2024年高考数学一轮复习（新高考版）第10章　§10.9　概率、统计与其他知识的交汇问题[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）

§10.9 概率、统计与其他知识的交汇问题 有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势， 考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容．近几年将概率、统计问题与数列、函数、 导数结合，成为创新问题． 题型一 概率、统计与数列的综合问题 例1 “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”．某公司组织全员每天进行 体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工，该系列纪念币有A ，A ， 1 2 A，A 四种．每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼．锻炼结束后员 3 4 工将随机等可能地获得一枚纪念币． (1)某员工活动前两天获得A ，A ，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是 1 4 多少？ (2)通过抽样调查发现，活动首日有的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”；在前 一天选择“球类”的员工中，次日会有的员工继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在 前一天选择“田径”的员工中，次日会有的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”． 用频率估计概率，记某员工第n天选择“球类”的概率为P. n ①计算P，P，并求P； 1 2 n ②该公司共有员工1 400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有多少员工参加 “球类”和“田径”运动？ 解 (1)设事件E为“该员工前四天恰好能集齐这4枚纪念币”， 由题意知，样本点总数N＝4×4＝16， 事件E包含的样本点的个数n＝2×1＝2， 所以该员工前四天恰好能集齐这四枚纪念币的概率P(E)＝＝. (2)①由题意知，P＝，P＝P＋(1－P)＝－P＝－×＝， 1 2 1 1 1 当n≥2时，P＝P ＋(1－P )＝－P ， n n－1 n－1 n－1 所以P－＝－， n 又因为P－＝－＝， 1 所以是以为首项，以－为公比的等比数列， 所以P－＝×n－1， n 即P＝＋×n－1. n ②由①知，当n足够大时，选择“球类”的概率近似于， 假设用ξ表示一天中选择“球类”的人数， 则ξ～B，所以E(ξ)＝1 400×＝600， 即选择“球类”的人数的均值为600， 所以选择“田径”的人数的均值为800. 即经过足够多天后，估计该公司接下来每天有600名员工参加球类运动，800名员工参加田 径运动． 思维升华 高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、 统计为命题情景，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题 中所涉及的事件，明确其所属的事件类型． 跟踪训练1 (2022·太原模拟)足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球 和传球是足球训练中的两个重要训练项目． (1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、 中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时，有的可能将球扑出球门外．在一次点球 战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和均值； (2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球， 甲等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进 行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为P.求证：数列为等 n 比数列，并求P. n 解 (1)每个点球能被守门员扑出球门外的概率P＝3×××＝， 由题意可知，X～B， P(X＝0)＝C×3＝， P(X＝1)＝C×1×2＝＝， P(X＝2)＝C×2×1＝＝， P(X＝3)＝C×3＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝3×＝. (2)由已知得，第(n－1)次传球后球又回到甲脚下的概率为P ， n－1 ∴当n≥2时，P＝(1－P )·， n n－1 ∴P－＝－， n ∴是首项为P－＝－，公比为－的等比数列， 1 ∴P－＝×n－1， n ∴P＝－×n－1. n题型二 概率、统计与导数的综合问题 例2 (2023·岳阳模拟)中国国家统计局2021年9月30日发布数据显示，2021年9月中国制 造业采购经理指数(PMI)为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、 机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞 猛进，进一步体现了中国制造业当前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果， 得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为 优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余 范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取 1 000件，测得产品质量差 的样本数据统计如图所示： (1)取样本数据的方差s2的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作 为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P(同一组中的数 据用该组区间的中点值代表)； (2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员 从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否 则该箱产品记为B. ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求 出最大值． 参考数据：若随机变量 ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－ 2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解 (1)由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1 000件的平均数 ＝0.010×10×＋0.020×10×＋0.045×10×＋0.020×10×＋0.005×10×＝70， ∴μ≈＝70， 又样本方差s2≈100，∴σ≈＝10，∴X～N(70，102)， 则优等品质量差在(μ－σ，μ＋σ)，即(60,80)内， 一等品质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)，即(80,90)内， ∴正品质量差在(60,80)和(80,90)，即(60,90)内， ∴该企业生产的产品为正品的概率P＝P(600，函数f(p)单调递增； 当p∈时，f′(p)<0，函数f(p)单调递减， ∴当p＝时，f(p)取得最大值f ＝C×3×2＝， 此时，p＝＝，解得n＝3或n＝(舍)． ∴当n＝3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为. 