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第3 讲 分类讨论思想
思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，
然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是
“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.
方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式
的转化、等比数列{an}的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.
例1 (1)直线l 过点(0，3)与圆C：x2+y2-2x-2y-2=0 交于A，B 两点，且|AB|=2√3，则直线l 的方程为(
)
A.3x+4y-12=0
B.3x+4y-12=0 或4x+2y+1=0
C.x=0
D.x=0 或3x+4y-12=0
思路分析 设直线方程→斜率不存在，l：x=0→k 存在，l：y=kx+3→由圆心到直线l 的距离d=1 求解.
答案 D
解析 将圆C：x2+y2-2x-2y-2=0 的方程化为(x-1)2+(y-1)2=4，
则圆C 的圆心坐标为(1，1)，半径为2.
当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x=0 时，代入圆的方程得y2-2y-2=0，
解得y1=1+√3，y2=1-√3，
此时|AB|=1+√3-(1-√3)=2√3，符合题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx+3，
由|AB|=2√3，得圆心C 到直线l 的距离为√2
2-(√3)
2=1，故|k -1+3|
√1+ k
2 =1，解得k=-3
4 ，
故此时直线的方程为y=-3
4 x+3，即3x+4y-12=0，
综上可得，直线l 的方程为x=0 或3x+4y-12=0.
(2)已知数列{an}满足a1=-2，a2=2，an+2-2an=1-(-1)n，则下列选项不正确的是( )
A.{a2n-1}是等比数列
B.
5
Σ
i=1
(a2i-1+2)=-10
C.{a2n}是等比数列
D.
10
Σ
i=1
ai=52
思路分析 an+2-2an=1-(-1)n→n 为奇数，{a2n-1}为等比数列；n 为偶数，{a2n}为等比数列.
答案 B
解析 对于A，当n 是奇数时，an+2-2an=2，
所以an+2+2=2(an+2)，
又因为a1=-2，所以a1+2=0，
所以当n 是奇数时，an+2=0，即an=-2，
即{a2n-1}是以-2 为首项，1 为公比的等比数列，
即选项A 正确；
对于B，由A 知，当n 是奇数时，an+2=0，
所以
5
Σ
i=1
(a2i-1+2)=0，即选项B 错误；
对于C，当n 为偶数时，an+2-2an=0，
即an+2=2an，
又因为a2=2，所以an+2
an
=2，
所以{a2n}是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
即选项C 正确；
对于D，
10
Σ
i=1
ai=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=-10+2×(1-2
5)
1-2
=52，
即选项D 正确.
批注 涉及数列中(-1)n的问题，一般需分奇、偶讨论，当n 为奇数时，首项是a1，an是第n+1
2
个奇数项；
当n 为偶数时，首项是a2，an是第n
2个偶数项.
[规律方法] 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.设直线方程需分斜率存在和不
存在两种情况，数列中含(-1)n需分奇、偶两种情况，要注意分类讨论，要有理有据、不重不漏.
方法二 由图形位置或形状引起的分类讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形
中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究.
例2 (多选)已知P 是圆O：x2+y2=4 上任意一点，定点A 在x 轴上，线段AP 的垂直平分线与直线OP 相
交于点Q，当P 在圆O 上运动时，Q 的轨迹可以是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
思路分析 分类讨论点A 的位置(圆内、圆上、圆外)→求||QO|-|QA||或|QA|+|QO|→利用圆锥曲线定义判断形
状.
答案 ABC
解析 当点A 在圆外时，如图(1)，(2)所示，设AP 的中点为B，过B 作AP 的垂线交直线OP 于Q，连接
AQ，则|QP|=|QA|，则||QO|-|QA||=|OP|=2，又|AO|>2，则此时Q 的轨迹为以O，A 为焦点的双曲线；
当点A 在圆内(非原点)时，如图(3)所示，此时|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=|OP|=2，又|AO|<2，则此时Q 的轨迹为
以O，A 为焦点的椭圆；
当A 在坐标原点时，如图(4)所示，此时B，Q 重合，|QO|=1，则此时Q 的轨迹为以O 为原点，半径为1 的
圆；
当点A 在圆上时，如图(5)所示，由垂径定理，可知Q 与O 重合，此时Q 的轨迹为点O.
批注 点A 在x 轴上，但没明确是在圆内、圆外，还是圆上，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关
键.
[规律方法] 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角
形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.
方法三 由参数变化引起的分类讨论
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的
方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周
全.
例3 已知函数f(x)=ln x+a
x ，a∈R.
(1)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是3
2，求a 的值；
(2)讨论f(x)在[1，e]上的最大值.
思路分析 (1)求f'(x)→分a≤1，1<a<e，a≥e 讨论求最小值→a 的值；
(2)讨论f(x)在［1，e］上的单调性→由单调性求f(x)的最大值.
