
的带电粒
子流沿
轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点
，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为
，并沿
轴
正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ
和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。
2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极
管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构
简化如图（a）所示，圆筒足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为
真题演练
1
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的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截
面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电
子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
(1)电子的比荷
;
(2)当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
3．（2021·广东·高考真题）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、
b、c 围成的区域，圆a 内为无场区，圆a 与圆b 之间存在辐射状电场，圆b 与圆c 之间有三个
圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向
均垂直纸面向外。电子以初动能
从圆b 上P 点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电
子每次进入电场即被全程加速，已知圆a 与圆b 之间电势差为U，圆b 半径为R，圆c 半径为
，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取
。
（1）当
时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹
角
均为45°，最终从Q 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大
小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q 点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当
时，要保
证电子从出射区域出射，求k 的最大值。
2
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4．（2021·浙江·高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示
是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，
选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁
分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择
器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析
器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M 和N 处各有一个小孔；
偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L 的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在
水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O
点（即图中坐标原点，x 轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶
圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α 很小时，有
，
。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v 和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
3
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5．（2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为
，内阻为
，滑动变阻器R 的最大
阻值为
，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为
，平行板电容器的右
侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为
m 的带正电粒子以初速度
水平向右从电容器左侧中点a 进入电容器，恰好从电容器下极板
