文档文本内容
２ ３６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
专题九 计数原理、概率与统计
9.1 计数原理
学生用书P301
1"@ 3
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"N
$N O
"@ O "N
N
) !N O O1 O2 ON 1 O O1 O2 ON 1
@) O
O N
3 ON O
P55
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3 3
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O $ 1;
O
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+B B "N O"N1; O O
O O1 $N $N $N1
"N N"N1 "N O 1 O O
O O1 O1
@) " ON/UNO
M)U B C O $BO $1BO1C1 $LBOLCL $OCOO/
O O O O
M2U$L L 0,1,2 O
O
M+EMU5 $LBOLCL =.+0L 1M
L O
/U$N $ON
M) O O
P55
U
M2+
I L O
2
1 O/ #
O
LKL+ 5 U
B II L O
2
1 O/ #
O
LKL+ 5
U
O
I OUK+M$2 U
O
O−1 O+1
II OUK+M$2$2,0U
O O
M2+
$0+$1+$2+…+$O=2O;
O O O O
$0+$2+$4+…=$1+$3+$5+…=2O−1.
O O O O O O
学生用书P302
题型 一 排列组合问题 续表
求解排列、组合问题的常用方法 对于定序问题 可先不考虑顺序限制 排列后 再
定序问题 ， ， ，
除以定序元素的全排列
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列
捆绑法 ，
同时注意捆绑元素的内部排列
相同元素的分配问题用挡板法 不同元素的分配
， ，
分组分配 先分组后分配 若为平均分组或部分平均分组 需
对于不相邻问题 先考虑不受限制的元素的排列 ， ，
插空法 ， ， 在分组时除以相同组数的全排列
再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ３７
例1 （ 浙江培优联盟月考， ）韩愈的 师说 中写道 的指数符合要求 解 ｋ 和 ｒ 的值 代回通项即可得特定项
（１） ２０２４ ６ 《 》 ： → →
李氏子蟠 年十七 好古文 六艺经传皆通习之 不拘于时 学 或其系数 ．
“ ， ， ， ， ， （ ）
于余．余嘉其能行古道 作 师说 以贻之． 六艺具体包括 礼 3. ａ ｂ ｃ ｎ 展开式中特定项的求解方法
， 《 》 ” “ 、 （ ＋ ＋ ）
乐 射 御 书 数 ．为弘扬中国传统文化 某校在周末学生业余 * ?M MU
、 、 、 、 ” ，
& *M)!?
兴趣活动中开展了 六艺 知识讲座 每艺安排一节课程 连排
“ ” ， ，
六节 则 数 排在前两节 书 不排在首尾两节的排课方法种 M3U*M)U
， “ ” ，“ ”
M+MU5!?
数为 Ｃ
（ ）
B C D O,O B C D +/U*3 -
Ａ．８４ Ｂ．９６ Ｃ．１６８ Ｄ．２０４
@ M+ UE5!?
