曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
12.4 统计与成对数据的统计分析
三年模拟
一、选择题
1.(2022广西适应性测试,6)设一组样本数据x ,x ,…,x 的平均数为100,方差为10,则
1 2 2 022
0.1x +1,0.1x +1,…,0.1x +1的平均数和方差分别为( )
1 2 2 022
A.10,1 B.10,0.1
C.11,1 D.11,0.1
答案 D 样本数据x ,x ,…,x 的平均数为100,方差为10,则0.1x +1,0.1x +1,…,0.1x
1 2 2 022 1 2 2
+1的平均数为100×0.1+1=11,方差为0.12×10=0.1.故选D.
022
2.(2022吉林白山模拟,5)某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试,发现这
100名同学的得分都在[50,100]内,按得分分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]这5
组,得到如图所示的频率分布直方图,则这100名同学得分的中位数为( )
A.72.5 B.73.75 C.74.5 D.75
答案 A 因为(0.01+0.03)×10=0.4,(0.01+0.03+0.04)×10=0.8,所以这100名同学得分的中
0.1
位数位于[70,80)内,该中位数为70+ =72.5.
0.04
3.(2022河南顶级名校调研,4)随着互联网和物流行业的快速发展,快递业务已经成为人们
日常生活当中不可或缺的重要组成部分.如图是2012—2020年我国快递业务量变化情况
统计图,则关于这9年的统计信息,下列说法正确的是( )
A.这9年我国快递业务量有增有减
B.这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%
C.这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%
D.这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件
答案 D 由条形图可得,这9年我国快递业务量逐年增加,故A中结论错误;将各年我国
快递业务量同比增速数据按从小到大排列得
25.3%,26.6%,28.0%,30.5%,48.0%,51.4%,51.9%,54.8%,61.6%,故中位数为第五个数48.0%,
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故B中结论错误;这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%-25.3%=36.3%>36%,故
C中结论错误;由条形图可得,自2016年起,各年的快递业务量远超过210亿件,故快递业
务量的平均数超过210亿件,故D中结论正确.故选D.
4.(2022河南新乡二模,3)已知具有线性相关关系的变量x,y,设其样本点为A(x,y)
i i i
^ 10 10
^ ^
(i=1,2,3,…,10),回归直线方程为y=-4x+a,若 ∑xi=15, ∑y
i
=30,则a=( )
i=1 i=1
A.9 B.4 C.-3 D.-6
10 3 10
答案 A 因为 ∑x=15,所以x= .因为 ∑y=30,所以
i 2 i
i=1 i=1
3 ^ ^
y=3.因为回归直线经过样本点的中心,所以3=-4× +
a
,解得a =9.
2
5.(2022陕西榆林二模,5)某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费
x(单位:万元)对年销售量y(单位:千件)的影响.现收集了近5年的年宣传费x(单位:万元)
^ ^
和年销售量y(单位:千件)的数据,如下表所示,且y关于x的线性回归方程为y=bx-8.2,则
下列结论错误的是( )
x 4 6 8 10 12
y 1 5 7 14 18
A.x,y之间成正相关关系
^
B. =2.15
b
C.该回归直线一定经过点(8,7)
D.当此公司该种产品的年宣传费为20万元时,预测该种产品的年销售量为34 800件
4+6+8+10+12 1+5+7+14+18
答案 C 因为x= =8,y= =9,所以该回归直线一定经
5 5
^ ^ ^ ^
过点(8,9).故9=8b-8.2,解得b=2.15,A,B正确,C不正确.将x=20代入y=2.15x-8.2,得y
=34.8,故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时,预测该种产品的年销售量为34 800
件.D正确.