右侧边缘b 点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c 点进入电容器，忽略粒子重力和
空气阻力。
(1)求粒子所带电荷量q；
(2)求磁感应强度B 的大小；
(3)若粒子离开b 点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小
为
，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离
。
6．（2025·湖北·二模）匀强磁场B 水平向左，一带正电的粒子以速度
进入磁场，初速度方
向与磁场反方向夹角为
，已知粒子质量为m，电荷量为q，忽略粒子重力，粒子运动轨迹如
模拟冲关
4
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下图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．螺旋的半径为
B．相邻两螺旋间距为
C．带电粒子在运动时加速度大小不变
D．若带电粒子速度大小不变，方向可以变化，则当夹角
满足某一条件时，粒子在一个
周期运动轨迹所包围的体积有最大值
7．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第三象限内，区域I（x<-L）
内有方向垂直xOy 平面向外的匀强磁场；区域II（-L<x<0）内有一平行纸面且大小、方向均
未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从点a
（-2L，-2L）沿y 轴正方向、以大小为v0的初速度开始运动，从点b（-L，-L）沿x 轴正方向
进入区域II，粒子在电场中运动时间
后，从坐标原点进入第一象限，第一象限内存在垂
直xOy 平面向里的磁场，该磁场内各点的磁感应强度大小B2与横坐标x 满足B2=kx（k 为大于
0 的常量）。不计粒子重力，求：
5
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(1)区域I 内匀强磁场磁感应强度B1的大小；
(2)区域II 内匀强电场场强E 的大小；
(3)该粒子在第一象限内运动过程中与y 轴的最大距离。
8．（2025·辽宁·三模）质谱仪是用来分离和检测同位素的科学仪器。某种质谱仪的原理如下
图，加速电场的电压为
；速度选择器中磁感应强度为
，两板电压为
，两板间距离为
；磁分析器在
坐标系的第一、四象限中，其匀强磁场的磁感应强度为
，各磁场方
向如图中所示。一电荷量为
的粒子从容器
右侧小孔进入加速电场，恰能沿直线运动通过
速度选择器，从小孔
出来后，进入磁分析器中偏转，轨迹如图中虚线所示，到达
轴上
点时纵坐标为，不计粒子重力，整个装置处于真空中，求∶
(1)粒子经过小孔
的速度
；
(2)粒子的质量
和刚进入加速电场时的初速度
；
(3)粒子沿直线通过速度选择器后，若由于磁分析器漏气，粒子在磁分析器中受到与速率大小
成正比的阻力，轨迹如实线所示，其运动到
点时速度方向刚好沿
轴正向，则粒子
所受阻力与速率的比值
是多少？
9．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在直角坐标系
中，以
（
，0）为圆心、
为半径的半圆区域内存在垂直
平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
，
为与
轴重合的直径；在
区域存在垂直
平面向外的匀强磁场，磁感应强
度大小为
（未知）；在
区域存在沿
轴负方向的匀强电场
（未知）；
在
区域存在垂直
平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
为
（未知）。已知
，
，一质量为
、带电量为
的正
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粒子从圆周上
点（
）沿
轴正方向以速度
进入磁场
，之后经磁场
从
轴
上的
点沿
轴正方向进入匀强电场
，经
点进入磁场
，又经过
点射出磁场。不计
粒子重力，求：
(1)匀强磁场
的磁感应强度大小及
点坐标；
(2)电场强度
与磁感应强度
的比值；
(3)粒子从
点射入磁场到从
点射出磁场，整个运动过程中需用的时间。
10．（2025·重庆·三模）如题图所示，在
平面第一象限内，直线
与直线
之间
存在磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里的匀强磁场
轴下方有一直线CD 与
轴平行
且与x 轴相距为
轴与直线CD 之间（包含x 轴）存在沿y 轴正方向的匀强电场；在第三
象限，直线CD 与直线
之间存在磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。
纸面内有一束宽度为
的平行电子束，如图，沿y 轴负方向射入第一象限的匀强磁场，各电
子的速度随入射位置不同大小各不相等，电子束的左边界与y 轴的距离也为
，经第一象限
磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入
轴下方的电场，最后所有电子都垂直于
边界离开磁场。已知：电子质量为
，电量大小为e，电场强度大小为
。求：
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(1)电子进入
轴上方磁场前的最大速度v1的大小；
(2)直线
的方程；
(3)现将第一象限的磁场反向（即垂直纸面向外），大小不变。并将第三象限的磁场去掉，同
时在第四象限直线CD 的下方，以CD 为上边界，右边和下边广阔，左边受限，加上一大小为
，(
