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专题7.3.1 正弦函数的性质与图象
教学目标
1．熟练掌握五点法绘制正弦函数在
上图象的步骤，能准确找出五个关键点并
画图，会对图象进行平移拓展
2．深刻理解周期函数与最小正周期的定义，能根据定义判断函数是否为周期函数，
会求简单函数的最小正周期
3．全面掌握正弦函数的定义域、值域等核心性质，能运用这些性质解决求值、判断
单调性等基础问题
教学重难点
重点：
五点法绘制正弦函数图象的具体步骤和图象平移的操作方法
周期函数的定义内涵和正弦函数的定义域、值域等图象性质
难点：
周期函数概念的深层理解和最小正周期的准确判断方法
正弦函数单调性、对称性等性质的综合分析与灵活运用
知识点01 正弦函数的图象
正弦函数的图象（五点法）
①画出正弦曲线在
上的图象的五个关键点
，
，
，
，
，用光滑
的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次
个单位长度)．
【即学即练】
知识点02 周期函数
1.周期函数的定义：一般地,设函数
的定义域为
,如果存在一个非零常数
,使得对每一个
,都
有
,且
,那么函数
就叫做周期函数.非零常数
叫做这个函数的周期.
2.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做
的最小正周期
【即学即练】
1．用五点法作函数
，
的图像时，应该取的五个点坐标为 ， ，
， ， .
【答案】
2．利用“五点法”作出函数
的简图.
【答案】简图见解析
【详解】取值列表：
0
0
1
0
－1
0
1
0
1
2
1
描点连线，如图所示.
【即学即练】
1．函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由正弦函数的最小正周期公式得
的最小正周期为
，
由正弦函数性质得
，故加减运算和开算术平方根不影响周期性，
则函数
的最小正周期是
，故B 正确.
故选：B
2．函数
的最小正周期为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】
的最小正周期为
.
故选：D.
知识点03 正弦函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
单调性
在
(
)上单调递增;
在
上单调递减
最值
当
(
)时，
;当
(
)时，
对称性
对称中心为
(
),对称轴为直线
(
)
【即学即练】
1．函数
图像的对称轴方程是 .
【答案】
（其中
为整数）.
【详解】正弦函数
的对称轴是直线
（其中
为整数）.
因为纵坐标的伸缩变换与上下平移变换均不影响水平方向的对称性.
函数
的对称轴方程为
（其中
为整数）.
故答案为：为
（其中
为整数）.
2．已知
为奇函数，则
．
【答案】
【解析】由
可求出
，然后代入计算即可得出
的值．
【详解】由奇函数的性质可得
，故
，所以
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数解析式及求解函数值，属于基础试题．
题型01 五点作图法画正弦函数图象
【例1】函数
，其中
，（
），（a，
），它的图象如图所示，则
的解析式为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】点
与
代入
中，
可得
，解得
，
.
故选：A．
【例2】作出函数
的图象.
【答案】图象见解析
【详解】当
时，
与
的图象完全相同，
又
，所以
为偶函数，
故图象关于
轴对称，其图象如图所示：
.
【变式1-1】（多选）函数
与
有一个交点，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】BD
【详解】画出
的图象.
如图：直线
和
与
的图象只有一个交点，
故
或
.
故选：BD.
【变式1-2】已知函数
，
(1)用五点法画函数
的图象；
(2)讨论函数
图象与直线
（为常数）的交点个数.
【答案】(1)图象见解析；
(2)答案见解析.
【分析】
【详解】（1）由题意，列表：
0
1
0
-1
0
1
2
1
1
根据五点，作图：
（2）
其图象如图：
观察图象得：当
或
时，有0 个交点；
当
或
时，有1 个交点；
当
或
时，有2 个交点；
当
时，有3 个交点.
【变式1-3】画出函数
的简图．
【答案】图象见解析
【详解】
，
的图象如下图所示，
“五点法”作函数
的图像
（1）列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数
的五点；
（2）描点：将函数
的五点在坐标系中描出来；
（3）连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接。
题型02 与正弦函数有关的零点问题
【例3】已知函数
，则方程
解的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】根据题意，令
，分别作出函数
与函数
的图象.
