文档内容
第十章 统计与成对数据的统计分析章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样
本中有5名女生．则样本中男生人数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】A
【详解】设样本中男生人数为x，由题意可得 ，解得 故选：A
2．2020年，面对新冠肺炎疫情的严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国能源领域
深入贯彻“四个革命､一个合作”能源安全新战略，全面落实中央“六保”工作部署，战疫情促生产､增供
应保安全，能源生产稳中有增，进口较快增长，能源供应能力和水平不断巩固提升，为统筹推进疫情防控
和经济社会发展提供了有力保障.下图是2020年1~12月分品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说
法错误的是（ ）
A．4~7月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势B．9~12月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势
C．7月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率
D．2020年分品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率
【答案】D
【分析】观察题中所给的图，对选项逐个分析，得到结果.
【详解】观察题中所给的折线图，可知：
4~7月，原煤及天然气当月同比增长率是下降的，呈下降趋势，所以A项正确；
9~12月，虽然天然气11月比10月偏低，但总体趋势仍为上升的，所以原煤及天然气当月同比增长率总体
呈上升趋势，所以B正确；
图中7月份，只有原煤加工上升，其他品种能源均比6月份低，所以C项正确；
由图易知，相比发电量，原油的曲线波动幅度更小，所以D项错误；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关根据折线图，对相应量进行分析的问题，在解题的过程中，注意
正确理解折线图的意义是解题的关键.
3．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 （ ）
A．60 B．65 C．70 D．71
【答案】D
【分析】利用百分位数的定义即可得解.
【详解】因为甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，
由 ，得第30百分位数是第2个数据，故 ,
由 ，得第50百分位数是第3与4个数据平均值 ，解得 ．
所以 .
故选：D．
4．相关变量的样本数据如下表，
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 a 5.9
经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为 ，下列说法正确的是
（ ）A．x增加1时，y一定增加2.3 B．变量x与y负相关
C．当y为6.3时，x一定是8 D．a=5.2
【答案】D
【分析】根据回归直线方程的几何意义判断A、B错误；令 求解判断C，计算 并代入回归直线
方程中，求得a的值，判断D正确.
【详解】根据回归直线方程 知，x增加1时，估计y增加 ，故A错误；
由 知， ，故变量x与y正相关，故B错误；
时， ，解得 ，估计 的值应为8，故C错误;
又 ， ，
代入回归直线方程中，则 ，解得 ，故D正确.
故选：D
5．已知甲乙两名同学本学期5次数学测试成绩如下表，
7 8
甲 76 78 88
6 7
7 8
乙 79 82 87
7 5
则根据表中数据下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙平均成绩高 B．甲成绩的极差比乙成绩的极差大
C．甲比乙成绩的中位数大 D．甲比乙成绩更稳定
【答案】B
【分析】由表格数据计算平均数、极差、中位数、方差，比较大小即可得答案.
【详解】甲平均成绩 ，乙平均成绩 ，故A错误；
甲的极差为 ，乙的极差为 ，B正确；
甲的中位数为 ，乙的中位数为 ，C错误；
甲的方差为 ，乙的方差为 ，故乙成绩比甲稳定，D错误.
故选：B6．杂交水稻之父袁隆平，推进粮食安全，消除贫困，造福民生做出杰出贡献，他在杂交水稻育种的某试
验中，第1个周期到第5个周期育种频数如下
周期数（x） 1 2 3 4 5
1
频数（y） 2 36 93 142
7
由表格可得 关于 的二次回归方程为 ，则此回归模型第2周期的残差（实际值与预报值之差）
为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．5
【答案】B
【分析】令 则回归方程为 ，符合线性回归，计算中心点代入方程求得 ，继而得到回归方
程，算出预估值，即可求出残差.
【详解】令 则回归方程为 ，符合线性回归，
周期数的平均数 ，
频数的平均数 ，
则中心点为 ，代入 ，
可得 ，则 ，
所以 ，
当 时 的预估值为 ，
则第2周期的残差为 ，
故选：B.