（ 江西“三新”协同教研共同体联考， ）现有 个不同
（２） ２０２４ ５ ６
的生肖吉祥物 分 个给老师 其他 个分给 位学生 每位学 例2 （ 福建莆田二十五中月考， ） ( ｘ ２ ) １０ 的展
， １ ， ５ ３ ， （１） ２０２４ １４ － ｘ
生至少分到 个 则这 个生肖吉祥物的分配方法共有 Ｂ ２
１ ， ６ （ ） 开式的中间项为 ．
种 种 种 种 －２５２
Ａ．３６０ Ｂ．９００ Ｃ．７２０ Ｄ．１８００ ( )
（ 浙江新阵地教育联盟联考， ）首个全国生态日主场 （ 天津市第一百中学诊断， ）若 ｘ２ ａ ｘ １ ８ 的
（３） ２０２４ １３ （２） ２０２４ １３ （ ＋ ）· ＋ ｘ
活动于 年 月 日在浙江湖州举行 推动能耗双控转向
２０２３ ８ １５ ， 展开式中ｘ８ 的系数为 则ａ ．
碳排放双控．有Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ共 项议程在该天举行 每个议 １０， ＝ ２
， ， ， ， ， ６ ， （ 山东部分学校开学联考， ） ｘ ｙ ５ 的展开式中
程有半天会期．现在有甲 乙 丙三个会议厅可以利用 每个会议 （３） ２０２４ １３ （ －２ ＋１）
、 、 ， 含ｘｙ３ 项的系数为 ．
厅每半天只能容纳一个议程．若要求Ａ Ｂ两议程不能同时在上 －１６０
午举行 ， 而Ｃ议程只能在下午举行 ， 则 ， 不同的安排方案一共有 解析 （ １ ） ( ｘ － ２ ｘ ) １０ 的展开式的通项为 Ｔ ｋ ＋１＝Ｃ１ ｋ ０ ( ｘ ) １０－ ｋ
２ ２
种． 用数字作答 ( )ｋ
２５２ （ ） ·（ ）ｋ ２ ，
解析 （ ）“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方 －１ ｘ
１
法可以分两类： 总共有 项，中间项为第 项，此时ｋ ，
１１ ６ ＝５
“数”排在第一节，“书”排在第二、三、四、五节，则有 ４ 种 ( ｘ ) ５ ( ) ５
① ４Ａ４ 所以Ｔ ５ （ ）５ ２ ．
排法； ６＝Ｃ１０ －１ ｘ ＝－２５２
２
( ) ( ) ( )
② “数”排在第二节，“书”排在第三、四、五节，则有 ３Ａ ４ ４ 种排法． （ ２ ）（ｘ２ ＋ ａ） ｘ ＋ １ ｘ ８ ＝ ｘ２ ｘ ＋ １ ｘ ８ ＋ ａ· ｘ ＋ １ ｘ ８ ，
故“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排法共有 ４
种，故选
Ｃ．
７Ａ４＝１６８ (
ｘ
＋
１
ｘ
)
８ 的展开式的通项为Ｔ
ｋ ＋１＝Ｃ８
ｋ·ｘ８－ ｋ
(
１
ｘ
)ｋ
＝Ｃ８
ｋｘ８－２ ｋ，
（ ）分三步，第一步：先分 个给老师，共有 １ 种分法，
２ １ Ｃ６＝６ 当 ｋ 时，ｋ ，此时ｘ６ 的系数为 １；
第二步：把剩余的 个分成 组，有 ， ， 和 ， ， 两种分组情 ８－２ ＝６ ＝１ Ｃ８
５ ３ １ １ ３ １ ２ ２ 当 ｋ 时，ｋ ，此时ｘ８ 的系数为 ０，
３ １ １ ２ ２ １
８－２ ＝８ ＝０ Ｃ８
况，则共有Ｃ５Ｃ２Ｃ１＋Ｃ５Ｃ３Ｃ１ 种分组方法（提示：按照部分平 ( ) ８
Ａ ２ ２ ＝２５ 所以（ｘ２ ＋ ａ） ｘ ＋ １ ｘ 的展开式中ｘ８ 的系数为 Ｃ １ ８＋ ａ· Ｃ ０ ８＝８＋ ａ
