文档文本内容
专题7.3.1 正弦函数的性质与图象
教学目标
1．熟练掌握五点法绘制正弦函数在
上图象的步骤，能准确找出五个关键点并
画图，会对图象进行平移拓展
2．深刻理解周期函数与最小正周期的定义，能根据定义判断函数是否为周期函数，
会求简单函数的最小正周期
3．全面掌握正弦函数的定义域、值域等核心性质，能运用这些性质解决求值、判断
单调性等基础问题
教学重难点
重点：
五点法绘制正弦函数图象的具体步骤和图象平移的操作方法
周期函数的定义内涵和正弦函数的定义域、值域等图象性质
难点：
周期函数概念的深层理解和最小正周期的准确判断方法
正弦函数单调性、对称性等性质的综合分析与灵活运用
知识点01 正弦函数的图象
正弦函数的图象（五点法）
①画出正弦曲线在________ 上的图象的五个关键点________ ，________ ，________ ，________ ，
________，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次________个单位长度)．
【即学即练】
知识点02 周期函数
1.周期函数的定义：一般地,设函数
的定义域为
,如果存在一个非零常数
,使得对每一个
,都
有
,且________,那么函数
就叫做周期函数.非零常数
叫做这个函数的周期.
2.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________,那么这个最小正数就叫做
的最小正周期
【即学即练】
1．用五点法作函数
，
的图像时，应该取的五个点坐标为 ， ，
， ， .
2．利用“五点法”作出函数
的简图.
【即学即练】
1．函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的最小正周期为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
知识点03 正弦函数的图象与性质
函数
图象
定义域
________
值域
周期性
奇偶性
________
单调性
在________(
)上单调递增;
在________
上单调递减
最值
当________(
)时，
;当________(
)时，
对称性
对称中心为________(
),对称轴为直线________(
)
【即学即练】
1．函数
图像的对称轴方程是 .
2．已知
为奇函数，则
．
题型01 五点作图法画正弦函数图象
【例1】函数
，其中
，（
），（a，
），它的图象如图所示，则
的解析式为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例2】作出函数
的图象.
【变式1-1】（多选）函数
与
有一个交点，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【变式1-2】已知函数
，
(1)用五点法画函数
的图象；
(2)讨论函数
图象与直线
（为常数）的交点个数.
【变式1-3】画出函数
的简图．
“五点法”作函数
的图像
（1）列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数
的五点；
（2）描点：将函数
的五点在坐标系中描出来；
（3）连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接。
题型02 与正弦函数有关的零点问题
【例3】已知函数
，则方程
解的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【例4】函数
，
的图象与直线
的交点个数为 ．
【变式2-1】（多选）函数
的零点所在区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】若函数
，
的图象与直线
有且仅有：
（1）1 个交点，则
的取值范围是 ；
（2）2 个不同的交点，则
的取值范围是 ；
（3）3 个不同的交点，则
的取值范围是 ；
（4）4 个不同的交点，则
的取值范围是 ．
【变式2-3】已知函数
在区间
上恰有5 个零点，则a 的取值范围是
.
题型03 由正弦函数图象解不等式
【例5】在
中，“
”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．
既不充分又不必要条件
【例6】函数
的定义域为 .
【变式3-1】函数
的定义域为 .
【变式3-2】在
内，下列区间中使得
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
用正弦函数图象解三角不等式的步骤：
①作出正弦函数
在区间
上的图象，再画出不等式对应的直线
，找出两者的交点横坐
标。
②结合图象观察，确定在区间
内满足三角不等式的
的取值范围，写出该区间内的解集。
③根据正弦函数的周期性，给
内的解集加上周期的整数倍
，得到不等式的完整解集。
题型04 正弦函数的周期性及应用
【例7】函数
的周期为 ．
【例8】已知函数
，则函数
的最小正周期为 ．
【变式4-1】函数
的最小正周期是 ．
【变式4-2】定义在
上的函数
既是偶函数，又是周期函数，若
的最小正周期为
，且当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】已知函数
．
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期；
(3)求此函数的值域．
正弦函数
的最小正周期为
。对于含绝对值的三角函数，可通过图象变换的方法画出函数图
象，再从图象中直观判断其周期性。在选择题中，还能依据周期函数的定义来验证选项，即判断是否存在
非零常数
，使得对定义域内任意
都满足
。
题型05 正弦函数的奇偶性及应用
【例9】函数
是（ ）
A．周期为
的奇函数
B．周期为
的奇函数
C．周期为
的偶函数
D．周期为
的偶函数
【例10】函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】下列函数中，值域为
且为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】已知
是奇函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式5-3】判断下列函数的奇偶性.
(1)
；
(2)
；
(3)
.
题型06 利用单调性比较大小
【例11】若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】下列关系式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】比较下列各组数的大小：
(1)
和
；
(2)
和
.
【变式6-2】已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【变式6-3】设
均为锐角，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
利用诱导公式将角度转化到同一个单调区间内，根据正弦函数的单调性确定三角函数值的大小。
题型07 正弦函数的值域问题
【例13】函数
的值域是 ．
【例14】函数
的最大值为 ．
【变式7-1】已知集合
，集合
，则
.
【变式7-2】函数
在区间
上的值域为 ．
【变式7-3】已知函数
，求函数的值域.
求解含正弦函数表达式的值域时，可将正弦函数视为一个整体，通过换元法简化表达式，再结合基本初等
函数的单调性计算值域。常见题型及解法如下：
一次型
：利用正弦函数
的有界性求解，需注意讨论系数
的正负。
二次型
：设
进行换元，转化为二次函数求最值，的取值范围需
结合原函数定义域确定。
分式型：可通过两种方法求解，一是分离常数法变形表达式，结合三角函数有界性计算；二是运用判别式
法求解值域。
一、单选题
1．函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．周期为
2．函数
与
图象的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．在
中，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
均为锐角，若
则p 是q 的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知函数
，
，若函数
在
上的大致图象如图所示，则
的解析式可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数
的最小值是（ ）．
A．
B．4
C．
D．5
二、多选题
8．函数
的图像与直线
（为常数）的交点可能有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
9．已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于
轴对称
C．
的值域为
D．将函数
的图象向上平移一个单位长度可以得到
的图象
三、填空题
10．函数
的单调增区间是 .
11．函数
在区间
上的值域为 .
12．不等式
，
的解集是 .
13．若关于
的方程
在
内有实数解，则
的取值范围是
四、解答题
14．已知函数
(1)用五点法作图作出
在
的图象；
(2)求
在
的最大值和最小值.
15．求函数
的单调递增区间．
16．判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
