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第八章 成对数据的统计分析（提高卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间1200分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将
自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.有以下几组（x，y）的统计数据：（1，2），（2，4），（4，5），（3，10），（10，12），要使剩下
的
数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（ ）
A．（3，10） B．（10，12） C．（1，2） D．（4，5）
【答案】A
【分析】在坐标系中画出五个点，结果除去（3，10）之外，其余的点都在一条线附近，去掉这个点以后
剩下的数据更具有相关关系
【解答】解：∵（1，2），（2，4），（4，5），（3，10），（10，12），
在坐标系中画出五个点，结果除去（3，10）之外，其余的点都在一条线附近，
∴去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系，
故选：A．
【知识点】回归分析、变量间的相关关系
2.根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x，y的线性回归方程为（ ）
x 1 2 3 4 5
y 0.5 1 1 1.5 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知求得与的值，则线性回归方程可求．
【解答】解： ， ，
＝0.35， ，
∴y关于x的线性回归方程为 ．
故选：A．
【知识点】线性回归方程
3.某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：
产量x（万件） 2 3 4
单位成本y（元/件） 3 a 7
现根据表中所提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝2x﹣1，则a值等于（ ）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】B
【分析】由已知表格中的数据求得与的值，代入线性回归方程求解a值．
【解答】解： ， ，
代入线性回归方程为＝2x﹣1，得 ，
解得a＝5．
故选：B．
【知识点】线性回归方程
4.若某地财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx+a+e（单位：亿元），其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，
如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过（ ）
A．9亿元 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元
【答案】D
【分析】将所给数据代入y＝bx+a+e，利用|e|≤0.5，即可求得结论．
【解答】解：∵某地的财政收入x与支出y满足的线性回归模型是y＝bx+a+e（单位：亿元），其中b＝
0.7，a＝3，
∴y＝0.7x+3+e
当x＝10时，y＝0.7x+3+e＝10+e．
∵|e|≤0.5，∴﹣0.5≤e≤0.5
∴9.5≤y≤10.5，
∴今年支出预计不超出10.5亿元．
故选：D．
【知识点】线性回归方程
5.已知如表为x与y之间的一组数据，若y与x线性相关，则y与x的回归直线y＝bx+a必过点（ ）
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
A．（2，2） B．（1.5，0） C．（1，2） D．（1.5，4）
【答案】D
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标得答案．
【解答】解：∵ ， ，
∴样本点的中心的坐标为（1.5，4），
∴y与x的回归直线y＝bx+a必过点（1.5，4），
故选：D．
【知识点】线性回归方程
6.已知变量x，y之间的一组数据如表：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
若y关于x的线性回归方程为 ，则＝（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.35 D．0.45
【答案】C【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可．
【解答】解：由题意可知＝ ＝4.5．
＝ ＝3.5．
因为回归直线经过样本中心，
所以3.5＝0.7×4.5+，
解得＝0.35．
故选：C．
【知识点】线性回归方程
7.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为＝ax﹣（1﹣a），若 ，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得a值．
【解答】解：由 ，
得 ， ，
∴样本点的中心的坐标为（ ），
代入＝ax﹣（1﹣a），得 ，
解得：a＝ ．
故选：A．
【知识点】线性回归方程
8.已知变量x，y之间的线性回归方程为 ，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错
误的是（ ）
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A．可以预测，当x＝20时，
B．m＝5
C．变量x，y之间呈负相关关系
D．该回归直线必过点（8，5）
【答案】D
【分析】由线性回归方程恒过样本点的中心逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：对于A选项，当x＝20时， ，A选项正确；
对B选项， ，
将点（，）的坐标代入回归直线方程，得 ，解得m＝5，B选项正确；
对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x，y之间呈负相关关系，C选项正确；
对于D选项，由B选项可知，回归直线 必过点（9，4），D选项不正确．
故选：D．
【知识点】线性回归方程
9.“独立性检验”中在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为事件 A和B有关，则算出的数据满足
（ ）
A．k2＜6.63 B．k2＜3.84 C．k2＞3.84 D．k2＞6.63【答案】C
【分析】通过K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：根据观测值
P（K2≥k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
概率不超过0.05对应的k值为3.841，
故选：C．
【知识点】独立性检验
10.对具有线性相关关系的两个变量x，y，测得一组数据如表所示：
x 2 4 5 6 8
y 20 m 60 70 n
根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为 ，则m+n＝（ ）
A．119 B．120 C．129 D．130
【答案】B