7．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文
化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理
成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）
A．a的值为0.005B．估计这组数据的众数为75
C．估计这组数据的第85百分位数为86
D．估计成绩低于60分的有25人
【答案】D
【分析】对A：根据频率之和为1，结合图表数据，计算即可；
对B：找出面积最大的小长方形对应的区间，求得众数即可；
对C：根据百分位数定义，结合数据求解即可；
对D：求得成绩低于60分的频率，结合总人数计算即可.
【详解】对A： ，
即 ， ，故A正确；
对B：由面积最大的小长方形可知，估计这组数据的众数为75，故B正确；
对C：前4组频率之和为 ，
前5组频率之和为 ，
设这组数据的第85百分位数为 ，
则 ， ，故C正确；
对D：成绩低于60分的频率为 ，
故估计成绩低于60分的有 人，D错误.
故选：D
8．为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为
主题的党史暨时政知识竞赛活动．已知该班男生 人，女生 人，根据统计分析，男生组成绩和女生组
成绩的方差分别为 ．记该班成绩的方差为 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由方差公式推出 ， ，可得 ，，再用推导公式求班级的方差即可.
【详解】记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为 ，则
，
，
同理 ，
， ， ，
，
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．某商店的某款商品近5个月的月销售量 （单位：千瓶）如下表：
第 个月 1 2 3 4 5
月销售量 2.5 3.2 4 4.8 5.5
若变量 和 之间具有线性相关关系，用最小二乘法建立的经验回归方程为 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．点 一定在经验回归直线 上
B．
C．相关系数D．预计该款商品第6个月的销售量为7800瓶
【答案】AB
【分析】对于A，根据表中的数据可求出样本中心点进行判断，对于B，将样本中心点代入回归方程可求
出 判断，对于C，由 进行判断，对于D，将 代入回归方程求解判断.
【详解】对于A， ，
所以样本点中心 一定在经验回归直线 上，所以A正确，
对于B，因为样本点中心 一定在经验回归直线 上，所以 ，解得 ，
所以B正确，
对于C，因为 ，所以变量 与 成正相关，所以相关系数 ，所以C错误，
对于D，当 时， ，预计该款商品第6个月的销售量为6280瓶，所以D错误，
故选：AB
10．一组数据 ， ，…， 的平均数为6，方差为1，则关于新数据 ， ，…， ，下
列说法正确的是（ ）
A．这组新数据的平均数为6 B．这组新数据的平均数为9
C．这组新数据的方差为1 D．这组新数据的方差为4
【答案】BD
【分析】用平均数和方差求解公式进行求解.
【详解】由题意得： ， ，则
，
所以这组新数据的
平均数为9，方差为4.
故选：BD
11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样
调查，得出如下的统计图例：
用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A．54周岁以上参保人数最少
B．18～29周岁人群参保总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐
D．30周岁以上的人群约占参保人群20%
【答案】AC
【分析】A选项，根据扇形统计图可得A正确；B选项，从扇形统计图和折线统计图计算出54周岁以上人
群参保总费用比18～29周岁人群参保总费用低，B错误；C选项，从条形统计图可得C正确；D选项，从
扇形统计图可得到D错误.
【详解】设抽查的5个险种参保客户的总人数为 ，
A选项，从扇形图可得到54周岁以上参保人数占比为 ，人数最少，A正确；
B选项，18～29周岁人群人均参保费用高于3500元，故参保总费用高于 ，
54周岁以上人群人均参保费用为6000元，故参保总费用为 ，
由于 ，故18～29周岁人群参保总费用不是最少的，B错误；
C选项，从条形统计图可看出丁险种所占比例为 ，比其他险种均高，故更受参保人青睐，C正确；
D选项，30周岁以上的人群约占参保人群为 ，D错误.
故选：AC
12．已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为 ，平均数 ：去掉的两个数据的方差为 ，平均数 ；原样本数据的方差为 ，平均数 ，若 ，则
（ ）
A．剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变
B．
C．剩下18个数据的 分位数大于原样本数据的 分位数
D．
【答案】ABD
【分析】设20个样本数据从小到大排列分别为 ，再根据中位数、平均数、第22百分位数与
方差的定义与公式推导即可.
