考点09函数的定义域与值域（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 09 函数的定义域与值域 【命题解读】 掌握常见函数的定义域以及值域， 【基础知识回顾】 1、常见函数的定义域： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5)y＝tan x的定义域为. (6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}. 2、求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；反解法；单调性法；基本不等式法，求 导； 4x2 y  1、（2020·枣庄市第三中学月考）函数 的定义域为（ ） 1log x 2  1 1  A． 0,2 B．   0, 2    2 ,2   C． 2,2 D． 2,2 【答案】B 【解析】 4x2�0  要使函数有意义，则x0 ，  1log x0  2 2剟x 2  x0 得 ，  1 x  2 1 1 0 x  x�2 即 2或2 ，  1 1   0,  ,2  即函数的定义域为 2 2 ， 故选：B． 2、函数的y＝值域为( ) A. [0，＋∞) B. [0，2] C. [2，＋∞) D. (2，＋∞) 【答案】B 【解析】 设μ＝－x2－6x－5，则原函数可化为：y＝. 又∵μ＝－x2－6x－5＝－2＋4≤4，∴0≤μ≤4，故∈， ∴函数y＝的值域为.故选B. 3、函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，其中A(1，2)，B(3，0)，函数g(x)＝x·f(x)，那么函数g(x) 的值域为( ) A．[0，2] B. C. D．[0，4] 【答案】B 【解析】 由题图可知，直线OA的方程是y＝2x；因为k ＝＝－1，所以直线AB的方程为y＝－(x－3)＝ AB －x＋3. 所以f(x)＝ 所以g(x)＝x·f(x)＝ 当0≤x≤1时，g(x)＝2x2，此时函数g(x)的值域为[0，2]； 当11,4x-3 ,故可知所求的定义域为 。 考向一 求函数的定义域 3x2 f x lg3x1 例1、（2020·山东省东明县实验中学月考）函数 1x 的定义域是（ ）  1   1   1 1  1   ,    ,1    ,   ,  A． 3  B． 3  C． 3 3 D． 3 【答案】B【解析】 3x2 f x lg3x1 由函数 1x ，知 1x0 1    x1 3x10解之得： 3 故选：B 变式1、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）函数 的定义域为 _____ 【答案】 【解析】根据题意，由于函数 ，则使得原式有意义的x的取值范围满足4x-3>1,4x-3 ,故可知所求的定义域为 。 变式2、若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵函数y＝的定义域为R， ∴mx2＋4mx＋3≠0， ∴m＝0或 即m＝0或01)． 【解析】(1)(方法1)(单调性法)由y＝＝2－，结合函数的图像可知，函数在[3，5]上是单调递增函数， ∴y ＝，y ＝，故所求函数的值域是. max min (方法2)(反表示法)由y＝，得x＝.∵x∈[3，5]，∴3≤≤5，解得≤y≤，即所求函数的值域是. (2)(基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)， ∴y＝＝＝t＋－2(t>0)．∵t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[2－ 2，＋∞)． 变式1、(2019·深圳调研)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________． (2)若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________． (3)函数f(x)＝的最大值为________． 【答案】(1)[3，＋∞) (2)1 (3)2 【解析】 (1)图象法 函数y＝ 作出函数的图象如图所示． 根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法 ∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数， ∴f(x) ＝f＝，f(x) ＝f(2)＝2. min max 即解得a＝1，b＝. (3)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数 f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2. 变式2、函数f(x)＝的值域为________________． 【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞) 【解析】当x>0时，f(x)＝x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号； 当x<0时，－x＋≥4， 即f(x)＝x＋≤－4， 当且仅当x＝－2取等号， 所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 变式3、 (1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________； (2)函数y＝x－的值域为________． 【答案】(1)2 (2)[－2，2] 【解析】 (1)设＝t(t≥0)，所以x＝1－t2.所以y＝f(x)＝x＋2＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所 以当t＝1即x＝0时，y ＝f(x) ＝2. max max (2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2， 所以设x＝2cos θ(θ∈[0，π])， 则y＝2cos θ－＝2cos θ－2sin θ ＝2cos， 因为θ＋∈， 所以cos∈，所以y∈[－2，2]． 变式4、.(2015福建)若函数 ( 且 )的值域是 ，则实数 的取 值范围是 ． 【答案】 【解析】因为 ，所以当 时， ；又函数 的值域为 ， 所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 ． 方法总结： 1. 求函数的值域方法比较灵活，常用方法有： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求值域； (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，得到值域； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值， 得出值域； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，再用相应的方法求值域； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求1 f(x)= 1、(2014山东)函数 √ (log x) 2 −1的定义域为（ ） 2 1 1 1 (0， ) (0， )(2,+∞) (0， ][2，+∞) A． 2 B．(2，+∞) C． 2 D． 2 【答案】C 【解析】 ，解得 ． 1 2、(2012山东)函数 f(x)  4x2 的定义域为 ln(x1) A．[2,0)(0,2] B．(1,0)(0,2] C．[2,2] D．(1,2] 【答案】B  x10,  【解析】∵  x11, 1 x0或0 x2. 故选B．  4x2 0,  3、.(2012课标，文16)设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____ 【答案】2 【解析】 = ，设 = = ，则 是奇函数，∵ 最大值为 M，最小值为 ，∴ 的最大值为M-1，最小值为 －1，∴ ， =2. 3、（2017浙江）若函数 在区间[0，1]上的最大值是 ，最小值是 ，则 A．与 有关，且与 有关 B．与 有关，但与 无关 C．与 无关，且与 无关 D．与 无关，但与 有关 【答案】B【解析】函数 的对称轴为 ， ①当 ，此时 ， ， ； ②当 ，此时 ， ， ； ③当 ，此时 ， 或 ， 或 ．综上， 的值与 有关，与 无关．选B． 4、（2020北京11）函数 的定义域是__________． 【答案】 【解析】要使得函数 有意义，则 ，即 ，∴定义域为 ． 5、(2015山东)已知函数 的定义域和值域都是 ，则 ． 【答案】 【解析】当 时 ，无解；当 时 ，解得 ， ，则 ． log x,x1  1 6、(2013北京)函数 f(x) 2 的值域为 ．  2x,x1【答案】 【解析】当 时， ，当 时， ，∴值域为 ． 7、（2020·山东师范大学附中高三月考）xR， x 表示不超过 x 的最大整数.十八世纪， y x 被 “数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ） x1,0 x1 xx1 A． ， B．xR， x,yR xyx y y  xxxR 0,1 C． ， D．函数 的值域为 【答案】CD 【解析】 01,0 001 对于A， ，而 ，故A错误； xx1 xx1 对于B，因为 ，所以 恒成立，故B错误； x,yR 0 xx1 0 yy1 0 xx yy2 对于C， ， ， ，所以 ， 1 xx yy2 xy1x y xyx y 当 时， ，此时 ； 0 xx yy1 xyx y xyx y 当 时， ，此时 ， x,yR xyx y 所以 ， ，故C正确； 0 xx1 y  xxxR 0,1 对于D，根据定义可知， ，所以函数 的值域为 ，故D正确. 故选：CD.