6.(2022成都模拟,3)为了解某中学对新冠肺炎疫情防控知识的宣传情况,增强学生日常防
控意识,现从该校随机抽取30名学生参加防控知识测试,得分(10分制)如图所示,以下结
论正确的是( )
A.这30名学生测试得分的中位数为6
B.这30名学生测试得分的众数与中位数相等
C.这30名学生测试得分的平均数比中位数小
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D.从这30名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握不够,建议学校加强
学生疫情防控知识的学习,增强学生日常防控意识
5+6
答案 D 对于A,这30名学生测试得分的中位数为 =5.5,故A错误;
2
对于B,这30名学生测试得分的众数为5,故B错误;
6+12+50+36+21+16+18+20 179
对于C,这30名学生测试得分的平均数为 = >5.5,故
30 30
C错误;
对于D,因为抽取的30名学生测试得分普遍偏低,所以预测该校学生对疫情防控的知识
掌握不够,建议学校加强学生疫情防控知识的学习,增强学生日常防控意识,故D正确.
7.(2022顺义二模,6)为了了解居民用电情况,通过抽样,获得了某城市100户居民的月平
均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),
[280,300]分组的频率分布直方图如下图.该样本数据的55%分位数大约是( )
A.220 B.224 C.228 D.230
答案 C 月平均用电量在[160,220)内的频率为20×(0.002+0.009 5+0.011)=0.45,月平均
用电量在[160,240)内的频率为20×(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)=0.7,设该样本数据的
55%分位数是a(220<a<240),由20×(0.002+0.009 5+0.011)+0.012 5×(a-220)=0.55,得
a=228.故选C.
8.(2022昌平二模,3)为倡导“节能减排,低碳生活”的理念,某社区对家庭的人均月用电
量情况进行了调查,通过抽样,获得了某社区100个家庭的人均月用电量(单位:千瓦时),将
数据按照[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),[140,160]分成6组,制成了如图所示
的频率分布直方图.若该社区有3 000个家庭,估计全社区人均月用电量低于80千瓦时
的家庭数为( )
A.300 B.450 C.480 D.600
答案 D 3 000×(0.002+0.008)×20=600,故选D.
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9.(2022通州一模,6)2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜,金牌数
和奖牌数均创历史新高.获得的9枚金牌中,5枚来自雪上项目,4枚来自冰上项目.某体育
院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度(单位:小
时),并按[0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,分别得到频率分布直方图如下.
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是x 和
1
x
,方差分别是s2 和s2
,则( )
2 1 2
A.x >x
,s2 >s2
B.x >x
,s2 <s2
1 2 1 2 1 2 1 2
C.x <x
,s2 >s2
D.x <x
,s2 <s2
1 2 1 2 1 2 1 2
答案 A 观看雪上项目的时间长度在[0,30]内的频率为0.2+0.1+0.3=0.6,在[0,40]内的频
率为0.2+0.1+0.3+0.15=0.75,所以x =40;观看冰上项目的时间长度在[0,30]内的频率为
1
0.1+0.2+0.3=0.6,在[0,40]内的频率为0.1+0.2+0.3+0.25=0.85,所以30<x <40,由
2
0.6+0.025×(x -30)=0.75,得x =36.观看雪上项目的平均时间为
2 2
0.2×5+0.1×15+0.3×25+0.15×35+0.25×45=26.5,s2=0.2×(5-26.5)2+0.1×(15-26.5)2+0.3×(25-
1
26.5)2+0.15×(35-26.5)2+0.25×(45-26.5)2=202.75.观看冰上项目的平均时间为
0.1×5+0.2×15+0.3×25+0.25×35+0.15×45=26.5,s2=0.1×(5-26.5)2+0.2×(15-26.5)2+0.3×(25-
2
26.5)2+0.25×(35-26.5)2+0.15×(45-26.5)2=142.75.综上,x >x ,s2 >s2 ,故选A.
1 2 1 2
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10.(2022和平一模,4)为普及冬奥知识,某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛.根据
参赛学生的成绩,得到如图所示的频率分布直方图.若要对40%成绩较高的学生进行奖励,
则获奖学生的最低成绩可能为( )
A.65 B.75 C.85 D.95
答案 C 0.018×10=0.18<0.4,(0.018+0.044)×10=0.62>0.4.设获奖学生的最低成绩为x分,
则0.018×10+(90-x)×0.044=0.4,解得x=85,故选C.