【详解】设20个样本数据从小到大排列分别为 ，则剩下的18个样本数据为 ，
对于A：原样本数据的中位数为 ，剩下的18个样本数据的中位数为 ，A正确；
对于B，依题意， ， ， ，
由 ，得 ，即 ，
于是 ，因此 ，即 ，B正确；
对于C，因为 ，则剩下18个数据的 分位数为 ，
又 ，则原样本数据的 分位数为 ，C错误；
对于D，因为 ，则 ， ，
，
于是 ， ，
因此 ，即 ，D正确.故选：ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y m 3 5.5 7
已知关于y与x的线性回归方程为 ，则m的值为 .
【答案】
【解析】求出 ，代入回归方程解出 ，进而解出 的值．
【详解】由表格中的数据可得
由于回归直线过样本的中心点 ，所以
所以 ，解得
故答案为：
14．某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，
得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百
分位数是 .
【答案】
【分析】将数据从小到大排列，结合百分位数的计算方法，即可求解.
【详解】根据题意，将20个数据从小到大排列：其中75分1个，80分5个，85分3个，90分5个，95分
4个，100分2个，
由 ，所以 百分位数是第14和15个数据的平均数，
所以 百分位数为 .
故答案为： .
15．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员作了如下统计
表格．产品类别 A B C
产品数量(件) 1300
样本容量(件) 130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的
样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是 ．
【答案】800
【详解】设C产品的数量为x件，则A产品的数量为1700-x件，由
,各得C产品的数量为800件．
16．已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的方差的最大值为
．
【答案】
【分析】设这6个数为 ，根据题意，分析可得 ，代入方差公式，计算即可得答
案.
【详解】因为6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，
要使这个6个数方差最大，则数据波动强，即极差最大，
所以最小值 ，
若6个数中有3个3，则设数据为 ，不满足中位数是4，
则数据中只有2个3，所以设这6个数为 ，且 ，
又仅有一个众数3，所以 ，且 ，
所以 时，c最大，方差最大，此时 ，
所以方差为 .
故答案为：
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．某大型科学竞技真人秀节目挑选选手的方式为：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，
而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，125分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是
否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试.规定：分数不
小于125分为“入围学生”，分数小于125分为“未入围学生”.已知男生未入围76人，女生入围20人.
（Ⅰ）根据题意，填写下面的 列联表，并根据列联表判断是否有95%以上的把握认为脑力测试后是否
为“入围学生”与性别有关；
入围人
性别 未入围人数 总计
数
男生
女生
总计
（Ⅱ）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生，求这11名学生中男、女生人数；若抽取
的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），分别求这11名学生中女生测试分数平均分的
最小值.
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
附： ，其中 .
【答案】（Ⅰ）列联表见解析，没有（Ⅱ）男生人数6人，女生人数5人，女生测试分数平均分的最小值
为127分
【分析】（Ⅰ）根据题意可得 列联表，计算出 ，根据临界值表可得答案；
（Ⅱ）根据抽样比计算可得男女生人数；根据抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整
数），可知这5名学生的成绩分别为125，126，127，128，129时，女生测试分数平均分取最小值.
【详解】（Ⅰ）根据题意， 列联表如下：
性别 入围人数 未入围人数 总计
男生 24 76 100
女生 20 80 100总计 44 156 200
，
所以没有95%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.
（Ⅱ）这11名学生中，被抽到的男生的人数为 人，女生的人数为 人，
因为抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），
所以这5名学生的成绩分别为125，126，127，128，129时，女生测试分数平均分取最小值，
最小值为 分.
【点睛】本题考查了完善列联表，考查了独立性检验，考查了分层抽样，属于基础题.
18．某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了 名学生进行检测，实行百分制，
现将所得的成绩按照 分成6组，并根据所得数据作出了如下
所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
2510
合计 1
(1)求出表中 及图中 的值；
(2)（2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数.
【答案】(1) ；
(2)中位数是 ，平均数是68.5.
【分析】（1）根据样本总体和频数，频率的定义结合频率和为1计算得到答案.
（2）根据平均数和中位数的定义计算得到答案.
【详解】（1） ； ；
，解得 .
（2）设中位数为 ，则 ，解得 ；
平均数为：
.