在区间
内，函数
单调递减，与函数
有1 个交点；
在区间
内，函数
的值域为
，函数
单调递增且值域为
，
又当
时，
，结合图象，在区间
内，函数
与函数
有3 个交
点，
故方程
解的个数为4.
故选：D.
【例4】函数
，
的图象与直线
的交点个数为 ．
【答案】2
【详解】令
，
，
，
，所以
或
，故所求为2.
故答案为：2.
【变式2-1】（多选）函数
的零点所在区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由
得
，
作出函数
与函数
的图象如图，
由图可知在区间
和
上存在零点.
故选：AC.
【变式2-2】若函数
，
的图象与直线
有且仅有：
（1）1 个交点，则
的取值范围是 ；
（2）2 个不同的交点，则
的取值范围是 ；
（3）3 个不同的交点，则
的取值范围是 ；
（4）4 个不同的交点，则
的取值范围是 ．
【答案】
或
【详解】
由图即得：（1）当
时，恰有1 个交点；
（2）当
时，恰有2 个不同的交点；
（3）当
或
时，恰有3 个不同的交点；
（4）当
时，恰有4 个不同的交点．
【变式2-3】已知函数
在区间
上恰有5 个零点，则a 的取值范围是
.
【答案】
【详解】设函数
，作出
在区间
上的大致图象，
如图所示.令
，得
，由图可知，当
时，
直线
与
在区间
上的图象恰有5 个不同的交点，
即
在区间
上恰有5 个零点.
故答案为：
.
题型03 由正弦函数图象解不等式
【例5】在
中，“
”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．
既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】在
中，
，一方面，若
，则
，所以
；
另一方面，若
，取
，则
；
所以“
“是“
“的充分不必要条件．
故选：B．
【例6】函数
的定义域为 .
【答案】
且
【详解】由题意
，
，
作出
一个周期内的简图，由图可得
的解为
；
与
取交集可得
且
.
故答案为：
且
【变式3-1】函数
的定义域为 .
【答案】
【详解】由题：
，即
，
由正弦函数的图像与性质得：
，
故答案为：
.
【变式3-2】在
内，下列区间中使得
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图画出函数
在
内的图象，
因为
，
结合图象可知，在
内，不等式
的解集为
.
故选：B．
【变式3-3】函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
的定义域满足
，
故
，由于
，所以
，
故
，解得
，
故函数的定义域为
故选：C
用正弦函数图象解三角不等式的步骤：
①作出正弦函数
在区间
上的图象，再画出不等式对应的直线
，找出两者的交点横坐
标。
②结合图象观察，确定在区间
内满足三角不等式的
的取值范围，写出该区间内的解集。
③根据正弦函数的周期性，给
内的解集加上周期的整数倍
，得到不等式的完整解集。
题型04 正弦函数的周期性及应用
【例7】函数
的周期为 ．
【答案】
【详解】因为正弦函数
的最小正周期为
，
的图象是由
的图象关于
轴翻折，再向上平移一个单位得到，
翻折和平移时周期不变，所以
的周期为
．
故答案为：
【例8】已知函数
，则函数
的最小正周期为 ．
【答案】
【详解】由正弦函数的图象与性质，可得
的最小正周期为
，
的最小正周期为
，
可得
，
，
所以函数
的一个正周期为
.
设
是函数
的正周期，
则
，
当
时，
，
当
时得
，无解.
所以
的最小正周期只能是
的任意正整数倍，
但上面已经证明
不是函数
的周期，
是函数
的周期，
所以函数
的最小正周期为
.
故答案为：
．
【变式4-1】函数
的最小正周期是 ．
【答案】
【详解】函数
的最小正周期
，
函数
的图象是函数
在x 轴上方的不动，将x 轴下方的图象关于x 轴翻折得到的，
于是得函数
的最小正周期是函数
的最小正周期的一半，即
，
所以函数
的最小正周期是
.
故答案为：
【变式4-2】定义在
上的函数
既是偶函数，又是周期函数，若
的最小正周期为
，且当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
函数
是偶函数，又
是最小正周期为
的周期函数，
当
时，
，
，故D 正确．
故选：D．
【变式4-3】已知函数
．
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期；
(3)求此函数的值域．
【答案】(1)见解析；
(2)是周期函数，最小正周期为
；
(3)值域为
.
