文档文本内容
函数小题
一、求函数定义域
1.
已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求解出
的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求
的定义
域.
【详解】因为
的定义域为
，所以
中
，
所以
，
在
中令
，解得
，
所以
的定义域为
.
故选：B.
2.
若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意结合复合函数定义域相关知识可得答案.
【详解】因
定义域为：
，则
的定义域满足：
，
解得：
，即定义域为：
.
故选：D
3.
已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，求解可得函数
的定义域.
【详解】由
，得
，所以
，
所以函数
的定义域是
.
故选：B.
4.
函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件为分母不为0，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大
于0 即可求解．
【详解】因为
，所以
即
解得
，且
，即函数
的定义域为
．
故选：B．
二、分段函数单调性求参
5.
已知函数
为定义在
上的单调函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】当
时，
，且
为定义在
上的单调函数，
所以
为定义在
上的减函数，
则
，解得
.
故选：D
6.
已知函数
是增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式
组，解得即可.
【详解】若
是增函数，
则要保证:
:
①函数
在
上单调递增，此时要满足
，即
；
:
②函数
在
上单调递增，此时要满足
，即
；
:
③在
处，右侧函数值要大于等于左侧函数值，即：
.
综上：
的取值范围是：
，
故选：B
7.
已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性，分段分析即可，注意分段点出也要满足单调增.
【详解】当
时，
，显然为增函数，
当
时，
，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴
，
即
即可，
当
时，
，
故
的取值范围是
，
故选：B.
8.
已知函数
是
上的减函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据函数
在
上是减函数求得
，再根据函数
在
上单调递减求得
，最后根据分段函数单调性法则可得
，即可得解.
【详解】当
时，
，
因为函数
是
上的减函数，所以函数
在
上是减函数，
所以
，即
；当
时，
，对称轴为
，
因为函数
在
上单调递减，所以
，即
；
因为函数
是
上的减函数，所以
，解得
.
综上，故实数
的取值范围为
.
故选：A.
9.
已知
，且
，函数
在
上单调递减，则实数
的取值范
围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果.
【详解】若分段函数在
上单调递减，则
故
的取值范围为
.
故选：B.
三、分段函数解不等式
10. 已知函数
，若对于任意的实数x，不等式
恒成
立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合题意
化为
，即
，
根据
是R 上的增函数，得
对
恒成立，进而利用判别式法求解即可.
【详解】由题意得
，如图所示，
因为
，所以
，
所以
，即
，
因为
，所以原不等式化为
，
由图可知
是R 上的增函数，所以
对
恒成立，
所以
，则
，即
.
故选：D．
11.
已知函数
正数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】C
【分析】根据函数的导数判断函数单调性，再利用函数单调性解不等式得出
的取值范围，
最后通过对式子变形，利用基本不等式求最值.
【详解】当
时，
恒成立，当
时，
恒成
立，则
在
上单调递增，在
上单调递增．
又因为
，当
时，
，对
时，
0 也成立，所以
在
上单调递增．
已知正数
满足
，则
，解得
或
（负值舍
去），所以
，
，
所以
，当且仅当
，即
时
等号成立，所以
的最小值为8．
故选：C.
12. 已知函数
若对于任意的实数
，不等式
恒成立，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析可知
在定义域
上单调递增，由不等式可得
恒成立，参变
分离结合二次函数最值分析求解.
【详解】当
时，
在
上单调递增，且
；
当
时，
在
上单调递增，且
；
如图所示，可知
在定义域
上单调递增，
因为不等式
恒成立，则
恒成立，
即
在
上恒成立，
且
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，所以实数a 的取值范围为
.
故选：D.
13. 函数
，若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】原不等式变形为
，再利用分段函数的单调性即可得到不等
式，解出即可.
【详解】当
时，
，因为
在
上单调递增，此时
单调递增，
当
时，易知
单调递增，且当
时，
，
则
在
上单调递增，
因为
，则
，
所以由
得
，
所以
，解得
.
故选：A.
14. 已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等
式作答.
【详解】因
为开口向下的二次函数，对称轴为
，故函数在
上单调
递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为
，故函数在
上单调递减，且
，因此函数
在R 上单调递减，则
，即
，
解得
或
，
所以实数
的取值范围是
。
故选：D
四、利用单调性解不等式
15. 已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】构造函数
，可得
是奇函数，且在
上是增函数，将
不等式转化为
，得到
，结合
的
单调性，即可求解.
