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第51 讲 习题课 带电粒子在立体空间运动问题
目录
01 课标达标练
题型01 带电粒子在叠加场中的旋进运动
型
题
02 带电粒子在立体空间的运动
02 核心突破练
03 真题溯源练
01 带电粒子在叠加场中的旋进运动
1.空间存在着匀强磁场和匀强电场,磁场的方向垂直于纸面(xOy 平面)向里,电场的方向沿y 轴正方向.
一带正电的粒子在电场和磁场的作用下,从坐标原点O 由静止开始运动.下列四幅图中,可能正确描述
该粒子运动轨迹的是
( )
2.如图所示，空间存在沿x 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小
为B。t =0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O 沿y 轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为
e。重力不计，则（ ）
1
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A．t = πm
eB 时刻，质子的速度沿z 轴的负方向
B．t = πm
eB 时刻，质子的坐标为(
mE π
2
2e B
2 ,0, m v0
eB )
C．质子可多次经过x 轴，且依次经过x 轴的坐标值之比为1：4：9……
D．质子运动轨迹在yoz 平面内的投影是以O 点为圆心的圆
3.某实验装置的基本原理如图所示，平行正对放置半径均为R、间距为d 的圆形金属板M、N 的圆
心分别为
、
，位于
处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q 的带正电的
粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。
（1）仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿
方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度
大小满足什么条件时能全部击中N 板；
（2）仅在两板间加沿
方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与
连线成
（
）角的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中N 板；
（3）若两板间同时存在方向都沿
方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源
发射出速度大小均为v，方向垂直于
连线的粒子，全部落在半径为
的圆周上（
），
求电场强度的大小。
4.（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，在空间直角坐标系中，yOz 平面右侧存在沿z 轴负方向的
匀强磁场，左侧存在沿y 轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz 平面
左侧还有沿y 轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为（d，0，0）的P 点发射一质量为m，电荷
2
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量为+q（q>0）的粒子，粒子的速度方向沿xOy 平面且与y 轴正方向相同；经时间t 后粒子恰好垂直
于y 轴进入yOz 平面左侧，粒子从z 轴上某点返回yOz 平面右侧，不计粒子的重力。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）匀强电场的电场强度E 的大小；
（3）粒子返回yOz 平面右侧时的速度v 的大小。
02 带电粒子在立体空间的运动
6.（2025·陕西铜川·模拟预测）利用电磁控制带电粒子的运动轨迹在现代实验和设备中得到广泛应
用。如图所示，空间内有正立方体abcd-efgh 区域，正方体区域内存在着方向沿ae 向下的匀强磁场，
磁感应强度大小为B，一带电粒子从a 点沿ab 方向以速度
进入空间，粒子恰好通过c 点；第一次
撤去磁场，正方体内加上竖直向下的匀强电场
，粒子仍从a 点以原速度
进入电场，粒子恰好通
过f 点；第二次恢复原磁场，同时换上竖直向下的匀强电场
，粒子仍从a 点以原速度
进入场区，
粒子恰好通过g 点，不计粒子重力，正方体外无电场和磁场，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度
大小为
B．粒子从a 点到c 点时间是从a 点到f 点时间的
倍
C．电场强度
大小为
D．到达g 点时速度大小为
7.现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹，如图所示，有一棱长为L 的正方
体电磁区域abcd −efgh，其中M、N 分别为棱ab、棱gh 的中点，以棱ef 中点O 为坐标原点、以
ON 为x 轴正方向、OM 为y 轴正方向、Oe 为z 轴正方向建立三维坐标系Oxyz，正方体区域内可能
单独或同时存在沿z 轴负方向的匀强电场E 及匀强磁场B，在O 点有一粒子源，沿x 轴正方向发射
不同速率的带电粒子，粒子质量均为m，电荷量均为+q，且粒子入射速度在0.9 v0≤v ≤3.3 v0范围
z
3
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内均匀分布，已知磁感应强度大小为B = 3mv0
2qL ，电场强度大小为E = 81mv0
2
25 π
2qL
，不计粒子的重力和
粒子间的相互作用，取√3=1.732。
(1)若正方体区域内只存在磁场，求入射速度大小为v0的粒子在该区域中运动的时间；
(2)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求入射速度大小为v0的粒子从该区域射出的位置的坐标；
(3)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求从正方体上表面abcd射出的粒子数占粒子总数的百分
比。
