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第3 讲 统计与成对数据的统计分析
1.(2025·全国Ⅱ卷，T1)样本数据2，8，14，16，20 的平均数为( )
A.8
B.9
C.12
D.18
2.(2023·新课标Ⅱ卷，T3)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200 名学生，
则不同的抽样结果共有( )
A.C400
45 ·C200
15 种
B.C400
20 ·C200
40 种
C.C400
30 ·C200
30 种
D.C400
40 ·C200
20 种
3.(2025·天津，T5)下列说法中错误的是( )
A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)<P(Y<2)
C.|r|越接近1，相关性越强
D.|r|越接近0，相关性越弱
4.(2025·全国Ⅰ卷，T15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1
000 人，得到如下列联表：
组别
超声波检查结果
合计
正常
不正常
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1 000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p 的估计值；
(2)根据小概率值α=0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，
α
0.05
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~15 分.
考查方向：
一是统计知识，如样本数据数字特征计算与频率分布直方图等相结合进行考查；二是一元线性回归模型的
分析，以社会实际生产生活问题为情境的回归直线方程的求解与应用；三是独立性检验，实际生活背景下
的两类变量之间的相关性检验.
1.答案 C
解析 样本数据2，8，14，16，20 的平均数为2+8+14+16+20
5
=12.
2.答案 D
解析 根据比例分配的分层随机抽样的定义知，初中部共抽取60×400
600=40(人)，高中部共抽取60×200
600
=20(人)，根据组合公式和分步乘法计数原理知，不同的抽样结果共有C 400
40 ·C200
20 种.
3.答案 B
解析 根据正态分布的对称性可知，若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)，故A 正确；若X~N(1，
22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)=P(Y<2)=0.5，故B 错误；样本相关系数r 的绝对值越接近0，相关性越弱，越
接近1，相关性越强，故C，D 正确.
4.解 (1)根据表格可知，超声波检查结果不正常的200 人中有180 人患该疾病，
所以p 的估计值为180
200= 9
10.
(2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关，
根据表中数据可得，
χ2=1 000×(20×20-180×780)
2
200×800×800×200
=765.625>10.828=x0.001，
根据小概率值α=0.001 的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，此推
断犯错误的概率不超过0.001.
考点一 统计图表、数字特征
例1 (1)(2025·绵阳模拟)某家电公司生产了A，B 两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024 年的前
6 个月这两种型号的空调的销售情况，得到销售量的折线图如图所示，分析这6 个月的销售数据，下列
说法不正确的是( )
A.A 型号空调月销售量的极差比B 型号空调月销售量的极差大
B.A 型号空调月平均销售量比B 型号空调月平均销售量大
C.A 型号空调月销售量的上四分位数比B 型号空调销售量的上四分位数大
D.A 型号空调月销售量的方差比B 型号空调月销售量的方差小
答案 D
解析 由图可知，A 型号空调月销售量的极差为50-25=25，
B 型号空调月销售量的极差为45-22=23，故A 正确；
A 型号空调月平均销售量为1
6×(25+28+27+42+38+50)=35，
B 型号空调月平均销售量为1
6×(22+25+30+37+40+45)≈33，故B 正确；
将A 型号空调月销售量数据从小到大排列为25，27，28，38，42，50，
由6×75%=4.5，则A 型号空调月销售量的上四分位数为42，
将B 型号空调月销售量数据从小到大排列为22，25，30，37，40，45，
由6×75%=4.5，则B 型号空调月销售量的上四分位数为40，故C 正确；
A 型号空调月销售量的方差为
1
6×[(25-35)2+(28-35)2+(27-35)2+(42-35)2+(38-35)2+(50-35)2]≈83，
B 型号空调月销售量的方差约为
1
6×[(22-33)2+(25-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(40-33)2+(45-33)2]≈67，故D 错误.
