1
解答题：新定义问题
目录
题型一集合的新定义问题1
题型二函数与导数的新定义问题4
题型三复数与不等式的新定义问题7
题型四三角函数的新定义问题10
题型五平面向量的新定义问题13
题型六数列的新定义问题16
题型七立体几何的新定义问题19
题型八平面解析几何的新定义问题22
题型九概率统计的新定义问题25
题型十高等数学背景下的新定义问题28
必刷大题31
题型一
集合的新定义问题
大题典例
1. (24 - 25 高三上·山东·期中) 已知集合S = 0,1,2,⋯,5n
n∈N *
，集合T ⊆S，记T 的元素个数为T
.
若集合T 中存在三个元素a，b，c(a < b < c)，使得c + 2a > 3b，则称T 为“理想集”.
(1) 若n = 1，分别判断集合T1= {0,2,3,5}，T2= {0,1,2,5} 是否为“理想集”(不需要说明理由)；
(2) 若n = 1，写出所有的“理想集”T 的个数并列举；
(3) 若|T| = 4n + 2，证明：集合T 必为“理想集”.
2
变式训练
2. (24 - 25 高三上·广东·月考) 已知集合A = 1,2,3,⋯,2n
(n ∈N *)，S 是集合A 的子集，若存在不大于
n 的正整数m，使集合S 中的任意一对元素s1，s2，都有s1-s2
≠m，则称集合S 具有性质P.
(1) 当n = 10 时，试判断集合B = x∈A x>9
和C = x∈A x=3k-1,k∈N *
是否具有性质P？并
说明理由；
(2) 当n = 100 时，若集合S 具有性质P，那么集合T = 201-x x∈S
是否具有性质P？并说明理由；
(3) 当n = 3k，k ∈N *时，若集合S 具有性质P，求集合S 中元素个数的最大值f n
.
3
3. (24 - 25 高三上·北京·期中) 已知集合A = 1,2,3,⋅⋅⋅,n
，其中n ∈N *，A1，A2，⋯，Am 是A 的互不相
同的子集. 记Ai的元素个数为Mi(i = 1,2, ⋅⋅⋅,m)，Ai∩Aj的元素个数为Nij(1 ≤i < j ≤m).
(1) 若n = 4，m = 3，A1= 1,2
，A2= 1,3
，N13= N23= 1，写出所有满足条件的集合A3(结论不要求
证明)；
(2) 若n = 5，且对任意的1 ≤i < j ≤m，都有Nij > 0，求m 的最大值；
(3) 若给定整数n ≥7，Mi≤3(i = 1,2, ⋅⋅⋅,m) 且对任意1 ≤i < j ≤m，都有Nij = 1，求m 的最大值.
4
题型二
函数与导数的新定义问题
大题典例
4. (23 - 24 高三上·北京·月考) 设离散型随机变量X 和Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为
P X=ak
= xk，P Y=ak
= yk，xk > 0，yk > 0，k = 1,2, ⋯,n,
n
k=1
xk
=
n
k=1
yk
= 1．指标D(X‖Y) 可用
来刻画X 和Y 的相似程度，其定义为D(X‖Y) =
n
k=1
xk
ln xk
yk
．设X~B(n,p),0 < p < 1．
(1) 若Y~B(n,q),0 < q < 1，求D(X‖Y)；
(2) 若n = 2,P(Y = k - 1) = 1
3 ,k = 1,2,3，求D(X‖Y) 的最小值；
(3) 对任意与X 有相同可能取值的随机变量Y，证明：D(X‖Y) ≥0，并指出取等号的充要条件
5
变式训练
5. (24 - 25 高三上·湖北·期中) 把满足任意x，y ∈R 总有f x+y
+ f x-y
= 2f x
f y
的函数称为“类
余弦型”函数.
(1) 已知f x
为“类余弦型”函数f x
> 0，f 2
= 17
8 ，求f 1
的值；
(2) 在(1) 的条件下，定义数列：an= 2f n+1
- f n
n∈N *
，求log2
a1
3 + log2
a2
3 +⋅⋅⋅+log2
a100
3
的
值；
(3) 若g x
为“类余弦型”函数，且g 0
> 0，对任意非零实数t，总有g t
> 1. 设有理数x1，x2满足x2
> x1
，判断g x2
与g x1
的大小关系，并给出证明.
6
6. (24 - 25 高三上·上海·期中) 已知函数y = f x
，若其定义域为0,+∞
，且满足xfx
- f x
>-1 对
一切x ∈0,+∞
恒成立，则称f x
为一个“逆构造函数”.
