第09 讲函数的概念、定义域与值域
（知识清单+5 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
定义域（分式/对数型）、值域（单调性）、函数概念
单选、多选
5 分/6 分
定义域（偶次根式/指数型）、换元法求值域
单选、填空
5 分
基础定义域、简单值域求解
单选、填空
5 分
含参定义域、导数结合单调性求值域
单选、解答
题
5 分/10 分
【知识点01】函数的概念
一般地,设A,B 是非空的实数集,如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B 中都有唯一
确定的数y 和它对应,那么就称f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y＝f(x),x∈A.
【例1】判断下列对应关系是否为函数：
（1）A ={x| x ≥0}，B = R，对应关系f : x→y =± ❑√x；（2）A = R，B ={ y | y ≥0}，对应关系f : x→y = x
2。
解析：（1）不是函数，一个x对应两个y（如x = 4，y =±2），不满足唯一性；
（2）是函数，任意x∈R，都有唯一y = x
2≥0对应，满足函数定义。
【知识点02】函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是
同一个函数.
【例2】已知函数f ( x)= ❑√x−2+
1
x−3，求其定义域。
解析：需满足两个限制条件，列不等式组：
{x−2≥0
x−3≠0，解得x ≥2且x≠3。
故函数定义域为[2,3)∪(3,+∞)。
【知识点03】函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
【例3】已知函数f ( x)=2 x−1，用三种表示法表示该函数（定义域为{1,2,3,4}）。
解析：① 解析法：f ( x)=2 x−1, x∈{1,2,3,4}；
② 列表法：
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
5
7
③ 图像法：在平面直角坐标系中，描出点(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)，用线段连接（离散点组成）。
【知识点04】分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
【例4】已知分段函数f ( x)={
x
2, x ≥0
2 x +1, x<0，求f (−1)、f (2)及函数值域。
解析：① 分段求值：
当x =−1<0时，f (−1)=2×(−1)+1=−1；
当x =2≥0时，f (2)=2
2= 4。
② 求值域：
当x ≥0时，f ( x)= x
2≥0；
当x<0时，f ( x)=2 x +1<1；
综上，函数值域为R。
【题型一】函数概念辨析
【例1】（2025·全国二卷·高考真题）若
是函数
的极值点，则
___________
【答案】
【分析】由题意得
即可求解
，再代入即可求解.
【详解】由题意有
，
所以
，
因为
是函数
极值点，所以
，得
，
当
时，
，
当
单调递增，当
单调递减，
当
单调递增，
所以
是函数
的极小值点，符合题意；
所以
.
故答案为：
.
【例2】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线
，
与函数
的图象的交点个数为
（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或1 或2
【答案】C
【详解】根据函数定义可知，当
在定义域中时，直线
与函数
的图象有一个交点，
当
不在定义域中时，直线
与函数
的图象没有交点，
所以直线
，
与函数
的图象的交点个数为0 或1.
【例3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数
，且
，则
____
【答案】
【分析】由已知可得
，求解即可.
【详解】因为函数
，且
，所以
，解得
.
故答案为：
.
【变式1】（2025·江西萍乡·三模）已知定义在
上的函数
满足对于任意实数x，y 均有
，且
，则
（ ）
A．675
B．1350
C．2025
D．4050
【答案】D
【分析】根据赋值法，用x 替换y，y 替换x 得到
，故
是常函数，设
，再结合
可解
即可求
.
【详解】用x 替换y，y 替换x 可得
，当
，
时，，故可知
是常函数，于是知当
时，
，其中c 为常数，故
，解得
，于是
.
故选：D.
【变式2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数
的定义域为
，当
时，有
，对
，都有
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2025
D．2026
【答案】C
【分析】利用题中给出的函数性质，代入特殊值，求出
.
【详解】因为
，
，
当
时，
，
因为
，都有
，
所以
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，所以
．
【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转
后得到的曲线仍为一个函数的图
象的有______（写出对应编号）．
①
； ②
；
③
； ④
．
【答案】①③④
【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，
即可求解.