【解答过程】设函数
，可得其定义域为
，关于原点对称，
且
，即
，所以
为奇函数，
因为
是
上的增函数，
是
上的减函数，
所以
是
上的增函数，
由
等价于
，
即
，
又因为
是奇函数，可得
，
可得
，即
，解得
或
.
所以不等式的解集为
.
故选：B.
16. 已知
是定义在
上的奇函数，且满足当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得函数
在
上为递增函数，且
，把不等式转化为
，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由函数
是定义在
上的奇函数，则满足
，且
，
当
时，
，因为
都是增函数，
可得
在
上为单调递增函数，所以在
上也是单调递增函数，
所以函数
在
上为单调递增函数，且
，
，
在不等式
，即
，
可得
，即
，解得
，
所以不等式的解集为
.
故选：C.
17. 设函数
是定义在
上的偶函数，
为其导函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，可得
是
上的奇函数，且
，再数形结合解不等式即可．
【详解】当
时，
，
令
，
，
则
在
单调递增，
又
是定义在
上的偶函数，且
，
是
上的奇函数，则
，
故函数
的图像可以为：
的解集为
．
故选：D．
18. 已知定义在实数集上的偶函数
，在
上单调递增，
，
，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据偶函数性质得
，所求不等式即为
，利用函数性质
在
上单调递增，进而由
化为
，利用单调性
得
，求解即可.
【详解】因为函数
是偶函数，所以
，不等式
等价于
，
，构造函数
，
因为函数
和
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，则
化为
，所以
，所以
或
，
故不等式
的解集为
.
故选：A
19. 已知
是定义在
上的奇函数，
，对
，且
，有
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件判断出
在
上的单调性，然后根据奇偶性以及
判断出
在各段上的取值正负，据此可求解出不等式解集.
【详解】对
，且
，有
，
所以函数
在
上单调递增.
因为
是定义在
上的奇函数，
，且
，
所以当
时，
，当
时，
，
由奇函数性质可知，当
时，
，当
时，
，
若
，则
或
，
则
或
，解得
.
故选：B.
五、利用函数解析式判断图像
20. 函数
的大致图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合函数的定义域，零点，
时函数值的符号进行判断.
【详解】由
知，
，排除C 选项；
函数没有定义，排除B；
时，
，根据指数函数的单调性可知，
，
又
弧度是第二象限角，故
，于是
时，
，排除D.
故选：A.
21. 函数
的大致图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性与特殊的函数值对选项逐一判断，
【详解】
，故
为奇函数，所以排除B，
D，
又当
时，
，所以排除A．
故选：C
22. 函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域，奇偶性即可解决.
【详解】根据题意，对于
，
，
即函数
为偶函数，故CD 错；
又由在
时，
无意义，故A 错；
故选：B.
23. 函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性与周期性判断.
【详解】由题意得函数定义域为
，且
，∴
为偶函数，
故排除选项B，
∵
，
，
为最大值，∴排除选项D，
∵
，∴
是
为周期的周期函数，∴排除选项A.
故选：C
24. 函数
的大致图象为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】求函数定义域，解不等式
，再判断当
时，
值的情况，这样运用排
除法可以选出正确答案.
【详解】函数的定义域为：
，这样可以排除B；
,这样可
以排除A. 当
时，
，可以排除D，故本题选C.
【点睛】本题考查了函数图象，应用排除法是解题的关键.
六、奇偶性求参
25. 已知函数
是奇函数，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】由题意可得
对
均成立，计算可求得实数
的值.
【详解】若
，则
，函数
无意义，故
，
由
，解得
，所以函数
的定义域为
因为函数
是奇函数，所以
对
均成立，
即
对
均成立，
所以
对
均成立，
所以
对
均成立，
所以
对
均成立，
因为
，所以
对
均成立，所以
.
故选：D.
26. 已知函数
为奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先确定定义域，分析对数部分的奇偶性，结合
的奇偶性推出正弦部分需为偶
函数，利用偶函数性质列方程求解
，进而得到其最小值.
【详解】先确定函数定义域：由
得
，定义域
关于原点对称.
令
，则
，故
是奇函数.
因
为奇函数，故
需为偶函数.
偶函数满足
，即
， 利用正弦函数性质，
得
， 解得
.
由
，当
时，
取最小值
.
故选：D
27. 已知函数
，若函数
的图象关于
轴对称，则
的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2
【答案】B
【分析】由
是偶函数，得到
为奇函数，结合
．列
出方程，即可求解.
【详解】由函数
的图象关于
轴对称，可得函数
是偶函数，
因为
为奇函数，所以函数
为奇函数，
所以
．即
，
所以
，所以
.
故选：B.