(1) 设g x
= x3+ 1 x>0
，判断y = g x
是否为“逆构造函数”，并说明理由；
(2) 若函数y = ax - 3 - lnx - 1-a
x
是“逆构造函数”，求a 的取值范围；
(3) 已知“逆构造函数”y = f x
满足对任意的x1,x2> 0，都有f x1+x2
≤f x1
f x2
，且f 1
= 2.
求证：对任意a ≤1，关于x 的方程f x
= a 无解.
7
题型三
复数与不等式的新定义问题
大题典例
7. (24 - 25 高三上·江苏泰州·月考) 已知常数a,b,c ∈R，设关于x 的方程ax2+ bx + c = 0．
(1) 在复数范围内求解该方程．
(2) 当a ≠0 时，设该方程的复根分别为x1,x2，证明：
x1+x2=- b
a ,
x1x2= c
a .
(3) 如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元n 次(n ∈N *) 复系数
多项式方程f x
= 0 至少有一个复根．证明：f x
= 0 有n 个复数根(重根按重数计)．
(4) 将题设的常数“a,b,c ∈R”改为“a,b,c ∈C”，并证明：(2) 仍然成立．
8
变式训练
8. (24 - 25 高三上·山东枣庄·月考) 对于四个正数m、n、p、q，若满足mq < np，则称有序数对m,n
是
p,q
的“下位序列”．
(1) 对于2、3、7、11，有序数对3,11
是2,7
的“下位序列”吗？请简单说明理由；
(2) 设a、b、c、d 均为正数，且a,b
是c,d
的“下位序列”，试判断a
b 、c
d 、a+c
b+d 之间的大小关系；
(3) 设正整数n 满足条件：对集合m 0<m<2024
,m∈N
内的每个m，总存在正整数k，使得
m,2024
是k,n
的“下位序列”，且k,n
是m+1,2025
的“下位序列”，求正整数n 的最小值．
9
9. (23 - 24 高三下·辽宁·模拟预测) 柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n 元形式
为：设ai，bi ∈R(i = 1,2, ⋯,n)，ai 不全为0，bi 不全为0，则∑
n
i=1a2
i∑
n
i=1b2
i ≥∑
n
i=1aibi
2
，当且仅当存在一个数
k，使得ai= kbi时，等号成立．
(1) 请你写出柯西不等式的二元形式；
(2) 设P 是棱长为
2 的正四面体ABCD 内的任意一点，点P 到四个面的距离分别为d1，d2，d3，d4，求
d2
1 + d2
2+ d2
3+ d2
4的最小值；
(3) 已知无穷正数数列an
满足：
①存在m ∈R，使得ai≤m；
②对任意正整数i、j(i ≠j) (j = 1,2, ⋯)，均有ai-aj
≥
1
i+j .
求证：对任意n ≥4，n ∈N ，恒有m ≥1.
10
题型四
三角函数的新定义问题
大题典例
10. ( 24 - 25 高三上· 全国· 专题练习) 对于集合A =
θ1,θ2,⋯,θn
和常数θ 0 ，定义：σ =
sin2 θ1-θ0
+sin2 θ2-θ0
+⋯+sin2 θn-θ0
n
为集合A 相对的θ0的“正弦标准差”．
(1) 若集合A =
π
6 , π
3
，θ0= π
4 ，求A 相对的θ0的“正弦标准差”；
(2) 若集合A =
π
4 ,α,β
，是否存在α ∈
3π
4 ,π
，β ∈
3π
2 , 7π
4
，使得相对任何常数θ0的“正弦标准
差”是一个与θ0无关的定值？若存在，求出α，β 的值；若不存在，请说明理由．
11
变式训练
11. ( 24 - 25 高三上· 江西宜春· 期中) 定义有序实数对( a , b ) 的“跟随函数”为f x
= asinx +
bcosx x∈R
．
(1) 记有序数对(1, -1) 的“跟随函数”为f(x)，若f x
= 0,x ∈0,2π
，求满足要求的所有x 的集合；
(2) 记有序数对(0,1) 的“跟随函数”为f(x)，若函数g x
= f x
+
3 sinx
,x ∈0,2π
与直线y = k 有
且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；
(3) 已知a = 3，若有序数对(a,b) 的“跟随函数”y = f x
在x = x0处取得最大值，当b 在区间(0, 3]
变化时，求tan2x0的取值范围．
12
12. (24 - 25 高三上·甘肃兰州·月考) 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，
就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人
脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余
弦距离. 若二维空间有两个点A x1,y1
，B x2,y2
，则曼哈顿距离为：d A,B
= x1-x2
+ y1-y2
，余弦
相似度为：cos A,B
=
x1
x2
1+y2
1
×
x2
x2
2+y2
2
+
y1
x2
1+y2
1
×
y2
x2
2+y2
2
，余弦距离为1 - cos A,B
(1) 若A -1,2
，B 3
5 , 4
5
，求A，B 之间的曼哈顿距离d A,B
和余弦距离；
(2) 已知M sinα,cosα
，N sinβ,cosβ
，Q sinβ,-cosβ
，若cos M,N
= 1
5 ，cos M,Q
= 2
5 ，求
tanαtanβ 的值
13
题型五
平面向量的新定义问题
大题典例
13. (24 - 25 高三上·河南·期中) 如图，我们把由平面内夹角成60° 的两条数轴Ox，Oy 构成的坐标系，称为
“完美坐标系”. 设e1
，e2
分别为Ox，Oy 正方向上的单位向量，若向量OP
= xe1
+ ye2
，则把实数对
[x,y] 叫做向量OP
的“完美坐标”.
