文档内容
专题 5.2 立体几何中的平行与垂直
一、单选题
1、(2020届山东省潍坊市高三上期中)m、n是平面 外的两条直线，在m∥ 的前提下，m∥n是n∥
的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
，则存在 有 .而由 可得 ，从而有 .反之则不一定成立， 可能相交，
平行或异面.所以 是 的充分不必要条件，故选A
2、(2020年高考浙江)已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两
相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而
，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B3、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)设 ， 为两个平面，则 的充要条件是( )
A． 内有无数条直线与 平行 B． ， 平行与同一个平面
C． 内有两条相交直线与 内两条相交直线平行D． ， 垂直与同一个平面
【答案】C
【解析】
对于A， 内有无数条直线与 平行，可得 与 相交或 或 平行；
对于B， ， 平行于同一条直线，可得 与 相交或 或 平行；
对于C， 内有两条相交直线与 内两条相交直线平行，可得α∥β；
对于D， ， 垂直与同一个平面，可得 与 相交或 或 平行．
故选：C．
4、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)已知 ， 是两条不同的直线， 是平面，且 ，则( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】
A选项 有可能线在面内的情形，错误；
B选项中l与m还可以相交或异面，错误；
C选项中不满足线面垂直的判定定理，错误，
D选项中由线面垂直的性质定理可知正确.
故选：D
5、(2020·浙江高三)已知α，β是两个相交平面，其中l α，则( )
A．β内一定能找到与l平行的直线 ⊂
B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行
D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直
【答案】B
【解析】
由α，β是两个相交平面，其中l α，知：
在A中，当l与α，β的交线相交⊂时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；
在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；
在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；
在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．
故选：B．
6、(2019年高考全国Ⅱ卷理数)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知： 内两条相交直线都与 平行是 的充分条件，由面面平行
性质定理知，若 ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内两条相交直线都与 平行是
的必要条件，故选B．
7、(2020届浙江省高中发展共同体高三上期末)如果用 表示不同直线， 表示不同平面，下列叙
述正确的是( )
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】
选项A中还有直线n在平面 内的情况，故A不正确，
选项B中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故B不正确，选项C中还有 相交，故C不正确，
故选：D．
8、(2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学数学试题)已知平面 ， 是 内不同于 的直
线，那么下列命题中错误的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】 选项：由线面平行的性质可知 正确.
选项：由线面平行的判定可知 正确.
选项：由线面垂直的性质可知 正确.
选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故 错误.
故选：
9、(2020届北京市陈经纶中学高三上学期 10月月考)如图，点P在正方体 的面对角线
上运动，则下列四个结论：
三棱锥 的体积不变；
平面 ；
；
平面 平面 ．
其中正确的结论的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
对于 ，由题意知 ，从而 平面 ，
故BC 上任意一点到平面 的距离均相等，
所以以P为顶点，平面 为底面，则三棱锥 的体积不变，故 正确；
对于 ，连接 ， ， 且相等，由于 知： ，
所以 面 ，从而由线面平行的定义可得，故 正确；
对于 ，由于 平面 ，所以 ，
若 ，则 平面DCP，
，则P为中点，与P为动点矛盾，故 错误；
对于 ，连接 ，由 且 ，可得 面 ，从而由面面垂直的判定知，故 正确．
故选：C．
10、(北京市海淀区 2019-2020学年高三上学期期末数学试题)已知 、 、 是三个不同的平面，且
， ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】如下图所示，将平面 、 、 视为三棱柱的三个侧面，设 ，将 、 、 视为三
棱柱三条侧棱所在直线，则“ ” “ ”；
另一方面，若 ，且 ， ，由面面平行的性质定理可得出 .
所以，“ ” “ ”，因此，“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B.
12、(2019年高考全国Ⅲ卷理数)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面
ABCD，M是线段ED的中点，则( )A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
【答案】B
【解析】如图所示，作 于 ，连接 ，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是
相交直线.