(2)(多选)(2025·攀枝花模拟)某校高三年级共有1 000 名学生，为了解学生的身体发育情况，随机抽取了
100 名学生的体重数据，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则( )
A.a=0.04
B.样本的众数估计值为55
C.样本的第75 百分位数约为61.25
D.该校高三年级学生中体重高于65 千克的学生大约为200 人
答案 AC
解析 对于A，0.01×5+0.07×5+0.06×5+a×5+0.02×5=1，解得a=0.04，故A 正确；
对于B，由图可知体重在[50，55)的样本最多，则样本的众数估计值为52.5，故B 错误；
对于C，由0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5=0.9>0.75，
0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7<0.75，则设第75 百分位数为x，
0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×(x-60)=0.75，解得x=61.25，故C 正确；
对于D，由图可得学生体重高于65 千克的概率P=0.02×5=0.1，
则该校高三年级学生中体重高于65 千克的学生大约为1 000×0.1=100(人)，故D 错误.
[规律方法] (1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率
组距，频率=组距× 频率
组距.
(2)在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
(3)利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数
①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.
②中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中
点的横坐标之和.
跟踪演练1 (1)(2025·萍乡模拟)已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，
119，则这组数据的75%分位数是( )
A.114
B.115
C.120.5
D.121
答案 D
解析 共10 个数据，按从小到大的顺序排列为114，116，117，117，119，120，120，121，122，123，
10×0.75=7.5，
则75%分位数是第8 个数据121.
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的
亩产量(单位：kg)并整理得下表：
亩产量[900，950) [950，1 000)
[1 000，1 050)
[1 050，1 100)
[1 100，1 150)
[1 150，1 200)
频数
6
12
18
30
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A.100 块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100 块稻田中亩产量低于1 100 kg 的稻田所占比例超过80%
C.100 块稻田亩产量的极差介于200 kg 至300 kg 之间
D.100 块稻田亩产量的平均值介于900 kg 至1 000 kg 之间
答案 C
解析 对于A，根据频数分布表可知，
6+12+18=36<50，
所以亩产量的中位数不小于1 050 kg， 故A 错误；
对于B，亩产量不低于1 100 kg 的频数为24+10=34，
所以低于1 100 kg 的稻田占比为100-34
100
×100%=66%，故B 错误；
对于C，因为1 200-900=300，
1 150-950=200，故C 正确；
对于D，由频数分布表可得，
平均值为1
100×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067，故D 错误.
考点二 回归分析
例2 (1)(多选)(2025·皖豫联盟联考)2025 年1 月20 日，DeepSeek 发布并开源DeepSeek-R1 模型，这是
继ChatGPT 之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收
集到的2015 年至2024 年人工智能的市场规模(单位：十亿美元)的数据：
年份
201
5
2016 2017 2018
201
9
2020 2021 2022
202
3
2024
年份
代号x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
市场
规模y
6.4
9.5 13.8 20.1
29
40.7
58
80.4 110 150
设z=ln y，z 与x 的关系可以用线性回归模型z
^=0.35x+1.57 进行拟合，e0.35≈1.42，e1.57≈4.8，则( )
A.人工智能的市场规模与年份正相关
B.人工智能的市场规模的90%分位数为110
C.y 关于x 的经验回归方程为y
^ =e0.35x+4.8
D.人工智能的市场规模的年增长率约为42%
答案 AD
解析 对于A，人工智能的市场规模随年份增大而增大，故是正相关关系，故A 正确；
对于B，因为10×0.9=9，所以90%分位数是从小到大排列的第9 个和第10 个数据的平均数，即110+150
2
=130，故B 错误；
对于C，因为z=ln y，即ln y
^ =0.35x+1.57，
y
^ =e0.35x+1.57≈4.8e0.35x，故C 错误；
对于D，设x2=x1+1，
则y
^
2=e
0.35 x2+1.57=e0.35·e
0.35 x1+1.57≈1.42y
^
1，
故市场规模的年增长率约为42%，故D 正确.
(2)(2025·聊城模拟)为了研究某市高中生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，市卫健委从该市随
机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的x=19.25，y=161，根据最小二乘法算得脚长和身高的
经验回归方程为y
^ =4x+a
^.已知被调查的某学生的脚长为25 cm，身高180 cm，则该样本点的残差为( )
A.1 cm
B.-1 cm
C.4 cm
D.-4 cm
答案 D
解析 因为x=19.25，y=161，
又经验回归方程y
^ =4x+a
^必过点(x，y)，
所以161=4×19.25+a
^，
解得a
^=84，所以y
^ =4x+84，
当x=25 时，y
^ =4×25+84=184，
所以该样本点的残差为180-184=-4(cm).