【分析】
【详解】（1）
函数图象如图所示：
（2）由图象知该函数是周期函数，其图象至少每隔
重复一次，故函数的最小正周期是
.
（3）由图象易得函数值域为
.
正弦函数
的最小正周期为
。对于含绝对值的三角函数，可通过图象变换的方法画出函数图
象，再从图象中直观判断其周期性。在选择题中，还能依据周期函数的定义来验证选项，即判断是否存在
非零常数
，使得对定义域内任意
都满足
。
题型05 正弦函数的奇偶性及应用
【例9】函数
是（ ）
A．周期为
的奇函数
B．周期为
的奇函数
C．周期为
的偶函数
D．周期为
的偶函数
【答案】D
【详解】设
，
，所以
为偶函数，
因为
的周期为
，
所以
的周期为
，
故选：D．
【例10】函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由函数
，定义域为
，
有
，
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D 项；
又由
，可排除C 项，
所以函数
的图象为选项A.
故选：A.
【变式5-1】下列函数中，值域为
且为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于函数
，定义域为
，而
，∴该函数不是奇函数.故A 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是偶函
数，不是奇函数.故B 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为
，不是
.故C 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是奇函数.当
趋
于正无穷时，
趋于正无穷；当
趋于负无穷时，
趋于负无穷；并且函数在定义域内是连
续的，
值域为
.故D 正确.
故选:D.
【变式5-2】已知
是奇函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【详解】易知
，且定义域为R，若其为奇函数，
则
，故
，经检验成立.
故选：B
【变式5-3】判断下列函数的奇偶性.
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)非奇非偶函数
(2)奇函数
(3)奇函数
【分析】
【详解】（1）函数
的定义域
关于原点对称，
又∵
，
，
∴
，
∴
为非奇非偶函数；
（2）由
，解得
，
得函数定义域为
，关于原点对称.
又
，
∴
是奇函数；
（3）∵
，∴
，
∴
且
，
，
∴函数的定义域关于原点对称，
又∵
，
∴
是奇函数.
题型06 利用单调性比较大小
【例11】若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可得：
，
，
.
故选：C
【例12】下列关系式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，
由正弦函数的单调性得
，即
.
故选：A
【变式6-1】比较下列各组数的大小：
(1)
和
；
(2)
和
.
【答案】(1)
.
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
正弦函数
在区间
上是增函数,
所以
.
（2）
，
，又
，
正弦函数
在区间
上是增函数,
所以
，即
.
【变式6-2】已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】根据对数函数单调性由
可知，不妨取
，
此时
，不满足
，即充分性不成立；
若
，不妨取
，
此时
，不满足
，即必要性不成立；
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D
【变式6-3】设
均为锐角，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由
，得到
，
，故充分性成立；
由
得
因为
在
上是单调增函数，
，可得
，
，必要性成立．
故“
”是“
”的充要条件．
故选：C.
利用诱导公式将角度转化到同一个单调区间内，根据正弦函数的单调性确定三角函数值的大小。
题型07 正弦函数的值域问题
【例13】函数
的值域是 ．
【答案】
【详解】设
，
在区间
上单调递增，
所以
，
的值域为
.
故答案为：
【例14】函数
的最大值为 ．
【答案】6
【详解】
，
又
，函数
在
上单调递增，
所以函数最大值为
．
故答案为：6．
【变式7-1】已知集合
，集合
，则
.
【答案】
【详解】因为
，且
，
所以
.
故答案为：
.
【变式7-2】函数
在区间
上的值域为 ．
【答案】
【详解】当
时，
，
当
时，
，
所以
的值域为
．
故答案为：
【变式7-3】已知函数
，求函数的值域.
【答案】函数的值域为
.
【详解】令
，则
，
，
易知函数
在
上单调递增，
，
所以
.