(1) 若向量OP
的“完美坐标”为[3,4]，求OP
；
(2) 已知x1,y1
，x2,y2
分别为向量a，b的“完美坐标”，证明：a⋅b= x1x2+ y1y2+ 1
2
x1y2+x2y1
；
(3) 若向量a，b的“完美坐标”分别为[sinx,1]，[cosx,1]，设函数f(x) = a⋅b，x ∈R，求f(x) 的值域.
14
变式训练
14. (24 - 25 高三上·浙江绍兴·月考)n 维向量是平面向量和空间向量的推广，对n 维向量m
n =
x1,x2,⋅⋅⋅,xn
xi∈0,1
,i=1,2,⋅⋅⋅,n
，记f m
n
= 1 + x 1 + x 1x 2 +⋅⋅⋅+x 1x 2 ⋅⋅⋅x n，设集合D m
n
=
m
n
f m
n
为偶数
.
(1) 求D m
2
，D m
3
；
(2) (i) 求D m
n
中元素的个数；
(ii) 记g m
n
=
n
i=1
xi
，求使得
m
n∈D m
n
g m
n
≤2025 成立的最大正整数n.
15
15. (24 - 25 高三上·河南驻马店·月考) 给定平面上一个图形D，以及图形D 上的点P1,P2, ⋯,Pn，如果对于
D 上任意的点P，∑
n
i=1 PPi
2 为与P 无关的定值，我们就称P1,P2, ⋯,Pn 为关于图形D 的一组稳定向量基
点.
(1) 已知P1 0,0
,P2 2,0
,P3 0,2
,△P1P2P3为图形D，判断点P1,P2,P3是不是关于图形D 的一组稳定向
量基点；
(2) 若图形D 是边长为2 的正方形，P1,P2,P3,P4是它的4 个顶点，P 为该正方形上的动点，求
P1P2
+P2P3
+P3P4
-P1P
的取值范围；
(3) 若给定单位圆E 及其内接正2024 边形P1P2⋯P2024,P 为该单位圆上的任意一点，证明P1,P2, ⋯,
P2024是关于圆E 的一组稳定向量基点，并求∑
2024
i=1 PPi
2的值.
