文档文本内容
２ ６２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
9.5 统计与成对数据的统计分析
学生用书P314
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P55
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Y Y Z Z
O
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J J J J
S J J
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O
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J J J J
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'U\S\BD, +3,/B;
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O
Y Y Z Z
O
YZ O Y Z
3 C > J
O J
Y Y
J
J
O J
Y
J
O Y
B > ZC > Y
J J J J
B, B.
23B, + B,
3B, + B.
OBECD
(/ O .
B C D E B D C E
学生用书P315
题型 一 频率分布直方图的应用 是第 百分位数．
５０
求解公式 已知频率分布直方图的组距为ｄ．
用频率分布直方图估计样本的数字特征 ：
找出百分位数所在的矩形区间 ａ ｂ
ｎ ① ［ ， ）；
平均数 ｘ ｘＳ ｘ 表示第ｉ个小矩形底边中点的横坐 ｐ
（１） ： ＝ ∑ｉ＝
１
ｉ ｉ（ ｉ
－
ａ处之前的频率之和
标 Ｓ 表示第ｉ个小矩形的面积 ． 第ｐ百分位数 ａ ｄ １００ ．
， ｉ ） ② ＝ ＋ · 区间 ａ ｂ 的频率
［ ， ）
ｎ
（２） 方差 ： ｓ２ ＝ ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ · Ｓ ｉ ． 例1 （ ２０２４ 辽宁沈阳五校联考， １８ ）为了解某药物在小鼠体内
１ 的残留程度 进行如下试验 随机抽取 只小鼠 给服该种药
众数 最高小矩形底边中点的横坐标． ， ： １００ ，
（３） ：
物 每只小鼠给服的药物浓度相同 体积相同．经过一段时间后
中位数 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分 ， 、
（４） ：
用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比．根据试
时 分界线与横轴交点的横坐标．
，
验数据得到如下直方图
百分位数 类比中位数 百分位数所在直线把频率分布直方 ：
（５） ： ，
图划分为左右两个部分 左边所有矩形的面积和为ｐ％．中位数
，
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ６３
月份ｘ
１ ２ ３ ４ ５ ６
生产总值ｙ
３０ ３３ ３５ ３８ ４１ ４５
根据上表可得到回归方程ｙ １０２ｘ ａ 则 ＡＢＤ
＾＝ ＋＾， （ ）
３５
ａ １３４
Ａ．＾＝
求残留百分比直方图中ａ的值 ５
（１） ； ｙ与ｘ正相关
估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值 同一组中的 Ｂ．
（２） （
数据用该组区间的中点值为代表 若ｒ表示变量ｙ与ｘ之间的相关系数 则ｒ １０２
）； Ｃ． ， ＝
在体内药物残留百分比位于区间 ． ． 的小鼠中任取 ３５
（３） ［５ ５，７ ５］ ３ 若该地区对数字经济的相关政策保持不变 则该地区 月份
只 设其中体内药物残留百分比位于区间 ． ． 的小鼠为Ｘ Ｄ． ， ７
， ［６５，７５］
只 求Ｘ的分布列和期望． 的生产总值约为２３６亿元
，
５
解析 （ ）由（ ． ． ａ ． ． ． ） ，解得ａ
１ ０１５＋０２０＋ ＋０２０＋０１０＋００５ ×１＝１ ＝
解析 对于 ，ｘ １ （ ） ７ ，
． ． Ａ ＝ × １＋２＋３＋４＋５＋６ ＝
０３ ６ ２
（ ）ｘ （ ． ． ． ． ． ． ） ． ．
２ ＝ ２×０１５＋３×０２＋４×０３＋５×０２＋６×０１＋７×００５ ×１＝４０５ ｙ １ （ ） ，
（ ）体内药物残留百分比位于区间［ ． ， ． ）内的频率为 ． ，则 ＝ × ３０＋３３＋３５＋３８＋４１＋４５ ＝３７
３ ５５ ６５ ０１ ６
抽取小鼠 ． 只，位于［ ． ， ． ］内的频率为 ． ，则抽
取小鼠 １００× ． ０１＝１ 只 ０ ．则Ｘ的所 ６ 有 ５ 可 ７ 能 ５ 取值为 ， ， ０ ， ０ ， ５ 所以ａ ＾＝ ｙ － １０２ｘ ＝３７－ １０２ × ７ ＝ １３４，故 Ａ 正确；
１００×００５＝５ ０ １ ２ ３ ３５ ３５ ２ ５
Ｐ（Ｘ ） Ｃ
３
１０Ｃ
０
５ ２４，Ｐ（Ｘ ） Ｃ
２
１０Ｃ
１
５ ４５，
对于
Ｂ
，因为ｂ＾
＝
１０２
＞０
，所以ｙ与ｘ正相关，故
Ｂ
正确；对于
Ｃ
，
＝０ ＝ ３ ＝ ＝１ ＝ ３ ＝ ３５
Ｃ１５ ９１ Ｃ１５ ９１ 根据 ｒ 知 错误；
１ ２ ０ ３ ｜ ｜≤１ Ｃ
Ｐ（Ｘ ） Ｃ１０Ｃ５ ２０，Ｐ（Ｘ ） Ｃ１０Ｃ５ ２ ，
＝２ ＝ Ｃ ３ １５ ＝ ９１ ＝３ ＝ Ｃ ３ １５ ＝ ９１ 对于 Ｄ ，当ｘ ＝７ 时，ｙ ＾＝ １０２ ×７＋ １３４ ＝ ２３６，故 Ｄ 正确．故选 ＡＢＤ．
所以Ｘ的分布列为 ３５ ５ ５
例3 （ 华大新高考联盟教学质量测评， ）某农业大学组
２０２４ １５
Ｘ
０ １ ２ ３ 织部分学生进行作物栽培试验 由于土壤相对贫瘠 前期作物
， ，
生长较为缓慢 为了增加作物的生长速度 达到预期标准 小明
Ｐ ２４ ４５ ２０ ２ ， ， ，
对自己培育的一株作物使用了营养液 现统计了使用营养液十
９１ ９１ ９１ ９１ ，
天之内该作物的高度变化．
则Ｅ（Ｘ） ２４ ４５ ２０ ２ ．
＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝１
９１ ９１ ９１ ９１ 天数ｘ
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
题型 二 变量间的相关关系及回归方程 作物高度ｙ／
ｃｍ ９ １０ １０ １１ １２ １３ １３ １４ １４ １４
1.两个变量是否相关的判断方法 观察散点图可知 天数ｘ与作物高度ｙ之间具有较强的线性
（１） ，
画散点图 点的分布从左下角到右上角 两个变量正相关
相关性 用最小二乘法求出作物高度ｙ关于天数ｘ的经验回归
，
（１） ： ， ；
点的分布从左上角到右下角
，
两个变量负相关． 方程ｙ
＾＝
ｂ＾ｘ
＋
ａ
＾（
其中ａ
＾，
ｂ＾ 用分数表示
）；
样本相关系数 当ｒ 时 正相关 当ｒ 时 负相关 ｒ 小明测得使用营养液后第 天该作物的高度为 ．
（２） ； ＞０ ， ； ＜０ ， ；｜ ｜ （２） ２２ ２１ ３ ｃｍ，
越接近于 相关性越强． 请根据 中的结果预测第 天该作物的高度的残差．
１， （１） ２２
决定系数法 利用决定系数判断 Ｒ２ 越接近 模型的拟合 ｎ
（３） ： ， １， ｘ ｘ ｙ ｙ
2.