8.如图，有一个正方体空间Ⅰ（O1a1b1c1−O3a3b3c3）和一个长方体空间Ⅱ（
O1a1b1c1−O2a2b2c2）相拼接。以O1为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系O1−xy。空间I 内
存在沿z 轴负方向的匀强电场（图中未画出），空间Ⅱ内存在沿z 轴正方向的匀强磁场（图中未画
出）。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子从O3c3边的中点P 以初速度v0沿x 轴正方向射入空
间I，恰好经过正方形O1a1b1c1的中心点Q，并最终从空间Ⅱ的竖直棱a1a2飞出长方体区域。空间
I 棱长为4L，不计粒子重力。求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)粒子经过Q 点时的速度大小；
(3)匀强磁场的磁感应强度大小及长方体空间Ⅱ竖直棱的最小高度。
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1.如图所示，在空间直角坐标系中，
平面左侧存在沿z 轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y 轴
正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；
平面右侧还有沿y 轴负方向的匀
强电场。现从空间中坐标为
的M 点发射一质量为m，电荷量为
的粒子，粒子的初速度
大小为
、方向沿
平面，与x 轴正方向的夹角为
；经一段时间后粒子恰好垂直于y 轴进入
平面右侧。其中电场强度和磁感应强度大小未知，其关系满足
，不计粒子的重力。
求：
（1）在
平面左侧匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径
；
（2）粒子第2 次经过
平面时的速度大小；
（3）粒子第2 次经过
平面时的位置坐标；
（4）粒子第2、第3 两次经过y0z 平面的位置间的距离。
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，在空间直角坐标系中，
平面左侧存在沿z 轴正方向
的匀强磁场，右侧存在沿y 轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；
平
面右侧还有沿y 轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为
的M 点发射一质量为m，电荷
量为
的粒子，粒子的初速度大小为
、方向沿
平面，与x 轴正方向的夹角为
；经一段时
间后粒子恰好垂直于y 轴进入
平面右侧，轨迹上离
平面最远的点恰好落在
平面上，不
计粒子的重力。求：
（1）在
平面左侧匀强磁场的磁感应强度B；
（2）在
平面右侧匀强电场的电场强度E；
（3）粒子第2 次经过
平面时的位置坐标。
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3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，离子加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分
析器，选择出特定比荷的离子；经偏转系统后到达水平面。图中匀强磁场的磁感应强度大小均为
B，方向垂直于纸面向外；匀强电场的电场强度大小均为E。磁分析器截面四分之一圆弧的半径分
别为L 和3L，M 和N 为两端中心小孔；偏转系统中电场分布在棱长为L 的正方体内，底面与水平
面平行且间距为L。当偏转系统不加垂直纸面向外的电场时，质量为m 的离子恰好竖直到达水平面
内的О 点（x 轴正方向垂直纸面向外，y 轴正方向水平向左）。整个系统置于真空中，不计离子重
力及离子间的相互作用。求：
（1）通过磁分析器的离子电性及比荷；
（2）离子通过正方体底面到达水平面的位置坐标。
4．（2025·天津·一模）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入
工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷
的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的
匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直于纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场
的电场强度大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直于纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为
和
的四分之一圆环，其两端中心位置M 和N 处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布
区域是棱长为L 的正方体，其底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁
场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O 点（即图中坐标原点，x 轴垂直纸面向外）。整个系统置于
真空中，不计离子重力及离子间的相互作用，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很
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小。当
很小时，有
，
。求：
（1）通过磁分析器选择出来的离子的比荷；
（2）偏转系统仅加电场时，离子在穿越偏转系统中沿电场方向偏转的距离；
（3）偏转系统仅加磁场时，离子注入晶圆的位置坐标
（用长度
、
及L 表示）。
5．（2024·广东广州·三模）在三维坐标系
中长方体
所在区域内存在匀强磁场，
平面mnij 左侧磁场
方向垂直于平面adjm，平面mnij 右侧磁场
由m 指向i 方向，其中
、
大小均未知。现有电量为
、质量为m 的带电粒子以初速度v 从a 点沿平面adjm 进入左侧磁
场，经j 点垂直平面mnij 进入右侧磁场，最后离开长方体区域。已知长方体侧面abcd 为边长L 的正