【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量
，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转
后得到的曲线，如果仍
为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于
轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1 的直线
都最多只有一个交点，
结合函数图象可知，
对于①，
的图象与直线
都只有一个交点，故①正确；
对于②，
的图象与直线
有两个交点
，
，故②错误；
对于③，
，
，
，所以
的图象在点
处的切线方程为
，
的图象与直线
都最多只有一个交点，故③正确；
对于④，
的图象与直线
都只有一个交点，故④正确．
故答案为：①③④.
【题型二】定义域求解
【例4】（2024·上海·高考真题）函数
的定义域为_______.
【答案】
【分析】由对数函数性质即可得.
【详解】由题意可得
，即
的定义域为
.
故答案为：
.
【例5】（2026·广西桂林·模拟预测）若集合
，函数
的定义域为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，函数
的定义域为
，
则
．
【例6】（2024·浙江·模拟预测）若分式
不论x 取何值总有意义，则点
关于x 轴的对称点在
第______象限．
【答案】一
【分析】先通过分式的分母恒不为零求出
的范围，根据
的范围可得点
所在象限，进而可得其关于x
轴的对称点所在象限.
【详解】分式
不论x 取何值总有意义，
即方程
无解
所以
，解得
，
所以
，
所以点
在第四象限，其关于x 轴的对称点在第一象限.
故答案为：一.
【变式1】（2025·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于
的不
等式组，解不等式组即可求出答案.
【详解】由
的定义域为
，得
的定义域为
.
所以
或
，
综上，
的定义域为
.
故选：C.
【变式2】（多选）（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项.
【详解】对于A，由题可知不等式有意义须需
，则
，
则
，当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，当
，即
，
时，有
，故不等式不一定成立，故B 错误；
对于C，由
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故C 正确；
对于D，由题意知
,
，故
,
故不等式
成立，D 正确．
故选：ACD
【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是
__________．
【答案】
【详解】要使函数有意义，则
，解得
，取交集得
．
【题型三】值域求解
【例7】（2026·四川达州·二模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域和值域求得集合
，
，然后根据集合的交集运算即可求解.
【详解】由于集合
表示函数
的定义域，可知
，
集合
表示函数
的值域，可知
，
因此
，故A 正确.
【例8】（2025·上海长宁·一模）函数
的值域为
，则集合
___________．
【答案】
【分析】利用函数的值域求解不等式，进而得到函数的定义域即可.
【详解】令
，解得
，
令
，解得
，
则集合
.
故答案为：
【例9】（2025·河北·模拟预测）已知函数
的定义域和值域相同．．
(1)求a；
(2)记
的导函数为
，求
的极小值．
【答案】(1)
；
(2)极小值为1.
【分析】（1）分
和
讨论，则
，解出即可；
（2）求导得
，再设新函数再次求导即可得到其极小值.
【详解】（1）若
，则
的定义域为
，因为
，则其值域为
，不符合题意；
若
，令
，解得
，则
的定义域为
，
值域为
，则有
；解得
．
（2）
，定义域为
，
记
，
.
当
时，
；
时，
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，因为
的极小值为
.
故
的极小值为1.
【变式1】（2026·江西上饶·二模）若函数
的定义域为
，则此函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据定义域确定
的范围，再结合反比例型函数得到值域即可．
【详解】函数
的定义域为
，
则
或
，
当
时，
1
x
2−1
≤−1，
当
时，0<
1
x
2−1
≤1
3，
综上，此函数的值域为
．
【变式2】（2025·陕西宝鸡·二模）若一个函数的定义域为
，值域为
，则它的解析式可能为：_______．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据所给性质选择满足条件的函数作答.
【详解】函数的定义域为
，值域为
，
所以
.
故答案为：
【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的值域；
(2)若不等式
在
上恒成立，求
的取值范围；
(3)当
时，函数
的值域为
，求正数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得.