未知）垂直纸面向里的匀强磁场，确保所有电子都汇集到同一点（-8a，-5a），求
第四象限所加磁场的大小
及磁场左边界满足的关系。
11．（2025·山东济南·二模）如图所示的
坐标平面内，
的区域内存在着垂直于平面
向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
，
的区域内存在着垂直于平面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为
。质量为
、电荷量为
的两个带正电粒子
和
，均以相同大小的
速率
从
点分别沿
轴正向和
轴负向同时开始运动，运动过程中两粒子的碰撞为弹性碰
撞，碰撞时间忽略不计。设整个磁场区域都处于真空中，不考虑粒子的重力及两粒子之间除
碰撞外的相互作用，求
(1)粒子分别在
和
的区域内运动时的半径之比和周期之比；
(2)两粒子运动轨迹交点的坐标；
(3)以两粒子在
点开始运动时为
时刻，求两粒子在运动过程中某时刻平行
轴方向上相
距最远时的距离及对应的时刻。
12．（2025·浙江·二模）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计
装置如图所示，频率为
的激光照射在竖直放置的锌板K 的中心位置O 点，
其右侧距离为
处有另一足够大极板A，A 上正对O 点有一竖直狭缝，并在两极板间
加电压U=1.8V，两极板间电场可视为匀强电场。在A 板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、
大小为
的匀强磁场。锌板的逸出功
，普朗克常量
，电子质量为
，元电荷
，π=3，
，
。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求：
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(1)光电子到达极板A 的最大速度
；
(2)极板A 上有光电子打中的区域面积；
(3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D 应满足的条件，并计算电子在磁场中运
动最短时间（计算结果保留1 位有效数字）；
(4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足
，
x 为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度
应满足
的条件。
13．（2025·江西·模拟预测）如图所示，
为一离子源，
为荧光屏。由
到
做垂线，
垂足为
，
，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里，磁感
应强度大小为
。某时刻离子源
一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，
各离子的质量都为
，电荷量都为
，速率
均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用
力。
(1)若所有离子都打不到荧光屏上，求射出离子速率的取值范围。
(2)若荧光屏足够大，当离子的速率
时，求同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最
大时间差。
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(3)若荧光屏足够大，当离子的速率
时，求荧光屏上被离子打中的区域长度。
14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，质量为
、电荷量为
的粒子从静止开始经加
速电压
加速后，从三维直角坐标系的原点
处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小
为
、方向沿
轴正方向。已知加速电压
调节范围为
，其中
轴上距离
点1.5
处有一长为
的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子
重力，下列说法正确的是（ ）
A．当粒子沿
轴正方向射入磁场时，调节
，板上有粒子击中的长度为
B．当
，粒子从
点射入
平面
的区域，速度方向在
均匀
变化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50%
C．当
时刻，粒子从
点射入
平面
的区域，且速度方向
与
轴正方向夹角为
，粒子与
轴距离最大时的时间为
D．当
，粒子从
点射入
平面
的区域，且速度方向与
轴正方
向夹角为
，则经过
时粒子的坐标为
15．（2025·广东·模拟预测）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验
和技术设备中有着广泛的应用。如图，在
平面的第一象限内有沿
轴负方向的匀强电场
；第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场
点位于
轴负半轴上，在
处放有可
以接收粒子的接收板，其长度为，厚度不计。在第三和第四象限区域内存在两个匀强磁场，
以坐标原点
为圆心，半径为的半圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场
；剩余区域
的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
。某一带正电粒子（已知荷质比为
）从
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轴上的