过 作 于 ，连接 ，
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面
， 与 均为直角三角形．设正方形边长为 2，易知 ，
， ，故选B．13、(2020届湖南省长沙市长郡中学高三第五次月考数学(文)试题)如图所示的四个正方体中， 正方体
的两个顶点， 分别为其所在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号为( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】D
【解析】
由题意结合正方体的性质：
如图①，平面ABC∥平面MNP，则 平面 ，①正确；
如图②，平面ABC∥平面MNP，则 平面 ，②正确；
如图③，平面ABC∥平面MNP，则 平面 ，③正确；
如图④，平面AB∩平面MNP=A，则④错误；
故选：D.
14、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)如图，在直角梯形 中， ， ，， 为 中点， ， 分别为 ， 的中点，将 沿 折起，使点 到 ，
到 ，在翻折过程中，有下列命题：
① 的最小值为 ；
② 平面 ；
③存在某个位置，使 ；
④无论 位于何位置，均有 .
其中正确命题的个数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在直角梯形 中， ， ， ，
为 中点， ， 分别为 ， 的中点，
将 沿 折起，使点 到 ， 到 ，
在翻折过程中，当 与 重合时， 的最小值为 ；所以①正确；
连接 交 于 连接 ，可以证明平面 平面 ，所以 平面 ，所以
②正确；
当 平面 时，可得 平面 ，所以 ，所以③正确；
因为 ， ，所以直线 平面 ，所以无论 位于何位置，均有.所以④正确；
故选：D.
二、多选题
15、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知 是两个不重合的平面， 是两条不重合的直线，则下列
命题正确的是( )
A．若 则
B．若 则
C．若 ， ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】
若 ，则 且 使得 ， ，又 ，则 ， ，由线面垂直的
判定定理得 ，故A对；A B C D
若 ， ，如图，设 ，平面 1 1 1 1为平面 ， ，设平面 为平面 ，
，则 ，故B错；
垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；
若 ，则 ，又 ，则 ，故D对；
故选：ACD．
16、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知菱形 中， ， 与 相交于点 ，将
沿 折起，使顶点 至点 ，在折起的过程中，下列结论正确的是( )
A． B．存在一个位置，使 为等边三角形
C． 与 不可能垂直 D．直线 与平面 所成的角的最大值为
【答案】ABD
【解析】
A选项，因为菱形 中， 与 相交于点 ，所以 ， ；
将 沿 折起，使顶点 至点 ，折起过程中， 始终与 垂直，因此 ，
又 ，由线面垂直的判定定理，可得： 平面 ，因此 ，故A正确；
B选项，因为折起的过程中， 边长度不变，因此 ；若 为等边三角形，则 ；
设菱形 的边长为 ，因为 ，则 ，即 ，又
，所以 ，即二面角 的余弦值为 时， 为
等边三角形；故B正确；
C选项， ， ，由A选项知， ， ，所以 ，因此 ，
同B选项，设菱形 的边长为 ，易得 ， ，
所以 ，显然当 时， ，即 ；故C错误；
D选项，同BC选项，设菱形 的边长为 ，则 ， ， ，由几何体直观图可知，
当 平面 ，直线 与平面 所成的角最大，为 ，易知 .
故选：ABD.
17、(2020届山东省济宁市高三上期末)己知 为两条不重合的直线, 为两个不重合的平面,则下列
说法正确的是( )
A．若 且 则
B．若 则
C．若 则
D．若 则
【答案】BC
【解析】
A. 若 且 则可以 ， 异面，或 相交，故 错误；B. 若 则 ，又 故 ， 正确；
C. 若 则 或 ，又 故 ， 正确；
D. 若 则 ， 则 或 ， 错误；
故选：
18、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)在正方体 中，N为底面ABCD的中心，P
为线段 上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则( )
A．CM与PN是异面直线 B．
C．平面 平面 D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
【答案】BCD
【解析】
共线，即 交于点 ，共面，因此 共面，A错误；
记 ，则 ，
，又 ，
， ，即 ．B正确；
由于正方体中， ， 平面 ，则 ， ，可得 平面， 平面 ，从而可得平面 平面 ，C正确；
取 中点 ，连接 ，易知 ，又正方体中， ，∴ ，
共面， 就是过P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形．D正确．
故选：BCD.
