文档文本内容
概率与统计单元检测卷
考试时间120 分钟，满分150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的
黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码
区”．
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡
皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的
对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无
效．
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求．
1.
某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对
名学生进行抽样，先将
名学生进
行编号，
，
，……，
，
.从中抽取
个样本，如图提供随机数表的第5 行
到第6 行，若从表中第5 行第6 列开始向右依次选取三个数字读取数据，则得到的第3 个
样本编号是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.
在
的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.
某学校拟派5 名教师去甲、乙、丙这3 所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，
每个学校至少要派遣1 名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（
）
A．110 种
B．100 种
C．90 种
D．80 种
4.
如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木
块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块
碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向
右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.
某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量
，则
．记一天中旅客人数不
少于
万人的概率为
，则
的值约为（ ）
（参考数据：若
，则
，
，
）
A．
B．
C．
D．
6.
一玩具制造厂的某一配件由A、B、C 三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制
造记录分析得到数据：制造厂A、B、C 的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份
额分别为15%，80%，5%，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，
从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（ ）
A．0.0125
B．0.0115
C．0.0135
D．0.01458
7.
已知
为满足
能被9 整除的正整数
的最小值，则
的展开式中，系数最小的项为（ ）
A．第6 项
B．第7 项
C．第11 项
D．第6 项和第7 项
8.
进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1 信号数码进行发送与接收的.在信道
内传输0，1 信号，信号的传输相互独立.发送0 时，接收方收到0（正确）的概率为
，收
到1（错误）的概率为
；发送1 时，接收方收到1（正确）的概率为
，收到0（错
误）的概率为
.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发
送1 次，三重传输是指每个信号重复发送3 次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译
码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次
数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ）
A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1 的概率为
B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0 的概率为
C．发送0，若
，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D．当
时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，选对但不全的得部分分，有选错的
得0 分．
9.
下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50 个个体的总体中抽取一个容量为5 的样本，则总
体中个体
被抽到的概率为0.03
B．已知一组数据1，2，
，6，7 的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23 的第70 百分位数是23
D．若样本数据
的标准差为8，则数据
的标准差为
16
10. 下列关于随机事件的概率说法正确的是（ ）
A．若
，则事件
发生，事件
一定发生
B．若事件
与
互斥，则
C．若
，则事件
与
独立
D．若
，
，
，则事件
与
独立
11.
某大学有A，B 两个餐厅，学生只能选择其中一个就餐，经过统计分析发现：学生第一天
选择两个餐厅的概率均为
，而前一天选择了A 餐厅的学生第二天选择A 餐厅的概率为
，
选择B 餐厅的概率为
；前一天选择B 餐厅的学生第二天选择A 餐厅的概率为
，选择B
餐厅的概率为
，如此反复．记某同学第n 天选择A 餐厅的概率为
，选择B 餐厅的概率
为
.一个月（30 天）后，记甲、乙，丙三位同学选择B 餐厅的人数为X，则下列说法中正
确的是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 在
的展开式中，含
的项的系数为 .（用数字作答）
13. 已知随机变量
满足
，
，
，正实数
、
满足
，则
的最小值为 .
14. 桌面游戏简称“桌游”，是一种面对面的游戏，非常注重交流，因此是家庭休闲、朋友聚
会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式.已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足
球”游戏，并约定第一轮甲、乙对打，丙、丁对打，两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏
中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打.若每轮比赛无平局，且各人
之间比赛胜利的概率均为
，则第7 轮甲、丁对打的概率为 .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. 某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200 名
学生的数学成绩.将成绩分为
，
，
，
，
，
，
共6 组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在
内的学生中抽取15 名，则成绩
在
的同学有几个?
(2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试
的平均分和众数；
(3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，
试估计获得表彰的同学的最低分数.
16. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店
进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占
，外地会员占
．现对该店会员开展
商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为
，外地会员对该店商
品质量满意的概率为
．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．
(1)从该店所有会员中随机抽取1 名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
(2)从该店所有会员中随机抽取2 名会员，记这2 名会员中对该店商品质量满意的人数为
，
求
的分布列与数学期望．
17. 2025 年7 月15 日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国
航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从
该校学生中抽取一个容量为200 的样本进行调查，调查结果如下表：
性别
关注情况
高度关注
非高度关注
女学生
30
男学生
90
以频率估计概率，若在这200 名学生中随机抽取1 人，该学生高度关注我国航天事业发展
的概率为
．
(1)求
的值；
(2)根据小概率值
的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与
学生性别有关．
参考公式：
，其中
．
临界值表：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
18. 甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n 道不同的题目供参
赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响．
(1)如果参赛者须回答5 道问题，当连续答对4 道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给
出的各道题目，均有
的概率答对，求甲赢得挑战的概率；
(2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有
的概率答对．记
为乙同学回答
道题目后，没有出现连续答对至少4 道题目这一情形的概率．
（i）求
；
（ii）证明：
．
19. 现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品的不合格率均为
．
(1)在抽取的100 件产品中，恰有2 件不合格品，以频率估计概率，若从该批产品中共抽取
件，记不合格品的数量为
．
（i）求
的期望
；
（ii）当概率
（其中
）取得最大值时，求的值．
(2)极大似然估计是用给定观察数据来估计模型参数的一种统计方法，其基本思想是概率最
大化原则：一个随机试验有若干个可能的结果
，
，
，…，若在一次试验中，结果
出现，则一般认为试验条件对
出现有利，即
出现的概率很大，也就是找到参数
的最
优值
，使得在该参数
下观测数据出现的概率最大（即似然函数
最大）．现对该批
产品估计其不合格品率
，对其进行
次独立观测，每次从中抽取
个产品，记录不合格
品数分别对应为
，
，…，
，求
的极大似然估计值．