点以速度大小
射入电场，与
轴负方向的夹角为
，该粒子经电场偏转后，以垂
直于
轴的方向从
轴上的
点进入第二象限。已知
长度为
，不计粒子重力，计算结果可保留根号。（仅
为
已知值）
(1)求该粒子在第一象限中运动的时间和电场强度
的大小；
(2)要使该粒子从第二象限射出时被接收板接收，求磁场
的取值范围；
(3)若
，粒子进入第三和第四象限后，仅进出一次磁场
，且经过磁场边界时速度
方向与边界线垂直，最终回到
点，求磁场
和
的大小之比。
16．（2025·青海海东·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy 第二象限内存在一理想
边界，边界下侧和x 轴上侧存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，边界上侧
与y 轴左侧存在沿x 轴负方向、电场强度大小为E 的匀强电场，在第三、四象限内存在垂直
纸面向里、磁感应强度大小为2B 的匀强磁场，y 轴上半轴均匀分布着电荷量为q、质量为m
的带正电粒子，带电粒子由静止被电场加速后进入磁场区域，均能垂直穿过x 轴，图中P 点
坐标为（－L，0），不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，求：
(1)边界曲线的方程；
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(2)同一粒子在x 轴上、下方运动的轨迹半径之比k；
(3)粒子经过P 点时的最大速度vm。
17．（2025·河北张家口·三模）如图所示，在
竖直平面坐标系内的第一、三、四象限存
在相同的垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限存在沿
轴负方向的匀强电场。一质量为
、
电荷量为
的小球从
轴上的
点以速度大小为
、方向与
轴正方向成
角
射入匀强电场，小球到达坐标原点
时恰好竖直向下运动。已知重力加速度大小为
，磁感
应强度大小
。求：
(1)第二象限的电场强度的大小
和
、
两点间的距离
；
(2)小球第一次到达最低点时速度的大小
；
(3)小球过坐标原点后第一次通过
轴的位置坐标。
18．（2025·河南·二模）用磁场实现对微观粒子的控制有着广泛的应用，如核磁共振、微流
控芯片等。如图所示为一种用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，x 轴上方和下方均
存在方向垂直
直角坐标平面向外的匀强磁场，下方的磁感应强度大小是上方的2 倍。某
时刻在坐标原点O 将相同的带正电粒子
同时分别以速度
和
沿y 轴正方向射出。
两粒子的质量均为m，电荷量均为q，不计粒子重力及相互作用。
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(1)要使两粒子运动轨迹的第1 个交点在
位置，求x 轴上方磁感应强度的大小
；
(2)若x 轴上方磁感应强度大小为B，且整个磁场分布在一个矩形区域内，要使两粒子的运动
轨迹在x 轴上有
个交点，求磁场面积的最小值
；
(3)若x 轴上方磁感应强度大小为
，下方磁感应强度大小为
，将Q 粒子的速度大小变
为
，方向变为沿y 轴负方向，要使两粒子相遇时横坐标最小，求两粒子从O 点射出的时间
差
。
19．（2025·重庆·三模）如图所示，空间直角坐标系Oxyz（z 轴未画出，正方向垂直于纸面向
外）中，xOy 平面内半径为R 的圆形区域与y 轴相切于O 点，圆心在
处，区域内的匀强磁
场沿z 轴正方向，磁感应强度为
，
区域内，匀强电场和匀强磁场的方向均沿x 轴正方
向，电场强度为E，磁感应强度为
。xOy 平面的第三象限内有一平行于x 轴、中点在
处
的线状粒子发射器，
与
的连线平行于y 轴。粒子发射器可在宽度为
的范围内沿y
轴正方向发射质量为m，电荷量为
，速度大小可调的同种粒子，已知
，
。则下列说法正确的是（ ）
A．若发射速度大小
，从
点发出的粒子，飞出圆形磁场时速度偏转了30°
B．若发射速度大小
，在磁场
中运动时间最长的粒子进入圆形磁场时的位置到
的距离为
C．若发射速度大小
，则从发射器最左端发射的粒子进入
区域后，运动轨迹上
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与x 轴距离最远点的z 坐标为
D．若发射速度大小
，则从发射器最左端发射的粒子进入
区域后，运动轨迹上
与x 轴距离最远点的z 坐标为
20．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘
薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时
间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量
为-q 的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径
为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变．
（1）求粒子运动速度的大小v；
（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M 的最大距离dm；
（3）从P 点射入的粒子最终从Q 点射出磁场，PM=d，QN=
，求粒子从P 到Q 的运动时间
t．
21．（2025·福建福州·三模）在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系xOy，第