11.(2022天津南开中学五月月考,5)为了了解居民用电情况,通过抽样,获得了某城市100
户居民的月平均用电量数据(单位:度),制作成以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),
[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如下.该样本数据的55%分位数大约
是( )
A.220 B.224 C.228 D.230
答案 C 设该样本数据的55%分位数约为a,
(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.55,0.45+0.012 5×20=0.7>0.55,∴0.45+0.012
5×(a-220)=0.55,
解得a=228.故选C.
12.(多选)(2022T8联考,10)某中学在学校艺术节举行“三独”比赛(独唱、独奏、独舞),
由于疫情防控,比赛现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分,全校4 000名学生通过
在线直播观看并网络评分,比赛评分采取10分制.某选手比赛后,现场9名教师原始评分
中去掉一个最高分和一个最低分,得到7个有效评分如表所示.对学生网络评分按[7,8),
[8,9),[9,10]分成三组,其频率分布直方图如图所示.
教师评委 A B C D E F G
有效评分 9.6 9.1 9.4 8.9 9.2 9.3 9.5
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则下列说法正确的是( )
A.现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同
B.估计全校有1 200名学生的网络评分在区间[8,9)内
C.在去掉最高分和最低分之前,9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7
D.从学生观众中随机抽取10人,用频率估计概率,X表示评分不小于9分的人数,则
E(X)=5
答案 ABD 去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分,不会改变该组数据的中
位数,A中说法正确;因为学生网络评分在区间[8,9)内的频率为0.3,学生总人数为4 000,
则网络评分在区间[8,9)内的学生估计有4 000×0.3=1 200人,B中说法正确;若去掉的一
个最高分为9.6,去掉的一个最低分为8.9,则9名教师评委原始评分的极差等于0.7,C中
说法错误;学生网络评分在区间[9,10]内的频率为0.5,则X~B(10,0.5),所以
E(X)=10×0.5=5,D中说法正确.故选ABD.
^
13.(多选)(2022重庆秀山高级中学月考,10)已知变量x,y之间的线性回归方程为y
=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法正确的是( )
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.变量x,y之间呈负相关关系
^
B.当x=20时,y=-3.7
C.m=4
D.该回归直线必过点(9,4)
答案 ABD 对于A,因为-0.7<0,所以变量x,y之间呈负相关关系,故A中说法正确.
^
对于B,当x=20时,y=-0.7×20+10.3=-3.7,故B中说法正确.
6+8+10+12
对于C,x= =9,
4
6+m+3+2 11+m 11+m
y= = ,因为回归直线过样本点的中心,所以 =-0.7×9+10.3,
4 4 4
解得m=5,故C中说法不正确.
11+5
对于D,由C可知m=5,所以y= =4,所以该回归直线必过样本点的中心(9,4),故D中
4
说法正确.故选ABD.
二、填空题
14.(2022门头沟一模,12)下表记录了某地区一年之内的月降水量.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降
水量/ 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
mm
根据上述统计表,该地区月降水量的中位数是 ;80%分位数是 .
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答案 56;64
解析 数据按从小到大排序为46,48,51,53,53,56,56,56,58,64,66,71,所以中位数为56.
80%×12=9.6,第10个数是64,即80%分位数是64.
15.(2021昆明三模,15)甲、乙两组数据如下表所示,其中a,b∈N*,若甲、乙两组数据的平
均数相等,要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差,则(a,b)为 .(只需填一组)
甲 1 2 4 7 11
乙 1 2 a b 10
答案 (6,6)(或填(5,7),(7,5),(4,8),(8,4)之一)
解析 设甲、乙两组数据的平均数分别为x ,x
,方差分别为s2 ,s2
.
1 2 1 2
∵甲、乙两组数据的平均数相等,∴1+2+4+7+11=1+2+a+b+10=25,∴a+b=12,x =x =5.