解 (1)f'(x)=1
x - a
x
2= x -a
x
2 ，x>0，
若a≤1，则f'(x)≥0 在[1，e]上恒成立，
所以f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)min=f(1)=a=3
2，不满足题意；
若1<a<e，令f'(x)<0，解得1≤x<a，
令f'(x)>0，解得a<x≤e，
所以函数f(x)在[1，a)上单调递减，在(a，e]上单调递增，
所以f(x)min=f(a)=ln a+1=3
2，解得a=√e，满足题意；
若a≥e，则f'(x)≤0 在[1，e]上恒成立，
所以f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)min=f(e)=1+a
e =3
2，解得a=e
2，不满足题意，综上，a=√e.
(2)由(1)可知若a≤1，则f'(x)≥0 在[1，e]上恒成立，
所以f(x)在[1，e]上单调递增，
f(x)max=f(e)=1+a
e ；
若1<a<e，令f'(x)<0，解得1≤x<a，令f'(x)>0，解得a<x≤e，所以函数f(x)在[1，a)上单调递减，在(a，e]
上单调递增，f(1)=a，f(e)=1+a
e ，
①当1+a
e ≥a，即1<a≤e
e -1时，
f(x)max=f(e)=1+a
e ，
②当1+a
e <a，即e
e -1<a<e 时，
f(x)max=f(1)=a；
若a≥e，则f'(x)≤0 在[1，e]上恒成立，
所以f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)max=f(1)=a，
综上，当a≤e
e -1时，f(x)max=f(e)=1+a
e ；
当a> e
e -1时，f(x)max=f(1)=a.
批注 本题针对闭区间上的最值问题，讨论导数等于零的根分布在所给区间的两侧和区间内，再根据单调
性进行求最值.
[规律方法] 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题
目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的
标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论.
专题强化练
[分值：80 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知集合 A={x|-2≤x ≤10}，B={x|1-m≤x ≤1+m}.若 B∩∁RA=∅，则实数m 的取值范围为( )
A.(-∞，3]
B.(-∞，9]
C.(-∞，3]∪[9，+∞)
D.[3，9]
答案 A
解析 因为集合A={x|-2≤x ≤10}，
所以∁RA=(-∞，-2)∪(10，+∞).
因为集合B={x|1-m≤x ≤1+m}，
B∩∁RA=∅，
当B 不为空集时，
{
1-m≥-2，
1+m≤10，
1+m≥1-m，
解得0≤m≤3；
当B 为空集时，1+m<1-m，解得m<0.
综上，m 的取值范围为(-∞，3].
2.已知a>0 且a≠1，则“0<a<1
2”是“aa>√a”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当0<a<1 时，由aa>√a=a
1
2，可得a<1
2，此时0<a<1
2，
当a>1 时，由aa>√a=a
1
2，可得a>1
2，此时a>1，
所以满足不等式aa>√a的实数a 的取值范围是{a|0<a< 1
2 或a>1}，
因为{a|0<a< 1
2}是{a|0<a< 1
2 或a>1}的真子集，
故“0<a<1
2”是“aa>√a”的充分不必要条件.
3.(2025·沈阳检测)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，a1=-1，S10=31
32S5，则a4等于( )
A.-1
8
B.1
8
C.1
2
D.4
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，q≠0.
当q=1 时，由a1=-1，
可得S10=-10，S5=-5，
此时S10=31
32S5不成立；
当q≠1 时，由等比数列的前n 项和公式可得a1(1-q
10)
1-q
=31
32×a1(1-q
5)
1-q
，
解得q=-1
2.
所以a4=a1q3=1
8.
4.(2025·郑州模拟)已知函数f(x)={
x
2-2 x，x<1，
ln x -1，x ≥1，则不等式f(x)≥1
2x-1 的解集为( )
A.(-∞，1
2]
B.(-∞，1]
C.(0，2]
D.[2，+∞)
答案 A
解析 当x<1 时，f(x)=x2-2x≥1
2x-1，
得2x2-5x+2=(2x-1)(x-2)≥0，解得x≤1
2或x≥2(舍去).
当x≥1 时，令g(x)=ln x-1-(
1
2 x -1)=ln x-1
2x，
则g'(x)=1
x -1
2=2- x
2 x ，
所以当x∈[1，2)时，g'(x)>0，g(x)在[1，2)上单调递增；
当x∈(2，+∞)时，g'(x)<0，g(x)在(2，+∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(2)=ln 2-1<0，
即当x≥1 时，ln x-1<1
2x-1 恒成立，
所以当x≥1 时，不等式f(x)≥1
2x-1 无解.
综上，所求不等式的解集为(-∞，1
2].