16
题型六
数列的新定义问题
大题典例
16. (24 - 25 高三上·福建泉州·期中) 若存在常数t，使得数列an
满足an+1 - a1a2a3 ⋯an = t(n ≥1,n ∈
N)，则称数列an
为“H(t) 数列”．
(1) 判断数列：1，3，5，10，152 是否为“H(2) 数列”，并说明理由；
(2) 若数列an
是首项为2 的“H(t) 数列”，数列bn
是等比数列，且an
与bn
满足
n
i=1
a2
i
= a1a2a3
⋯an+ log2bn，求t 的值和数列bn
的通项公式；
(3) 若数列an
是“H(t) 数列”，Sn为数列an
的前n 项和，a1> 1，t > 0，证明：t > Sn+1- Sn- eSn-n．
17
变式训练
17. (24 - 25 高三上·江西上饶·月考) 数列an
、bn
满足：bn
是等比数列，a1 = 2，b2 = 4 且a1b1 + a2b2 +
⋯⋯+anbn= 2 an-3
bn+ 8 n∈N+
．
(1) 求an、bn．
(2) 求集合A = x x-ai
x-bi
=0,i≤100,i∈N+
中所有元素的和．
(3) 对数列cn
，若存在互不相等的正整数k1,k2, ⋯⋯kj j≥2
，使得ck1+ ck2+⋯⋯+ckj也是数列cn
中的项，则称数列cn
是“和稳定数列”．试别断数列an
、bn
是否是“和稳定数列”，并说明理由．
18
18. (24 - 25 高三上·山东青岛·期中) 如果正项有穷数列a1,a2, ⋯,am 满足a1 ⋅am = 1,a2 ⋅am-1 = 1, ⋯，即ai
⋅am-i+1 = 1(i = 1,2, ⋯,m)，我们称其为“1 的对称数列”，例如：数列2，3，1
3 ，1
2 与数列3，2，1，1
2 ，
1
3 都是“1 的对称数列”．
(1) 设bn
是项数为8 的“1 的对称数列”，其中b1,b2,b3,b4是等差数列，且b2= 4,b4= 8，请依次写出
bn
的每一项；
(2) 设数列cn
是13 项的“1 的对称数列”，其中c1,c2⋯c5是等比数列，c1- c5= 15,c2- c4= 6，求数列
cn
的所有项和S 的最小值；
(3) 设数列dn
是2m 项的“1 的对称数列”，数列前m 项的通项公式为dn= n2+ n，求数列dn
的前
n 项和Sn．(注：12+ 22+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)
6
)
19
题型七
立体几何的新定义问题
大题典例
19. (24 - 25 高三上·广东广州·月) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体M 的一个顶
点
，定
义
多
面
体
M
在
点
P
处
的
离
散
曲
率
为
Φ
P
=
1
-
1
2π ∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋅⋅⋅∠Qk-1PQk+∠QkPQ1
，其中Qi i=1,2,⋅⋅⋅,k,k≥3
为多面体M 的所有与
点P 相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，⋯，平面Qk-1PQk 和平面QkPQ1 为多面体M 的所有以
P 为公共点的面．
(1) 求三棱锥P - ABC 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2) 如图，已知在三棱锥P - ABC 中，PA ⊥平面ABC，AC ⊥BC，AC = BC，三棱锥P - ABC 在顶
点C 处的离散曲率为1
3 ．
①求直线PC 与直线AB 所成角的余弦值；
②若点Q 在棱PB 上运动，求直线CQ 与平面ABC 所成的角的最大值．
20
变式训练
20. (23 - 24 高三下·江西新余·模拟预测) 我们规定：在四面体P - ABC 中，取其异面的两条棱的中点连线
称为P - ABC 的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.
(1) 如左图，在四面体P - ABC 中，Mi i=1,2,...,6
分别为所在棱的中点，证明：P - ABC 的三条内棱
交于一点.
(2) 同左图，若P - ABC 为垂棱四面体，M1M2= 2,M3M4= 4,M5M6= 6，求直线PB 与平面ABC 所成
角的正弦值.
(3) 如右图，在空间直角坐标系中，xOy 平面内有椭圆C：x2+ y2
2 = 1，F1为其下焦点，经过F1的直线
y = kx + m 与C 交于A、B 两点，P 为xOy 平面下方一点，若P - ABO 为垂棱四面体，则其外接球表
面积S 是k 的函数S k
，求S k
的定义域与最小值.
21
21. (24 - 25 高三上·湖南长沙·月考) 高斯- 博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲
面的图形(由曲率表征) 和拓扑(由欧拉示性数表征) 间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质
和整体性质之间的联系. 其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ 满足：θ = π + αx，其中
α 为常数，(如图，把球面上的三个点用三个大圆(以球心为半径的圆) 的圆弧联结起来，所围成的图形
叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面
三角形的一个角. 球面三角形的总曲率等于S
R2 ，S 为球面三角形面积，R 为球的半径).
(1) 若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π
2 ，求此球面三角形内角和；
(2) 求α 的值；
(3) 把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做
凸多面体. 设凸多面体Ω 顶点数为V，棱数为E，面数为F，试证明凸多面体欧拉示性数χ Ω
= V - E
+ F 为定值，并求出χ Ω
.
22
题型八
平面解析几何的新定义问题
大题典例
22. (24 - 25 高三上·浙江·月考) 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y = kx + 1 k∈R
表示
过点0,1
的直线族(不包括直线y 轴)，直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲
线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1) 圆M ：x2+ y-3
2= 4 是直线族mx + ny = 1 m,n∈R
的包络曲线，求m，n 满足的关系式；
(2) 若点N x0,y0
不在直线族Ω:y = tx - t2 t∈R
的任意一条直线上，求y0的取值范围及直线族Ω 的
包络曲线E 的方程；
(3) 在(1) (2) 的条件下，过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA，PB，交曲线E 于点A，B，求
△PAB 面积S 的最小值.
