考点09函数的定义域与值域（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 09 函数的定义域与值域
【命题解读】
掌握常见函数的定义域以及值域，
【基础知识回顾】
1、常见函数的定义域：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.
(5)y＝tan x的定义域为.
(6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.
2、求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；反解法；单调性法；基本不等式法，求
导；
4x2
y 
1、（2020·枣庄市第三中学月考）函数 的定义域为（ ）
1log x
2
 1 1 
A．
0,2
B．


0,
2



2
,2


C．
2,2
D．
2,2
【答案】B
【解析】
4x2�0

要使函数有意义，则x0
，

1log x0
 2
2剟x 2

x0
得 ，

1
x
 2
1 1
0 x  x�2
即 2或2 ，
 1 1 
 0,  ,2 
即函数的定义域为 2 2 ，
故选：B．
2、函数的y＝值域为( )
A. [0，＋∞) B. [0，2]
C. [2，＋∞) D. (2，＋∞)
【答案】B
【解析】 设μ＝－x2－6x－5，则原函数可化为：y＝.
又∵μ＝－x2－6x－5＝－2＋4≤4，∴0≤μ≤4，故∈，
∴函数y＝的值域为.故选B.
3、函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，其中A(1，2)，B(3，0)，函数g(x)＝x·f(x)，那么函数g(x)
的值域为( )
A．[0，2] B.
C. D．[0，4]
【答案】B
【解析】 由题图可知，直线OA的方程是y＝2x；因为k ＝＝－1，所以直线AB的方程为y＝－(x－3)＝
AB
－x＋3.
所以f(x)＝
所以g(x)＝x·f(x)＝
当0≤x≤1时，g(x)＝2x2，此时函数g(x)的值域为[0，2]；
当1<x≤3时，g(x)＝－x2＋3x＝－＋，显然，当x＝时，函数g(x)取得最大值；当x＝3时，函数
g(x)取得最小值0.此时函数g(x)的值域为.
综上可知，函数g(x)的值域为.故选B.4、（多选题）下列函数中定义域是 的有
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于 ，函数 ，定义域为 ，满足题意；
对于 ，函数 ，定义域为 ，不满足题意；
对于 ，函数 ，定义域为 ，满足题意；
对于 ，函数 ，定义域为 ， ， ，不满足题意．
故选： ．
5（2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟）函数 的定义域为__________
【答案】
【解析】根据题意，由于函数 ，则使得原式有意义的x的取值范围满足4x-3>1,4x-3
,故可知所求的定义域为 。
考向一 求函数的定义域
3x2
f x lg3x1
例1、（2020·山东省东明县实验中学月考）函数 1x 的定义域是（ ）
 1   1   1 1  1
  ,    ,1    ,   , 
A． 3  B． 3  C． 3 3 D． 3
【答案】B【解析】
3x2
f x lg3x1
由函数 1x ，知
1x0
1
   x1
3x10解之得：
3
故选：B
变式1、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）函数 的定义域为
_____
【答案】
【解析】根据题意，由于函数 ，则使得原式有意义的x的取值范围满足4x-3>1,4x-3
,故可知所求的定义域为 。
变式2、若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 ∵函数y＝的定义域为R，
∴mx2＋4mx＋3≠0，
∴m＝0或
即m＝0或0<m<，
∴实数m的取值范围是.
变式3、已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为( )
A．(－2，0) B．(－2，2)
C．(0，2) D.
【答案】C【解析】由题意得∴
∴0<x<2，
∴函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(0，2)．
方法总结：求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.
(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域
为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.
考向二 函数的值域
求下列函数的值域．
(1)y＝，x∈[3，5]；
(2)y＝(x>1)．
【解析】(1)(方法1)(单调性法)由y＝＝2－，结合函数的图像可知，函数在[3，5]上是单调递增函数，
∴y ＝，y ＝，故所求函数的值域是.
max min
(方法2)(反表示法)由y＝，得x＝.∵x∈[3，5]，∴3≤≤5，解得≤y≤，即所求函数的值域是.
(2)(基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，
∴y＝＝＝t＋－2(t>0)．∵t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[2－
2，＋∞)．
变式1、(2019·深圳调研)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
(2)若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________．
(3)函数f(x)＝的最大值为________．
【答案】(1)[3，＋∞) (2)1 (3)2
【解析】 (1)图象法
函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．
(2)单调性法
∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x) ＝f＝，f(x) ＝f(2)＝2.
min max
即解得a＝1，b＝.
(3)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数
f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
变式2、函数f(x)＝的值域为________________．
【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞)
【解析】当x>0时，f(x)＝x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号；
当x<0时，－x＋≥4，
即f(x)＝x＋≤－4，
当且仅当x＝－2取等号，
所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
变式3、 (1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________；
(2)函数y＝x－的值域为________．
【答案】(1)2 (2)[－2，2]
【解析】 (1)设＝t(t≥0)，所以x＝1－t2.所以y＝f(x)＝x＋2＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所
以当t＝1即x＝0时，y ＝f(x) ＝2.
max max
(2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
所以设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，
则y＝2cos θ－＝2cos θ－2sin θ
＝2cos，
因为θ＋∈，
所以cos∈，所以y∈[－2，2]．
变式4、.(2015福建)若函数 ( 且 )的值域是 ，则实数 的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以当 时， ；又函数 的值域为 ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 ．
方法总结： 1. 求函数的值域方法比较灵活，常用方法有：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求值域；
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，得到值域；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值，
得出值域；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，再用相应的方法求值域；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求1
f(x)=
1、(2014山东)函数 √ (log x) 2 −1的定义域为（ ）
2
1 1 1
(0， ) (0， )(2,+∞) (0， ][2，+∞)
A． 2 B．(2，+∞) C． 2 D． 2
【答案】C
【解析】 ，解得 ．
1
2、(2012山东)函数 f(x)  4x2 的定义域为
ln(x1)
A．[2,0)(0,2] B．(1,0)(0,2] C．[2,2] D．(1,2]
【答案】B
 x10,