[易错提醒] (1)样本点不一定在经验回归直线上，但点(x，y)一定在经验回归直线上.
(2)求b
^时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆.
(3)利用样本相关系数判断线性相关程度强弱时，看|r|的大小，而不是r 的大小.
(4)区分样本相关系数r 与决定系数R2.
(5)通过经验回归方程求的都是估计值，而不是真实值.
跟踪演练2 (2025·齐鲁名校联考)下表是2020 年至2024 年中国出生人口数y(单位：十万人)的数据：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码x
1
2
3
4
5
出生人口数y
120
106
96
90
95
(1)求2020 年至2024 年中国每年出生人口数的平均数；
(2)某研究人员建立了y 关于x 的回归模型y
^ =120-6x，用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低
于700 万；
(3)求(2)中回归模型的决定系数R2，并评价其拟合效果.(如果0.85≤R2≤1，就认为拟合效果好；如果
0.7≤R2<0.85，就认为拟合效果一般；如果R2<0.7，就认为拟合效果差)
附：R2=1-
n
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
，
5
Σ
i=1
( yi- y)
2≈567.
解 (1)平均数为1
5×(120+106+96+90+95)=507
5 =101.4(十万人)，
(2)中国出生人口数低于700 万，即y
^ <70.
y
^ =120-6x<70，解得x>25
3 ，x∈N*，
当x=8 时，y
^ =120-6×8=72>70，
当x=9 时，y
^ =120-6×9=66<70，
x=9 对应2028 年，即预测从2028 年开始中国出生人口数将低于700 万.
(3)当x=1 时，y
^ =120-6×1=114，(y1-y
^
1)2=(120-114)2=36，
当x=2 时，y
^ =120-6×2=108，(y2-y
^
2)2=(106-108)2=4，
当x=3 时，y
^ =120-6×3=102，(y3-y
^
3)2=(96-102)2=36，
当x=4 时，y
^ =120-6×4=96，(y4-y
^
4)2=(90-96)2=36，
当x=5 时，y
^ =120-6×5=90，(y5-y
^
5)2=(95-90)2=25，
所以R2=1-
5
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2
5
Σ
i=1
( yi- y)
2
≈1-36+ 4+36+36+25
567
=430
567 ≈0.76，
因为0.7≤R2<0.85，所以这个模型的拟合效果一般.
考点三 独立性检验
例3 (多选)(2025·新余模拟)某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药.为了解该药的防治效果，科
研人员选用了100 粒玉米种子(其中一部分用该药做了处理)进行试验，从中任选1 粒，发现此粒种子抗
病虫害的概率为0.8.未填写完整的2×2 列联表如下，则( )
抗病虫害不抗病虫害
合计
种子经过该药处理
60
种子未经过该药处理
14
合计
100
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d ).
α
0.1
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
6.635
7.879
10.828
A.这100 粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6 粒
B.这100 粒玉米种子中抗病虫害的有84 粒
C.χ2的观测值约为13.428
D.根据小概率值α=0.001 的独立性检验，可以认为该新药有效
答案 AD
解析 由题可将2×2 列联表补充完整如表.
抗病虫害不抗病虫害
合计
种子经过该药处理
60
6
66
种子未经过该药处
理
20
14
34
合计
80
20
100
由表可知A 正确，B 错误；
零假设为H0：种子抗病虫害与该新药无关，由表可知χ2=100×(60×14 -20×6)
2
66×34×80×20
≈14.439>10.828，因此根
据小概率值α=0.001 的独立性检验，推断H0不成立，即可以认为该新药有效，故C 错误，D 正确.
[易错提醒] (1)χ2越大，两分类变量无关的可能性越小，推断犯错误的概率越小，通过表格查得无关的可
能性.