效
求
果
经
越
验
好
回 ， 归
相
方
关
程
性
的
越
步
强
骤
．
参考公式 ： ｂ＾ ＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ－ ）（ ｉ－ ）
， ａ ＾＝ ｙ － ｂ＾ｘ．
（１） 计算出ｘ 、 ｙ 、 ｘ２ １＋ ｘ２ ２＋…＋ ｘ２ｎ、 ｘ １ ｙ １＋ ｘ ２ ｙ ２＋…＋ ｘ ｎ ｙ ｎ；
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ） ２
１０
（２） 计算ａ ＾、 ｂ＾ ； 参考数据 ：∑ｉ＝ ｘ ｉ ｙ ｉ＝７１０ ．
１
（３）
写出经验回归方程ｙ
＾＝
ｂ＾ｘ
＋
ａ
＾
． 解析 （
１
）依题意，得
3.经验回归方程的应用
ｘ １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０ ． ，
若已知经验回归方程 方程中无参数 则把自变量代入 ＝ ＝５５
（１） （ ）， １０
经验回归方程即可对因变量进行预测．
ｙ －１＋１＋２＋３＋３＋４＋４＋４ ，
＝１０＋ ＝１２
若经验回归方程中有参数 则根据经验回归直线一定经过 １０
（２） ，
点 ｘ ｙ 求出参数值 得到经验回归方程 进而完成预测． １０ （ｘ ｘ）（ｙ ｙ） １０ ｘｙ ｘｙ
例2
（ ，
（多
）
选）（ 浙
，
江宁波期末， ）数字
，
经济是继农业经济 故ｂ＾
∑ｉ＝
１
ｉ－ ｉ－ ∑ｉ＝
１
ｉ ｉ－１０
７１０－１０×５
．
５×１２ ２０，
２０２４ ９ 、 ＝ １０ ＝ １０ ＝ ． ２ ＝
工业经济之后的主要经济形态．近年来
，
在国家的大力推动下
， ∑ｉ＝
（ｘ
ｉ－
ｘ）２
∑ｉ＝
ｘ２ｉ－１０ ｘ２ ３８５－１０×５５ ３３
１ １
我国数字经济规模增长迅猛．某地区 年上半年月份ｘ与对
２０２３ ａ ２０ ． ２６，
应数字经济的生产总值 即 ｙ 单位 亿元 如表所示． ＾＝１２－ ×５５＝
（ ＧＤＰ） （ ： ） ３３ ３
２ ６４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
解析 （ ） 列联表为
故所求经验回归方程为ｙ ２０ｘ ２６． １ ２×２
＾＝ ＋
３３ ３ 锻炼
性别 合计
不经常 经常
（ ）由（ ）可知，当ｘ 时，ｙ ２０ ２６ ，
２ １ ＝２２ ＾＝ ×２２＋ ＝２２ ｃｍ
３３ ３ 男生
故所求残差为 ． ． ． ７ ２３ ３０
２１３－２２＝－０７ ｃｍ 女生
１４ １６ ３０
题型 三 独立性检验 合计
２１ ３９ ６０
应用独立性检验解决实际问题的基本步骤 零假设为Ｈ ：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻
０
1.提出零假设Ｈ Ｘ和Ｙ相互独立 并给出在问题中的解释 炼的经常性无关，根据列联表的数据计算
０： ， ；
2
3
.
.
根
查
据
表
抽
确
样
定
数
临
据
界
整
值
理
ｘ
出
α； ２×２
列联表
，
计算χ ２的值
； χ ２ ＝ ６０× ２
（
１ ７ × × ３ １ ９ ６ × － ３ ２ ０ ３ × × ３ １ ０ ４
）２
＝ １ ３ ４ ９ ０ ≈３ ． ５９０＞２ ． ７０６＝ ｘ ０ ． １ ，
根据小概率值α ． 的独立性检验，推断Ｈ 不成立，即性别因
α ． ． ． ． ． ＝０１ ０
０１０ ００５ ００１０ ０００５ ０００１ 素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超
ｘ α ２ ． ７０６ ３ ． ８４１ ６ ． ６３５ ７ ． ８７９ １０ ． ８２８ 过 ０ ． １ ．
4.得出推断结论． （ ）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故Ｘ近似服从二
２
当χ ２ ≥ ｘ α 时 ， 我们就推断Ｈ ０ 不成立 ， 即认为Ｘ和Ｙ不独立 ， 该 项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率ｐ ＝ ５ ＝ １ ，
推断犯错误的概率不超过α ６０ １２
； ( )
当χ ２ ＜ ｘ α 时 ， 我们没有充分证据推断Ｈ ０ 不成立 ， 可以认为 Ｘ Ｘ ～ Ｂ ２０ ，１ ，
和Ｙ独立． １２
例4 （ 湖北七市联考， ）某高中学校为了解学生参加体 故Ｅ（Ｘ） １ ５ ，Ｄ（Ｘ） １ １１ ５５．
２０２４ １６ ＝２０× ＝ ＝２０× × ＝
１２ ３ １２ １２ ３６
育锻炼的情况 统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻 （ ） 名“运动爱好者”中有 名男生， 名女生，Ｙ服从超几何
， ３ １０ ７ ３
炼的次数 现随机抽取了 名同学在某一周参加体育锻炼的数 分布：
， ６０
据 结果如表．
， Ｐ（Ｙ ） Ｃ ０ ７Ｃ ３ ３ １ ，Ｐ（Ｙ ） Ｃ １ ７Ｃ ２ ３ ２１ ７ ，Ｐ（Ｙ ）
一周参加体 ＝０ ＝ ３ ＝ ＝１ ＝ ３ ＝ ＝ ＝２ ＝
合计 Ｃ１０ １２０ Ｃ１０ １２０ ４０
育锻炼次数 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ２ １ ３ ０
Ｃ７Ｃ３ ２１×３ ２１，Ｐ（Ｙ ） Ｃ７Ｃ３ ３５ ７ ，
男生人数 ３ ＝ ＝ ＝３ ＝ ３ ＝ ＝
１ ２ ４ ５ ６ ５ ４ ３ ３０ Ｃ１０ １２０ ４０ Ｃ１０ １２０ ２４
女生人数 故所求分布列为
４ ５ ５ ６ ４ ３ ２ １ ３０
合计
５ ７ ９ １１ １０ ８ ６ ４ ６０ Ｙ
０ １ ２ ３
若将一周参加体育锻炼次数为 次及 次以上的 称为 经
（１） ３ ３ ， “
Ｐ １ ７ ２１ ７
常锻炼 其余的称为 不经常锻炼 ．请完成以下 列联表
”， “ ” ２×２ ， １２０ ４０ ４０ ２４
并依据小概率值α ． 的独立性检验 能否认为性别因素与学
＝０１ ，
生体育锻炼的经常性有关系 Ｅ（Ｙ） １ ７ ２１ ７ ． ．
； ＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝２１
１２０ ４０ ４０ ２４
锻炼
性别 合计
不经常 经常 概念深度理解
男生
例1 （多选）（ 重庆八中多校月考， ）某社区通过简单随
２０２４ ９
女生
机抽样 获得了 户居民的月均用水量数据 并绘制出如图所
， １００ ，
合计
示的频率分布直方图 由该图可以估计 ＡＣ
， （ ）
若将一周参加体育锻炼次数为 次的称为 极度缺乏锻 M(
（２） ０ “
炼 极度缺乏锻炼 会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率 3C
”，“ ”
估计概率 在全校抽取 名同学 其中 极度缺乏锻炼 的人数
， ２０ ， “ ”
为Ｘ 求Ｅ Ｘ 和Ｄ Ｘ
， （ ） （ ）；
若将一周参加体育锻炼 次或 次的同学称为 运动爱好
（３） ６ ７ “
者 为进一步了解他们的生活习惯 在样本的 名 运动爱好
”， ， １０ “ *
者 中 随机抽取 人进行访谈 设抽取的 人中男生人数为Ｙ !FU
” ， ３ ， ３ ，
求Ｙ的分布列和数学期望．
平均数 中位数 中位数 平均数
附 χ ２ ｎ （ ａｄ － ｂｃ ） ２ ｎ ａ ｂ ｃ ｄ． Ａ． ＞ Ｂ． ＞
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋ 中位数 众数 众数 平均数
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） Ｃ． ＞ Ｄ． ＞
解析 由题中直方图在右边“拖尾”知平均数大于中位数，故
α ． ． ．
０１ ００５ ００１ 正确；由题图估计中位数接近 ． ，众数为 ． ，所以中位数大
ｘ ． ． ． Ａ ７ ２ ５ ７
α ２７０６ ３８４１ ６６３５ 于众数，故 正确．故选
Ｃ ＡＣ．
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ６５
风向解读 组成对样本数据的样本相关系数ｒ ．
＝ １
本题考查了平均数，中位数，众数的运算．平均数和中位数都描 解析 因为所有样本点（ｘ ｉ ，ｙ ｉ ）（ｉ ＝１ ， ２ ，…，ｎ）都在直线ｙ ＝
述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形状有 １ ｘ 上，且 １ ，所以这组样本数据完全正相关，即样本相关
＋１ ＞０
关．准确理解概念的本质是解题的关键． ２ ２
系数为 ．
１
例2 （ 广东汕头第一次模拟， ）已知成对样本数据 ｘ 风向解读
２０２４ １２ （ １，
ｙ
１），（
ｘ
２，
ｙ
２），…，（
ｘ
ｎ，
ｙ
ｎ）（
ｎ
≥２）
中
，
ｘ
１，
ｘ
２，…，
ｘ
ｎ