均分组运算），
，解得ａ ．
第
故由
三
分
步
步
：将
乘
分
法
好
计
组
数
的
原
吉
理
祥
知
物
这
分给
个
３
生
位
肖
学
吉
生
祥
，
物
共
的
有
分
Ａ
配
３ ３＝
方
６
法
种
共
分
有
法， （ ＝
３
１ ） ０ （ｘ
－２
ｙ
＋１
＝ ） ２ ５ 化为［（ｘ
－２
ｙ）
＋１
］５，（提示：将原式化为
２
项和
６ ６ 的 次方的形式，一般将常数作为单独一项）其通项为 Ｔ
种，故选 ５ ｒ ＋１＝
×２５×６＝９００ Ｂ． ｒ（ｘ ｙ）５－ ｒ，
（ ）分两种情况，第一种，Ａ，Ｂ议程中有一项在上午举行，有一 Ｃ５ －２
项 安 Ｃ ３ １ ３ 在 排 Ｃ １ ３ 下 方 Ａ ２ ２ 午 案 Ｃ １ ２ 举 ， Ａ 最 ３ ３ 行 ＝ 后 ２ ， １ 有 安 ６ 排 种 Ｃ １ ３ 剩 安 Ｃ １ ３ 余 排 Ａ ２ ２ 的 方 种 案 ３ 安 ； 项 排 议 方 程 案 ， ， 有 再安 Ａ ３ ３ 排 种 Ｃ 安 议 排 程 方 ， 案 有 ， Ｃ 共 １ ２ 种 有 { 其 故 ０ ０ 中 ≤ ≤ ［（ （ ｋ ｒ ≤ ｘ ≤ ｘ － ５ － ５ ２ ， － ｙ ２ ） ｒ ｙ ， ５－ ｋ ） ｒ ， 的 ｒ ＋ ∈ 通 １ Ｎ 项 ］ ， ５ 为 的 Ｃ５ ｋ 通 － ｒ ｘ５ 项 － ｒ － ｋ（ 为 －２ Ｃ ｙ） ５ ｒ Ｃ ｋ ＝ ５ ｋ － Ｃ ｒ ５ ｋ （ － ｒ － · ２ ） （ ｋ － ｘ ２ ５－ ） ｒ － ｋ ｋ ｘ５ ｙ － ｋ ｒ － ， ｋｙ 其 ｋ， 中
第二种，Ａ，Ｂ议程都安排在下午，Ｃ议程也安排在下午，有 ３ 种 {ｋ ，
Ａ３ 令 ＝３ 解得ｋ ，ｒ ，
安排方案，再将剩余的 个议程安排在上午，有 ３ 种安排方案， ｒ ｋ ， ＝３ ＝１
３ Ａ３ ５－ － ＝１
所以有 Ａ ３ ３Ａ ３ ３＝３６ 种安排方案． 故ｘｙ３ 项的系数为 Ｃ １ ５Ｃ ３ ４ （ －２ ）３ ＝－１６０ ．
综上，不同的安排方案共有 种．
２１６＋３６＝２５２
题型 三 二项式系数和与各项系数和
题型 二 二项展开式中的特定项和特定项的系数
1. （ ａ ＋ ｂ ） ｎ 的展开式的二项式系数的和为 Ｃ ０ｎ＋Ｃ １ｎ＋Ｃ ２ｎ＋…＋Ｃ ｎ ｎ＝２ ｎ
1.求形如 ａ ｂ ｎ ｎ Ｎ 的展开式的特定项 或其系数 的方法 可由展开式求二项式系数的和或已知二项式系数的和反求ｎ．
（ ＋ ） （ ∈ ） （ ） ：
求通项Ｔ ｋ ＋１＝Ｃ ｋ ｎ ａｎ － ｋｂｋ → 令字母的指数符合要求 → 解ｋ的值 → 2.赋值法求各项系数的和
代回通项即可得特定项 或其系数 ． 对形如 ａｘ ｂｙ ｎ ａ ｂ Ｒ 的式子求其展开式的各项系数之
（ ） （１） （ ＋ ） （ 、 ∈ ）
2.求形如 ａ ｂ ｎ ｃ ｄ ｍ ｎ ｍ Ｎ 的展开式的特定项 或其系 和 只需令ｘ ｙ 即可．
（ ＋ ） （ ＋ ） （ ， ∈ ） （ ， ＝ ＝１
数
）
的方法
： （２）
一般地
，
对于
（
ａ
＋
ｂｘ
）
ｎ
＝
ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋…＋
ａ
ｎ
ｘｎ
，
令ｇ
（
ｘ
）＝