23
变式训练
23. (23 - 24 高三下·江西新余·模拟预测) 我们知道，在平面直角坐标系xOy 中，可以用两点之间距离公式
刻画A、B 两点的距离d A,B
，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”. 在拓扑学中，我们
规定某一实数D A,B
满足：①D A,B
≥0，当且仅当A = B 时等号成立； ②D A,B
= D B,A
；
③D A,B
≤D B,C
+ D C,A
. 其中，A、B、C 为平面直角坐标系内的三个点，我们就称
D A,B
是关于A、B 两点的一个“度量”. 设：平面直角坐标系xOy(O 为坐标原点) 内两点A x1,y1
、
B x2,y2
的“ρ 距离”ρ A,B
=
x1-x2
1+ x1-x2
+
y1-y2
1+ y1-y2
.
(1) 求证：A、B 两点的“ρ 距离”是关于A、B 两点的一个“度量”.
(2) 设P 为平面直角坐标系xOy 内任意一点.
(ⅰ) 若ρ O,P
= 1
2 ，请在下图中定性做出P 点的集合组成的图像(不必说明理由，但要求做出特殊点
与其特征).
(ⅱ) 求证：ρ O,P
< 2.
(3) 规定平面内两条平行直线的ρ 距离ρ l1,l2
为在l1、l2上分别取的任意两个点A、Bρ 距离的最小值.
已知不重合的直线l1：y = kx + 1
2 ，l2：y = kx - 1
2 ，ρ l1,l2
= 1
2 ，求k 的取值范围.
24
24. (24 - 25 高三上·内蒙古赤峰·月考) 在平面直角坐标系Oxy 中，定义：若曲线C1 和C2 上分别存在点
M ，N 关于原点O 对称，则称点M 和点N 为C1和C2的一对“关联点”.
(1) 若C1:y2+ xy - x + y = 4 上任意一点P 的“关联点”为点Q，求点Q 所在的曲线方程.
(2) 若C1:x2+ y- x
2= 1 上任意一点S 的“关联点”为点T，求ST
2的取值范围.
(3) 若C1:y = aex+ 2 和C2:y = xex- a 有且仅有两对“关联点”，求实数a 的取值范围.
25
题型九
概率统计的新定义问题
大题典例
25. (24 - 25 高三上·湖北·月考) 在信息论中，熵(entropy) 是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又
被称为信息熵、信源熵. 若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X 的所有取值为1,
2,3, ⋯,n n∈N *
,P X=i
= pi，定义信息熵：H(X) = Hn p1,p2,⋯,pn
=-
n
i=1
pilog2pi
,
n
i=1
pi
= 1,i = 1,
2, ⋯,n
(1) 若n = 2，且p1= p2，求随机变量X 的信息熵；
(2) 若p1= 1
2n + 1
2 ,p2= 1
2n ,pk+1= 2pk,k = 2,3, ⋯,n，求随机变量X 的信息熵；
(3) 设X 和Y 是两个独立的随机变量，求证：H XY
= H X
+ H Y
.
26
变式训练
26. (23 - 24 高三下·湖南·月考) 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值. 在某个物种数目为S 的群
落中，辛普森多样性指数D = 1 -
s
i=1
ni
N
2
，其中ni 为第i 种生物的个体数，N 为总个体数. 当D 越大
时，表明该群落的多样性越高. 已知A,B 两个实验水塘的构成如下：
绿藻
衣藻
水绵
蓝藻
硅藻
A
6
6
6
6
6
B
12
4
3
6
5
(1) 若从A,B 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；
(2) (i) 比较A,B 的多样性大小；
(ii) 根据(i) 的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.