1 2
1 66
s2= ×[(1-5)2+(2-5)2+(4-5)2+(7-5)2+(11-5)2]= ,
1 5 5
1
s2= ×[(1-5)2+(2-5)2+(a-5)2+(b-5)2+(10-5)2],
2 5
若使s
1
2 >s
2
2 ,则(a-5)2+(b-5)2<16,又a,b∈N*,
∴满足条件的(a,b)可以是(6,6),(5,7),(7,5),(4,8),(8,4).
故答案为(6,6)(或填(5,7),(7,5),(4,8),(8,4)之一).
16.(2022江西省八所重点中学4月联考,14)某工厂为了解产品的生产情况,随机抽取了50
个样本,若样本数据x ,x ,…,x 的方差为8,则数据3x -1,3x -1,…,3x -1的方差为 .
1 2 50 1 2 50
答案 72
解析 因为样本数据x ,x ,…,x 的方差为8,所以数据3x -1,3x -1,…,3x -1的方差为
1 2 50 1 2 50
32×8=72.
17.(2022天津南开中学统练(20),12)以下是一组包含30个数据的样本:
1.5 3.2 5.2 5.6 5.6 7.1 8.7 9.2 10.0 11.2
13.2 13.7 13.8 14.5 15.2 15.7 16.5 18.8 19.2 23.9
27 27 28.9 28.9 33.1 33.8 34.8 40.6 41.6 50.1
该样本的第70百分位数是 .
答案 27
27+27
解析 ∵70%×30=21,∴这组数据的第70百分位数是 =27.
2
18.(2021天津南开中学统练(23),10)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其
用电量都在50到350度之间,频率分布直方图如图所示,则用电量低于150度的户数为
.
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答案 30
解析 由频率分布直方图得,用电量低于150度的频率为(0.002 4+0.003 6)×50=0.3,
∴用电量低于150度的户数为100×0.3=30.
三、解答题
19.(2022内蒙古一模,17)小李准备在某商场租一间商铺开服装店,为了解市场行情,在该
商场调查了20家服装店,统计得到了它们的面积x(单位:m2)和日均客流量y(单位:百人)
20 20 20 20
的数据(x,y)(i=1,2,…,20),并计算得∑x=2 400,∑y=210,∑(x-x)2=42 000,∑(x-x)(y-y
i i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
)=6 300.
(1)求y关于x的回归直线方程;
(2)已知服装店每天的经济效益W=k√y+mx(k>0,m>0),该商场现有60~150 m2的商铺出
租,根据(1)的结果进行预测,要使单位面积的经济效益Z最高,小李应该租多大面积的商
铺.
n
∑(x -x)(y - y)
^ i i
附:b=i=1
,a
^
=y-b
^
x.
n
∑(x -x)2
i
i=1
20
∑(x -x)(y - y)
1 20 1 20 ^ i i 6 300
解析 (1)由已知可知x= ∑x=120,y= ∑y=10.5,b=i=1 =
20 i 20 i 20 42 000
i=1 i=1 ∑(x -x)2
i
i=1
^ ^ ^
=0.15,a=y-bx=10.5-0.15×120=-7.5,所以回归直线方程为y=0.15x-7.5.
W k√0.15x-7.5
(2)根据题意得Z= = +m,60≤x≤150.
x x
0.15x-7.5 0.15 7.5
= -
设f(x)= ,60≤x≤150.
x2 x x2
1 1 1
令t= , ≤t≤ ,则f(x)=g(t)=0.15t-7.5t2=-7.5×(t-0.01)2+0.000 75,当t=0.01,即x=100时,
x 150 60
f(x)取最大值,又因为k,m>0,所以此时Z也取最大值,因此,小李应该租100 m2的商铺.
20.(2022河南许昌三模,17)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京隆重开幕,
精彩的冬奥开幕式使“中国式浪漫”惊艳世界.某高校为了解同学们是否观看过本次奥
运会开幕式,按性别用分层抽样的方法,从该校3 000名同学中抽取100名进行调查统计,
已知该校男生与女生人数之比为11∶9.