方形，其余边长如图中所示，
，
，不计粒子重力。
(1)求磁感应强度
及粒子从a 点运动到j 点时间t；
(2)若粒子从
边离开磁场，求
的大小范围；
(3)若平面mnij 可右侧空间磁场换成由j 指向n 方向且电场强度E 大小可变的匀强电场（电场图中未
画出，其余条件不变），求粒子离开长方体区域时动能
与电场强度E 大小的关系式。
6．（2025·湖南·模拟预测）自由电子激光器是以自由电子束为工作物质，将相对论性电子束的动能
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转变成相干的电磁辐射能的装置，其中产生电磁波的核心装置为“扭摆器”（如图所示），由沿z
方向交错周期排列的2n 对宽度为a 的永磁体组成（
，2a 被称为扭摆器的“空间周期”），
产生x 方向的周期静磁场。本题我们利用高中知识，在被简化的模型中分析注入扭摆器的电子的运
动。已知电子质量为m，带电荷-e，一束电子经加速后由弯曲磁体沿yOz 平面引入扭摆器，不考虑
引入过程速度损失，不考虑任何相对论效应，忽略电磁辐射过程的动能损耗。
(1)假设一对永磁体间的磁感应强度恒定为
，电子束中电子进入扭摆器的初速度与z 轴夹角为
30°，且能经过扭摆器后被完整收集，求：
①电子束加速器的加速电压U；
②该电子束中的一个电子在扭摆器中的运动时间T。
(2)实际上，扭摆器的一个空间周期内，磁感应强度的大小是有变化的，一对永磁体间沿x 轴的磁感
应强度随与该对永磁体最左边的水平距离d 近似满足
的线性关系（
，
的方向由N 极指向S 极），电子束经电压
加速后沿z 轴正方向进入扭摆器，仍然能经过
扭摆器后被完整收集，求电子运动过程偏离z 轴的最大距离
。
（提示：①实验中，
可认为是相当弱的磁场；②可能用到的数学公式：
时，
）
7．（2025·天津北辰·三模）如图所示，空间有一棱长为L 的正方体区域，带电粒子从平行于MF 棱
且与MPQF 共面的线状粒子源连续不断地逸出，逸出粒子的初速度可视为0，粒子质量为m，电荷
量为
，经垂直于MF 棱的水平电场加速后，粒子以一定的水平初速度从MS 段垂直进入正方体区
域内，MS 段长为
，该区域内有垂直平面MPRG 向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，从M
点射入的粒子恰好从R 点射出。忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。
（1）求线状粒子源处与正方体MS 段之间的电势差；
（2）若该区域内只有垂直平面MPRG 向外的匀强电场，电场强度大小为
，已知从S 点射入
的粒子从QP 边上的某点射出，求该点距Q 点的距离；
（3）若该区域内同时存在上述磁场与电场，通过计算判断从S 点进入的粒子，离开该区域时的位
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置和速度大小。
8．（2025·广西·模拟预测）现代科学研究中，经常用磁场约束带电粒子的运动轨迹。如图所示，有
一棱长为
的正方体电磁区域
，以棱
中点为坐标原点建立三维坐标系
，正方体
区域内充满沿
轴负方向的匀强磁场，在
点有一粒子源，沿
轴正方向发射不同速率的带电粒子，
粒子质量均为
，电荷量均为
。已知速度大小为
的粒子，恰从坐标（
，
，0）点飞出
（图中未标出），不计粒子的重力。求
（1）磁感应强度大小
；
（2）从正方体上表面
飞出的速率范围；
（3）若从
点射入的粒子初速度与
轴正方向、
轴负方向均成
，大小为
，求粒子
射出区域时的坐标。
9.（2025·广东·二模）如图所示，以长方体abcd-a′b′c′d′的ad 边中点O 为坐标原点、ad 方向为x 轴
正方向、a′a 方向为y 轴正方向、ab 方向为z 轴正方向建立Oxyz 坐标系，已知Oa=ab=aa′=L。长方
体中存在沿y 轴负方向的匀强磁场，现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从O
点沿z 轴正方向以初速度v 射入磁场中，恰好从a 点射出磁场。
（1）求磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）若在长方体中加上沿y 轴负方向的匀强电场，让粒子仍从O 点沿z 轴正方向以初速度v 射磁场
中，为使粒子能从a′点射出磁场，求电场强度E1的大小；
（3）若在长方体中加上电场强度大小为E2= 2√3mv
2
qL
、方向沿z 轴负方向的匀强电场，该粒子仍
从O 点沿z 轴正方向以初速度v 射入磁场中，求粒子射出磁场时与O 点的距离s。
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10（2025·浙江·模拟预测）利用电场、磁场可以控制离子的运动路径。如图所示，空间直角坐标系
O−xyz中，x轴正方向水平向右、z轴正方向竖直向上、y轴正方向垂直xOy平面向外，离子源位
于坐标原点O，在xOz平面内沿与x轴成θ =37°角方向发射速率为v，质量为m，电荷量为q的正离
子，在yOz平面右侧区域内存在水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小为B，从O点射出的离子经
过时间Δt = 2πm
Bq
穿过x轴上的P点。不计空气阻力和离子所受的重力，不考虑离子对场的影响，
sin37° =0.6,cos37° =0.8。
(1)求P点坐标。
(2)去掉磁场，在xOz平面内加上竖直向下的匀强电场，从离子源发出的离子向上运动，轨迹最高点
到x轴的距离为dm = 3πmv
10 Bq ，求：
①所加电场的场强大小；
②离子回到x轴时的位置。
(3)保留原磁场，同时在yOz平面右侧区域加水平向右的匀强电场，场强大小为E
' = 4 Bv
5π ，求从离
子源发出的离子：
①经过时间Δt1= 2πm
Bq
时的位置坐标；
②经过时间Δt2= 5πm
2Bq 时的位置坐标。
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1．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O 处各开
有一小孔。以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤ 0 区域有一匀