5.已知集合M={x||x-2|≤1}，定义函数f(x)={
- x
2+5 x -5，x∈M ，
|x|-1
|x -1| ，x∈∁R M ，且当x∈[m，m+2]时，函数f(x)的值域
为[-1，5
4]，则实数m 的取值范围是( )
A.[
1
2 ，1]
B.[
1
2 ，+∞)
C.(-∞，1]
D.(-∞，1
2)∪[1，+∞)
答案 A
解析 由题意知M={x||x-2|≤1}={x|1≤x≤3}，则f(x)={
- x
2+5 x -5，x∈[1，3]，
|x|-1
|x -1| ，x∈(-∞，1)⋃(3，+ ∞)，
当x<0 时，f(x)=- x -1
- x +1 = x +1
x -1= 2
x -1+1；
当0≤x<1 时，f(x)= x -1
1- x =-1；
当1≤x≤3 时，f(x)=-x2+5x-5=-(x - 5
2)
2
+5
4 ；
当x>3 时，f(x)= x -1
x -1=1，
综上，可画出函数f(x)的大致图象，如图，
由图可知，要使函数f(x)在区间[m，m+2]上的值域为[-1，5
4]，
则需满足{
m≤1，
m+2≥5
2 ，解得1
2≤m≤1，故实数m 的取值范围是[
1
2 ，1].
6.已知函数f(x)=ln x-1
4 x+ 3
4 x -1，g(x)=-x2+2bx-4，若对任意的x1∈(0，2)，x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒
成立，则实数b 的取值范围是( )
A.(-∞，√14
2 ]
B. (1，+∞)
C.(1，√14
2 )
D.[1，√14
2 ]
答案 A
解析 依题意，原问题等价于f(x1)min≥g(x2)max，x1∈(0，2)，x2∈[1，2]，
f(x)=ln x-1
4 x+ 3
4 x -1(x>0)，
所以f'(x)=1
x -1
4 - 3
4 x
2=4 x - x
2-3
4 x
2
.
由f'(x)>0，解得1<x<3，故函数f(x)的单调递增区间是(1，3)，
同理得f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，+∞)，
故在区间(0，2)上，f(x1)min=f(1)=-1
2.
函数g(x)=-x2+2bx-4 的对称轴为直线x=b，
当b<1 时，g(x)在[1，2]上单调递减，g(x2)max=g(1)=2b-5；
当1≤b≤2 时，g(x2)max=g(b)=b2-4；
当b>2 时，g(x)在[1，2]上单调递增，g(x2)max=g(2)=4b-8.
所以{
b<1，
- 1
2 ≥2b-5或{
1≤b≤2，
- 1
2 ≥b
2- 4
或{
b>2，
- 1
2 ≥4 b-8，
解第一个不等式组得b<1，
解第二个不等式组得1≤b≤√14
2 ，第三个不等式组无解.
综上所述，实数b 的取值范围是(-∞，√14
2 ].
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.对于给定的实数a，不等式ax2+(a-1)x-1<0 的解集可能是( )
A.{x|-1< x< 1
a}
B.{x| x≠-1}
C.{x| x<-1}
D.R
答案 AB
解析 当a=0 时，不等式可化为-x-1<0，则不等式的解集为{x| x>-1}，
当a≠0 时，原不等式可化为a(x - 1
a)(x+1)<0；
则当a>0 时，不等式的解集为{x|-1< x< 1
a}；
当a<0 时，原不等式可化为(x - 1
a)(x+1)>0，
当1
a<-1，即-1<a<0 时，不等式的解集为{x|x< 1
a 或x>-1}，
当1
a=-1，即a=-1 时，不等式的解集为{x| x≠-1}，
当1
a>-1，即a<-1 时，不等式的解集为{x|x> 1
a 或x<-1}.
综上，A，B 符合题意，C，D 不符合题意.
8.(2025·昭通模拟)已知直线l：x=ty-2，圆C：x2+y2-4x-4=0，则下列说法正确的有( )
A.若t=1，则l 与圆C 相切
B.若l 与圆C 相交，则t<-1 或t>1
C.圆C 可能关于直线l 对称
D.若t=√3，则l 被圆C 截得的弦长为4
答案 ABD
解析 直线l 过定点(-2，0)，圆C：(x-2)2+y2=8，
所以圆心为C(2，0)，半径为2√2.
对于A，若t=1，则圆心C(2，0)到直线x-y+2=0 的距离为4
√2=2√2，所以l 与圆C 相切，故A 正确；
对于B，依题意，由圆心C(2，0)到直线x-ty+2=0 的距离为
4
√1+t
2<2√2，解得t<-1 或t>1，故B 正确；
对于C，将(2，0)代入到l 的方程，得2=t×0-2 不成立，故l 不可能经过圆心C，即圆C 不可能关于直线l
对称，故C 错误；
对于D，若t=√3，圆心C(2，0)到直线x-√3y+2=0 的距离为4
2 =2，则弦长为2√8-2
2=4，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知圆x2+y2=4，则经过点P(2，4)且与圆相切的直线方程为 .