(1)求男生和女生分别抽取的人数;
(2)经过对这100人的调查统计,得到2×2列联表如下:
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没观看 观看 总计
女生 15
男生 45
总计 100
请将上面的2×2列联表补充完整,并判断能否有95%的把握认为“观看奥运会开幕式与
性别有关”.
n(ad-bc)2
参考数据:K2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
解析 (1)根据男、女生人数比例可得抽取的男生人数为100×
11 9
=55,抽取的女生人数为100× =45,
20 20
所以男生抽取的人数为55,女生抽取的人数为45.
(2)由男、女生人数补全2×2列联表如下:
没观看 观看 总计
女生 15 30 45
男生 10 45 55
总计 25 75 100
100×(15×45-30×10)2
可得K2= ≈3.030<3.841,所以没有95%的把握认为“观看奥运
45×55×25×75
会开幕式与性别有关”.
21.(2022河南天一联考(五),18)北京冬奥会签约45家赞助企业,冬奥会赞助成为一项跨度
时间较长的营销方式.为了解这45家赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间之间是
否存在关联,某平台对45家赞助企业进行跟踪调查,其中每天线上销售时间不少于10小
3
时的企业有20家,余下的企业中,每天的销售额不足50万元的企业占 .统计后得到如下
5
2×2列联表:
销售额不少于
销售额不足50万元 合计
50万元
线上销售时间不少
3 20
于10小时
线上销售时间不足
10小时
合计 45
(1)请完成上面的2×2列联表,并判断能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每
天线上销售时间有关;
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(2)①按销售额进行分层抽样,在上述赞助企业中抽取5家企业,求抽到销售额不少于50
万元和销售额不足50万元的企业数;
②在①中条件下,抽取销售额不足50万元的企业时,设抽到每天线上销售时间不少于10
小时的企业数是X,求X的分布列及数学期望.
n(ad-bc)2
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2>k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解析 (1)2×2列联表如下表:
销售额不少于50万元 销售额不足50万元 合计
线上销售时间不少于10小时 17 3 20
线上销售时间不足10小时 10 15 25
合计 27 18 45
45×(17×15-10×3)2
所以K2= =9.375>6.635,
27×18×20×25
故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.
(2)①由分层抽样知,样本中销售额不少于50万元的企业数是27×
5 5
=3家,销售额不足50万元的企业数是18× =2家.
45 45
②在①中条件下,X的可能取值有0,1,2,
C0C2
35
C1C1
5
C2C0
1
P(X=0)= 3 15= ,P(X=1)= 3 15= ,P(X=2)= 3 15= ,
C2 51 C2 17 C2 51
18 18 18
故X的分布列为
X 0 1 2
35 5 1
P
51 17 51
35 5 1 1
所以E(X)=0× +1× +2× = .
51 17 51 3
22.(2022成都二诊,18)某企业研发了一种新药,为评估药物对目标适应症患者的治疗作用
和安全性,需要开展临床用药试验,检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天
数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验,并得到了一组
数据(x,y),i=1,2,3,4,5,其中x表示连续用药i天,y表示相应的临床疗效评价指标A的数
i i i i
值.根据临床经验,刚开始用药时,指标A的数量y变化明显,随着天数增加,y的变化趋缓.
5 5 5
经计算得到如下一些统计量的值:∑y=62,∑(x-x)(y-y)=47,∑u≈4.79,
i i i i
i=1 i=1 i=1
5 5
∑(u-u)2≈1.615,∑(u-u)(y-y)≈19.38,其中u=ln x.
i i i i i
i=1 i=1
(1)试判断y=a+bx与y=a+bln x哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型,并建立y关于
x的回归方程;
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(2)新药经过临床试验后,企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品,其
中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的
概率为0.012,第2条生产线出现不合格药品的概率为0.009,两条生产线是否出现不合格
药品相互独立.
(i)随机抽取一件该企业生产的药品,求该药品不合格的概率;
(ii)若在抽查中发现不合格药品,求该药品来自第1条生产线的概率.