不全相等
，
且 本题考查对样本相关系数概念的理解和运用，体现高考要求
考查“基础知识，基本技能，基本方法”的特点．
所有样本点 ｘ ｙ ｉ ｎ 都在直线ｙ １ ｘ 上 则这
（ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…， ） ＝ ＋１ ，
２
学生用书P163 Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
（ ≥ ） ００５０ ００１０ ０００１ ．
１．（ 新课标 ， ， 分，易）某农业研究部门在面积相等的 ｋ ． ． ．
２０２４ Ⅱ ４ ５ ３８４１ ６６３５ １０８２８
块稻田上种植一种新型水稻 得到各块稻田的亩产量 单
１００ ， （ 解析 列联表如下
位 并整理得下表 （１） ：
：ｋｇ） ：
优级品 非优级品
亩产量［９００， ［９５０，［１０００，［１０５０，［１１００， ［１１５０，
甲车间
９５０） １０００） １０５０） １１００） １１５０） １２００） ２６ ２４
频数 乙车间
６ １２ １８ ３０ ２４ １０ ７０ ３０
根据表中数据 下列结论中正确的是 Ｃ ２
， （ ） Ｋ２ １５０×（２６×３０－２４×７０） ．
块稻田亩产量的中位数小于 ＝ ＝４６８７５，
Ａ．１００ １０５０ ｋｇ
９６×５４×１００×５０
块稻田中亩产量低于 的稻田所占比例超 ． ． ．
Ｂ．１００ １ １００ ｋｇ ∵３８４１＜４６８７５＜６６３５，
过 ％ 有 ％的把握认为甲 乙两车间产品的优级品率存在差异
８０ ∴ ９５ 、 ，
块稻田亩产量的极差介于 至 之间 没有 ％的把握认为甲 乙两车间产品的优级品率存在差异．
Ｃ．１００ ２００ ｋｇ ３００ ｋｇ ９９ 、
块稻田亩产量的平均值介于 至 之间
Ｄ．１００ ９００ ｋｇ １０００ ｋｇ 由题知ｐ ９６ ．
２．（ 全国甲理， ， 分，易）某工厂进行生产线智能化升级 （２） ＝ ＝０６４，
２０２４ １７ １２ １５０
改造．升级改造后 从该工厂甲 乙两个车间的产品中随机抽
， 、 ｐ ｐ ． ．
ｐ ． ｐ ． （１－ ） ． ． ０５×（１－０５）
取 件进行检验 数据如下 ∵ ＝０５，∴ ＋１６５ ｎ ＝０５＋１６５×
１５０ ， ： １５０
优级品 合格品 不合格品 总计 ． １ ． ６５×０ ． ５ ． １ ． ６５×０ ． ５ ．
＝０５＋ ≈０５＋ ． ≈０５６７，
甲车间 １５０ １２２４７
２６ ２４ ０ ５０
ｐ ｐ
乙车间 ｐ ｐ ． （１－ ） 可以认为生产线智能化升级改造
７０ ２８ ２ １００ ∵ ＞ ＋１ ６５ ｎ ，∴
总计
９６ ５２ ２ １５０ 后 该工厂产品的优级品率提高了．
，
填写如下列联表
（１） ： 考点 1 抽样方法与总体分布的估计 学生用书P164
优级品 非优级品
１．（ 全国甲，文 ，理 ， 分，易）某社区通过公益讲座以普
甲车间 ２０２２ ２ ２ ５
及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果 随机抽取
， １０
乙车间
位社区居民 让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类
，
能否有 ％的把握认为甲 乙两车间产品的优级品率存在差 知识问卷 这 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正
９５ 、 ， １０
异 能否有 ％的把握认为甲 乙两车间产品的优级品率存 确率如下图
？ ９９ 、 ：
在差异
？
已知升级改造前该工厂产品的优级品率ｐ ． ．设ｐ为升
（２） ＝０ ５
级改造后抽取的 ｎ 件产品的优级品率 如果 ｐ ｐ
， ＞ ＋
ｐ ｐ
． （１－ ） 则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽
１６５ ｎ ，
取的 件产品的数据 能否认为生产线智能化升级改造后
１５０ ， ，
该工厂产品的优级品率提高了 ．
？ （ １５０≈１２２４７）
ｎ ａｄ ｂｃ ２
附 Ｋ２ （ － ）
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， 则 Ｂ
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） （ ）
２ ６６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 ％ 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
Ａ． ７０
讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 ％ ｘ和ｙ 样本方差分别记为ｓ２ 和ｓ２．
Ｂ． ８５ ， １ ２
讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标 求ｘ ｙ ｓ２ ｓ２
Ｃ． （１） ， ， １， ２；
准差 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有
（２）
Ｄ． 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 æ ｓ２ ｓ２
显著提高ç如果ｙ ｘ １＋ ２ 则认为新设备生产产品的该
２．（ 全国甲，文 ，理 ， 分，易）为了解某地农村经济情况 è － ≥２ ，
２０２１ ２ ２ ５ ， １０
对该地农户家庭年收入进行抽样调查 将农户家庭年收入的
， 项指标的均值较旧设备有显著提高 否则不认为有显著提
，
调查数据整理得到如下频率分布直方图
： ö
高÷．
ø
解析 ｘ １ ． ． ． ． ． ． ． ．
（１） ＝ （９８＋１０３＋１００＋１０２＋９９＋９８＋１００＋１０１
１０
． ． ． ．
＋１０２＋９７）＝１００
ｙ １ ． ． ． ． ． ． ． ． ．
＝ （１０１＋１０ ４＋１０ １＋１０ ０＋１０ １＋１０ ３＋１０ ６＋１０ ５＋１０４＋
１０
． ． ．
１０５）＝１０３
根据此频率分布直方图 下面结论中不正确的是 Ｃ
， （ ）
该地农户家庭年收入低于 ． 万元的农户比率估计为 ％ ｓ２ １＝ １ ［（９ ． ８－１０ ． ０） ２ ＋（１０ ． ３－１０ ． ０） ２ ＋（１０ ． ０－１０ ． ０） ２ ＋
Ａ． ４５ ６ １０
该地农户家庭年收入不低于 ． 万元的农户比率估计 ． ． ２ ． ． ２ ． ． ２ ． ． ２
Ｂ． １０ ５ （１０２－１００） ＋（９９－１００） ＋（９ ８－１０ ０） ＋（１０ ０－１０ ０） ＋
为 ％ ． ． ２ ． ． ２ ． ． ２ ． ．
１０ （１０１－１００） ＋（１０２－１００） ＋（９７－１００） ］＝００３６
估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 ． 万元
Ｃ． ６５ ｓ２ １ ． ． ２ ． ． ２ ． ． ２ ．
估计该地有一半以上的农户 其家庭年收入介于 ． 万元至 ２＝ ［（１０１－１０３） ＋（１０ ４－１０ ３） ＋（１０ １－１０ ３） ＋（１０ ０－
Ｄ． ， ４５ １０
８ ． ５ 万元之间 １０ ． ３） ２ ＋（１０ ． １－１０ ． ３） ２ ＋（１０ ． ３－１０ ． ３） ２ ＋（１０ ． ６－１０ ． ３） ２ ＋（１０ ． ５－
３．（多选）（ 新高考 ， ， 分，易）有一组样本数据 ｘ ｘ １０ ． ３） ２ ＋（１０ ． ４－１０ ． ３） ２ ＋（１０ ． ５－１０ ． ３） ２ ］＝０ ． ０４ ．
２０２１ Ⅰ ９ ５ １， ２，
…， ｘ ｎ， 由这组数据得到新样本数据ｙ １， ｙ ２，…， ｙ ｎ， 其中ｙ ｉ＝ ｘ ｉ＋ ｃ （２） 由 （１） 得ｙ － ｘ ＝０ ． ３， ｓ２ １＋ ｓ２ ２＝０ ． ０７６，
（ Ａ
ｉ
． 两 ＝１ 组 ，２ 样 ，… 本 ， 数
ｎ
） 据 ，
ｃ
的
为
样
非
本
零
平
常
均
数
数 ，
则
相同 （
ＣＤ
） 从而 （ ｙ － ｘ ） ２ ＝０ ． ０９，
æ
è ç ２
ｓ２
１ １ ＋ ０
ｓ２
２
ö
ø ÷
２
＝ ５ ２ （ ｓ２ １＋ ｓ２ ２）＝０ ． ０３０４ ．
Ｂ．
两
两
组
组
样
样
本
本
数
数
据
据
的
的
样
样
本
本
中
标
位
准
数
差
相
相
同
同 所以 （ ｙ － ｘ ） ２ ＞
æ
è ç ２
ｓ２
１＋
ｓ２
２
ö
ø ÷
２
， 又ｙ ＞ ｘ ， 故ｙ － ｘ ＞２
ｓ２
１＋
ｓ２
２ ，
Ｃ． １０ １０
两组样本数据的样本极差相同 因此新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著
Ｄ．
４．（多选）（ 新高考 ， ， 分，易）下列统计量中可用于度 提高．