一象限内存在沿x 轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，电场强
度大小均相等；y＞0 的区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，y＜0 的区域内存在垂直纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度大小均相等。一质量为m、带电量为q 的微粒恰好沿虚线AO 做匀
速直线运动，速度大小为
方向与x 轴负方向夹角为
重力加速度为g。求：
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(1)电场强度的大小和磁感应强度的大小；
(2)微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标；
(3)微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。
22．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在空间坐标系中
坐标平面左侧有水平向右（沿
轴正向）的匀强电场，在
平面右侧有水平向右的匀强磁场，在
点由静止释放一质量为
、电荷量为
的小球，一段时间后恰经过坐标原点
进入到
平面右侧。已知
，重力加速度
，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过
点时的速度大小为4m/s
B．小球所受电场力大小等于重力大小
C．小球运动过程的最大速度为
D．小球在磁场中向下运动的最大距离为1.2m
23．（2025·湖北·模拟预测）如图甲所示，空间中存在匀强电场与匀强磁场，宽度均为d，匀
强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量
为q 的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O 点由静止释放，运动到磁场下边界的P
点时恰与下边界相切。
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(1)求匀强电场的电场强度大小。
(2)求粒子在电场中运动时间
与在磁场中运动时间
的比值。
(3)若把该电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M 点由静止释放，经
过一段时间粒子第一次到达最低点，求粒子到达N 点的速度大小和M、N 两点间的竖直距离。
24．（2025·山东济宁·模拟预测）现代电子设备常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图，
第三象限存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，以初速度
从
第三象限中的P 点水平射入电场，P 点坐标为
，从坐标原点O 进入第一象限区域。
第一象限中
为Ⅰ区域，
为Ⅱ区域，两区域分布磁感应强度分别为
、
，方向均垂直纸面向里的匀强磁场。粒子重力忽略不计，
，
。
求
(1)该粒子进入第一象限时的速度v；
(2)若从O 点进入磁场的粒子恰好不能进入Ⅱ区，求Ⅰ区磁场
的大小；
(3)若
，粒子能到达Ⅱ区
处，求
的最大值；
(4)若撤去Ⅰ、Ⅱ区域的磁场，第一象限充满方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随x 方向均
匀增大，关系为
（
已知，k 为常数）的非匀强磁场。求粒子从O 点运动到离y 轴
最远位置的过程中，运动轨迹与y 轴围成的面积S。
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25．（2025·陕西·三模）如图所示，直角坐标系
所在的空间内，在
的范围内分布
着沿
轴负方向的匀强电场，在
的范围内分布着沿
轴负方向的匀强磁场。质量为
、
电荷量为
的带正电的甲粒子在
轴上坐标为（0，0，
）的
点以沿
轴正方向的初速度
开始运动，并从
轴上的
点以速度
进入磁场，速度
的方向与
轴正方向的夹角
，
甲粒子从磁场第一次回到电场并运动到与
轴相距为
的位置时与
轴的距离为
，不计
粒子的重力及粒子间的相互作用。
(1)求匀强电场的电场强度大小；
(2)求匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)在甲粒子开始运动时，另一与甲粒子相同的乙粒子在
的空间中的
点（未画出）沿
轴正方向以速度
开始运动，甲、乙两粒子均在第二次进入磁场后相遇，相遇点处于
的空间且在各自轨迹的最低点。求两粒子相遇前乙粒子运动的时间。
26．（2025·广东珠海·模拟预测）如图所示，在直角坐标系xOy 中，
区域有垂直纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度
区域内有沿y 轴正方向的匀强电场，电场强
度为E。质量为m、电荷量为+q 的粒子从
出发，初速度方向沿x 轴正方向，经过一
段时间后从b（2L，0）处第一次进入磁场。粒子运动过程中，只考虑其受到电场和磁场的作
用力。求：
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(1)带电粒子初速度v₀ 的大小；
(2)带电粒子第一次从磁场返回电场的位置；
(3)带电粒子从出发到第二次经过b 点所用时间。
27．（2025·广东·模拟预测）如图所示，在
坐标系
区域内存在平行于
轴、电场强
度大小为
（未知）的匀强电场，分界线
将
区域分为区域I 和区域II，区域I 存在