强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀强电场，场强大小为E，
方向沿y 轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，
且在x 轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，
不计电子之间的相互作用及电子的重力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大夹角为
θ，求tanθ 的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
2．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍
尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳
极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可
视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E 和
；
还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂
直于轴线的平面绕轴线做半径为R 的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞
并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为
，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最
终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为
；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小
；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为
n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。
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3．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约
束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系
中，
空间内充满
匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场
II，磁感应强度大小为
，方向平行于
平面，与x 轴正方向夹角为
；
，
的空
间内充满沿y 轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以一定速度出射，速度方向与
轴正方向夹角为
，在
平面内运动一段时间后，
经坐标原点
沿
轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从
点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿
轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，求第四次穿过
平
面的位置坐标（用d 表示）；
（4）当离子甲以
的速度从
点进入磁场I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，也从
点
沿
轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点
的时间差
（忽略离子间相互作用）。
4．（2023·天津·高考真题）科学研究中可以用电场和磁场实现电信号放大，某信号放大装置示意如
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图，其主要由阴极、中间电极(电极1,电极2, …,电极n)和阳极构成，该装置处于匀强磁场中,各相邻
电极存在电势差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级
增加,最终被阳极收集,实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x 轴放置在xOz 平面内,磁场平行于
z 轴，磁感应强度的大小为B。已知电子质量为m,电荷量为e。忽略电子间的相互作用力，不计重
力。
（1）若电极间电势差很小可忽略,从电极1 上O 点激发出多个电子，它们的初速度方向与y 轴的正
方向夹角均为
，其中电子a、b 的初速度分别处于xOy 、yOz 平面的第一象限内，并都能运动到
电极2。
（i）试判断磁场方向；
（ii）分别求出a 和b 到达电极2 所用的时间
和
；
（2）若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电
极。设每个射入中间电极的电子在该电极上激发出
个电子,
，U 为相邻电极间电势差。试
定性画出阳极收集电子而形成的电流I 和U 关系的图像,并说明理由
5．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy
平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存
在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向
里，区域Ⅱ的下边界与x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向
与x 轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽
略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第
四象限的离子数与总离子数之比η。
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