２０２１ Ⅱ ９ ５
量样本ｘ ｘ ｘ 离散程度的有 ＡＣ ７．（ 新课标 ， ， 分，中）某研究小组经过研究发现某种
１， ２，…， ｎ （ ） ２０２３ Ⅱ １９ １２
ｘ ｘ ｘ 的标准差 疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异 经过
Ａ． １， ２，…， ｎ ，
ｘ ｘ ｘ 的中位数 大量调查 得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布
Ｂ． １， ２，…， ｎ ，
ｘ ｘ ｘ 的极差 直方图
Ｃ． １， ２，…， ｎ ：
ｘ ｘ ｘ 的平均数
Ｄ． １， ２，…， ｎ
５．（多选）（ 新课标 ， ， 分，中）有一组样本数据 ｘ ｘ
２０２３ Ⅰ ９ ５ １， ２，
ｘ 其中ｘ 是最小值 ｘ 是最大值 则 ＢＤ
…， ６， １ ， ６ ， （ ）
ｘ ｘ ｘ ｘ 的平均数等于ｘ ｘ ｘ 的平均数
Ａ． ２， ３， ４， ５ １， ２，…， ６
ｘ ｘ ｘ ｘ 的中位数等于ｘ ｘ ｘ 的中位数
Ｂ． ２， ３， ４， ５ １， ２，…， ６
ｘ ｘ ｘ ｘ 的标准差不小于ｘ ｘ ｘ 的标准差
Ｃ． ２， ３， ４， ５ １， ２，…， ６
ｘ ｘ ｘ ｘ 的极差不大于ｘ ｘ ｘ 的极差
Ｄ． ２， ３， ４， ５ １， ２，…， ６
６．（ 全国乙，文 ，理 ， 分，中）某厂研制了一种生产高
２０２１ １７ １７ １２
精产品的设备 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高
， ，
用一台旧设备和一台新设备各生产了 件产品 得到各件产
１０ ，
品该项指标数据如下
：
旧设备 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
９８ １０３ １００ １０２ ９９ ９８ １００ １０１ １０２ ９７
新设备 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
１０１ １０４ １０１ １００ １０１ １０３ １０６ １０５ １０４ １０５
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ６７
计算得样本相关系数为 ． 利用最小二乘法求得相应的
０８６４２，
经验回归方程为ｙ ． ｘ ． ．根据以上信息 如下判
＾＝０ ７５０ １ ＋０ ６１０ ５ ，
断正确的为 Ｃ
（ ）
花萼长度与花瓣长度不存在相关关系
Ａ．
花萼长度与花瓣长度负相关
Ｂ．
花萼长度为 的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约
Ｃ． ７ ｃｍ
为 ．
５８６１２ ｃｍ
若选取其他品种鸢尾花进行抽样 所得花萼长度与花瓣长
Ｄ． ，
度的样本相关系数一定为 ．
０８６４２
利用该指标制定一个检测标准 需要确定临界值ｃ 将该指标
， ， ２．（ 课标 ，文 ，理 ， 分，中）某沙漠地区经过治理
２０２０ Ⅱ １８ １８ １２ ，
大于ｃ的人判定为阳性 小于或等于ｃ的人判定为阴性．此检
， 生态系统得到很大改善 野生动物数量有所增加．为调查该地
，
测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率 记为ｐ ｃ 误
， （ ）； 区某种野生动物的数量 将其分成面积相近的 个地块 从
， ２００ ，
诊率是将未患病者判定为阳性的概率 记为ｑ ｃ ．假设数据在
， （ ） 这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 个作为样区 调查
２０ ，
组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
得到样本数据 ｘ ｙ ｉ 其中ｘ 和ｙ 分别表示
（ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…，２０）， ｉ ｉ
当漏诊率ｐ ｃ ． ％时 求临界值ｃ和误诊率ｑ ｃ
（１） （ ）＝０５ ， （ ）； 第ｉ个样区的植物覆盖面积 单位 公顷 和这种野生动物的
（ ： ）
设函数ｆ ｃ ｐ ｃ ｑ ｃ ．当ｃ 时 求ｆ ｃ 的解
（２） （ ）＝ （ ）＋ （ ） ∈［９５，１０５］ ， （ ） ２０ ２０ ２０
析式
，
并求ｆ
（
ｃ
）
在区间
［９５，１０５］
的最小值． 数量 ， 并计算得 ∑ｉ＝
１
ｘ ｉ＝６０，∑ｉ＝
１
ｙ ｉ＝１２００，∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ＝８０，
解析 由题意知 ｃ ． ． ％ 分 ２０ ２０
得ｃ ．
（１） （ －９５）×０００２＝０５ ， （１
分
） ∑ｉ＝
１
（ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＝９０００，∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ）＝８００ ．
＝９７５， （２ ） 求该地区这种野生动物数量的估计值 这种野生动物数
ｑ ｃ ． ． ． ． ． ％． 分 （１） （
（ ）＝００１×２５＋５×０００２＝００３５＝３５ （４ ） 量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘地块数
当ｃ 时 ）；
（２） ∈［９５，１００］ ， 求样本 ｘ ｙ ｉ 的相关系数 精确到 ．
ｆ ｃ ｐ ｃ ｑ ｃ ｃ ． ｃ ． ． （２） （ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…，２０） （ ００１）；
（ ）＝ （ ）＋ （ ）＝（ －９５）×０００２＋（１００－ ）×００１＋５×０００２＝ 根据现有统计资料 各地块间植物覆盖面积差异很大．为
． ｃ ． ． ． 分 （３） ，
－０００８ ＋０８２≥００２ （７ ） 提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的
当ｃ 时
∈（１００，１０５］ ， 估计 请给出一种你认为更合理的抽样方法 并说明理由．
ｆ ｃ ｐ ｃ ｑ ｃ ． ｃ ． ｃ ． ， ，
（ ）＝ （ ）＋ （ ）＝５×０００２＋（ －１００）×００１２＋（１０５－ ）×０００２ ｎ
＝０ ． ０１ ｃ －０ ． ９８＞０ ． ０２ ．
附 相关系数ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ）（ ｙ ｉ － ｙ ）
． ．
{ ． ｃ ． ｃ ： ＝ ｎ ｎ ， ２≈１４１４
∴ ｆ （ ｃ ）＝ － ． ００ ｃ ０８ ． ＋０８２，９５ ｃ ≤ ≤１００， （９ 分 ） ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２
００１ －０９８，１００＜ ≤１０５， １ １
由于ｆ ｃ 在区间 单调递减 在区间 单调 解析 由已知得样本平均数ｙ １ ２０ ｙ 从而该
递增 （
（
评
）
分细则：
［
该
９５
理
，１
由
００
一
］
定要写，不
，
写扣分）
（１００，１０５］
分
（１） ＝
２０
∑ｉ＝
１
ｉ＝６０，
， （１０ ） 地区这种野生动物数量的估计值为 ．
ｆ ｃ ｆ ． ． 分 ６０×２００＝１２０００
∴ （ ）ｍｉｎ＝ （１００）＝００２ （１２ ） 样本 ｘ ｙ ｉ 的相关系数
（２） （ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…，２０）
考点 2 变量间的相关关系 学生用书P166
２０
ｘ － ｘ ｙ － ｙ
１．（ 天津， ， 分，易）鸢是鹰科的一种鸟 诗经 大雅 ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
８００ ２ ２ ． ．
旱 ２ 麓 ０２ 》 ３ 曰 “ 鸢飞 ７ 戾 ５ 天 ， 鱼跃于渊 ” ．鸢尾花因花 ， 瓣 《 形如 · 鸢尾而 · 得 ＝ ∑ｉ ２ ＝ ０ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ ２ ＝ ０ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２ ＝ ８０×９０００ ＝ ３ ≈０９４
１ １
名 图 寓意鹏程万里 前途无量．通过随机抽样 收集了若 分层抽样 根据植物覆盖面积的大小对地块分层 再对
（ １）， 、 ， （３） ： ，
干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度 单位 绘制 个地块进行分层抽样．
（ ：ｃｍ）， ２００