(2)在犯错误的概率不大于0.01 的前提下认为两个变量有关，并不是指两个变量无关的可能性为0.01.
跟踪演练3 (2025·华大新高考联盟质检)为了了解某地25~40 岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了
部分居民进行调查，所得数据统计如表所示.
工资超过3 500
工资不超过3 500
合计
男性居民
200
180
女性居民
280
240
合计
(1)完善上述表格并依据小概率值α=0.05 的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性？
(2)以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3 人，求至少2 人工资超过3 500 的概率.
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d ).
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
解 (1)完善表格如表所示.
工资超过3 500
工资不超过3 500
合计
男性居民
200
180
380
女性居民
280
240
520
合计
480
420
900
零假设为H0：工资的多少与居民的性别不具有相关性，
则χ2=900×(200×240-180×280)
2
380×520×480×420
≈0.13<3.841，
故依据小概率值α=0.05 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为假设成立，
即不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性.
(2)由题意知，工资超过3 500 的概率为P=480
900= 8
15.
记至少2 人工资超过3 500 为事件A，
所以P(A)=C3
2×(
8
15)
2
× 7
15+(
8
15)
3
=1 856
3 375.
专题强化练
[分值：90 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·湖北九师联盟模拟)已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，9，10，14，15，17，则该组数据
的40%分位数为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
答案 B
解析 该组数据从小到大排列为4，6，7，8，9，10，14，15，17，因为9×40%=3.6，所以该组数据的
40%分位数为第4 个数据，即数据的40%分位数为8.
2.某工厂利用随机数表对生产的50 个零件进行抽样测试，先将50 个零件进行编号，编号分别为01，
02，…，50，从中抽取5 个样本，下面提供随机数表的第1 行到第2 行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65
09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75
73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1 行第9 列开始向右依次读取数据，则得到的第4 个样本的编号是( )
A.10
B.09
C.71
D.20
答案 B
解析 从随机数表第1 行的第9 列数字开始由左向右每次连续读取2 个数字，删除超出范围及重复的编号，
符合条件的编号有14，05，11，09，20，所以选出来的第4 个样本的编号为09.
3.(2025·东三省四市教研联合体模拟)为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200 名学生的成绩作为
样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间[92.5，
102.5)这一组内的学生有40 人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为( )
A.0.02
B.0.2
C.0.04
D.0.4
答案 A
解析 由题意成绩在区间[92.5，102.5)内学生的频率为40
200=0.2，频率
组距=0.02，即所求矩形高度为0.02.
4.(2025·安康联考)有一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为x1，方差为s1
2，若样本数据-x1+1，-
x2+1，…，-xn+1 的平均数为x2，方差为s2
2，则( )
A.x2=x1-1
B.x2=x1
C.s1
2=s2
2
D.s1
2>s2
2
答案 C
解析 根据样本数据平均数公式可知，x2=-x1+1，方差s2
2=(-1)2s1
2=s1
2.
5.某在线平台利用AI 技术为学生提供个性化学习路径，为了解学生对平台的满意程度，随机抽取使用该平
台的学生进行打分，将收集到的分数按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，
[90，100]分组，画出频率分布直方图如图所示，则这些数据的中位数约为( )
A.85
B.80
C.77.5
D.75
答案 C
解析 由于(0.005+0.005+0.010+0.015)×10=0.35，(0.005+0.005+0.010+0.015+0.020)×10=0.55，
因此中位数落在区间[70，80)内，设中位数为x，
由0.35+0.020×(x-70)=0.5，得x=77.5，因此，中位数约为77.5.