（2）变形给定不等式，按
分段讨论求出
的范围.
（3）利用函数
的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得.
【详解】（1）依题意，
，
由
，得
，则
，
当
，即
时，
；当
，即
时，
，
所以函数
在
时的值域为
.
（2）不等式
，
当
时，
；
当
时，
，则
恒成立，
又
在
上递减，
在
上的值域为
，因此
；
当
时，
，则
恒成立，
又
在
上递减，
在
上的值域为
，因此
，
所以实数
的取值范围为
.
（3）当
时，
在
上单调递增，
又当
时，值域为
，
因此
，即
，
则
是关于
的方程
，即
的两个不相等的正根，
则
，解得
，
所以正数
的取值范围为
.
【题型四】分段函数相关计算
【例10】（2025·贵州·模拟预测）已知函数
则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式即可求得函数值.
【详解】因为
，
所以
．
故选：B.
【例11】（多选）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数
，若
，则
的
值可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】CD
【分析】分
，
代值求解即可.
【详解】当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
（舍去）或
.
综上所述，
或
.
故选：CD.
【例12】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，则
______．
【答案】1
【详解】因为
，则
．
【变式1】（2026·浙江·二模）已知函数
若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，
，即
解得
或
（舍），
当
时，
，即a
2−4 a+12=0，Δ=16−48=−32<0，
方程无实数解，综上
.
【变式2】（2026·河北唐山·一模）已知
，若
，则
______.
【答案】3
【分析】由题意可得：
，分
和
两种情况讨论，去绝对值解方程即可.
【详解】由题意可得：
，
当
时，可得
，即
，解得
或
（舍去）；
当
时，可得
，即
，方程无解；
综上所述：
.
【变式3】（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决
定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）
与投入的成本
（单位：元）满足如下关系：
，已知这种水果的市场售价为10 元/千克，
且供不应求.水果树单株获得的利润为
（单位：元）.
(1)求
的函数关系式；
(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)当投入成本为90 元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是
元
【分析】（1）由题意可知：
，结合题意代入运算即可；
（2）分
和
，结合二次函数和基本不等式求最大值.
【详解】（1）由题意可知：
.
（2）由（1）可知：
，
若
，则
，可知其图象开口向上，对称轴为
，
此时
的最大值为
；
若
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
此时
的最大值为
；
又因为
，可知
的最大值为
，
所以当投入成本为90 元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是
元.
【题型五】函数表示法
【例13】（2025·浙江·二模）下列可以作为方程
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助排除法，得到
，
不可能同时成立，即可排除A，B，C.
【详解】当
时，
，
若
，则
，即
，不符合，
故
，
不可能同时成立，故A，B，C，选项错误.
故选：D
【例14】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1 的正方形
，其中边
在
轴上，点
与坐标原点重
合，若正方形沿
轴正向滚动，先以
为中心顺时针旋转，当
落在
轴上时，再以
为中心顺时针旋转，如此继续，
当正方形
的某个顶点落在
轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点
滚动时形成的曲线为
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及函数的周期性即可求解．
【详解】由题意可知，
是周期为
的函数，
所以
.
由题意可得，当
时，点
恰好在
轴上，所以
，
所以
.
故选：A.
【例15】（多选）（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R 上的函数
满足
，
且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
不存在零点
D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由
，令
，可得
，
因为
，所以
，所以A 正确；
对于B 中，函数
的定义域为全体实数，由
，显然不符合
，
所以函数
不是奇函数，所以B 不正确；
对于C 中，由
，令
，可得
，
即
，解得
或
，
所以函数
没有零点，所以C 正确；
对于D 中，由
，
令
，可得
，所以
，即
，
所以D 正确.
故选：ACD．
【变式1】已知函数
的对应值图如表所示，则
等于（ ）
函数
的对应值表
0
1
2
3
4
5
3
6
5
4
2
7
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】查表可知，先得
，
所以再查表可得
.