对应散点图 图 ． 理由如下 由 知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面
（ ２） ： （２）
积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大 从
，
而各地块间这种野生动物数量差异也很大 采用分层抽样的
，
方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性 提高了样
，
本的代表性 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确
，
的估计．
考点 3 独立性检验 学生用书P167
图 图 １．（ 新高考 ， ， 分，易）为加强环境保护 治理空气污
１ ２ ２０２０ Ⅰ １９ １２ ，
２ ６８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
染 环境监测部门对某市空气质量进行调研 随机抽查了 续表
， ， １００
天空气中的 ＰＭ２ ． ５ 和 ＳＯ２ 浓度 （ 单位 ：μｇ／ｍ ３ ）， 得下表 ： 锻炼人次 （２００， （４００，
空气质量等级 ［０，２００］
４００］ ６００］
ＳＯ２
［０，５０］ （５０，１５０］ （１５０，４７５］ 良
ＰＭ２ ． ５ ２（ ） ５ １０ １２
轻度污染
３（ ） ６ ７ ８
［０，３５］ ３２ １８ ４
中度污染
４（ ） ７ ２ ０
（３５，７５］ ６ ８ １２
分别估计该市一天的空气质量等级为 的概率
（７５，１１５］ ３ ７ １０ （１） １，２，３，４ ；
求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 同一组中
估计事件 该市一天空气中 浓度不超过 且 （２） （
（１） “ ＰＭ２ ． ５ ７５， ＳＯ２ 的数据用该组区间的中点值为代表
浓度不超过 的概率 ）；
１５０” ；
若某天的空气质量等级为 或 则称这天 空气质量
根据所给数据 完成下面的 列联表 （３） １ ２， “
（２） ， ２×２ ：
好 若某天的空气质量等级为 或 则称这天 空气质量不
”； ３ ４， “
ＳＯ２ 好 ．根据所给数据 完成下面的 列联表 并根据列联表
” ， ２×２ ， ，
［０，１５０］ （１５０，４７５］
ＰＭ２ ． ５ 判断是否有 ９５ ％的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该
市当天的空气质量有关．
［０，７５］
（７５，１１５］ 人次 人次
≤４００ ＞４００
根据 中的列联表 判断是否有 ％的把握认为该市一 空气质量好
（３） （２） ， ９９
天空气中
ＰＭ２ ． ５
浓度与
ＳＯ２
浓度有关．
空气质量不好
ｎ ａｄ ｂｃ ２
附 Ｋ２ （ － ） ｎ ａｄ ｂｃ ２
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， 附 Ｋ２ （ － ）
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） ： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ，
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
（ ≥ ） ００５０ ００１０ ０００１ ． Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
ｋ ． ． ． （ ≥ ） ００５０ ００１０ ０００１ ．
３８４１ ６６３５ １０８２８
ｋ ． ． ．
解析 根据抽查数据 该市 天的空气中 浓度 ３８４１ ６６３５ １０８２８
（１） ， １００ ＰＭ２ ． ５ 解析 由所给数据 该市一天的空气质量等级为
不超过 且 浓度不超过 的天数为 （１） ， １，２，
７５， ＳＯ２ １５０ ３２＋１８＋６＋８＝６４，
的概率的估计值如下表
因此 该市一天空气中 浓度不超过 且 浓度不超 ３，４ ：
， ＰＭ２ ． ５ ７５， ＳＯ２
空气质量等级
过 的概率的估计值为６４ ． ． 分 １ ２ ３ ４
１５０ ＝０６４ （４ ） 概率的估计值 ． ． ． ．
１００
０４３ ０２７ ０２１ ００９
根据抽查数据 可得 列联表
（２） ， ２×２ ：
一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 １
（２） ×（１００×
ＳＯ２ １００
［０，１５０］ （１５０，４７５］ ．
ＰＭ２ ． ５ ２０＋３００×３５＋５００×４５）＝３５０
根据所给数据 可得 列联表
（３） ， ２×２ ：
［０，７５］ ６４ １６
人次 人次
（７５，１１５］ １０ １０ ≤４００ ＞４００
空气质量好
分 ３３ ３７
（８ ）
空气质量不好
根据 的列联表得 ２２ ８
（３） （２）
２ ２
Ｋ２ １００×（６４×１０－１６×１０） ． ． 根据列联表得Ｋ２ １００×（３３×８－２２×３７） ． ．
＝ ≈７ ４８４ ＝ ≈５ ８２０
８０×２０×７４×２６ ５５×４５×７０×３０
由于 ． ． 故有 ％的把握认为该市一天空气 由于 ． ． 故有 ％的把握认为一天中到该公
７ ４８４＞６ ６３５， ９９ ５ ８２０＞３ ８４１， ９５
中 浓度与 浓度有关． 分 园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
ＰＭ２ ． ５ ＳＯ２ （１２ ）
２．（ 课标 ，文 ，理 ， 分，中）某学生兴趣小组随机调
２０２０ Ⅲ １８ １８ １２
查了某市 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼
１００
的人次 整理数据得到下表 单位 天
， （ ： ）：
锻炼人次
（２００， （４００，
空气质量等级 ［０，２００］
４００］ ６００］
优
１（ ） ２ １６ ２５
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ６９
６．（ 广东揭阳二模， ）在研究变量ｘ与ｙ之间的关系时 进
学生用书P168 ２０２４ ８ ，
行试验后得到了一组样本数据 ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ
１．（ 河南郑州二模， ）数据 ． ． ． ． ． ． ． （ １， １），（ ２， ２），…，（ ５， ５），
２０２４ ２ ６ ０，７４，８ ０，８ ４，８ ６，８ ７，８ ９，
．利用此样本数据求得的经验回归方程为ｙ
． 的第 百分位数为 Ｄ （６，２８），（０，２８） ＾＝
９１ ７５ （ ）
． ． ． ． １０ｘ １６６ 现发现数据 和 误差较大 剔除这两对
Ａ．８５ Ｂ．８６ Ｃ．８７ Ｄ．８８ ＋ ， （６，２８） （０，２８） ，
２．（ 江西重点中学盟校联考， ）下图是我国 年 ７ ７
２０２４ ３ ２０１８—２０２３
纯电动汽车销量统计情况 下列说法中错误的是 Ｄ 数据后 求得的经验回归方程为ｙ ｘ ｍ 且 ５ ｙ 则ｍ
，
3*!DJF4@
（ ） ， ＾＝４ ＋ ， ∑ｉ＝
１
ｉ＝１４０， ＝
Ｃ
JFUD （ ）
Ａ．８ Ｂ．１２ Ｃ．１６ Ｄ．２０
７．（多选）（ 山东潍坊一模， ）某科技攻关青年团队有 人
２０２４ ９ ６ ，
他们年龄分布的茎叶图如图所示 已知这 人年龄的极差为
， ６
则 ＡＣＤ
１４， （ ）
B
我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势
Ａ．
这六年销量的第 百分位数为 ． 万辆
Ｂ． ６０ ５３６５ ａ
这六年增长率最大的为 年至 年 Ａ． ＝８
Ｃ． ２０１９ ２０２０ 人年龄的平均数为
年销量高于这六年销量的平均值 Ｂ．６ ３５
Ｄ．２０２０ 人年龄的 ％分位数为
３．（ 湖南长沙雅礼中学月考， ）已知一组数据ｘ ｘ ｘ ｘ Ｃ．６ ７５ ３６
２０２４ ４ １， ２， ３， ４，
人年龄的方差为６４
ｘ 的平均数为 方差为 １ 则另一组数据 ｘ ｘ ｘ Ｄ．６
５ ２， ， ３ １－２，３ ２－２，３ ３－ ３
２ ８．（多选）（ 湘豫名校第二次模拟， ）人均可支配收入和人
ｘ ｘ 的平均数 标准差分别为 Ｃ ２０２４ ９
２，３ ４－２，３ ５－２ 、 （ ） 均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标 常被用于衡
，
１ 量一个地区经济发展水平和群众生活水平． 年前
Ａ．２， Ｂ．２，１ ２０１８—２０２３
２
三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图
３ ２ ９ 如图 据此进行分析 则 ＡＣＤ
Ｃ．４， Ｄ．４， ， ， （ ）
２ ２
J!