垂直纸面向外、磁感应强度大小为
（未知）的匀强磁场，区域II 存在垂直直面向里、磁感
应强度大小为
的匀强磁场及沿
轴负方向、电场强度大小为
的匀强电场。
一质量为
、电荷量为
的带正电粒子从
点以初速度
垂直电场方向进入第二
象限，经
点进入区域I，此时速度与
轴正方向的夹角为
，经区域I 后由分界线
上
的A 点（图中未画出）垂直分界线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求：
(1)电场强度
的大小；
(2)带电粒子从
点运动到A 点的时间；
(3)粒子在区域II 中运动时，A 点到第1 次最低点的水平位移。
28．（2025·浙江温州·三模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立xOy 直角坐标系，足够长
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的收集板置于y 轴上。在y>0 区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T 的匀强磁场。绝
缘挡板MN 表面光滑，长度L=2m。一质量m=0.1kg，电荷量q=0.1C 的带正电小球紧贴挡板放
置，初始位置与M 端的距离为d。现用挡板推动小球沿y 轴正方向运动，运动中挡板始终平
行于x 轴，小球紧贴挡板。进入磁场后，挡板保持速度v0=2m/s 沿y 轴正方向做匀速直线运动，
经过一段时间带电小球离开挡板M 端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收
集板立即被收集。
(1)当d=1.25m 时，求带电小球离开挡板M 端时的速度大小v；
(2)调节挡板M 端与y 轴距离为x0时，无论d 多大，都可以让小球垂直打在收集板上。
①求x0；
②求小球垂直打在收集板上的位置坐标y 与d 之间的函数关系。
③撤去收集板，在x≤x0区域施加电场强度E=2V/m，方向沿y 轴正方向的匀强电场。当d=1m
时，求小球在磁场区域运动过程中距x 轴的最远距离ym。
29．（2025·广东深圳·二模）如图所示，在三维坐标系Oxyz 中，
的空间同时存在沿z 轴
负方向的匀强电场和沿x 轴负方向的匀强磁场I，磁感应强度大小为
，在
的空间存
在沿y 轴正方向的匀强磁场II，磁感应强度大小为
。带正电的粒子从M（a，0，
）点
以速度
沿y 轴正方向射出，恰好做直线运动。现撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂
直xOy 平面进入
空间。不计粒子重力，正确的说法是（ ）
A．电场强度大小为
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B．带电粒子的比荷为
C．第二次经过xOy 平面的位置坐标为（a，0，
）
D．粒子第三次经过xOy 平面的位置与O 点距离为
30．（2025·广西南宁·三模）如图所示，在空间直角坐标系中，无限大平面MNPQ（与y 轴垂
直且交于C 点）左侧区域Ⅰ存在沿x 轴正方向的匀强磁场，
，右侧区域Ⅱ存在沿z
轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；现从坐标为
的A 点
沿yOz 平面发射一质量为m，电荷量为
的粒子，粒子的初速度大小为
、方向与y 轴负方
向的夹角为60°，经一段时间后粒子恰好垂直于平面MNPQ 进入区域Ⅱ，不计粒子的重力，
求：
(1)磁感应强度B 的大小；
(2)粒子从A 点出发至第2 次到达平面MNPQ 的时间；
(3)若在区域Ⅱ加一电场强度为E、方向沿z 轴负方向的匀强电场，求粒子从A 点出发后第n
次经过平面MNPQ 时的速度大小。
31．（2025·安徽滁州·二模）如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1所在空间存在与BD 方向平行
的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，一质量为m、带电量为+q 的带电粒子以一定的速度从A
点沿AA1方向射入长方体区域，并恰好从C1点离开该区域。已知AB=AD=l，AA1=
，不
计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
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A．磁场方向由D 指向B
B．粒子的速度大小为
C．若仅增大粒子的入射速度，则粒子在长方体区域内运动的时间将减小
D．若在该区域增加一匀强电场使粒子沿AA1做直线运动，则该电场的电场强度大小为
32．（2024·北京·一模）2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗
略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁
场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为
，磁感应强
度大小为
。若电荷量为
的正离子在此电场和磁场中运动，某时刻其速度平行于磁场方向
的分量大小为
，垂直于磁场方向的分量大小为
，不计离子重力，则（ ）
A．电场力的瞬时功率不变
B．该离子的加速度大小保持不变
C．该离子受到的洛伦兹力大小为
D．
与
的比值保持不变
33．（2025·吉林松原·模拟预测）如图所示为一中空长方体形管，
、
、
，
为管的中轴线，管内分布着沿中轴线
方向的匀强电场，电场强度大小
为