【详解】由表可知
，
，
所以
故选：D．
【变式2】如图所示是一个无水游泳池，
是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得
到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与
的交点为
，则
的
高度随时间变化的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合几何体的结构和题意可知，水面面积越大，水的高度变化慢，当水面面积恒定时，水的高度匀速增长，
由此可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，
刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，
当水面经过
点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，
故符合条件的函数图象为A 选项中的图象.
故选：A.
【变式3】已知定义在R 上的函数
不是常值函数，且同时满足：①
；②对任意
，均存在
使得
成立；则函数
______．（写出一个符合条件的答案即可）
【答案】
(答案不唯一)
【分析】由题设函数性质分析知：
关于
对称且值域为
或
，写出一个符合要求的函数即可.
【详解】由
知：
关于
对称，
由对任意
，均存在
使得
成立知：函数值域为
或
或全体实数，
∴
符合要求.
故答案为：
(答案不唯一).
【解题大招01】定义域求解“分类限制法”
技巧核心：按“分式、偶次根式、对数、零次幂”等不同限制条件分类列不等式（组），求解交集即为定义域，
避免漏解。
【例1】求f ( x)=
❑√x−1
log2 ( x−2)的定义域。
解析：分3 类限制条件，列不等式组：
{
x−1≥0(偶次根式限制)
x−2>0(对数真数限制)
log2 ( x−2)≠0(分式分母限制)
解得：x ≥1、x>2、x−2≠1⇒x≠3，取交集得定义域为(2,3)∪(3,+∞)。
【解题大招02】值域求解“单调性法”
技巧核心：先判断函数在定义域内的单调性（一次、二次、对数函数可直接判断），再根据单调性求端点值，
端点值（或极值）即为值域的最值。
【例2】求f ( x)= x
2−2 x +3（x∈[0,3]）的值域。
解析：函数对称轴为x =−−2
2×1 =1，开口向上，在[0,1]单调递减，[1,3]单调递增。
最小值：f (1)=1
2−2×1+3=2；最大值：max {f (0),f (3)}=max {3,6}=6，值域为[2,6]。
【解题大招03】值域求解“换元法”
技巧核心：令复杂根式、指数式为新变量t，转化为二次函数、一次函数求值域，注意新变量t的取值范围（换元
必求范围）。
【例3】求f ( x)=2❑√x−1+ x（x ≥1）的值域。
解析：令t = ❑√x−1≥0，则x =t
2+1，代入得：
f (t )=2t +t
2+1=t
2+2t +1=(t +1)
2
因t ≥0，(t +1)
2单调递增，最小值为(0+1)
2=1，值域为[1,+ ∞)。
【解题大招04】分段函数“分段求解法”
技巧核心：分段函数的定义域、值域、求值，均按“区间分段”处理，最后整合结果；求值时先判断x所属区间，
再代入对应解析式。
【例4】已知f ( x)={2 x−1, x<0
x
2, x ≥0
，求f (f (−1))及函数值域。
解析：① 求值：x =−1<0，f (−1)=2×(−1)−1=−3；f (−3)=2×(−3)−1=−7，故f (f (−1))=−7。
② 求值域：x<0时，2 x−1<−1；x ≥0时，x
2≥0，整合得值域为(−∞,−1)∪[0,+∞)。
【解题大招05】函数概念“唯一性判断法”
技巧核心：判断对应关系是否为函数，只需验证“任意一个x，是否有唯一的y对应”，可结合图像（垂直于x轴
的直线与图像至多一个交点）。
【例5】判断f ( x)={ x , x ≥0
−x , x<0与x = y
2是否为函数。
解析：①f ( x)是函数，任意x∈ℝ，都有唯一y对应（如x =2对应2，x =−2对应2）；
② x = y
2不是函数，一个x对应两个y（如x = 4，y =±2），不满足唯一性。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
、
，利用交集的定义可得集合
.
【详解】
，
对于
，则
，解得
，
故
，所以
，
故选：D.