【分析】由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解m+n的值．
【解答】解：∵ ， ，
∴样本点的中心的坐标为（5， ），代入线性回归方程，
得 ，解得m+n＝120．
故选：B．
【知识点】线性回归方程
11.如图是某地区2010年至2019年污染天数y（单位：天）与年份x的折线图．根据2010年至2014年数
据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型＝bx+a， ，则
1 1
（ ）
A．b＜b＜b，a＜a＜a B．b＜b＜b，a＜a＜a
1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2
C．b＜b＜b，a＜a＜a D．b＜b＜b，a＜a＜a
2 3 1 1 3 2 2 3 1 3 2 1
【答案】C【分析】在散点图中作出三条线性回归方程对应直线的大致形状，数形结合得答案．
【解答】解：不妨设l：＝bx+a，l： ，l： ，
1 1 1 2 3
由线性回归方程恒过样本点的中心，可知三条回归直线方程的大致形状如图：
由图可知，b＜b＜b，a＜a＜a．
2 3 1 1 3 2
故选：C．
【知识点】线性回归方程
12.小明同学在做市场调查时得到如下样本数据
x 1 3 6 10
y 8 a 4 2
他由此得到回归直线的方程为＝﹣2.1x+15.5，则下列说法正确的是（ ）
①变量x与y线性负相关②当x＝2时可以估计y＝11.3
a＝6 变量x与y之间是函数关系
③A．①④ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】由线性相关系数判定①；在回归直线方程中取x＝2求得y值判定②；求出样本点的中心坐标，
代入回归直线方程求得a值判断③；由回归直线方程的意义说明④错误．
【解答】解：由回归直线的方程为＝﹣2.1x+15.5，可知变量x与y线性负相关，故①正确；
当x＝2时， ，故②正确；
∵ ， ，∴样本点的中心坐标为（5， ），
代入＝﹣2.1x+15.5，得 ，解得a＝6，故③正确；
变量x与y之间具有线性负相关关系，不是函数关系，故④错误．
∴说法正确的是①②③．
故选：C．
【知识点】线性回归方程
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线
上）
13.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是
．
【答案】（1）、（4）
【分析】用相关系数r衡量两个变量之间的相关关系强弱时，
r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，
r的绝对值越接近于0，表示两个变量的线性相关性越弱，由此得到答案．
【解答】解：对于（1），|r|越大，相关程度越大，命题（1）正确；
对于（2），|r|越小，相关程度越小，命题（2）错误；
对于（3），|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，命题（3）错误；
对于（4），|r |越接近于1时，线性相关程度越强，命题（4）正确．
综上，正确的命题是（1）、（4）．
故答案为：（1）、（4）．
【知识点】变量间的相关关系
14.已知变量x和y线性相关，其一组观测数据为（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ），（x ，
1 1 2 2 3 3 4 4 5
y ），由最小二乘法求得回归直线方程为y＝0.67x+50.9．若已知x+x+x+x+x ＝150，则y+y+y+y+y
5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
＝ ．
【答案】355
【分析】由已知求得，代入线性回归方程求得，则y+y+y+y+y 可求．
1 2 3 4 5
【解答】解：由x+x+x+x+x＝150，得 ，
1 2 3 4 5
再由（ ）在直线y＝0.67x+50.9上，
得 ，
∴y+y+y+y+y＝ ．
1 2 3 4 5
故答案为：355．
【知识点】线性回归方程
15.某公司一种新产品的销售额y与宣传费用x之间的关系如表：
x（单位：万元） 0 1 2 3 4
y（单位：万元） 10 15 20 30 35
已知销售额y与宣传费用x具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为 ，则的值为 ．
【答案】6.5
【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数．
【解答】解；由表中数据，计算 ，
，
又归直线方程为 过样本中心点（2，22）得，
，
解得 ．
故答案为：6.5．
【知识点】线性回归方程
16.为了判断高中三年级学生是否选择文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科
男 13 10
女 7 20
已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．
根据表中数据，得到K2的观测值 ，则有 以上把握认为选择文科与性别有关系．
【答案】95%
【分析】根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据4.844＞3.841，有1﹣0.05＝95%的把
握认为选修文科与性别有关系．
【解答】解：∵根据表中数据，得到K2的观测值k＝ ≈4.844
4.844＞3.841，
∴有1﹣0.05＝95%的把握认为选修文科与性别有关系，
故答案为：95%
【知识点】独立性检验
三、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如表对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式＝ ，＝﹣b．
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．
【分析】（1）根据表中数据画出散点图即可；
（2）由表中数据计算平均数和回归系数，写出回归方程；
（3）利用线性回归方程计算x＝7时的值，即可得出预测结果．
【解答】解：（1）画出散点图如图所示：（2）由表中数据，计算＝ ×（2+4+5+6+8）＝5，
＝ ×（30+40+60+50+70）＝50，
（x﹣）（y﹣）＝﹣3×（﹣20）+（﹣1）×（﹣10）+0×10+1×0+3×20＝130，
i i
（x﹣）2＝9+1+0+1+9＝20，
i
则＝ ＝6.5，＝﹣ ＝17.5，
所以y关于x的线性回归方程是＝6.5x+17.5；
（3）利用线性回归方程，计算x＝7时，＝6.5×7+17.5＝63；
预测当广告费支出7百万元时，销售额为63百万元．
【知识点】线性回归方程
18.自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，
全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存
在很大缺口．某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产
的口罩量如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
产量y（单 76.0 88.0 96.0 104.0 111.0 117.0 124.0 130.0 135.0 140.0