19、(2020·蒙阴县实验中学高三期末)已知四棱锥 ，底面 为矩形，侧面 平面
， ， .若点 为 的中点，则下列说法正确的为( )
A． 平面
B． 面
C．四棱锥 外接球的表面积为
D．四棱锥 的体积为6
【答案】BC
【解析】
作图在四棱锥 中：由题：侧面 平面 ，交线为 ，底面 为矩形， ，则
平面 ，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；
连接 交 于 ，连接 ， 中， ∥ ， 面 ，
面 ，所以 面 ，所以选项B正确；
四棱锥 的体积是四棱锥 的体积的一半，取 中点 ，连接 ，
，则 平面 ， ，四棱锥 的体积
所以选项D错误.
矩形 中，易得 ，
中求得： 在 中
即： ，所以O为四棱锥 外接球的球心，半径为 ，
所以其体积为 ，所以选项C正确
故选：BC
三、填空题
20、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面
ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)
【答案】①④
【解析】
对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又 ，所以 平面PAB，从而可得
，故①正确．
对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．
对于③，由于在正六边形中 ，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直
线BC与平面PAE不平行，故③不正确．
对于④，由条件得 为直角三角形，且PA⊥AD，又 ，所以∠PDA=45°．故④正确．
综上①④正确．
答案：①④
21、(2019年高考北京卷理数)已知l，m是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m； ②m∥ ； ③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
(1)如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；
(2)如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；
(3)如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
22、(2018南京三模) 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若l⊥α，l⊥β，则α∥β； ②若l⊥α，α⊥β，则l∥β；
③若l∥α，l⊥β，则α⊥β； ④若l∥α，α⊥β，则l⊥β．
其中真命题为______(填所有真命题的序号)．
【答案】:①③【解析】：①考查定理：垂直同一直线的两个平面平行；②直线l可能在平面β内；③正确；④不一定
垂直；
23、(2017南京、盐城二模)已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是
________(填上所有正确命题的序号)．
①若α∥β，m⊂α，则m∥β； ②若m∥α，n⊂α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.
【答案】 ①④
【解析】：思路分析 逐一判断每个命题的真假．
①这是面面平行的性质，正确；②只能确定m，n没有公共点，有可能异面，错误；③当m⊂α时，才
能保证m⊥β，错误；④由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，正确．
24、(2016南京三模)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l∥m；
③m∥α⇒l⊥β； ④l⊥β⇒m∥α.
其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)．
【答案】. ①④
【解析】：①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因为m⊂β，所以l⊥m；
②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m或异面或平行或相交；
③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β；
④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为m⊂β，所以m∥α.
四、解答题
25、(2020年高考江苏)在三棱柱ABC－A B C 中，AB⊥AC，B C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B C的中点．
1 1 1 1 1
(1)求证：EF∥平面AB C ；
1 1
(2)求证：平面AB C⊥平面ABB ．
1 1【解析】因为 分别是 的中点，所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
(2)因为 平面 ， 平面 ,
所以 .
又 , 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
又因为 平面 ,所以平面 平面 .
26、(2019年高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A B C 中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
1 1 1
求证：(1)A B ∥平面DEC ；
1 1 1
(2)BE⊥C E．
1【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC−A B C 中，AB∥A B ，
1 1 1 1 1
所以A B ∥ED.
1 1
又因为ED 平面DEC ，A B 平面DEC ，
1 1 1 1
所以A B ∥⊂平面DEC .
1 1 1
(2)因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC−A B C 是直棱柱，所以CC ⊥平面ABC.
1 1 1 1
又因为BE 平面ABC，所以CC ⊥BE.
1
因为C C ⊂平面A ACC ，AC 平面A ACC ，C C∩AC=C，
1 1 1 1 1 1
所以BE⊥⊂平面A ACC . ⊂
1 1
因为C E 平面A ACC ，所以BE⊥C E.
1 1 1 1
27、(2019南⊂通、泰州、扬州一调)如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧
面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.
求证：(1)MN∥平面PBC；
(2)MD⊥平面PAB.