求通项Ｔ ｋ ＋１ Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ ｋ ｎ ａｎ － ｋｂｋ ·Ｃ ｒ ｍ ｃｍ － ｒｄｒ ＝Ｃ ｋ ｎＣ ｒ ｍ ａｎ － ｋ · ｂｋｃｍ － ｒｄｒ → 令字母 （ ａ ＋ ｂｘ ） ｎ ， 则 （ ａ ＋ ｂｘ ） ｎ 的展开式中各项的系数的和为ｇ （１）， 奇
２ ３８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
概念深度理解
数项的系数和为 １ ｇ ｇ 偶数项的系数和为
［ （１）＋ （－１）］，
２ 例 （多选）（ 江苏四校联考， ）若ｍ ｎ为正整数 且ｎ ｍ
２０２４ ９ ， ， ＞ ＞
１ ｇ ｇ ．
［ （１）－ （－１）］ 则 ＡＤ
２ １， （ ）
例3 （ ２０２４ 湖南师大附中月考， ７ ）若 （１－２ ｘ ） ５ ＝ ａ ０＋ ａ １（ ｘ －１）＋
Ａ．Ｃ
３
８＝Ｃ
５
８ Ｂ．Ｃ
３
７＝
Ａ ３ ７
ａ ｘ ２ ａ ｘ ３ ａ ｘ ４ ａ ｘ ５ 则下列结论中正确 ４！
的 ２（ 是 －１） ＋ ３（ －１） ＋ ４（ －１） ＋ ５（ －１） ， Ｃ Ｃ． ｍ Ｃ ｍ ｎ ＝（ ｎ －１）Ｃ ｍ ｎ － － １ １ Ｄ．Ａ ｍ ｎ＋ ｍ Ａ ｍ ｎ－１ ＝Ａ ｍ ｎ ＋１
ａ （ ） 解析 对于 Ａ ，由组合数性质： Ｃ ｍ ｎ ＝Ｃ ｎ ｎ－ ｍ 可知 Ａ 正确；
Ａ． ０＝１ ｍ
Ｂ．
ａ
４＝８０
对于
Ｂ
，由组合数的运算公式：
Ｃ
ｍ
ｎ ＝ｍ
Ａｎ
！
可知
Ｂ
错误；
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ５
Ｃ．｜ ０｜＋｜ １｜＋｜ ２｜＋｜ ３｜＋｜ ４｜＋｜ ５｜＝３ ｎ！ ｎ！
ａ ａ ａ ａ ａ ａ １－３ １０
对于
Ｃ
，ｍ
Ｃ
ｍ
ｎ ＝
ｍ·
ｍ！ （ｎ ｍ）！ ＝ （ｍ ）！ （ｎ ｍ）！ ＝
ｎ·
Ｄ．（ ０＋ ２＋ ４）（ １＋ ３＋ ５）＝ － －１ －
４ （ｎ ）！
对 （ 于
解
）
析
Ｂ ｋ ， （ （ ｘ １
对
－
于
２ ） ｘ ｋ ） ，
Ａ
当 ５
，
＝
令
［ ｋ －
ｘ
１
＝
－
１
时 ２
，得
（ ， ｘ ａ －
ａ ０
１
＝
）
－
］ ４
１
５，
，
（
故
其通
Ａ
） 项
错
１
误
为 （
；
Ｔ ｋ ） ＋１ ４ ＝Ｃ５ ｋ（ － ， １ 故 ）５－ ｋ 对
（ｍ
于
－１
Ｄ
）
，
！ －
Ａ
１ （
ｍ ｎ＋
ｎ －
ｍ
ｍ
Ａ
）
ｍ ｎ－
！
１
＝
＝
ｎ
（
Ｃ
ｎ
ｍ ｎ
ｎ
－ － １
ｍ
１
！
，
）
故
！＋
ｍ
ｍ
Ｃ
·
ｍ ｎ≠
（ｎ
（ｎ
ｍ ｎ
－
！
１ ）
）
Ｃ
！
ｍ ｎ － －
＝
１ １，
（
Ｃ
ｎ ｎ
错
ｍ ！
误
）！
；
＋ｎ ｍ ｍ
－２ －１ ＝４ ４＝Ｃ５× －１ × －２ ＝－８０ Ｂ － － ＋１ － － ＋１
错误； ｎ！ ｎ！ ( ｍ ) ｎ！ ｎ
· · · ＋１
对于
Ｃ
，
｜
ａ
０｜＋｜
ａ
１｜＋｜
ａ
２｜＋｜
ａ
３｜＋｜
ａ
４｜＋｜
ａ
５｜
与［
１＋２
（ｘ
－１
）］５ 的系 （ｎ
－
ｍ）！ ＝ （ｎ
－
ｍ）！ １＋ｎ
－
ｍ
＋１
＝ （ｎ
－
ｍ）！ ｎ
－
ｍ
＋１
＝