6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7 名男生，测量了他们的
身高和体重得下表：
身高x(单位：cm)
167 173 175 177 178 180
181
体重y(单位：kg)
90
54
59
64
67
72
76
由表格制作成如图所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为y
^ =b
^
1x+a
^
1，其样本相关系数为r1；经过残差分析，点
(167，90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6 组数据计算得到经验回归直线l2的方程为y
^ =b
^
2x+a
^
2，
样本相关系数为r2.则下列选项正确的是( )
A.b
^
1>b
^
2，a
^
1>a
^
2，r1<r2
B.b
^
1>b
^
2，a
^
1<a
^
2，r1>r2
C.b
^
1<b
^
2，a
^
1<a
^
2，r1>r2
D.b
^
1<b
^
2，a
^
1>a
^
2，r1<r2
答案 D
解析 这7 个身高的平均数
x=167+173+175+177+178+180+181
7
≈176，
因为点(167，90)的横坐标167 小于平均值176，纵坐标90 相对过大，所以去掉该点后经验回归直线的截距
变小，而斜率变大，所以a
^
1>a
^
2，b
^
1<b
^
2，
又r1>0，r2>0，且去掉点(167，90)后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以r1<r2.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·济南模拟)为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行
了一次数据统计，并根据形成的2×2 列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α 的独立性检验，则(
)
附：
α
0.100
0.050
0.010
xα
2.706
3.841
6.635
A.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”无关
B.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过0.100
C.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”无关
D.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过0.01
答案 BC
解析 对于A，B，若α=0.100，因为χ2≈2.727>2.706，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概
率不超过0.100，故A 错误，B 正确；
对于C，D，若α=0.010，因为χ2≈2.727<6.635，则认为“毛色”和“角”无关，故C 正确，D 错误.
8.(2025·浙江R6 联盟联考)下列结论中，正确的有( )
A.若随机变量ξ~N(2，σ2)，P(ξ≤5)=0.81，则P(ξ≤-1)=0.19
B.将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化
C.已知经验回归方程为y
^ =b
^x+2.8，且x=4，y=30，则b
^=6.8
D.在线性回归分析中，决定系数R2用来刻画拟合的效果，R2值越小，则模型的拟合效果越好
答案 AC
解析 对于A，因为随机变量ξ~N(2，σ2)，P(ξ≤5)=0.81，
所以P(ξ≤-1)=1-P(ξ≤5)=1-0.81=0.19，故A 正确；
对于B，将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值发生变化而方差不变，故B 错误；
对于C，因为经验回归方程为y
^ =b
^x+2.8，且x=4，y=30，
则30=4b
^+2.8，即b
^=6.8，故C 正确；
对于D，在线性回归分析中，决定系数R2用来刻画拟合的效果，R2值越大，则模型的拟合效果越好，故D
错误.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2025·湖南名校联合体模拟)高三某班第一组学生的数学期末考试成绩分别为138，130，120，122，
120，130，110，130，则该组成绩的中位数与平均数之差的绝对值为 .
答案 1
解析 将成绩从小到大排列为110，120，120，122，130，130，130，138，
所以该组成绩的中位数为122+130
2
=126，
平均数为138+130×3+122+120×2+110
8
=125，
所以该组成绩的中位数与平均数之差的绝对值为|126-125|=1.
10.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率f(单位：心跳次数/分钟)的对应数
据(Wi，fi)(i=1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f 与W 近似满足f=cWk(c，k 为参数).令xi=ln Wi，
yi=ln fi，计算得x=8，y=5，
8
Σ
i=1
yi
2=214.由最小二乘法得经验回归方程为y
^ =b
^x+7.4，则k 的值为
；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值y
^ i(i=1，2，…，8)，若残差平方和
8
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2
≈0.28，则决定系数R2≈ . (
参考公式：决定系数R
2=1-
n
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2
n
Σ
i=1
( yi- y)
2)
答案 -0.3 0.98
解析 因为f=cWk，两边取对数可得ln f=ln c+kln W，又xi=ln Wi，yi=ln fi，
依题意经验回归方程y
^ =b
^x+7.4 必过点(x，y)，
所以5=8b
^+7.4，
解得b
^=-0.3，所以k=-0.3，
又R2=1-
8
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2
8
Σ
i=1
( yi- y)
2
=1-
8
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2
8
Σ
i=1
yi
2-8 y
2
≈1-
0.28
214 -8×5
2=0.98.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)(2025·湖南名校联考)为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100 名
学生，整理得到如下列联表.