^ ^ ^
参考公式:对于一组数据(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),…,(x
n
,y
n
),其回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小
n
∑(x -x)(y - y)
^ i i
二乘估计公式分别为b=i=1
,a
^
=y-b
^
x.
n
∑(x -x)2
i
i=1
解析 (1)刚开始用药时,指标A的数量y变化明显,随着天数增加,y的变化趋缓,故
y=a+bln x适宜作为y关于x的回归方程类型.
令u=ln x,得y=a+bu,
5
∑(u -u)(y - y)
i i 19.38
i=1
于是b= ≈ =12,
5 1.615
∑(u -u)2
i
i=1
5 5
因为∑u≈4.79, ∑y=62,
i i
i=1 i=1
所以u ≈0.958,y=12.4,
所以a=y-b·u=12.4-12×0.958=0.904,
故y=0.904+12u,即y=0.904+12ln x.
(2)(i)设A=“随机抽取一件该企业生产的药品,该药品为不合格品”,B =“随机抽取一件药
1
品,该药品为第1条生产线生产”,B =“随机抽取一件药品,该药品为第2条生产线生产”,
2
2 1
则P(B )= ,P(B2)= ,
1 3 3
又P(A|B )=0.012,P(A|B )=0.009,
1 2
所以P(A)=P(A∩(B 1∪B
2
))=P(AB 1∪AB
2
)=P(AB
1
)+P(AB
2
)=P(B
1
)P(A|B
1
)+P(B
2
)P(A|B
2
)=
2 1
×0.012+ ×0.009=0.011.
3 3
2
×0.012
(ii)P(B |A)=P(AB ) P(B )P(A|B ) 3 8 .
1 1 = 1 1 = =
P(A) P(A) 0.011 11
23.(2022吉林白山模拟,19)十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发
展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议,决定批准这个规划纲要,纲要指出:
“加强原创性引领性科技攻关.”某企业集中科研骨干,攻克系列“卡脖子”技术,已成功实
现离子注入机全谱系产品国产化,包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导
体等离子注入机,工艺段覆盖至28 nm,为我国芯片制造产业链补上了重要一环,为全球芯
片制造企业提供了离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制
造做出了重大贡献,该企业使用新技术对某款芯片进行试生产,在试产初期,生产一件该款
1 1 1
芯片有三道工序,每道工序的生产互不影响,这三道工序的次品率分别为 , , .
18 19 20
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(1)①求生产一件该芯片的次品率P;
②试产100件该芯片,估计次品件数X的期望;
(2)某手机生产厂商将该款芯片投入某新款手机上使用,并对部分芯片做了技术改良,推出
了两种型号的手机,甲型号手机采用没有改良的芯片,乙型号手机采用改良了的芯片,现对
使用这两种型号的手机用户进行回访,就他们对开机速度进行满意度调查,据统计,回访的
100名用户中,使用甲型号手机的有30人,其中对开机速度满意的有15人;使用乙型号手
机的有70人,其中对开机速度满意的有55人,完成下列2×2列联表,并判断是否有99.5%
的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关.
甲型号 乙型号 合计
满意
不满意
合计
n(ad-bc)2
附:K2= ,n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.005 0.001
k 3.841 6.635 7.879 10.828
解析 (1)①因为“生产一件芯片为次品”的对立事件为“芯片在三道工序中都为合格
品”,
( 1 )( 1 )( 1 )
所以P=1- 1- 1- 1-
18 19 20
17 18 19 3
=1- × × = .
18 19 20 20
( 3 )
②由已知得X~B 100, ,
20
3
所以E(X)=100× =15,
20
所以估计试产的100件该芯片中次品有15件.
(2)2×2列联表如下:
甲型号 乙型号 合计
满意 15 55 70
不满意 15 15 30
合计 30 70 100
100×(15×15-55×15)2 400
因为K2= = ≈8.163>7.879,
30×70×30×70 49
所以有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关.