答案 x=2 或3x-4y+10=0
解析 当直线的斜率不存在时，直线x=2 与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2)，
即kx-y-2k+4=0.
由题意得|-2k + 4|
√k
2+1
=2，
解得k=3
4 ，此时直线方程为3x-4y+10=0.
故所求直线方程为x=2 或3x-4y+10=0.
10.设F1，F2为椭圆x
2
4 + y
2
9 =1 的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，
且|PF1|>|PF2|，则|P F1|
|P F2|的值为 .
答案 2 或7
2
解析 若∠PF2F1=90°，
则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，
又|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=2√5，
解得|PF1|=14
3 ，|PF2|=4
3 ，
∴
|P F1|
|P F2|=7
2；
若∠F2PF1=90°，
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2，且|PF1|>|PF2|，
解得|PF1|=4，|PF2|=2，∴|P F1|
|P F2|=2，
综上所述，
|P F1|
|P F2|=7
2或
|P F1|
|P F2|=2.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知函数g(x)= ax
x +1(a∈R)，f(x)=ln(x+1)+g(x).
(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x=0 处的切线方程；(5 分)
(2)讨论函数f(x)的单调性.(8 分)
解 (1)函数g(x)= ax
x +1过点(1，1)，则有1=a
2，
即a=2，f(x)=ln(x+1)+g(x)=ln(x+1)+ 2 x
x +1，
则f'(x)= 1
x +1+
2
( x +1)
2，
f(0)=0，f'(0)=3，
则函数f(x)的图象在x=0 处的切线斜率为3，切点为(0，0)，
即函数f(x)的图象在x=0 处的切线方程为y=3x.
(2)f(x)=ln(x+1)+ ax
x +1，x∈(-1，+∞)，
f'(x)= 1
x +1+
a
( x +1)
2= x +1+a
( x +1)
2 ，
当a≥0 时，f'(x)>0 在(-1，+∞)上恒成立，则f(x)在(-1，+∞)上单调递增；
当a<0 时，令f'(x)>0，得x>-1-a，则f(x)在(-1-a，+∞)上单调递增，
令f'(x)<0，得-1<x<-1-a，则f(x)在(-1，-1-a)上单调递减，
综上可得，当a≥0 时，f(x)的单调递增区间为(-1，+∞)；
当a<0 时，f(x)的单调递增区间为(-1-a，+∞)，单调递减区间为(-1，-1-a).
12.(15 分)已知椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4√3x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与
点F 构成正三角形.
(1)求椭圆的标准方程；(5 分)
(2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x 轴上是否存在定点E(m，0)，使⃗PE·⃗QE恒
为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.(10 分)
解 (1)由题意知抛物线的焦点为F(√3，0)，
所以c=√a
2-b
2=√3.
因为椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形，
所以b=√3×√3
3 =1.
则a=2，故椭圆的标准方程为x
2
4 +y2=1.
(2)假设存在满足条件的点E，当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k，则l 的方程为y=k(x-1).
由{
x
2
4 + y
2=1，
y =k( x -1)，
得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0，Δ=16(3k2+1)>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
所以x1+x2= 8k
2
4 k
2+1
，x1x2=4 k
2- 4
4 k
2+1
.
则⃗PE=(m-x1，-y1)，⃗QE=(m-x2，-y2)，
所以⃗PE·⃗QE=(m-x1)(m-x2)+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
=m2- 8k
2m
4 k
2+1
+4 k
2- 4
4 k
2+1
+k2(
4 k
2- 4
4 k
2+1
-
8k
2
4 k
2+1
+1)
=(4 m
2-8m+1)k
2+(m
2- 4)
4 k
2+1
=(4 m
2-8m+1)(k
2+ 1
4)+(m
2- 4)- 1
4 (4 m
2-8m+1)
4 k
2+1
=1
4 (4m2-8m+1)+2m- 17
4
4 k
2+1
.
要使⃗PE·⃗QE为定值，则2m-17
4 =0，
即m=17
8 ，此时⃗PE·⃗QE=33
64 .
当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x=1，
不妨取P(1，√3
2 )，Q(1，- √3
2 )，
由E(
17
8 ，0)，可得⃗PE=(
9
8 ，- √3
2 )，
⃗
QE=(
9
8 ，√3
2 )，
所以⃗PE·⃗QE=81
64 -3
4 =33
64 .
综上，存在点E(
17
8 ，0)，使⃗PE·⃗QE为定值33
64 .