４．（ 福建适应性训练， ）某单位共有Ａ Ｂ两部门 月份进
２０２４ ４ 、 ，１ F "B4@
行服务满意度问卷调查 得到两部门服务满意度得分的频率
， J! F
分布条形图如图．设Ａ 、 Ｂ两部门的服务满意度得分的第 ７５ 百 J! "B
分位数分别为ｎ ｎ 方差分别为ｓ２ ｓ２ 则 Ｃ
１， ２， １， ２， （ ）
M( "FK
#FK
年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年
Ａ．２０１８—２０２３
0 递增
ｎ ｎ ｓ２ ｓ２ ｎ ｎ ｓ２ ｓ２ 年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年
Ａ． １＞ ２， １＞ ２ Ｂ． １＞ ２， １＜ ２ Ｂ．２０１８—２０２３
ｎ ｎ ｓ２ ｓ２ ｎ ｎ ｓ２ ｓ２ 递增
Ｃ． １＜ ２， １＜ ２ Ｄ． １＜ ２， １＞ ２
５．（ 福建宁德质检， ） 海峡两岸各民族欢度 三月三 年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极
２０２４ ５ ２０２４ “ ” Ｃ．２０１８—２０２３
暨福籽同心爱中华 福建省第十一届 三月三 畲族文化节活 差比人均消费支出的极差大
· “ ”
动在宁德福安隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此 与当 年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位
， Ｄ．２０１８—２０２３
地群众共同欢庆 三月三 畅叙两岸情．在活动现场 为了解 数为 元
“ ”， ， ２１１８０
不同时段的入口游客人流量 从上午 点开始第一次向指挥 ９．（多选）（ 山东省实验中学一模， ）下列命题正确的是
， １０ ２０２４ ９
中心反馈入口人流量 之后每过一个小时反馈一次．指挥中心 ＡＢＤ
， （ ）
统计了前 ５ 次的数据 （ ｉ ， ｙ ｉ）， 其中ｉ ＝１，２，３，４，５， ｙ ｉ 为第ｉ次入 Ａ． 若样本数据ｘ １， ｘ ２，…， ｘ ６ 的方差为 ２， 则数据 ２ ｘ １－１，２ ｘ ２－１，
口人流量数据 （ 单位 ： 百人 ）， 由此得到ｙ关于ｉ的回归方程ｙ ＾ …，２ ｘ ６－１ 的方差为 ８
＝
ｂ＾
ｌｏｇ２（
ｉ
＋１）＋５
．已知ｙ
＝９，
根据回归方程
（
参考数据
：ｌｏｇ２３≈ Ｂ．
已知互不相同的
３０
个样本数据
，
若去掉其中最大和最小的
． ． 可预测下午 点时入口游客的人流量为 数据 则剩下 个数据的 ％分位数不等于原样本数据的
１６，ｌｏｇ２５≈２３）， ４ ， ２８ ２０
Ｂ ％分位数
（ ） ２０
． ． ． ． 若Ａ Ｂ两组成对数据的样本相关系数分别为ｒ ． ｒ
Ａ．９６ Ｂ．１１０ Ｃ．１１４ Ｄ．１２０ Ｃ． ， Ａ＝０ ９７， Ｂ＝
２ ７０ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
－０． 则Ａ组数据比Ｂ组数据的线性相关程度更强 个地区的环境治理情况进行检查督导 若连续 天 每天空
９９， ， １０ ，
若决定系数Ｒ２ 的值越接近于 则表示回归模型的拟合效 气质量指数 单位 ３ 不超过 则认为该地区环境治
Ｄ． １， （ ：μｇ／ｍ ） １００，
果越好 理达标 否则认为该地区环境治理不达标．已知甲 乙两地区
， 、
１０．（ 江苏苏锡常镇调研， ）已知变量 ｘ ｙ 的统计数据如 连续 天检查所得数据特征是 甲地区平均数为 方差为
２０２４ １２ ， １０ ： ８０，
下表 对表中数据作分析 发现ｙ与ｘ之间具有线性相关关 乙地区平均数为 方差为 ．则下列推断一定正确的是
， ， ４０， ７０， ９０
系 利用最小二乘法 计算得到经验回归直线方程为ｙ ． ｘ ＡＣＤ
， ， ＾＝０ ８ （ ）
ａ 据此模型预测当ｘ 时ｙ的值为 ． ． 甲 乙两地区这 天检查所得共 个数据的平均数是
＋＾， ＝１０ ＾ ７４ Ａ． 、 １０ ２０ ７５
甲 乙两地区这 天检查所得共 个数据的方差是
ｘ Ｂ． 、 １０ ２０ ６５
５ ６ ７ ８ ９ 甲地区环境治理达标
ｙ ． ． Ｃ．
３５ ４ ５ ６ ６５ 乙地区环境治理达标
Ｄ．
５．（多选）（ 浙江杭州学军中学适应性考试， ）在对具有相
学生用书P169 ２０２４ １０
关关系的两个变量进行回归分析时 若两个变量不呈线性相
１．（ 浙江全国名校协作体二模， ）为了解某中学学生假期 ，
２０２４ ４ 关关系 可以建立含两个待定参数的非线性模型 引入中间变
中每天自主学习的时间 采用样本量按比例分配的分层随机 ， ，
， 量将其转化为线性关系 再利用最小二乘法进行线性回归分
抽样 现抽取高一学生 人 其每天学习时间均值为 小时 ，
， ４０ ， ８ ， 析．下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的
方差为 ． 抽取高二学生 人 其每天学习时间均值为 小
０５， ６０ ， ９ 非线性模型 且散点图样本点均位于第一象限 则其中可以根
时 方差为 ． 抽取高三学生 人 其每天学习时间均值为 ， ，
， ０８， １００ ， 据上述方法进行回归分析的模型有 ＡＢＤ
小时 方差为 则估计该校学生每天学习时间的方差为 （ ）
１０ ， １， ｘ ｃ
Ｂ ｙ ｃ ｘ２ ｃ ｘ ｙ ＋ １
（ ） Ａ． ＝ １ ＋ ２ Ｂ． ＝ｘ ｃ
． ． ． ． ＋ ２
２． Ａ （ ．１４ 河北石家庄 Ｂ． 一 １４ 模 ５ ， ）某校为 Ｃ 了 ．１ 解 ５ 本校高一男 Ｄ． 生 １５ 身 ５ 高和 Ｃ． ｙ ＝ ｃ １ｅ ｘ ＋ ｃ ２ Ｄ． ｙ ＝ ｃ １＋ｌｎ（ ｘ ＋ ｃ ２）
２０２４ ６ ６．（ 广东广州一模， ）某校数学建模兴趣小组收集了一组
体重的相关关系 在该校高一年级随机抽取了 名男生 测量 ２０２４ １４
， ７ ， 恒温动物体重 Ｗ 单位 克 与脉搏率 ｆ 单位 心跳次数／分
了他们的身高和体重 制作成表格． （ ： ） （ ：
， 钟 的对应数据 Ｗ ｆ ｉ 根据生物学常识和散
） （ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…，８），
身高ｘ 单位 点图得出ｆ与Ｗ近似满足ｆ ｃＷｋ ｃ ｋ为参数 ．令ｘ Ｗ ｙ
（ ：ｃｍ） １６７ １７３ １７５ １７７ １７８ １８０ １８１ ＝ （ ， ） ｉ＝ｌｎ ｉ， ｉ
体重ｙ 单位 ８
（ ：ｋｇ） ９０ ５４ ５９ ６４ ６７ ７２ ７６
＝ｌｎ
ｆ
ｉ，
计算得ｘ
＝８，
ｙ
＝５，∑ｉ＝
ｙ２ｉ
＝２１４
．由最小二乘法得经验回
由表格制作成如图所示的散点图 １
，
ZLH
归方程为ｙ
＾＝
ｂ＾ｘ
＋７
．
４，
则ｋ的值为
－０
．
３ ；
为判断拟合效果
，
通
过经验回归方程求得预测值ｙ ｉ 若残差平方和
＾ｉ（ ＝１，２，…，８），
∑ｉ＝ ８
１
（ ｙ ｉ－ ｙ ＾ｉ） ２ ≈０ ． ２８， 则决定系数Ｒ２ ≈ ０ ． ９８ ．
ｎ
æ ç
ç 参考公式 ： 决定系数Ｒ２ ＝１－
∑ｉ＝
ｎ １
（ ｙ ｉ－ ｙ ＾ｉ） ２ ö ÷
÷
YDN è ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ø
１
由最小二乘法计算得到经验回归直线ｌ
１
的方程为ｙ
＾＝
ｂ＾
１
ｘ
＋
ａ
＾ １，
７．（
２０２４
福建厦门教学质量检测四，
１６
）某地区为了解居民体育
其相关系数为ｒ 经过残差分析 点 对应残差过大 锻炼达标情况与性别之间的关系 随机调查了 位居民 得
１； ， （１６７，９０） ， ， ６００ ，
把它去掉后 再用剩下的 组数据计算得到经验回归直线ｌ 到如下数据
， ６ ２ ：
的方程为ｙ
＾＝
ｂ＾
２
ｘ
＋
ａ
＾ ２，
相关系数为ｒ
２
．则下列选项正确的是 不达标 达标 合计
Ａ 男
（ ） ３００
Ａ．
ｂ＾
１＜
ｂ＾
２，
ａ
＾ １＞
ａ
＾ ２，
ｒ
１＜
ｒ
２ Ｂ．
ｂ＾
１＜
ｂ＾
２，
ａ
＾ １＜
ａ
＾ ２，
ｒ
１＞
ｒ
２
女
１００ ３００
Ｃ．
ｂ＾
１＞
ｂ＾
２，
ａ
＾ １＜
ａ
＾ ２，
ｒ
１＞
ｒ
２ Ｄ．
ｂ＾
１＞
ｂ＾
２，
ａ
＾ １＞
ａ
＾ ２，
ｒ
１＜
ｒ
２
合计
４５０ ６００
３．（多选）（ 浙江嘉兴调研， ）已知一组数据 其