男学生
女学生
合计
喜欢跳绳
35
35
70
不喜欢跳绳
10
20
30
合计
45
55
100
(1)依据小概率值α=0.1 的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？(5 分)
(2)已知该校学生每分钟的跳绳个数X~N(170，100)，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经
过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1 000 名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数
在[170，200]内的学生人数.(结果精确到整数)(8 分)
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解 (1)零假设为H0：学生的性别和是否喜欢运动无关.
χ2=100×(35×20-35×10)
2
45×55×70×30
≈2.357<2.706，
所以根据小概率值α=0.1 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即不能认为
学生的性别与是否喜欢跳绳有关.
(2)训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数X~N(170，100)，则μ=170，σ2=100，σ=10，
又训练前学生每分钟的跳绳个数在[160，190]内，160=μ-σ，190=μ+2σ，
所以P(160≤X≤190)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)= P( μ-σ ≤X ≤μ+σ )
2
+ P( μ-2σ ≤X ≤μ+2σ )
2
≈0.682 7
2
+0.954 5
2
=0.341 35+0.477 25=0.818 6，
由1 000×0.818 6=818.6≈819(人)，
估计训练前该校每分钟的跳绳个数在[160，190]内的学生人数为819，
即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[170，200]内的学生人数为819.
12.(14 分)(2025·曲靖模拟)自“机器人扭秧歌”这一节目在2025 年春晚舞台大放异彩后，专注于四足机器
人研发的某中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影
视等方面应用广泛.现统计出该款机器人在某地区2024 年1 月至5 月的销售量如表所示.
月份x
1
2
3
4
5
销售量y/台
26
37
50
64
93
(1)经计算样本相关系数r≈0.98，故变量x，y 线性相关性很强，求y 关于x 的经验回归方程；(5 分)
(2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5 时，称该对数据为
一对“次数据”，现从这5 对数据中任取3 对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数X 的分布列和
均值.(9 分)
附：经验回归直线y
^ =b
^x+a
^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b
^=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
，a
^=y-b
^
x.
解 (1)由表格可得x=1
5×(1+2+3+4+5)=3，
y=1
5×(26+37+50+64+93)=54，
5
Σ
i=1
( xi- x)
2=4+1+0+1+4=10，
5
Σ
i=1
(xi-x)(yi-y)=56+17+0+10+78=161，
所以b
^=
5
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
5
Σ
i=1
( xi- x)
2
=161
10 =16.1，a
^=y-b
^
x=54-16.1×3=5.7，
故y 关于x 的经验回归方程是y
^ =16.1x+5.7.
(2)当x=1 时，y
^ =16.1×1+5.7=21.8，
残差的绝对值为|26-21.8|=4.2<5；
当x=2 时，y
^ =16.1×2+5.7=37.9，
残差的绝对值为|37 -37.9|=0.9<5；
当x=3 时，y
^ =16.1×3+5.7=54，
残差的绝对值为|50-54|=4<5；
当x=4 时，y
^ =16.1×4+5.7=70.1，
残差的绝对值为|64 -70.1|=6.1>5；
当x=5 时，y
^ =16.1×5+5.7=86.2，
残差的绝对值为|93-86.2|=6.8>5.
所以“次数据”为第四组和第五组，共两组.
故“次数据”对数X 的所有可能取值为0，1，2.
P(X=0)=C3
3
C5
3= 1
10，
P(X=1)=C3
2C2
1
C5
3 =3
5，
P(X=2)=C3
1C2
2
C5
3 = 3
10.
所以X 的分布列为
X
0
1
2
P
1
10
3
5
3
10
E(X)=0× 1
10+1×3
5+2× 3
10=6
5=1.2.