。带电粒子与管内壁发生碰撞时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后沿管壁
切向分速度不变，垂直管壁方向分速度大小不变、方向相反。一质量为
、电荷量为
的带
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正电粒子以垂直于中轴线
方向的速度
从
点沿
轴方向射出，不计粒子的重力。
(1)求带电粒子从
点出发与管壁发生碰撞后第一次经过中轴线
（带电粒子仍在长方体形
管内）时的速度
大小；
(2)调整带电粒子的射出方向（仍垂直于
）和管内匀强电场的大小，大小未知，发现在管
中碰撞次数最少的粒子恰好能从
点离开长方体形管，且速度方向与
轴成
角，求匀
强电场的大小和带电粒子在管中与管壁碰撞的次数；
(3)在（2）的条件中若将该长方体形管替换为它的外接圆柱体管（图中未画），其他条件不
变，若粒子第一次经过中轴线
时撤去电场，并立即换成与电场方向相同的匀强磁场，磁
感应强度大小为
，求带电粒子第4 次经过中轴线时（带电粒子仍在圆柱形管内）的
位置与
点之间的距离。
34．（2025·安徽蚌埠·三模）如图所示的三维坐标系中，在y＜0、z＞0 的区域Ⅰ内有沿y 轴
正方向的匀强电场，在y＞0、z＞0 的区域Ⅱ内有沿x 轴正方向的匀强磁场，在y＞0、z＜0 的
区域Ⅲ内有沿y 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，区域Ⅱ、Ⅲ内磁场的磁感应强度大小相等。
一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带正电粒子自坐标为（0，－d，0）的
点沿z 轴正方向
以大小为
的初速度射入区域Ⅰ，恰好从坐标为（0，0，2d）的
点进入区域Ⅱ，并从y 轴
上某点垂直y 轴进入区域Ⅲ，经区域Ⅲ偏转后以大小为
的速度再次进入区域Ⅱ。不计粒子
的重力。求：
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(1)区域Ⅰ内匀强电场的电场强度大小；
(2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)区域Ⅲ内匀强电场的电场强度大小。
35．（2025·四川雅安·二模）如图所示，水平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强
度大小为
；水平面下方有竖直放置的半径为R 的圆筒，圆筒上下表面圆心
、
处各开
有一个小孔，其内部有竖直向上的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度B
未知。处于水平面内的粒子源O 沿与水平方向成30°角发出的带电粒子，从
处进入圆筒，
恰好与筒壁不碰撞，最后从
处射出。已知粒子质量为m，电荷量为q（q<0），粒子源O
到圆心
的水平距离为L。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求
(1)粒子从粒子源射出时的速度大小
；
(2)粒子在圆筒内旋转的周期T；
(3)圆筒高度H 满足的条件。
36．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，空间直角坐标系
中有一与
面平行的界面
将空间分为、
两个区域，界面
与
轴交点的坐标为（0，L，0）且界面
上有一
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足够大的接收屏。在
点存在一粒子发射源，仅在
面内向各个方向均匀发射速度大小为
、电荷量为
、质量为
的带正电粒子。区域存在沿
轴正方向、磁感应强度大小为
的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求粒子在区域做匀速圆周运动的半径
和周期
；
(2)若在区域再加一个沿
轴正方向电场强度大小为
的匀强电场（未画出），求粒子
打到接收屏上
坐标最大值点和
坐标最小值点的空间坐标；
(3)若
点发射源只向
轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面
上
点（未画
出）进入区域II，区域II 存在沿
轴负方向、磁感应强度大小也为
的匀强磁场，且粒子
在区域
运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为
（
为常
量）。粒子进入区域II 后速度方向第一次沿
轴正方向时达到
点（未画出），
点的
坐
标为
，求
点的
坐标、
坐标和粒子在
点的速度大小
。
37．（2025·广东湛江·模拟预测）如图所示，半径为r 的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强
磁场，其右侧空间一棱长为l 的正方体abcd﹣a′b′c′d′区域内存在竖直向上的匀强电场。一电
荷量为q、质量为m 的带正电的离子（初速度为零，重力不计）经磁场下方电势差为U 的电
场加速后，由竖直向上指向圆心O 的方向射入磁场，经磁场偏转并从圆周上的O1点水平射出
后，从正方形add′a′的中心垂直电场方向进入匀强电场区域，最后恰好从b′c′边的中点飞出电
场区域。求：
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(1)离子进入圆形磁场时的速度v 的大小；
(2)圆形磁场的磁感应强度B 的大小；
(3)正方体abcd﹣a′b′c′d′内匀强电场场强E 的大小。
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