2．（2026·广东清远·二模）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，所以
3．（2026·河北保定·三模）已知函数
则
（ ）
A．0
B．1
C．2 026
D．2 027
【答案】C
【分析】本题是求函数值的和，先找规律，再求
，求得
与
的关系，最后用倒序相加法求和.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
设
，
则
，
两式相加得：
，
所以
.
二、多选题
4．（2024·云南·模拟预测）已知定义在
上的函数
，对任意的
满足
，下列说法正确的是（ ）
A．若
为一次函数，则
B．若
为一次函数，则
C．若
不是一次函数且
，则
D．若
不是一次函数且
，则
【答案】BCD
【分析】根据题意，令
，列出方程组，求得
的值，得到函数的解析式，再结合赋值法，求得
的值，即可求解.
【详解】若
为一次函数，令
，
由
又由
，
因为
，
可得
，即
，
解得
或
，
当
时，
；当
时，
，
所以当
为一次函数时，
或
，所以A 不正确；
令
，可得
，所以B 正确；
令
，则
，因为
，
令
，所以
，所以C 正确；
令
，则
，
由
，令
，所以
，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
5．（2026·河南周口·二模）已知函数
，则
____________.
【答案】2
【分析】根据分段函数解析式代入求解即可.
【详解】由
，可得
，
由
，可得
，
由
，可得
，故
，
因此
.
6．（2024·河南信阳·一模）已知不等式
的解集为
，则函数
的定义域为
__________.
【答案】
【分析】根据题意，得到
和
是方程
的两个根，列出方程组，求得
的值，得出函数
，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由不等式
的解集为
，
可得
和
是方程
的两个根，且
，
则
，解得
，所以函数
，
要使得函数
有意义，则满足
，
即
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，则
的最小值为______．
【答案】4
【分析】构造函数
，通过配方，把问题转换成
到直线
和点
的距离之和的
倍，即可求解.
【详解】构造函数
，
因为
恒成立，所以
，
则函数
可表示点
到直线
和点
的距离之和的
倍.
构造抛物线
，过点
作直线
的垂线
，垂足为
，交抛物线于两点，如图，
此时直线
的方程为：
，即
，
联立方程得
，易得交点分别为
，
于是当点
重合于交点
或
时，
取得最小值
.
从而
的最小值为4．
四、解答题
8．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知集合
，函数
的定义域为集合
．
(1)当
时，求
；
(2)设命题p：
，命题q：
，若p 是q 的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得
或
，再求交集运算即可；
（2）由题知
或
，
，再根据集合关系求解即可.
【详解】（1）解：当
时，
，
由题意
，解得
或
，所以
或
，
又
，
所以
.
（2）解：由题意
，即
，解得：
或
，
所以
或
，
因为p 是q 的充分不必要条件，
所以，集合
是集合
的真子集，
所以
或
，解得
或
故实数
的取值范围
．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若函数
，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】由题意得
，
则
.
2．（2026·浙江·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化简集合
，再根据交集的概念求解即可.
【详解】集合
，集合
，
则
.
故选：C
二、多选题
3．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（ ）
A．函数
的单调减区间为
B．幂函数
过点
，则
C．函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
D．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
【答案】BCD
【分析】对A，先求函数
的定义域，再根据“同增异减”法则，判断单调减区间；对B，先确定
的值，再将已知点代入函数求出
，进而计算
；对C，列不等式
，求解得到
的定义域；对
D，因为函数
的值域为
，所以需保证
能取到所有正实数，分
和
两种情况
讨论
【详解】对A，函数
，
，解得
或
因为复合函数同增异减，外层
是增函数，内层
减区间为
，
结合定义域得
的单调减区间为
，不是
，因此A 错误；
对B，根据幂函数定义，形如
的函数是幂函数，因此系数
，
因为函数过
，所以
，解得
；
因此
，B 正确；
对C，因为
的定义域为
，所以对
，满足
，解得
，即
的定义域为
，C 正确；
对D，因为
值域为R，所以
需能取到所有正实数，
当
时，真数为
，是一次函数，可取所有正实数，符合条件；
当
时，真数为二次函数，需满足开口向上
，且判别式
，解得
，
综上
的取值范围是
，D 正确.