思维升华 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的 最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、 不等式或数列的有关性质去实现． 跟踪训练2 (2023·江门模拟)学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一 项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参加“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分， 获胜得2分，失败得1分；一天内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获 胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛 获胜的概率为；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为 p，.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比 赛互不影响． (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值； (2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 f(p)．求当p为何值时，f(p)取得最大值． 解 (1)X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10， P(X＝5)＝5＝， P(X＝6)＝C×1×4＝， P(X＝7)＝C×2×3＝＝， P(X＝8)＝C×3×2＝＝， P(X＝9)＝C×4×1＝， P(X＝10)＝C×5＝. 所以X的分布列为X 5 6 7 8 9 10 P 则E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＝＝. (2)由题意知“每天得分不低于3分”的概率为p＋(1－p)×＝＋p(00，f(p)在上单调递增； 当p∈时，f′(p)<0，f(p)在上单调递减， 所以当p＝时，f(p)取得最大值． 课时精练 1．(2023·齐齐哈尔模拟)为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教 育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的 12名队员来自3个不同 校区，三个校区的队员人数分别是3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员 进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，根据积分选出最后的冠军．积分规则如下：比 赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3∶2取胜的队员积2分，失 败的队员积1分． (1)若每名队员获得冠、亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的 概率是多少？ (2)已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为p(00，f(p)在上单调递增， 当p∈时，f′(p)<0，f(p)在上单调递减， 所以p＝. 0 ②X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝(1－p)3＋Cp(1－p)2·(1－p) ＝3＋C××2×＝， P(X＝1)＝Cp2(1－p)2·(1－p) ＝C×2×2×＝， P(X＝2)＝Cp2(1－p)2·p ＝C×2×2×＝， P(X＝3)＝p3＋Cp2(1－p)·p ＝3＋C×2××＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即 点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选一种，已 知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概 率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为P. n ①证明：为等比数列； ②证明：当n≥2时，P≤. n (1)解 设A＝ “第1天选择米饭套餐”， A＝ “第2天选择米饭套餐”， 1 2 则 ＝ “第1天选择面食套餐”， 1 由题意可得，P(A)＝，则P()＝，又P(A|A)＝，P(A|)＝1－＝， 1 1 2 1 21 则由全概率公式可得P(A)＝P(A)P(A|A)＋P()·P(A|)＝×＋×＝. 2 1 2 1 1 21 (2)证明 ①设A＝ “第n天选择米饭套餐”， n 则P＝P(A)，则P()＝1－P， n n n n 由题意得，P(A |A)＝， n＋1 n P(A | )＝1－＝， n＋1n 由全概率公式可得，P ＝P(A ) n＋1 n＋1 ＝P(A)P(A |A)＋P()P(A |) n n＋1 n n n＋1n ＝P＋(1－P) n n ＝－P＋， n 因此P －＝－， n＋1因为P－＝≠0， 1 所以是以为首项，－为公比的等比数列． ②由①可得，P＝＋×n－1， n 当n为大于1的奇数时，P＝＋×n－1 n ≤＋×2＝； 当n为正偶数时，P＝－×n－1<<. n 综上所述，当n≥2时，P≤. n 3．某盒子内装有60个小球(除颜色之外其他完全相同)，其中有若干个黑球，其他均为白球． 为了估计黑球的数目，设计如下实验：从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑 球数目X，作为一次实验结果．进行上述实验共5次，记录下第i次实验中实际抽到黑球的 数目x.已知从该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为p(00，f(p)单调递增； 当p∈时，f′(p)<0，f(p)单调递减， ∴f(p)存在唯一的极大值点p＝. 0 ②估计盒子中黑球的数目为60p＝39.理由如下： 0由①可知，当且仅当p＝时，f(p)取得最大值， 即n P(X＝x)取得最大值，出现上述实验结果的概率最大， i ∴可以认为从盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为，从而估计该盒子中黑球的数目为 39是合理的． 4．某种病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者 有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密 切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0