位：万个）
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：
y （x﹣）2 （y﹣）2 （x﹣）（y﹣）
i i i i i
m n 1121.0 82.5 3998.9 570.5
（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+（回归方程系数精确到
0.1）；
（2）某同学认为y＝px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为 y＝﹣
x2+10x+68．经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程
的拟合效果更好？并说明理由．
附：＝ ＝ ，＝﹣ ．
【分析】（1）计算平均数可求表中m，n的值，结合参考数据并根据最小二乘法公式可求出y关于x的线
性回归方程＝x+；
（2）利用模型模拟第11天的产量与实际进行比较可得答案．
【解答】解：（1）样本平均数＝5.5，＝112.1，
∴由最小二乘法公式求得＝ ＝ ≈6.9，＝﹣ ＝112.1﹣6.9×5.5＝74.2，
即所求回归方程为： ．
（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为y＝6.9×11+74.2＝150.1
（万个）
用题中的二次函数模型求得回归方程为y＝﹣ x2+10x+68．经调查，该企业第11天的产量为
145.3万个，
与第11天的实际数据进行比较发现|150.1﹣145.3|＞|145﹣145.3|；所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好．
【知识点】线性回归方程
19.近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统
计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据：
x气温/℃ ﹣2 0 3 6 10 13
y销售量/杯 161 146 138 133 120 112
（1）求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为16℃，估计当天的热饮销售量；
（2）根据表格中的数据计算R2（精确到0.001），由此解释平均气温对销售量变化的影响．
参考公式： ， ； ．
【分析】（1）求出与的值，可得线性回归方程，取x＝16求得y值即可；
（2）由已知数据求得R2得结论．
【解答】解：（1）由已知表格中的数据，得 ， ，从而：
x ﹣2 0 3 6 10 13
y 161 146 138 133 120 112
﹣7 ﹣5 ﹣2 1 5 8
26 11 3 ﹣2 ﹣15 ﹣23
∴ ， ，
解得： ， ．
∴气温预报销售量的回归直线方程为： ．
当x＝16时， ．
因此，某天白天的平均气温为16℃时，估计可以卖出102杯热饮；
（2）求得与 的值如下表：
x ﹣2 0 3 6 10 13
y 161 146 138 133 120 112
156 150 141 132 120 111
5 ﹣4 ﹣3 1 0 1
∴ ， ．
得 ．
∴销售量变化有96.7%是由平均气温引起的．
【知识点】线性回归方程
20.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果
如表：
男 女需要 40 m
不需要 n 270
若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%．
（1）求m，n的值；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
参加公式：K2＝ ．
P（K2≥k ） 0.050 0.010 0.001
0
k 3.841 6.635 10.828
0
【分析】（1）根据老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%和总人数为500人列方程求解即可得答案；
（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值与
临界值进行比较，即可得到结论．
【解答】解：（1）因为调查的500位老年人中有40+m位需要志愿者提供帮助，
所以 ，
解得m＝30，n＝160；
（2）K2 的观测值 ，
＝
因为9.967＞6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
【知识点】独立性检验
21.某地随着经济的发展，居民收入逐年增大，如表是该地一农业银行连续五年的储蓄存款（年底余额），
如下表：
年份x 2013 2014 2015 2016 2017
储 蓄 存 款 y5 6 7 8 9
（亿元）
为了研究方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x﹣2012，得到如表：
时间代号t 1 2 3 4 5
y 5 6 7 8 10
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）求y关于x的线性回归方程；
（3）用所求回归方程预测，到2020年底，该地储蓄存款额大约可达多少？
（附：线性回归方程 ，＝ ，＝ ）
【分析】（1）求出样本中心坐标，回归直线方程的系数，然后求解回归直线方程．
（2）通过t＝x﹣2012与 ，真假写出回归直线方程即可．
（3）将2020代入 有 ，推出结果．【解答】解：（1）＝ ＝3，＝ （5+6+7+8+10）＝7.2，
，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）∵t＝x﹣2012与 ，
∴ ，即y＝1.2x﹣2410.8．
（3）将2020代入 有 ，
所以到2020年底，该地储蓄存款额大约可达13.2亿元．
【知识点】线性回归方程
22.下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线
性回归方程的残差图（2012年～2018年的年份代码x分别为1～7）．
（1）根据散点图分析y与x之间的相关关系；
（2）根据散点图相应数据计算得 y＝1074， xy＝4517，求y关于x的线性回归方程；
i i i
（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果（精确到0.01）
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ．
【分析】（1）根据散点图可以看出，散点均匀的分布在一条直线附近，故y与x成线性相关；
（2）根据给出信息，分别计算出x，y的平均值，代入最小二乘法估计公式，即可得到回归方
程；
（3）根据所给残差图分别区域的宽度分析即可．
【解答】解：（1）根据散点图可知，散点均匀的分布在一条直线附近，且随着x的增大，y增大，故y与
x成线性相关，且为正相关；
（2）依题意，＝ （1+2+3+4+5+6+7）＝4，
＝ y＝ 1074≈153.43，
i＝ ＝ ＝ ≈7.89，
＝﹣ ＝154.43﹣7.89×4＝121.87，
所以y关于x的线性回归方程为：
＝7.89x+121.87；
（3）由残差图可以看出，残差对应点分布在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较
好，回归方程的预报精度较高．
【知识点】线性回归方程
