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专题7.3.2 正弦型函数的性质与图像
教学目标
1．掌握正弦型函数
的定义，理解
的实际意义。
2．熟知正弦型函数的定义域、值域、周期等性质，能求其单调区间。
3．会用五点法画正弦型函数一个周期内的简图。
4．掌握
对函数图像的影响及变换途径。
教学重难点
重点：正弦型函数的定义、各参数意义及核心性质；五点法绘图步骤与函数图像的平
移、伸缩变换规律。
难点：理解
对图像形状、位置的综合影响；以整体思想求正弦型函数的单调区
间。
知识点一．正弦型函数
1．定义：形如
（其中
都是常数，且
）的函数，通常称为正弦型函
数．
2．
的实际意义
（1）
的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为________；
（2）
在决定
时小球的________中起关键性作用，称为初相；
（3）周期
表示小球完成________运动所需要的时间，
表示1s 内能完成的________，称为频率．
【即学即练】
1．函数
的周期，振幅，初相分别是
A．
B．
C．
D．
知识点二．
的性质
名称
性质
定义域
值域
________
周期
________
单调性
把
看作一个整体，
由
解出
的范围，可得单调________
区间；
由
解出
的范围，可得单调________
区间；
【即学即练】
2．函数
的图象的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，则函数
的值域为
知识点三．用五点法画
画
一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．
x
－
－＋
－
ωx＋φ
________
________
________
________
________
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
【即学即练】
4．已知
，用“五点法”作出
在
上简图．
知识点四．
对函数
图像的影响
1．
型函数的性质
①函数
的定义域为R，值域为
，周期是
．
②
的图像可由
的图像上的点，横坐标保持不变，________变为原来的________倍得
到．
2．
型函数的性质
①函数
的定义域为R，值域为
，周期是
②
的图像可由
的图像向________（或________）平移得到．
3．
型函数的性质
①函数
的定义域为R，值域为
，周期是
②
的图像可由
图像上的点，纵坐标不变，________变为原来的________得到．
4．
型函数的性质
①正弦型函数
的定义域为R，值域为
，周期是
②
的图像可通过对正弦曲线进行________、________得到
5．函数
的图象经变换得到
的图象的两种途径
【即学即练】
5．要得到函数
的图象，需要把函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
6．已知函数
的部分图象如图所示，则正实数
的值为 ．
题型01 五点法画正弦型函数图象
【例1】已知函数
过原点
.
(1)求
的值；
(2)求函数
在
上的零点；
(3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据.
0
0
1
0
0
【例2】当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式1-1】用“五点法”作
的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，
，
，
，
B．0，
，
，
，
C．0，
，
，
，
D．0，
，
，
，
【变式1-2】
时，函数
与
的图象交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式1-3】已知函数
(1)求出函数
的单调减区间；
(2)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数
在
上的大致图像；
(3)当
时，求曲线
与
的交点个数．（请直接写出答案）
题型02 正弦型函数的周期性
【例3】已知函数
，则它的最小正周期、初相分别是（ ）
A．2π，
B．
，
C．2π，
D．
，
【例4】已知函数
的最小正周期为
，则正数
的值等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【变式2-1】若实数
，则“
”是“函数
的最小正周期为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】已知函数
的最大值为2，最小值为0，则函数
的最小正周期
为 .
求三角函数周期的方法：
1、定义法，即利用周期函数的定义求解；
2、公式法，对形如
（
，
，
是常数，
,
）的函数，
；
3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。
题型03 求正弦型函数的对称轴和对称中心
【例5】下列直线中，是函数
图象对称轴的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
在
时取得最大值
C．函数
的一条对称轴为
D．函数
的一个对称中心为
【变式3-1】函数
的对称轴方程是
【变式3-2】函数
的图象：
①关于点
对称；
②关于直线
对称；
③关于点
对称；
④关于直线
对称．
正确的序号为 ．
【变式3-3】函数
的图象的对称中心的坐标是 .
对于函数
的图象：
（1）对称中心：由
，得对称中心为
，即函数值为0 的点；
（2）对称轴：由
，得对称轴
，即函数取得最大值对应的
与
轴垂直的直线。
题型04 已知正弦型函数的奇偶性或对称性求参数
【例7】函数
的图象关于点
中心对称，则
的值不可能为（ ）
A．-1
B．
C．
D．1
【例8】已知函数
在区间
上有且仅有3 个零点，则
的取值范围为 ．
【变式4-1】已知函数
的图象关于直线
对称，则
的取值可以是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式4-2】已知函数
是偶函数，则
的值可以是（ ）．
A．0
B．
C．
D．
【变式4-3】已知函数
（
，
）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为3，
且对
，
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 根据函数图象求正弦型函数的解析式
【例9】函数
在一个周期内的图象如图所示，则
的解析式
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】（多选）已知函数
的图象如图所示，
，
为曲线
与
轴的交点，
的面积为1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】已知函数
（
，
）的部分图象如图所示，则函数
的表达式为
.
【变式5-2】（多选）函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
为偶函数
【变式5-3】函数
的部分图象如图所示，
是正三角形，其中
两点为图象与
轴的交点，
为图象的最高点，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
给出
的图象的一部分，确定
，
，
的方法：
（1）第一零点法：如果从图象可直接确定
和
，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个
点）的数据代入“
”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得
）；
（2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数
，
，
。这里需要注意的是，
要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式；
（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式
，再根据图象平移规律确
定相关的参数。
题型06 求正弦型函数的单调性
【例11】下列区间是函数
单调递增区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】求函数
在
的单调递增区间 .