28. 已知函数
为奇函数，则实数
的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
知
即可得出
，再根据
计算
，最后利用奇偶性的
定义检验.
【详解】因
时
无意义，故
时，
也无意义，
则
，即
，
此时
，
由
，得
，
此时
，则
，
且定义域为
关于原点对称，
故
是奇函数，符合题意，故
.
故选：C
29. 已知
为偶函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的定义可求出
的值.
【详解】由
可得
，故函数
的定义域为
，
因为函数
为偶函数，则
，
即
，
所以
对任意的
恒成立，
故
，解得
.
故选：A.
七、函数周期性运用
30. 设
是定义域为
的奇函数，且
．若
，则
（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知推得函数的周期为4，再应用周期性求函数值.
【详解】由题意
，
，
所以4 是
的周期，故
故选：D
31. 已知函数
是定义在
上的奇函数，
为偶函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意知得出函数周期
，由奇函数的性质得出
时
的解析式，结
合对数恒等式即可求解．
【详解】由题意得，
，对称轴为直线
，则
，
所以
，所以
，
所以
，则
的周期
，
因为
，所以
，
又当
时，
，函数
是定义在
上的奇函数，
所以
时，
，
所以
，
故选：A．
32. 已知函数
的定义域为R，且满足
，当
时，
，则
（ ）
A．2026
B．2025
C．2027
D．2024
【答案】A
【分析】根据条件，整理计算，可得
的周期为4，根据解析式，代入数据，可得
的值，代入条件，可得
，根据
的周期性，代入计算，即可得
答案.
【详解】因为
，则
的周期为4，
因为当
时，
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
又
的周期为4，所以
，
所以
，
，
故
.
故选：A
33. 设定义在
上的函数
满足
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用条件
可得
，由此可得函数
为周
期为
的周期函数，故转化
为
，赋值
由
求解可得.
【详解】在
①中，以
替换
可得
②，
①②两式相除可得
，所以
，
所以函数
是周期函数，且
为周期，
所以
．
当
时，
，又
，
所以
，所以
．
故选：C．
八、函数性质综合运用
34. 已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义，结合已知等式判断函数的周期性，利用函数周期性和代入法
进行求解即可；
【详解】因为
为偶函数，
所以有
，
由
，
则有
，
所以函数
的周期为
，
在
中，令
，
得
，
因为函数
的周期为
，
所以
，
故选：B
35. 已知函数
，
.若存在
，存在
，使
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
和
的值域，再把原问题转化为函数值域有交集问题，建立不等
式组，求解参数范围即可.
【详解】由题意得函数
，
故函数
的值域为
，而
，
，
由对勾函数性质得
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
，
故
的值域为
，而存在
，存在
，
使
成立，可得
，
则
且
，解得
，故B 正确.
故选：B.
36. 已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递增，且
，则不等
式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析函数
的单调性与函数值符号的变化，分
、
两种情况解不等式
即可.
【详解】因为函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递增，
且
，则
，且该函数在
上为增函数，
，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
.
因为
，
当
时，即
时，
，则
或
，此时，
；
当
时，即
时，
，则
或
，此时，
.
综上所述，不等式
的解集是
.
故选：B.
37. 已知函数
，若
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】A
【分析】先将函数变形为
，由
得函数
的图象关于直
线
对称，再判断
单调性，因为
，所以
，两边平方后化
简即可.
【详解】函数
定义域为
，
，
因为
，所以函数
的图象关于直线
对称，
令
，则
且
在
上单调递增；
函数
在
时单调递减，在
时单调递增，
故
当
时等号成立，此时
；
又
在
上单调递增；
由复合函数单调性知，
在
上单调递减，在
上单调递增；
又因为
，所以
，
两边平方得
，即
若
，则
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：将函数变形为
，判断出函数
的图象关于直
线
对称，以及
在
上单调递减，在
上单调递增是解决本题的关键.
38. 已知函数
的定义域为R，函数
为奇函数，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．36
【答案】B
【分析】由条件求得
，从而求得
的值.
【详解】因为函数
为奇函数，
所以有
，又
，所以
，
得
，则
即
，所以
故选：B
39. 已知函数
是定义在
上的连续函数，且满足
，
.则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，
，代入原式可得
，列
出等式
，
，
，
，再利用累加法计算
即可.
【详解】令
，
，因为
，
，
得
，即
，
因为
，
，
，
，
，
，
，
，
将上述
个式子累加得，
，
.
故选：D
【点睛】求解本题的关键是通过赋值法，令
，
，将原式转化为
，列出等式，利用累加法计算即可.