27
27. (23 - 24 高三下·浙江·开学考试) 一般地，n 元有序实数对a1,a2,⋯,an
称为n 维向量. 对于两个n 维
向量a= a1,a2,⋯,an
,b= b1,b2,⋯,bn
，定义：两点间距离d =
b1-a1
2+ b2-a2
2+⋯+ bn-an
2 ，
利用n 维向量的运算可以解决许多统计学问题. 其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算
向量与每个标准点的距离dn，与哪个标准点的距离dn 最近就归为哪类. 某公司对应聘员工的不同方面
能力进行测试，得到业务能力分值a1
、管理能力分值a2
、计算机能力分值a3
、沟通能力分值a4
(分值ai ∈N *,i ∈1,2,3,4
代表要求度，1 分最低，5 分最高) 并形成测试报告. 不同岗位的具体要求见
下表：
岗位
业务能力分值
a1
管理能力分值
a2
计算机能力分值
a3
沟通能力分值
a4
合计分
值
会计(1)
2
1
5
4
12
业务员(2)
5
2
3
5
15
后勤(3)
2
3
5
3
13
管理员(4)
4
5
4
4
17
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位. 设四种能力分值分别对应四维向量
β= a1,a2,a3,a4
的四个坐标.
(1) 将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2) 小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方d2
n均小于20 的应聘者才能被招
录.
(i) 小刚测试报告上的四种能力分值为β0
= 4,3,2,5
，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种
职业1、2、3、4 的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
(ii) 小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1、2、3、4 的推荐率p
分别为14
43 ,
13
43 , 9
43 , 7
43
pn=
d2
n
d2
1+d2
2+d2
3+d2
4
，试求小明的各项能力分值.
28
题型十
高等数学背景下的新定义问题
大题典例
28. (24 - 25 高三上·四川自贡·期中) 新信息题型是目前高考的热点题型. 这类题要求答题者在有限的时
间内，阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题. 请同学们根据以下信息回答问题：
(1) 在高等数学中，我们将y = f x
在x = x0处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：f x
=
f x0
+ fx0
x-x0
+ fx0
2!
x-x0
2+⋯+ f n
x0
n!
x-x0
n+⋯，(其中f n
x
表示f x
的n 次导
数n ≥3，n ∈N *)，以上公式我们称为函数f x
在x = x0处的泰勒展开式，当x0= 0 时泰勒展开式也
称为麦克劳林公式，比如ex在x = 0 处的麦克劳林公式为：ex= 1 + x + 1
2! x2+ 1
3! x2+⋯+ 1
n! xn+⋯，
由此当x ≥0 时，可以非常容易得到不等式ex≥1 + x，ex≥1 + x + 1
2 x2，ex≥1 + x + 1
2 x2+ 1
6 x3，
⋯，请利用上述公式和所学知识写出y = sinx 在x = 0 处的泰勒展开式；(写出展开式的前三项即可)
(2) 设m 为正整数，数列a1，a2，⋯，a4m+2是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项ai和aj i<j
后
剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，⋯，a4m+2是(i,
j) 一可分数列. 请写出所有的i,j
，1 ≤i < j ≤6，使数列a1，a2，⋯，a6是(i,j) - 可分数列.
29
变式训练
29. (24 - 25 高三上·山东潍坊·月考) 设数阵X0 = x11
x12
x21
x22
，其中x11,x12,x21,x22 ∈1,2,3,4,5,6
. 设B =
n1,n2,⋯,nk
⊆1,2,3,4,5,6
，其中n1 < n2 <⋯< nk,k ∈N * 且k ≤6. 定义变换Mt 为“对于数阵的每
一列，若其中有t 或-t，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有-t，则这一列中每个数
都乘以-1 t=n1,n2,⋯,nk
”，MB X0
表示“将X0 经过Mn1 变换得到X1，再将X1 经过Mn2 变换得到
X2, ⋯，以此类推，最后将Xk-1经过Mnk变换得到Xk”. 记数阵Xk中四个数的和为TB X0
.
(1) 若X0= 2
1
3
4
,B = 2,5
，写出X0经过M2变换后得到的数阵X1，并求TB X0
的值；
(2) 若X0= 2
1
3
4
,B = n1,n2,n3
，求所有TB X0
取值的和；
(3) 对任意确定的一个数阵X0，证明：所有TB X0
取值的和不大于-8；
(4) 如果X0= 1
3
3
6
，其他条件不变，你研究(1) 后得出什么结论？
30
30. (24 - 25 高三上·江苏南通·月考) 小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的
积，比如36 = 2 × 2 × 3 × 3，74 = 2 × 37 等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3 都是6
的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如
25 的质因子只有5，而36 的质因子只有2，3，所以25，36 是互质的．为方便表示，对于任意的正整数
n，我们将比n 小且与n 互质的正整数的个数记为A n
．例如，小于10 且与10 互质的数有1，3，7，9，
所以A 10
= 4，同理有A 12
= 4．
(1) 求A 60
，A 312
；
(2) 求所有n ∈N *，n ≥2，使得A n
是奇数；
(3) 若正整数n = p1p2⋯pk，其中p1,p2,...,pk表示互不相同的质数．证明：A n
= n 1- 1
p1
1- 1
p2
⋯1- 1
pk
.