【变式6-1】已知函数
的最小正周期为
，则
的单调递增区间为
.
【变式6-2】函数
，
的单调减区间为 .
【变式6-3】函数
与函数
的交点为
，则函数
的一个减区
间是（其中
）（ ）
A．
B．
C．
D．
用“基本函数法”求函数
的单调区间的步骤
第一步：写出基本函数
的相应单调区间；
第二步：将“
”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“
”；
第三步：解关于
的不等式
题型07 求正弦型函数的值域与最值
【例13】已知函数
的最小正周期为2，则
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例14】函数
的最大值为 ．
【变式7-1】已知函数
的最小正周期为
.
(1)求函数
的对称轴；
(2)求函数
在
上的最大值与最小值.
【变式7-2】已知函数
.
(1)求
的对称中心及
的单调减区间；
(2)求
在区间
上的最值及取得最值时的
的值.
【变式7-3】已知函数
(1)求函数
在区间
上的单调递减区间；
(2)求函数
在区间
上的值域．
题型08 已知单调性或值域求参数
【例15】已知函数
，满足
，且在区间
上单调递增，则
的
可能取值是（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2
【例16】若函数
在区间
上恰好有5 个最大值，4 个最小值，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是 .
【变式8-2】已知函数
在
上的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】已知函数
在区间
上不单调，则
的取值范围为 .
已知单调性求参数的范围
（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子
集，列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
题型09 三角函数的图象变换
【例17】为了得到
的图象，只需要把
图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动
个单位长度，纵坐标变为原来的2 倍
B．向右平行移动
个单位长度，纵坐标变为原来的
倍
C．向右平行移动
个单位长度，纵坐标变为原来的2 倍
D．向右平行移动
个单位长度，纵坐标变为原来的
倍
【例18】为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【变式9-1】要得到函数
的图象，只需将
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【变式9-2】将函数
的图象经过平移得到
的图象，直线
为
的图象在
轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【变式9-3】若函数
的图象为曲线
，则（ ）
A．曲线
关于点
对称
B．将曲线
沿着
轴向右平移
个单位长度得到曲线
C．将曲线
沿着
轴向下平移2 个单位长度得到曲线
D．将曲线（多选）
上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线
题型10 求图象变换前后的解析式
【例19】将函数
的图象
上每一个点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到图象
，
再将
向右平移
个单位，得到函数
的图象，则
的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例20】函数
的图象向左平移
个单位长度后，得到函数
的图象，且满足
，都有
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式10-1】将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原
来的
，纵坐标伸长到原来的
倍，得到函数
的图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-2】把函数
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-3】将函数
的图象向左平移
个单位，得到的函数图象关于直线
对称，
则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 正弦型函数的图象性质综合
【例21】将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
所具有的性
质是（ ）
A．图象关于直线
对称
B．图象关于点
成中心对称
C．
的一个单调递增区间为
D．曲线
与直线
的所有交点中，相邻交点距离的最小值为
【例22】已知函数
在
上有两个不同的零点
，则
.
【变式11-1】已知函数
，则
在区间
内的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-2】（多选）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．将
图象上的所有点向左平移
个单位长度后得到的曲线关于y 轴对称
C．
在
上有两个零点
D．
【变式11-3】设函数
（
）的图象与直线
相交的连续的三个公共点从左到右依
次记为
，
，
，若
，则正实数的值为 .
一、单选题
1．已知函数
，
为函数的零点，
为函数图象的对称轴，且二者
之间没有零点和对称轴，则函数在区间
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
2．已知函数
，若存在互不相同的
，使得
，则
的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．
3．已知函数
为偶函数
，其图象与直线
的某两个交点的横坐标为
，若
的最小值为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．关于函数
，有以下三种说法：
①图象的对称中心是点
；
②图象的对称轴是直线
；
③函数的最小正周期是
．
其中正确的说法是（ ）．
A．①②③
B．②③
C．①③
D．③
5．将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则
不可能的
取值为（ ）．
A．
B．
C．0
D．
6．已知函数
在区间
上单调，且满足
，若函数
在
上有且仅有4 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．已知函数
（其中
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于点
中心对称
D．
在
上的值域为
8．已知函数
的最小正周期为
，将
的图象向右平移
个单位长度得到
函数
的图象，则（ ）
A．
B．
C．函数
在区间
上单调递增
D．曲线
与直线
，
，
所围成封闭图形的面积为4π
三、填空题
9．若
，使得
，则实数
的取值范围为 ．
10．已知函数
在区间
上有三个零点
，（
），则
的值为 .
11．已知函数
，若
的图象在
上有且仅有两条对称轴，则
的取值范
围是 ．
四、解答题
12．设函数
，
图象的一个对称中心是
.
(1)求
的值；
(2)当
时，求函数
的值域.
13．已知函数
．
(1)求
；
(2)证明：函数
的图象关于点
对称；
(3)当
时，求函数
的所有零点的和．
14．已知函数
的部分图像，如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图像向右平移
个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不
变，得到函数
的图像，求函数
在区间
上的单调递增区间.
15．将函数
的图象向右平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数
的
图象.
(1)求曲线
的对称中心的坐标；
(2)求
在
上的值域；
(3)若关于
的不等式
对
恒成立，求
的取值范围.