(13 题5 分，14 题6 分，共11 分)
13.哈希表(HashTable)是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是
“除留余数法”.例如，当除数为3 时，键值为13 的数据因13÷3 余1，应存放于位置1 中，从而可直接依
据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置(如键值10 和13 均映射到同一位置).现有一个容量
为7 个位置(编号0~6)的哈希表，以除留余数法(除数为7)进行映射，需要存储22 个数据.设这7 个位置存放
的数据个数分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，则下列说法中正确的是( )
A.至少有1 个位置存放了不少于5 个数据
B.若这22 个数据的键值恰好是0~44 间的所有奇数，则a0~a6的中位数为2
C.若a0~a6的方差为s2，则s2的最小值为0，最大值为2 904
49
D.若a0~a6的极差为5，则最多有2 个位置没有存放数据
答案 D
解析 设ai为数据除以7 的余数为i(i=0，1，2，3，4，5，6)的数的个数，
对于A 选项，22=7×3+1，
不妨假设这7 个位置存放的数据个数分别为3，3，3，3，3，3，4，故A 错误；
对于B 选项，由题意可知，这些奇数分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，
29，31，33，35，37，39，41，43，
这些数据除7 的余数分别为1，3，5，0，2，4，6，1，3，5，0，2，4，6，1，3，5，0，2，4，6，1，
所以a0=3，a1=4，a2=3，a3=3，a4=3，a5=3，a6=3，
将a0~a6这7 个数由小到大排列依次为3，3，3，3，3，3，4，中位数为3，故B 错误；
对于C 选项，由题意可知，a0~a6这7 个数的平均数为x=22
7 ，
且3<22
7 <4，|3- 22
7 |<|4 - 22
7 |，
因为ai∈N(i=0，1，2，3，4，5，6)，
s2=1
7
6
Σ
i=0(ai- 22
7 )
2
，
当a0~a6这7 个数中有6 个3，1 个4 时，s2取最小值，
即(s
2)min=1
7[6×(3- 22
7 )
2
+(4 - 22
7 )
2
]= 6
49，
当a0~a6这7 个数中有6 个0，1 个22 时，s2取最大值，
即(s
2)max=1
7[6×(0- 22
7 )
2
+(22- 22
7 )
2
]=2 904
49
，故C 错误；
对于D 选项，不妨取a0~a6这7 个数依次为1，6，3，3，3，3，3，
满足极差为5，此时，所有位置都有数据，
若存在一些位置没有数据，则a0~a6这7 个数据中的最大值为5，最小值为0，
因为22=5×4+2，此时，至少需要5 个位置存放数据，则至多有2 个位置没有存放数据，故D 正确.
14.(多选)已知一组样本数据：-2，a，b，4，其中a≤0，b≥0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论
正确的是( )
A.序列不可能既是等比数列又是等差数列
B.若成等比数列，则a 和b 有4 组可能取值
C.若成等差数列，则a 和b 有3 组可能取值
D.若该数据的平均数是1，这组数据的方差的最小值为9
2
答案 ABC
解析 若为等比数列，由-2，4 可知公比小于0，正负交替排列，
而此时若成等差数列，则具单调性，相互矛盾，
故不可能既是等比数列又是等差数列，A 项正确；
若排列后成等比数列，设公比的绝对值大于1，则
①公比为-2，数列为a，b，-2，4⇒a=-1
2，b=1，
公比为-2，数列为-2，4，a，b⇒a=-8，b=16，
公比为-2，数列为b，-2，4，a⇒a=-8，b=1，
②公比为
3√-2，数列为-2，b，a，4 ⇒b=2
3√2，a=-2
3√4，共4 组可能取值，
若公比的绝对值小于1，对应上述倒序排列，a 和b 有4 组可能取值，
所以若成等比数列，a 和b 有4 组可能取值，B 项正确；
由a≤0，b≥0，若-2，a，b，4 排序后成等差数列，设公差大于0 有：
①公差d=6，数列为a，-2，4，b⇒a=-8，b=10；
②公差d=3，数列为a，-2，b，4⇒a=-5，b=1；
③公差d=2，数列为-2，a，b，4⇒a=0，b=2；
公差小于0，对应上述倒序排列，故a，b 有3 组可能取值，
所以若成等差数列，a 和b 共有3 组可能取值，C 项正确；
由数据的平均数是1，x=-2+ 4+a+b
4
=1⇒a+b=2，a≤0，
方差D(X)=1
4 [(-2-1)2+(4-1)2+(a-1)2+(b-1)2]=18+2(a-1)
2
4
≥5，D 项错误.