31
必刷大题
刷模拟
1. (24 - 25 高三上·上海·期中) 设函数y = f(x) 的定义域为R，其导函数为y = f(x)，x ∈R．若存在区间
I 及实数t 满足：对任意x ∈I ，都有f(x + t) ≥t ⋅f(x) 恒成立，则称函数y = f(x) 为I 上的“M (t) 函
数”．
(1) 判断函数y = ex是否为0，+∞
上的M(2) 函数，并说明理由；
(2) 已知实数m 满足：函数y = x2+ mx + 1 为2，+∞
上的M(1) 函数，求m 的取值范围；
(3) 已知函数y = f(x) 存在最大值．对于以下两个命题，P：对任意x ∈R，都有f(x) ≤0 与f(x) ≥0
恒成立；Q：对任意正整数n，满足函数y = f(x) 都是R 上的M(n) 函数；判断P 是否为Q 的充要条件，
并说明理由．
32
2. ( 24 - 25 高三上· 湖南长沙· 期中) 设n ∈N * , n ≥2 , x i ∈
0,1
, i = 1 , 2 , ⋯, n ，集合S n =
X∣X= x1,x2,⋯,xn
. 对于P =
p1,p2,⋯,pn
∈S n , Q =
q1,q2,⋯,qn
∈S n
，记P ⊖Q =
p1-q1
, p2-q2
,⋯, pn-qn
,P*Q =
n
i=1
|pi-qi|
.
(1) 若A,B,C ∈Sn，证明：A⊖C
* B⊖C
= A*B；
(2) 若A,B,C ∈Sn,A*B 和A*C 都为奇数，证明：B*C 为偶数；
(3) 若X1,X2, ⋯,X10∈S20 ，当1 ≤i < j ≤10 时，求所有X*
i Xj 之和的最大值.
33
3. (24 - 25 高三上·河北沧州·期中) 已知O 为坐标原点，对于函数f(x) = asinx + bcosx，称向量OM
=
(a,b) 为函数f(x) 的相伴特征向量，同时称函数f(x) 为向量OM
的相伴函数．
(1) 记向量ON
= (3, 3) 的相伴函数为f(x)，若当f(x) = 3 且x ∈(- π
3 , π
3 ) 时，求x 的值；
(2) 设g(x) =
3cos x+ π
3
+ cos π
6 -x
(x ∈R)，试求函数g(x) 的相伴特征向量OM
，并求出与
OM
同向的单位向量；
(3) 已知OA
= (0,1) 为函数h(x) 的相伴特征向量，若在△ABC 中，AB = 2，cosC = h π
6
，若点G 为
该△ABC 的外心，求GC
⋅AB
+ CA
⋅CB
的最大值．
34
4. (2024 高三·全国·专题练习) 已知函数f(x) = asinx + bcosx，称向量p= a,b
为f x
的特征向量，
f x
为p的特征函数.
(1) 设g x
= 2sin π-x
+ sin 3
2 π-x
，求g x
的特征向量；
(2) 设向量p=
3,1
的特征函数为f x
，求当f x
= 6
5 且x ∈- π
6 , π
3
时，sinx 的值；
(3) 设向量p= - 1
2 ,
3
2
的特征函数为f x
，记h x
= f2 x
- 1
4 ，若h x
在区间a,b
上至少有
40 个零点，求b - a 的最小值.
35
5. (24 - 25 高三上·河北邯郸·期中) 对于无穷数列an
，
“若存在am - ak = t(m、k ∈N *，且m > k)，必有
am+1- ak+1= t”，则称数列an
具有P t
性质.
(1) 若数列an
满足an= 2n n=1,2
2n-5 n≥3,且n∈N *
，判断数列an
是否具有P 1
性质？数列an
是
否具有P 4
性质？
(2) 对于无穷数列an
，设T = x x=aj-ai,i,j∈N *,且i<j
，求证：若数列an
具有P 0
性质，则T
必为有限集
(3) 已知an
是各项均为正整数的数列，且an
既具有P 2
性质，又具有P 3
性质，是否存在正整
数N,k，使得aN，aN+1，aN+2，⋯，aN+k，⋯成等差数列. 若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
36
6. (24 - 25 高三上·四川·模拟测试) 已知抛物线C：y2 = 2px p>0
的焦点为F，过点F 的直线与C 相交
于点A，B，△AOB 面积的最小值为1
2 (O 为坐标原点). 按照如下方式依次构造点Fn n∈N *
：F1 的坐
标为p,0
，直线AFn，BFn 与C 的另一个交点分别为An，Bn，直线AnBn 与x 轴的交点为Fn+1，设点Fn
的横坐标为xn.