【解析】∵  x11, 1 x0或0 x2. 故选B．

4x2 0,

3、.(2012课标，文16)设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
【答案】2
【解析】 = ，设 = = ，则 是奇函数，∵ 最大值为
M，最小值为 ，∴ 的最大值为M-1，最小值为 －1，∴ ， =2.
3、（2017浙江）若函数 在区间[0，1]上的最大值是 ，最小值是 ，则
A．与 有关，且与 有关 B．与 有关，但与 无关
C．与 无关，且与 无关 D．与 无关，但与 有关
【答案】B【解析】函数 的对称轴为 ，
①当 ，此时 ， ， ；
②当 ，此时 ， ， ；
③当 ，此时 ， 或 ， 或
．综上， 的值与 有关，与 无关．选B．
4、（2020北京11）函数 的定义域是__________．
【答案】
【解析】要使得函数 有意义，则 ，即 ，∴定义域为 ．
5、(2015山东)已知函数 的定义域和值域都是 ，则 ．
【答案】
【解析】当 时 ，无解；当 时 ，解得 ， ，则
．
log x,x1
 1
6、(2013北京)函数 f(x) 2 的值域为 ．
 2x,x1【答案】
【解析】当 时， ，当 时， ，∴值域为 ．
7、（2020·山东师范大学附中高三月考）xR，
x
表示不超过 x 的最大整数.十八世纪，
y x
被
“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（
）
x1,0 x1 xx1
A． ， B．xR，
x,yR xyx y y  xxxR 0,1
C． ， D．函数 的值域为
【答案】CD
【解析】
01,0 001
对于A， ，而 ，故A错误；
xx1 xx1
对于B，因为 ，所以 恒成立，故B错误；
x,yR 0 xx1 0 yy1 0 xx yy2
对于C， ， ， ，所以 ，
1 xx yy2 xy1x y xyx y
当 时， ，此时 ；
0 xx yy1 xyx y xyx y
当 时， ，此时 ，
x,yR
xyx y
所以 ， ，故C正确；
0 xx1 y  xxxR 0,1
对于D，根据定义可知， ，所以函数 的值域为 ，故D正确.
故选：CD.