数 ａ 之和 ａ 相等， ａ 在［ １ ａ ＋２ （ｘ － ａ １ ）］５ ５ 中 ，故 ，令ｘ 正 －１ 确 ＝ ； １ ，即ｘ ＝２ ，得 ｜ ａ ０｜＋｜ （ｎ （ － ｎ ｍ ＋１ ＋ ） １ ！ ）！＝Ａ ｍ ｎ ＋１ ，故 Ｄ 正确．
１｜＋｜ ２｜＋｜ ３｜＋｜ ４｜＋｜ ５｜＝３ Ｃ 故选
对于 ，令ｘ ，则ａ ａ ａ ａ ａ ａ ５ ， ＡＤ．
Ｄ ＝２ ０＋ １＋ ２＋ ３＋ ４＋ ５＝－３ ①
令ｘ ，则ａ ａ ａ ａ ａ ａ ， 风向解读
＝０ ０－ １＋ ２－ ３＋ ４－ ５＝１②
本题考查排列数与组合数的公式推导与计算，这与新高考改
５ ５
得ａ ａ ａ －３ ＋１， 得ａ ａ ａ －３ －１，
①＋② ０＋ ２＋ ４＝ ①－② １＋ ３＋ ５＝ 革强调落实“遵循教学规律，注重对基础知识、基本技能、基
２ ２
１０
本方法”的考查思想非常一致，体现新高考的变化和趋势．
则（ａ ａ ａ ）（ａ ａ ａ ） ３ －１，故 错误．故选
０＋ ２＋ ４ １＋ ３＋ ５ ＝ Ｄ Ｃ．
４
的情况 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查 拟从初
学生用书P142 ， ，
中部和高中部两层共抽取 名学生 已知该校初中部和高中
( ) １０ ６０ ，
１．（ 全国甲理， ， 分，中） １ ｘ 的展开式中 各项系 部分别有 名和 名学生 则不同的抽样结果共有
２０２４ １３ ５ ＋ ， ４００ ２００ ，
３
Ｄ
数中的最大值为 ． （ ）
５
２． 创新考法 （ ２０２４ 新课标 Ⅰ ， １４ ， ５ 分，难）甲 、 乙两人各有四 Ａ．Ｃ ４ ４ ５ ００·Ｃ １ ２ ５ ００ 种 Ｂ．Ｃ ２ ４ ０ ００·Ｃ ４ ２ ０ ００ 种
张卡片 ， 每张卡片上标有一个数字 ， 甲的卡片上分别标有数字 Ｃ．Ｃ ３ ４ ０ ００·Ｃ ３ ２ ０ ００ 种 Ｄ．Ｃ ４ ４ ０ ００·Ｃ ２ ２ ０ ００ 种
乙的卡片上分别标有数字 两人进行四轮比
２．（ 新高考 ， ， 分，易） 名同学到甲 乙 丙三个场馆做
２０２０ Ⅰ ３ ５ ６ 、 、
１，３，５，７， ２，４，６，８，
志愿者 每名同学只去 个场馆 甲场馆安排 名 乙场馆安
赛 在每轮比赛中 两人各自从自己持有的卡片中随机选一
， １ ， １ ，
， ，
张 并比较所选卡片上数字的大小 数字大的人得 分 数字 排 名 丙场馆安排 名 则不同的安排方法共有 Ｃ
２ ， ３ ， （ ）
， ， １ ，
小的人得 分 然后各自弃置此轮所选的卡片 弃置的卡片在 种 种 种 种
０ ， （ Ａ．１２０ Ｂ．９０ Ｃ．６０ Ｄ．３０
此后的轮次中不能使用 ．则四轮比赛后 甲的总得分不小于 ３．（ 新高考 ， ， 分，易）甲 乙 丙 丁 戊 名同学站成一
） ， ２ ２０２２ Ⅱ ５ ５ 、 、 、 、 ５
排参加文艺汇演 若甲不站在两端 丙和丁相邻 则不同的排
的概率为 １ ． ， ， ，
列方式共有 Ｂ
２ （ ）
３． 创新考法 （ 新课标 ， ， 分，难）在右图的 的方 种 种 种 种
２０２４ Ⅱ １４ ５ ４×４ Ａ．１２ Ｂ．２４ Ｃ．３６ Ｄ．４８
格表中选 个方格 要求每行和每列均恰有一个方格被选中 ４．（ 全国乙理， ， 分，中）甲 乙两位同学从 种课外读物
４ ， ， ２０２３ ７ ５ 、 ６
则共有 种选法．在所有符合上述要求的选法中 选中方格 中各自选读 种 则这两人选读的课外读物中恰有 种相同