２０２４ ９ １，３，５，７，９， 完成 列联表 根据小概率值α ． 的独立性检验
（１） ２×２ ， ＝０ ０１ ，
中位数为ａ
，
平均数为ｘ
，
极差为ｂ
，
方差为ｓ２．现从中删去某一
能否认为体育锻炼达标与性别有关联
？
个数 得到一组新数据 其中位数为 ａ′ 平均数为 ｘ′ 极差为
， ， ， ，
若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为 ４ 体育
ｂ′ 方差为ｓ′２ 则下列说法中正确的是 ＡＣＤ （２） ，
， ， （ ） ５
若删去 则ａ ａ′
Ａ． ３， ＜ 锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为 ２ 用上表中居民
若删去 则ｘ ｘ′ ，
Ｂ． ９， ＜ ５
无论删去哪个数 均有ｂ ｂ′ 体育锻炼达标的频率估计该地区居民体育锻炼达标的概率 从
Ｃ． ， ≥ ，
若ｘ ｘ′ 则ｓ２ ｓ′２ 该地区居民中随机抽取 人参加体能测试 求 人中合格的人
Ｄ． ＝ ， ＜ ３ ， ３
４．（多选）（ ２０２４ 江西南昌一模， １１ ）某环保局对辖区内甲 、 乙两 数Ｘ 的 分 布 列 及 期 望． （ ｘ α 对 应 值 见 下 表． χ ２ ＝
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ７１
ｎ （ ａｄ － ｂｃ ） ２ ｎ ａ ｂ ｃ ｄ ｘ 日
ａ ｂ ａ ｃ ｃ ｄ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋ ） （ ） １ ２ ３ ４ ５
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
ｙ 万人
（ ） ４５ ５０ ６０ ６５ ８０
α ． ． ．
０１ ００５ ００１ 计算ｘ ｙ的相关系数ｒ 计算结果精确到 ． 并判断是
（１） ， （ ０ ０１），
ｘ α ２ ． ７０６ ３ ． ８４１ ６ ． ６３５ 否可以认为日期与游客人数的相关性很强 ；
请根据表中提供的数据 用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的经
解析 补全 列联表如下 （２） ，
（１） ２×２ ： 验回归方程
；
不达标 达标 合计
为了吸引游客 在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行
（３） ，
了现场抽奖的活动 具体抽奖规则为从该旅游团中随机同时
男
，
５０ ２５０ ３００
抽取两名游客 两名游客性别不同 则为中奖．已知某个旅游
女 ， ，
１００ ２００ ３００ 团中有 个男游客和ｋ ｋ 个女游客 设重复进行三次抽
５ （ ≥５） ，
合计 奖中恰有一次中奖的概率为ｐ 当ｋ取多少时 ｐ最大
１５０ ４５０ ６００ ， ， ？
ｎ ｎ
零假设为Ｈ 体育锻炼达标与性别独立 即体育锻炼达标与 ｘ ｘ ｙ ｙ ｘｙ ｎｘｙ
性别无关．
０： ，
参考公式 ： ｂ＾ ＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ－ ）（ ｉ－ ）
＝
∑ｉ＝
１ ｎ
ｉ ｉ－
， ａ ＾ ＝ ｙ － ｂ＾ｘ ， ｒ ＝
χ ２ ６００×（５０×２００－２５０×１００） ２ ２００ ． ． ． ∑ｉ＝ １ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ∑ｉ＝ １ ｘ２ｉ－ ｎｘ２
＝ ＝ ≈２２２２２＞６６３５ ｎ
３００×３００×１５０×４５０ ９
ｘ ｘ ｙ ｙ
根据小概率值α ＝０ ． ０１ 的独立性检验 ， 推断Ｈ ０ 不成立 ， 即认为 ∑ｉ＝ １ （ ｉ－ ）（ ｉ－ ） 参考数据 ． ．
体育锻炼达标与性别有关联 该推断犯错误的概率不超过 ｎ ｎ ， ： ３≈１７３２
０
．
０１
． ， ∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ∑ｉ＝
１
（ ｙ ｉ－ ｙ ） ２
设事件Ａ 随机抽取一人体育锻炼达标 事件Ｂ 随机
（２） ＝“ ”， ＝“ 解析 因为 ｘ １＋２＋３＋４＋５ ｙ ４５＋５０＋６０＋６５＋８０
抽取一人体能测试合格 （１） ＝ ＝３， ＝
”， ５ ５
则Ｐ Ａ ３ Ｐ Ａ １
＝６０，
（ ）＝ ， （ ）＝ ， ５ ５
４ ４ 所以 ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ）＝８５，∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ＝１０，
Ｐ Ｂ Ａ ４ Ｐ Ｂ Ａ ２ ． １ １
（ ｜ ）＝ ， （ ｜ ）＝ ５
５ ５ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＝７５０，
所以Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ ７ １
（ ）＝ （ ） （ ｜ ）＋ （ ） （ ｜ ）＝ ， ５ ５
Ｘ的可能取值为 １０ 所 以 ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＝ ７ ５００， 所 以 ｒ ＝
０，１，２，３， １ １
Ｐ （ Ｘ ＝０）＝ (
１
３
０
) ３ ＝
１
２
０
７
００
， ∑ｉ＝ ５
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ）
８５ ８５ ８５ ．
Ｐ （ Ｘ ＝１）＝Ｃ １ ３ ( ３ ) ２ ７ ＝ １８９ ， ∑ｉ＝ ５ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ∑ｉ＝ ５ （ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＝ ５０ ３ ≈ ５０×１ ． ７３２ ＝ ８６ ． ６ ≈０９８，
１０ １０ １０００ １ １
( ) 由此可以认为日期与游客人数的相关性很强．
２
Ｐ Ｘ ２ ３ ７ ４４１
（ ＝２）＝Ｃ３ ＝ ， ５ ５
( １０ ) ３ １０ １０００ （２） 由 （１） 知 ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ）＝８５，∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ＝１０，
Ｐ Ｘ ７ ３４３ ． １ １
（ ＝３）＝ ＝ ５
１０ １０００ ｘ ｘ ｙ ｙ
所以Ｘ的分布列为
所以ｂ＾
∑ｉ＝
１
（ ｉ－ ）（ ｉ－ ）
８５ ．
＝ ５ ＝ ＝８５，
Ｘ
０ １ ２ ３
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ １０
因为ａ
＾＝
ｙ
－
ｂ＾ｘ
＝６０－８
．
５×３＝３４
．
５，
Ｐ ２７ １８９ ４４１ ３４３ 所以回归方程为ｙ ． ｘ ． ．
＝８５ ＋３４５
１０００ １０００ １０００ １０００
记ｐ ｋ ｔ Ｃ
１
５·Ｃ
１ｋ
１０
ｋ
ｋ ｋ Ｎ
所以Ｅ Ｘ ２７ １８９ ４４１ ３４３ ． ． （３） （ ）＝ ＝ Ｃ ２ｋ ＋５ ＝ （ ｋ ＋５）（ ｋ ＋４） （ ≥５， ∈ ），
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝２１ ｋ ｋ
１０００ １０００ １０００ １０００ ｐ ｋ ｐ ｋ １０（ ＋１） １０
８．（ 黑龙江哈尔滨六中四模， ） 年初 冰城哈尔滨充 ∵ （ ＋ １） － （ ） ＝ ｋ ｋ － ｋ ｋ ＝
２０２４ １８ ２０２４ ， （ ＋６）（ ＋５） （ ＋５）（ ＋４）
分利用得天独厚的冰雪资源 成为 年第一个 火出圈 的 ｋ
， ２０２４ “ ” １０（４－ ）
ｋ ｋ ｋ ＜０，
网红城市 冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动 成功提 （ ＋４）（ ＋５）（ ＋６）
， ，
升了吸引力和知名度 为其他旅游城市提供了宝贵经验 从 ｐ ｋ ｐ ５ 即 ｔ ５
， ， ∴０＜ （ ）≤ （５）＝ ， ０＜≤ ，