求解含正弦函数表达式的值域时，可将正弦函数视为一个整体，通过换元法简化表达式，再结合基本初等
函数的单调性计算值域。常见题型及解法如下：
一次型
：利用正弦函数
的有界性求解，需注意讨论系数
的正负。
二次型
：设
进行换元，转化为二次函数求最值，的取值范围需
结合原函数定义域确定。
分式型：可通过两种方法求解，一是分离常数法变形表达式，结合三角函数有界性计算；二是运用判别式
法求解值域。
一、单选题
1．函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．周期为
【答案】B
【详解】根据题意，函数
，其定义域为
，
有
，
则A、C 错误，B 正确；
又由
，则
的周期不是
，D 错误.
故选：B.
2．函数
与
图象的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】在同一直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：
利用数形结合思想可以判断函数
与
图象的交点个数一共有
个，
故选：D
3．在
中，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】在
中，若
，则
，满足
，即必要性成立；
若
，例如
，可得
，即充分性不成立；
故在
中，“
”是“
”的必要不充分条件，
故选：B.
4．化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
因为
，而
在
上单调递增，故
，
所以
，
故
.
故选：C
5．已知
均为锐角，若
则p 是q 的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】先证
不成立：
令
，则满足
，但不满足
，
所以
不成立；
再证
成立：
因为
，又
，所以
，
因为
在
上单调递增，所以
，故
成立；
综上：p 是q 的必要而不充分条件.
故选：B.
6．已知函数
，
，若函数
在
上的大致图象如图所示，则
的解析式可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】易知
为奇函数，由
，则
为奇函数，
因为
是奇函数，
是奇函数，由图象可知，所求函数是偶函数，而
是奇函数，A，B 不
符合题意；
因为当
时，
无意义，所以D 不符合题意．
故选：C．
7．函数
的最小值是（ ）．
A．
B．4
C．
D．5
【答案】C
【详解】易知
不为0，由
可得
因此
，
当且仅当
时，等号成立；
故选：C．
二、多选题
8．函数
的图像与直线
（为常数）的交点可能有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】ABC
【详解】在同一直角坐标系中，作出
与
图象，
由图象可知，
函数
的图像与直线
（为常数）的交点个数可能为0,1,2，
故选：ABC
9．已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于
轴对称
C．
的值域为
D．将函数
的图象向上平移一个单位长度可以得到
的图象
【答案】AD
【详解】因为
，所以
的最小正周期为
，A 正确；
不是偶函数，图象不关于
轴对称，
错误；
因为
，所以
的值域为
，C 错误；
将函数
的图象向上平移一个单位长度可以得到
的图象，D 正确．
故选：AD.
三、填空题
10．函数
的单调增区间是 .
【答案】
,
.
【详解】函数
的单调增区间是
,
.
故答案为：
,
.
11．函数
在区间
上的值域为 .
【答案】
【详解】因为
，
，所以
.
所以函数
的值域为
.
故答案为：
.
12．不等式
，
的解集是 .
【答案】
【详解】画出函数
在
的图象，
当
时，
或
，
观察图形可知，不等式的解集为
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查三角函数不等式的求解，属于基础题.
13．若关于
的方程
在
内有实数解，则
的取值范围是
【答案】
/
【详解】由题意可得，
，
令
，
，则
，
若
，对称轴为
，
所以
在
单调递增，
因为
在
有解，
由零点存在性定理可得，
，
解得
，所以实数
的取值范围为：
.
故答案为：
.
四、解答题
14．已知函数
(1)用五点法作图作出
在
的图象；
(2)求
在
的最大值和最小值.
【答案】(1)作图见解析；
(2)
，
.
【分析】
【详解】（1）列表如下：
x
对应的图象如图：
（2）由
且
，结合图象知
，且
.
15．求函数
的单调递增区间．
【答案】
【详解】由
解得
．
又
单调递增区间为
函数
为定义域上的增函数，
所以原函数的单调递增区间为
16.判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)偶函数，理由见解析
(2)奇函数 ，理由见解析
(3)非奇非偶函数，理由见解析
【分析】
【详解】（1）偶函数 因为函数定义域为
，任取
，
，所以函数是
偶函数；
（2）奇函数 因为函数定义域为
，任取
，
，所以函数是奇函
数；
（3）非奇非偶函数 因为
，
，故
且
，所以函数
是非奇非偶函数.