２４ ， ２ ， １
中的 个数之和的最大值是 ． 的选法共有 Ｃ
４ １１２ （ ）
种 种 种 种
Ａ．３０ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．２４０
５．（ 新课标 ， ， 分，易）某学校开设了 门体育类选修
２０２３ Ⅰ １３ ５ ４
课和 门艺术类选修课 学生需从这 门课中选修 门或
４ ， ８ ２ ３
门课 并且每类选修课至少选修 门 则不同的选课方案共有
， １ ，
考点 1 计数原理、排列与组合 学生用书P142
种 用数字作答 ．
６４ （ ）
１．（ 新课标 ， ， 分，易）某学校为了解学生参加体育运动
２０２３ Ⅱ ３ ５
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ３９
( )
６
考点 2 二项式定理 学生用书P142 ３．（ 课标 理， ， 分，易） ｘ２ ２ 的展开式中常数项是
２０２０ Ⅲ １４ ５ ＋ ｘ
１．（ 则 ２０ ａ ２ ０ ２ ＋ ａ 北 ２＋ 京 ａ ４ ， ＝ ８ ， ４ 分，易）若 （２ ｘ －１） ４ ＝ ａ ４ ｘ４ ＋ ａ ３ ｘ３ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋ ａ （ １ ｘ ＋ Ｂ ａ ０ ） ， ４． （ ２ ２ ４ ０ ０ ２ ２ （ 新 用 高 数 考 字 Ⅰ 作 ， １ 答 ３ ， ） ５ ． 分，易） ( １－ ｙ ｘ ) （ ｘ ＋ ｙ ） ８ 的展开式中ｘ２ｙ６
Ａ．４０ Ｂ．４１ Ｃ．－４０ Ｄ．－４１ 的系数为 用数字作答 ．
( ) ６ －２８ （ ）
２．（ ２０２３ 天津， １１ ， ５ 分，易）在 ２ ｘ３ － １ ｘ 的展开式中 ， ｘ２ 的系 ５．（ ２０２１ 浙江， １３ ， ６ 分，中）已知多项式 （ ｘ －１） ３ ＋（ ｘ ＋１） ４ ＝ ｘ４ ＋
数为 ６０ ． ａ １ ｘ３ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋ ａ ３ ｘ ＋ ａ ４， 则ａ １＝ ５ ； ａ ２＋ ａ ３＋ ａ ４＝ １０ ．
既不充分又不必要条件
学生用书P143 Ｄ．
１０．（ 江苏苏锡常镇调研（一）， ）设 ｘ ５ ａ ａ ｘ ａ ｘ２
１．（ 东北三省三校第二次联考， ）按分层抽样的方法 从 ２０２４ ２ （１＋２ ） ＝ ０＋ １ ＋ ２ ＋…＋
２０２４ ３ ， １５ ａ ｘ５ 则ａ ａ ａ Ｃ
个相同的红球和 个相同的黑球中抽出 个球排成一排 ５ ， １＋ ２＋…＋ ５＝ （ ）
１０ １０ ，
则不同的排列方法为 Ｃ Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．２４２ Ｄ．２４３
（ ） ( ｘ )
１０ １０ ６ ４ １０ １１．（ 福建龙岩 月质量检测， ） ２ ｘ ｙ ７ 的展开式
Ａ．Ｃ２５Ａ１０ Ｂ．Ｃ１５Ｃ１０Ａ１０ ２０２４ ３ ５ ｙ －１ （ ＋ ）
４ ６ ４
Ｃ．Ｃ１０ Ｄ．Ａ６Ａ４ 中ｘ５ｙ２ 的系数为 Ｄ
( ) （ ）
６
２．（
２０２４
河北邯郸第三次调研，
４
）在 ｘ３
－
２
ｘ
的展开式中
，ｘ
１