年 月 日至 日 哈尔滨太平国际机场接待外地游客 ９ ９
２０２４ １ １ ５ ， ｐ ｔ １ ｔ ｔ ２ ｔ３ ｔ２ ｔ
数量如下 （ ）＝Ｃ３··（１－） ＝３ －６ ＋３，
： ｐ′ ｔ ｔ２ ｔ ｔ ｔ
（ ）＝９ －１２ ＋３＝３（３ －１）（ －１），
( ) ( ]
ｐ ｔ 在 １ 上单调递增 在 １ ５ 上单调递减
∴ （ ） ０， ， ， ，
３ ３ ９
２ ７２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
当ｔ １ 时 ｐ ｔ 取得最大值
由于ｋ
∈
Ｎ
，
故ｋ
＝３
．
∴ ＝ ， （ ） ，
３ 学生用书P172
ｋ
由ｔ １０ １ 解得ｋ 或ｋ 舍去
＝ ｋ ｋ ＝ ， ＝２０ ＝１（ ）， 概念深度理解 （ 安徽合肥二模， ）树人中学高三 班
（ ＋５）（ ＋４） ３ ２０２４ １７ （１）
当ｋ 时 恰有一次中奖的概率最大． 某次数学质量检测 满分 分 的统计数据如下表
∴ ＝２０ ， （ １５０ ） ：
９．（ 广东广州三模， ）在第二十五届中国国际高新技术成
２０２４ １７ 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差
果交易会上 中国科学院的科研团队带来了可以在零下 摄
， ７０ 男
氏度到零上 摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池 为新 ３０ １００ １６
８０ ，
女
能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术支撑．中国 ２０ ９０ １９
新能源汽车也在科研团队的努力下 在世界舞台上扮演着越 在按比例分配分层随机抽样中 已知总体划分为 层 把第一层
， ， ２ ，
来越重要的角色
，
已知某锂电池生产商对一批锂电池最低正 样本记为ｘ
１，
ｘ
２，
ｘ
３，…，
ｘ
ｎ，
其平均数记为ｘ
，
方差记为ｓ２
１；
把第二
常使用零下温度
（
单位
：℃）
进行了检测
，
得到如下频率分布直 层样本记为ｙ
１，
ｙ
２，
ｙ
３，…，
ｙ
ｍ，
其平均数记为ｙ
，
方差记为ｓ２
２；
把总
方图． 样本数据的平均数记为ｚ 方差记为ｓ２．
，
求最低正常使用零下温度的第 百分位数．
（１） 以抽样检测的频率作为实际情况 ６０ 的概率． （１） 证明 ： ｓ２ ＝ｍ １ ｎ｛ ｎ ［ ｓ２ １＋（ ｘ － ｚ ） ２ ］＋ ｍ ［ ｓ２ ２＋（ ｙ － ｚ ） ２ ］｝；
（２） ＋
若随机抽取 块电池 设抽到锂电池最低正常使用零下温 求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差 精确到
① ３ ， （２） （ １）；
度在 的数量为Ｘ 求Ｘ的分布列 假设全年级学生的考试成绩服从正态分布Ｎ μ σ２ 以该
［２０，５０］ ， ； （３） （ ， ），
若锂电池最低正常使用零下温度在 之间 则为Ａ类 班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估
② ［３０，５０］ ，
锂电池．若以抽样检测的频率作为实际情况的概率 从这批锂 计值．如果按照 ％ ％ ％ ％的比例将考试成绩从高分
， １６ ，３４ ，３４ ，１６
电池中随机抽取 块 抽到ｋ块为 Ａ类锂电池 的可能性最 到低分依次划分为Ａ Ｂ Ｃ Ｄ四个等级 试确定各等级的分数线
１０ ， “ ” ， ， ， ，
大 试求ｋ的值． 精确到 ．
， （ １）
M(
附 Ｐ μ σ Ｘ μ σ ．
3C ： （ － ≤ ≤ ＋ ）≈０ ６８， ３０２≈１７， ３２２≈１８， ３５２
．
≈１９
ｎ ｍ
解析 （１） 证明 ： ｓ２ ＝ｍ １
＋
ｎ［∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ－ ｚ ） ２ ＋∑ｉ＝
１
（ ｙ ｉ－ ｚ ） ２ ］ ＝
ｎ ｍ ｎ
L# ｍ １
＋
ｎ［∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ＋ ｘ － ｚ ） ２ ＋∑ｉ＝
１
（ ｙ ｉ－ ｙ ＋ ｙ － ｚ ） ２ ］＝ｍ １
＋
ｎ｛∑ｉ＝
１
［（ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ＋
解析 设最低正常使用零下温度的第 百分位数
（１） ６０ ｍ
为ａ
，
（ ｘ － ｚ ） ２ ＋２（ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｘ － ｚ ）］＋∑ｉ＝
１
［（ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＋（ ｙ － ｚ ） ２ ＋２（ ｙ ｉ－ ｙ ）（ ｙ －
由直方图可知最低正常使用零下温度在 的频率为 ． ｚ
［０，２０） ０４， ）］｝，
在 的频率为 ． 因此最低正常使用零下温度的第 ｎ ｎ
［０，３０） ０６５， ６０ 因为 ｘ ｘ ｘ ｚ ｘ ｚ ｘ ｘ ｘ ｚ ｘ ｘ
百分位数ａ一定在
［２０，３０）
内
，
∑ｉ＝
１
［２（ ｉ－ ）（ － ）］＝２（ － ）∑ｉ＝
１
（ ｉ－ ）＝２（ － ）（ １＋ ２＋
则有 ． ． ． ａ ． 解得ａ ｘ ｘ ｎｘ
００１×１０＋００３×１０＋００２５×（ －２０）＝０６， ＝２８， ３＋…＋ ｎ－ ）＝０，
所以最低正常使用零下温度的第 百分位数为 ． ｍ
６０ ２８ ℃ 同理 ｙ ｙ ｙ ｚ
（２）①
由题意可知Ｘ的可能值是
０，１，２，３，
Ｘ
～
Ｂ
（３，０
．
６），
∑ｉ＝
１
［２（ ｉ－ ）（ － ）］＝０，
Ｐ Ｘ ０ ． ０ ． ３ ．
（ ＝０）＝Ｃ３０６ ×０４ ＝００６４； 所以ｓ２ １ ｎ ｓ２ ｘ ｚ ２ ｍ ｓ２ ｙ ｚ ２ ．
Ｐ （ Ｘ ＝１）＝Ｃ １ ３０ ． ６ １ ×０ ． ４ ２ ＝０ ． ２８８； ＝ｍ ＋ ｎ｛ ［ １＋（ － ） ］＋ ［ ２＋（ － ） ］｝
Ｐ （ Ｘ ＝２）＝Ｃ ２ ３０ ． ６ ２ ×０ ． ４ １ ＝０ ． ４３２； （２）
该班参加考试学生成绩的平均数为ｚ
，
方差为ｓ２
，
Ｐ （ Ｘ ＝３）＝Ｃ ３ ３０ ． ６ ３ ×０ ． ４ ０ ＝０ ． ２１６， 则ｚ ＝ １ ×（３０×１００＋２０×９０）＝９６，
所以Ｘ的分布列为 ５０
２ ２
Ｘ
所以ｓ２
＝
３０×［２５６＋（１００－９６） ］＋２０×［３６１＋（９０－９６） ］
＝３２２，
０ １ ２ ３ ５０
Ｐ ． ． ． ． 又 所以ｓ ．
００６４ ０２８８ ０４３２ ０２１６ ３２２≈１８， ≈１８
设抽到Ａ类锂电池的数量为Ｙ 则Ｙ Ｂ ． 即该班参加考试学生成绩的平均数为 分 标准差约为 分．
② ， ～ （１０，０３５）， ９６ ， １８
若抽到ｋ块的可能性最大 由 知μ σ 所以全年级学生的考试成绩Ｘ服从
， （３） （２） ＝９６， ＝１８，
则Ｐ （ Ｙ ＝ ｋ ）＝Ｃ１ ｋ ００ ． ３５ ｋ （１－０ ． ３５） １０－ ｋ ， ｋ ＝０，１，…，１０， 正态分布Ｎ （９６，１８ ２ ），
{Ｐ Ｙ ｋ Ｐ Ｙ ｋ 所以Ｐ Ｘ ． Ｐ Ｘ ． ．
（ ＝ ）≥ （ ＝ －１）， （９６－１８≤ ≤９６＋１８）≈０６８， （ ≥９６）＝０５
Ｐ Ｙ ｋ Ｐ Ｙ ｋ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ ． Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ
（ ＝ ）≥ （ ＝ ＋１）， （７８≤ ＜９６）＝ （９６≤ ＜１１４）≈０ ３４， （ ≥１１４）＝ （ ＜７８）
{ ｋ ． ｋ ． １０－ ｋ ｋ －１ ． ｋ －１ ． １１－ ｋ ． ．
即 Ｃ１００３５ ０６５ ≥Ｃ１０ ０３５ ０６５ ， ≈０１６
ｋ ． ｋ ． １０－ ｋ ｋ ＋１ ． ｋ ＋１ ． ９－ ｋ 故可将Ｘ ≥１１４ 定为Ａ等级 ，９６≤ Ｘ ＜１１４ 定为Ｂ等级 ，７８≤ Ｘ ＜９６
Ｃ１００３５ ０６５ ≥Ｃ１０ ０３５ ０６５ ，
{ ｋ ｋ 定为Ｃ等级 Ｘ 定为Ｄ等级．
即 ７（１１－ ）≥１３ ， 解得 ． ｋ ． ， ＜７８
ｋ ｋ ２８５≤ ≤３８５，
１３（ ＋１）≥７（１０－ ），