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一年创新
1.(2022 5·3原创题)毛绒玩具是由毛绒面料与PP棉及其他纺织材料为主要面料,内部填
塞各种填充物而制成的玩具,色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标之一,现抽
检一批该产品测得以下数据:
色差X 21 23 25 27 29 31
色度Y 15 16 17 21 22 23
^ ^
经大量试验数据可知该产品的色差和色度之间满足线性相关关系,且y=0.25x+a,现有一
对测量数据为(32,21.25),则该组数据的残差为( )
A.0.65 B.0.75 C.-0.75 D.0.95
^ ^
答案 B 由题意得样本点的中心为(26,19),代入回归直线方程得到a=12.5,则y
^
=0.25x+12.5,将x=32代入,得y=20.5,所以所求残差为21.25-20.5=0.75,故选B.
2.(2022安徽芜湖一中一模,19)碳中和,是指企业、团体或个人测算在一定时间内,直接或
间接产生的温室气体排放总量,通过植树造林、节能减排等形式,抵消自身产生的二氧化
碳排放,实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰,是指碳排放进入平台期后,进入平稳下降阶
段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上
提出:“中国将提高国家自主贡献力度,采取更加有力的政策和措施,二氧化碳排放力争于
2030年前达到峰值,努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放,实现碳中和,人人都可
出一份力.某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模
活动.实验假设:
①烧开一壶水有诸多因素,本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度,其他因素假
设一样;
②由生活常识知,旋转角度很小或很大,一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费,因此旋转角
度设定在10°到90°间,建模实验中选取5个代表性数据:18°,36°,54°,72°,90°.
某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据,如下表:
开始烧水时燃气 水烧开时燃气
项目旋转角度
表计数/dm3 表计数/dm3
18° 9 080 9 210
36° 8 958 9 080
54° 8 819 8 958
72° 8 670 8 819
90° 8 498 8 670
以x表示旋转角度,y表示燃气用量.
(1)用列表法整理数据(x,y);
x(旋转角度:度) 18 36 54 72 90
y(燃气用量:dm3)
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^ ^ ^
(2)假定x,y线性相关,试求回归直线方程y=bx+a(注:计算结果精确到小数点后三位);
^
(3)有队员用二次函数进行模拟,得到的函数关系为y=1.903×10-2x2-1.472x+150.33.求在该
模型中,烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度.请用相关指数R2分析二次函数模型与
线性回归模型哪种拟合效果更好.(注:计算结果精确到小数点后一位)
5 5 5 5
参考数据:∑y=712,∑(x-x)(y-y)=1 998,∑(x-x)2=3 240,∑(y-y)2=1 501.2,
i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
5 ^ 5 ^
线性回归模型∑(y
i
-y )2≈269.1,二次函数模型∑(y
i
-y )2≈196.5.
i=1 i i=1 i
n n ^
∑(x -x)(y - y) ∑(y - y )2
^ i i ^ i i
参考公式:b=i=1
,a
^ =y-bx,R2=1-i=1
.
n n
∑(x -x)2 ∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
解析 (1)整理数据如下表:
x(旋转角度:度) 18 36 54 72 90
y(燃气用量:dm3) 130 122 139 149 172
5
∑(x -x)(y - y)
(2)x=54,y=142.4,b ^ =i=1 i i = 1 998 ≈0.616 7≈0.617,
a
^ =142.4-0.616
5 3 240
∑(x -x)2
i
i=1
7×54=109.098 2≈109.098,
^
故回归直线方程为y=0.617x+109.098.
-1.472
(3)x=- ≈38.7,
2×1.903×10-2
^
即旋转角度约为38.7°时,烧开一壶水燃气用量最少,y ≈121.9.
min
设用回归直线与二次函数拟合两者关系时,相关指数分别为R2 ,R2
,
1 2
269.1 196.5
则R
1
2=1-
1 501.2
≈0.8,R
2
2=1-
1 501.2
≈0.9.
因为R2 <R2
,
1 2
所以二次函数拟合效果更好.
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