２ Ａ．－９１ Ｂ．－２１ Ｃ．１４ ( Ｄ． ａ ４９ ) ７
的系数为 Ａ １２．（ 辽宁沈阳教学质量监测（三）， ）已知 ｘ２ 的展
（ ） ２０２４ ６ ２ － ｘ
Ａ．－１９２ Ｂ．－６ Ｃ．６ Ｄ．１９２ 开式中ｘ２ 的系数是 则实数ａ的值为 Ｃ
２８０， （ ）
( )ｎ
３．（ 江西 月教学质量检测， ）已知 ｘ ２ 的展开式中
２０２４ ４ ３ ＋ ｘ Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．±１ Ｄ．±２
１３．（ 湖北八市 月联考， ）已知今天是星期三 则 ７ 天
只有第 项的二项式系数最大 则展开式的常数项为 Ａ ２０２４ ３ ５ ， ６ －１
３ ， （ ） 后是 Ａ
（ ）
Ａ．２４ Ｂ．１８ Ｃ．１２ Ｄ．６ 星期一 星期二 星期三 星期五
４．（ 浙江杭州二模， ）将 名志愿者分配到三个社区协助 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２０２４ ６ ５ æ öｎ
开展活动 ， 每个社区至少 １ 名 ， 则不同的分配方法数是 （ Ｃ ） １４．（多选）（ ２０２４ 浙江 Ｚ２０ 名校联盟联考， ９ ）已知 è çｘ －３ １ ｘ ø ÷ （ ｎ ∈
Ａ．３００ Ｂ．２４０ Ｃ．１５０ Ｄ．５０ Ｎ 的展开式中含有常数项 则ｎ的可能取值为 ＡＣ
５．（ 福建厦门毕业班第四次质检， ）某校 名同学到Ａ Ｂ Ｃ三 ） ， （ ）
２０２４ ６ ５ 、 、
家公司实习 每名同学只能去 家公司 每家公司至多接收 名 Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０
， １ ， ２ １５．（ 江西重点中学盟校联考， ） ｘ２ ｘ ｙ ５ 的展开式中
同学．若同学甲去Ａ公司 则不同的安排方法共有 Ｂ ２０２４ １２ （２ ＋ － ）
， （ ） ｘ５ｙ２ 的系数为 ．
种 种 种 种 １２０
Ａ．１８ Ｂ．３０ Ｃ．４２ Ｄ．６０ １６．（ 浙江温州一模， ） ５ ５ ．
６．（ 重庆二诊， ）有男 女教师各 人 男 女学生各 人 ２０２４ １４ （１＋ ２） ＋（１－ ２） ＝ ８２
２０２４ ６ 、 １ ， 、 ２ ， ( )ｎ
从中选派 人参加一项活动 要求其中至少有 名女性 并且 １７．（ 福建漳州第二次质量检测， ）在 ｘ ２ 的展开式
３ ， １ ， ２０２４ １４ － ｘ
至少有 名教师 则不同的选派方案有 Ｃ
１ ， （ ） 中 第三项为常数项 展开式中二项式系数和为ａ 所有项的
种 种 种 种 ， ， ，
Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．１５ Ｄ．２０ 系数和为ｂ 则ａ ｂ ．
７．（ 安徽江淮十校联考， ）学校食堂的一个窗口共卖 种 ， － ＝ ６３
２０２４ ３ ５
菜 甲 乙 名同学每人从中选一种或两种 且两人之间不会 学生用书P144
， 、 ２ ，
互相影响 则不同的选法种数为 Ｃ １．（ 浙江金华十校模拟， ）金华市选拔 个管理型教师和
， （ ） ２０２４ ７ ２ ４
个教学型教师去新疆支教 把这 个老师分配到 个学校 要
Ａ．２０ Ｂ．２５ Ｃ．２２５ Ｄ．４５０ ， ６ ３ ，
８．（ 山东淄博一模， ）小明设置六位数字的手机密码时 计 求每个学校安排 名教师 且管理型教师不安排在同一个学