19．市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：
月份x 1 2 3 4 5 6
净利润y（万元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4
(1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若 时，则线性
相关程度较高， ，则线性相关程度一般，计算 时精确度为0.01）
(2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率， .相关系数 .
参考数据： ， ， ， ， ， .
【答案】(1)可以，理由见解析
(2) ，3.32万元
【分析】（1）计算出相关数据，利用相关系数公式计算即可；
（2）根据线性回归方程公式计算即可.
【详解】（1）由条件则 ，
，
.
根据相关系数公式则
.
因此可以用线性回归模型拟合x与y的关系.
（2）根据（1）则变量x，y线性相关，设所求的线性回归方程为 .
根据回归方程的回归系数公式则
.
又因为 .从而可得变量x，y线性回归方程为
当 时，
因此预测9月份的利润为3.32万元.
20．某互联网公司为了确定下季度的前期广告投人计划，收集了近6个月广告投入量 （单位：万元）和
收益 （单位：万元）的数据如表：
月份 1 2 3 4 5 6
广告投入
2 4 6 8 10 12
量
收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
他们用两种模型① ，② 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图
所示的残差图及一些统计量的值．
7 30 1464.24 364
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型拟合？并说明理由；
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除．
（i）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；
（ii）若广告投入量 时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：【答案】(1)选择模型①，理由见解析
(2)（i） ；（ii）62.04万元
【分析】（1）根据残差图的分布比较可得结论；
（2）（i）求出剔除异常数据后的平均数，即可求得 和 ，即得回归方程；（ii）将 代入回归直线
方程，即可得答案.
【详解】（1）选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，
且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，
所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．
（2）（i）剔除异常数据，即组号为3的数据，剩下数据的平均数为
；
，
．
．
∴所选模型的回归方程为 ；
（ⅱ）若广告投入量 时，该模型收益的预报值是 万元．
21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，
获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 分成9组，制
成了如图的频率分布直方图.(1)求直方图中 的值；
(2)该市决定设置议价收费标准 ，用水量低于 的居民按照“民用价”收费，高于 的按照“商业价”收
费，为保障有90%居民能享受“民用价”，请设置该标准 .
(3)以每组数据中点值作为该组数据代表，分别是 .规定“最佳稳定值” 是这样一个量： 与各
组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出 .
【答案】(1)0.30
(2)
(3)2.25
【分析】（1）根据所有矩形面积和等于1，列方程可求出结果；
（2）根据百分位数的计算方法求解即可；
（3）设x与各数据的差的平方和为y，由题意可得 ，进而
结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在 中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理，在 ， ， ， ， ， ， ， 中的频率分别为
0.08， ，0.20，0.26， ，0.06，0.04，0.02.
由 ，
解得 .
（2）由（1）知，前六组的总频率为 ，
前七组的总频率为 ，
所以 ，
所以根据百分位数的计算方法有： ，
解得 .
（3）设x与各数据的差的平方和为y，
则，
由二次函数的性质知，当 时， 取得最小值，
故 .
22．为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资
金 （亿元）与年销售额 （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①
，② ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金 和年销售额 的数据， ，2， ，12，并对这些数据作了初步
处理，得到了散点图及一些统计量的值．令 ， ，经计算得如下
数据：
20 66 770 200 460 4.20
3125000 21500 0.308 14
(1)设 和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更
好的模型；
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立 关于 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到
0.01）；(3)为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小
于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如下表：
不太喜
比较喜欢 合计
欢
年龄小于30岁 200 100 300
年龄不小于30岁 150 150 300
合计 350 250 600
根据小概率 的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关．
附：①相关系数 ，回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， ；
② ， ；
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
③参考数据： ．
【答案】(1)模型 的拟合程度更好
(2)
(3)该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄有关
【分析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；
（2）先建立 关于 的线性回归方程，从而得出 关于 的回归方程；
（3）计算出 的值即可得到判断.【详解】（1） ，
，
则 ，因此从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好
（2）先建立 关于 的线性回归方程.
由 ，得 ，即 ．
由于 ，
所以 关于 的线性回归方程为 ，
所以 ，则
（3）零假设为 ：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关
，
根据小概率 独立性检验，可推断 不成立，
即该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄有关.