【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD.(2分)
又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)
又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分)
(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，
AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD.(8分)
又MD⊂侧面PAD，所以AB⊥MD.(10分)
因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA. (12分)
又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)
28、(2019南京、盐城二模)如图，在三棱柱ABCA B C 中，AB＝AC，AC⊥BC ，AB ⊥BC ，D，E分别
1 1 1 1 1 1 1是AB 和BC的中点．
1
求证：(1)DE∥平面ACC A；
1 1
(2)AE⊥平面BCC B .
1 1
规范解答 (1)连结AB，在三棱柱ABCA B C 中，AA ∥BB 且AA ＝BB ，所以四边形AA B B是平
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
行四边形．
又因为D是AB 的中点，所以D也是BA 的中点．(2分)
1 1
在△BAC中，D和E分别是BA 和BC的中点，所以DE∥AC.
1 1 1
又因为DE⊄平面ACC A，AC⊂平面ACC A，
1 1 1 1 1
所以DE∥平面ACC A.(6分)
1 1
(2)由(1)知DE∥AC，因为AC⊥BC ，所以BC ⊥DE.(8分)
1 1 1 1
又因为BC ⊥AB ，AB ∩DE＝D，AB ，DE⊂平面ADE，所以BC ⊥平面ADE.
1 1 1 1 1
又因为AE⊂平在ADE，所以AE⊥BC .(10分)
1
在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，所以AE⊥BC.(12分)
因为AE⊥BC ，AE⊥BC，BC ∩BC＝B，BC ，BC⊂平面BCC B ，所以AE⊥平面BCC B . (14分)
1 1 1 1 1 1 1
29、(2019苏锡常镇调研(一))如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分
别为BD，CD的中点．求证：
(1) EF∥平面ABC；
(2) BD⊥平面ACE.
. 规范解答 (1)三棱锥DABC中，因为E为DB的中点，F为DC的中点，所以EF∥BC，(3分)
因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
所以EF∥平面ABC.(6分)
(2)因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面BCD所以AC⊥平面BCD，(8分)
因为BD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，(10分)
因为DC＝BC，E为BD的中点，所以CE⊥BD，(12分)
因为AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(14分)
30、(2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考)如图，在四棱锥 中，已
知底面 为矩形，且 ， ， ， 分别是 ， 的中点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
【解析】(1)取 中点 ，连 ， ，
， 分别是 ， 的中点
，且
又 为 中点
，且
，
四边形 为平行四边形
，又 平面 ， 平面
平面(2)设
由 及 为 中点
得
又 ，
，
又 为公共角
即 又 ，
平面 ，又 平面
平面 平面
31、(2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考)如图，在四棱锥P−ABCD中，已
知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2.若⃑DC=λ⃑AB(λ∈R)，且向量⃑PC与⃑BD夹角的余弦
√15
值为 .
15(1)求λ的值；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
【解析】(1)依题意，以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A−xyz
B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，因为⃑DC=λ⃑AB，所以C(λ,2,0)，
√15
从而⃑PC=(λ,2,−2)，则由cos〈⃑PC,⃑BD〉= ，解得λ=10(舍去)或λ=2.
15
(2)易得⃑PC=(2,2,−2)，⃑PD=(0,2,−2)，设平面PCD的法向量⃗n=(x,y,z)，
则⃗n⋅⃑PC=0，⃗n⋅⃑PD=0，即x+ y−z=0，且y−z=0，所以x=0，
不妨取y=z=1，则平面PCD的一个法向量⃗n=(0,1,1)，又易得⃑PB=(1,0,−2)，
⃑PB⋅⃗n √10
故cos〈⃑PB,⃗n〉= =− ，
|⃑PB|⋅|⃑n| 5
√10
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 .
5
32、(2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题)如图，在三棱锥 中，
. 为 的中点， 为 上一点，且 平面 .求证：(1) 平面 ；
(2)平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)因为 平面 平面 ，所以 .
因为 为 一点，所以 为 中点.
因为 为 的中点，所以 .
因为 平面 平面 ，所以 平面 .
(2)因为 平面 平面 ，所以平面 平面 .
因为 ，所以 .
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