三、填空题
4．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数
的定义域为
，且
，则
的值域为
__________.
【答案】
【分析】令
可得出
，令
结合偶函数的性质可求得函数
的解析式，由此可得出函数
的值域.
【详解】对
，令
，则
，解得
；
对
，令
，则
，
又
为偶函数，
，故
，解得
。
又
，故其值域为
.
故答案为：
.
5．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数
，则
的值域为__________．
【答案】
【分析】应用基本不等式及指数函数的值域结合分段函数得出值域即可.
【详解】由题意可知
时，
，当且仅当
时取得等号，
时，
，当且仅当
时取得等号，故
，
即
的值域为
．
故答案为：
四、解答题
6．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10 万元，每生产一千件需另投入2.7 万元，设
该公司年内共生产该品牌服装
千件并全部销售完，销售收入为
万元，且
（注：
年利润
年销售收入
年总成本）
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式；
(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.
【答案】(1)
(2)9 千件
【分析】（1）分段利用“年利润
年销售收入
年总成本”可得所求函数的解析式.
（2）分段求函数的最大值，进行比较可得结论.
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
.
综上：
.
（2）当
时，
，
.
由
；由
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
.
当
时，
.
因为
，当且仅当
即
时取“
”.
此时
.
因为
.
所以当年产量为千件时，年利润最大.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先应用一元二次不等式求解集合
，再应用值域得出集合
，最后应用交集定义计算求解.
【详解】集合
，
，
则
.
故选：B.
2．（2025·河北·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得
，进而可得
，求得
可判断AB；求得
可
判断CD.
【详解】由
，得
，三式相加得，
，
即
，又
，所以
，则
，
所以
故AB 错误；
，故C 正确，D 错误.
故选：C．
二、多选题
3．（2025·山西太原·一模）已知函数
，若
，且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】通过分析函数
的单调性，再结合已知条件
且
来逐一判断选项.
【详解】
,即
,解不等式可得
,
所以函数
的定义域为
，
，
因为
,所以
,
则
, 函数
在
上单调递增；
对于选项A：已知
,因为函数
在
上单调递增，
所以
,故A 正确；
对于选项B：由
且
，可得
，
因为函数
在
上单调递增，所以
,故B 正确；
对于选项C：由
且
，
可得
,
，
因为函数
在
上单调递增，所以
,故C 错误；
对于选项D：因为
且
,所以
，
,
又因为函数
在
上单调递增，
所以
,故D 错误；
故选：AB.
三、填空题
4．（2026·河北沧州·三模）函数
若
，则
________．
【答案】
【详解】已知分段函数
，且
.
结合分段函数性质可得
或
.
当
时：
若
，则
，解得
；
若
，则
，解得
.
当
时：
若
，则
，方程无解；
若
，则
，解得
.
因此满足条件的
的值为
，，.
四、解答题
5．已知函数
.
(1)求
的最小值；
(2)若
对任意
恒成立，求k 的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）由题意分别画出三个函数的图象，即可分析出
的图象，通过图象可得最小值；
（2）设
，可知
恒过点
，作图并分类讨论
，结合条件根据图象，求出k 的取值范围.
【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数
，
，
的图象，如图1 所示，
由
，解得
或
；
由
，解得
或
.
由图象易得
，
结合图象可知，当
时，
取得最小值，
即
.
（2）设
，则
恒过点
，
因为
，所以记
，
由（1）知，
的图象如图2 所示，
当
时，
，即
，
所以
，不等式恒成立.
当
时，易知直线AM 的斜率
，
由图象可知，根据
恒成立，
可得
，解得
，所以
，
综上所述，k 的取值范围是
.