(1) 求p 的值；
(2) 求数列xn
的通项公式；
(3) 数列xn
中，是否存在连续三项(按原顺序) 构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若
不存在，请说明理由.
37
7. (24 - 25 高三上·广西来宾·模拟预测) 已知：①定积分的定义：
设y = f x
为定义在a,b
上的连续非负函数，为求y = f x
、x = a、x = b、x 轴围成的曲边梯形的面
积，可采取如下方法：
将区间a,b
分为n 个小区间，每个小区间长度为b-a
n
，每个区间即可表示为
a+ b-a
n
i-1
,a+ b-a
n
i
i=1,2,3,⋯n
，再分别过每个区间的左右端点作x 轴的垂线与y = f x
图象相交，即可得到一个小的曲边梯形. 如图，
当n →+∞时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间
内的任一点的函数值近似代替(一般用区间端点的函数值)，将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得
之和即为所求的由y = f x
、x = a、x = b、x 轴围成的曲边梯形的面积，即S =
lim
n→∞∑
n
i=1 f a+ b-a
n
i
⋅b-a
n
，上式也记为
b
a f
(x)dx，即对y = f x
在a,b
上求定积分.
②定积分的计算：
b
a f
(x)dx = F(b) - F(a) 其中Fx
= f x
.
根据以上信息，回答以下问题：
(1) 已知0 < α < π
2 ，求证：
α
0 cos
xdx < α.
(2) 将x = 1、x = 2、y = 1
x 、x 轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求
其值；
(3) 试证明：1
101 +
1
102 +⋯+ 1
200 < ln2 <
1
100 +
1
101 +⋯+ 1
199 .
38
刷真题
8. (2024·上海·高考真题) 记M a
= t∣t= f x
- f a
,x≥a
，L a
= t∣t= f x
- f a
,x≤a
(1) 若f x
= x2+ 1，求M 1
和L 1
;
(2) 若f x
= x3- 3x2，求证: 对于任意a ∈R，都有M a
⊆-4,+∞
，且存在a，使得-4 ∈M a
.
(3) 已知定义在R 上f x
有最小值，求证"f x
是偶函数" 的充要条件是“对于任意正实数c，均有
M -c
= L c
”.
39
9. (2024·全国·高考真题) 设m 为正整数，数列a1,a2,...,a4m+2 是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项
ai 和a j i<j
后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列a1,
a2,...,a4m+2是i,j
- 可分数列．
(1) 写出所有的i,j
，1 ≤i < j ≤6，使数列a1,a2,...,a6是i,j
- 可分数列；
(2) 当m ≥3 时，证明：数列a1,a2,...,a4m+2是2,13
- 可分数列；
(3) 从1,2,...,4m + 2 中任取两个数i 和j i<j
，记数列a1,a2,...,a4m+2是i,j
- 可分数列的概率为Pm，
证明：Pm > 1
8 ．
40
10. (2024·北京·高考真题) 已知集合M =
i,j,k,w
i∈1,2
,j∈3,4
,k∈5,6
,w∈7,8
,且i+j+k+w为偶数
．给定数列A:a1,a2, ⋯,a8，和
序列Ω:T1,T2, ⋯Ts，其中Tt= it,jt,kt,wt
∈M t=1,2,⋯,s
，对数列A 进行如下变换：将A 的第i1,j1,
k1,w1项均加1，其余项不变，得到的数列记作T1 A
；将T1 A
的第i2,j2,k2,w2项均加1，其余项不变，得
到数列记作T2T1 A
；⋯⋯；以此类推，得到Ts⋯T2T1 A
，简记为Ω A
．
(1) 给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9 和序列Ω: 1,3,5,7
, 2,4,6,8
, 1,3,5,7
，写出Ω A
；
(2) 是否存在序列Ω，使得Ω A
为a1+ 2,a2+ 6,a3+ 4,a4+ 2,a5+ 8,a6+ 2,a7+ 4,a8+ 4，若存在，写出
一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；
(3) 若数列A 的各项均为正整数，且a1+ a3+ a5+ a7为偶数，求证：
“存在序列Ω，使得Ω A
的各项都
相等”的充要条件为“a1+ a2= a3+ a4= a5+ a6= a7+ a8”．