２０２４ ５ ， ２ ，
划将自然对数的底数 ． 的前 位数字 校 则不同的分配方案有 Ａ
ｅ＝２７１８２８… ６ ２，７，１，８，２，８ ， （ ）
进行某种排列得到密码．若排列时要求相同数字不相邻 且相同 种 种 种 种
， Ａ．７２ Ｂ．４８ Ｃ．３６ Ｄ．２４
数字之间有一个数字 则小明可以设置的不同密码种数为 ２．（ 广东深圳二模， ）已知某六名同学在 竞赛中获得
， ２０２４ ６ ＣＭＯ
Ｂ 前六名 无并列情况 其中甲或乙是第一名 丙不是前三名
（ ） （ ）， ， ，
则这六名同学获得的名次情况可能有 Ｃ
Ａ．２４ Ｂ．１６ Ｃ．１２ Ｄ．１０ （ ）
９．（ 山东菏泽一模，）ｐ ｍ ｑ ｍｘ ｙ ５的展开式中ｘ２ｙ３ 项的系 种 种 种 种
２０２４ ４ ： ＝２， ：（ ＋ ） Ａ．７２ Ｂ．９６ Ｃ．１４４ Ｄ．２８８
数等于 则ｐ是ｑ的 Ａ ３．（ 山东临沂一模， ）将 到 这 个正整数分成甲 乙
４０， （ ） ２０２４ ６ １ ３０ ３０ 、
充分不必要条件 两组 每组各 个数 使得甲组的中位数比乙组的中位数小
Ａ． ， １５ ，
必要不充分条件 则不同的分组方法数是 Ｂ
Ｂ． ２， （ ）
充要条件 ７ ２ ７ ７ ６ ７ ７ ２
Ｃ． Ａ．２（Ｃ１３） Ｂ．２Ｃ１３Ｃ１４ Ｃ．２Ｃ１４Ｃ１４ Ｄ．２（Ｃ１４）
２ ４０ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
４．（ 福建厦门第二次质量检测， ）设集合Ａ Ｂ
２０２４ ８ ＝｛－１，０，１｝， ＝
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ Ａ ｉ 那么集合Ｂ中满足
｛（ １， ２， ３， ４， ５）｜ ｉ∈ ， ＝１，２，３，４，５｝， １≤
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 的元素的个数为 Ｄ
｜ １｜＋｜ ２｜＋｜ ３｜＋｜ ４｜＋｜ ５｜≤３ （ ）
Ａ．６０ Ｂ．１００ Ｃ．１２０ Ｄ．１３０
５．（ ２０２４ 湖南常德一模， ７ ）已知 （２ ｘ －３） ９ ＝ ａ ０＋ ａ １（ ｘ －１）＋ ａ ２（ ｘ － Ａ．８ Ｂ．１０ Ｃ．１２ Ｄ．１６
９．（ 安徽蚌埠第四次教学质量检查， ） 年 月 日
２ ａ ｘ ８ ａ ｘ ９ 则ａ ａ ａ ａ ａ ２０２４ １３ ２０２４ ３ ５ ，
１） ＋…＋ ８（ －１） ＋ ９（ －１） ， ０＋２ １＋３ ２＋…＋９ ８＋１０ ９＝
李强总理在政府工作报告中强调 大力推进现代化产业体系
Ｄ “
（ ）
建设 加快发展新质生产力 ．新质生产力代表一种生产力的
， ”
Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１８ Ｄ．１９
跃迁 它是科技创新在其中发挥主导作用的生产力 具有高效
６．（ 江苏南通第二次适应性调研， ）若 ｘ ２ ｘ ３ ， ，
２０２４ ３ （１＋ ） ＋（１＋ ） ＋…
能 高效率 高质量的特征 为了让同学们对新质生产力有更
ｘ １０ ａ ａ ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ１０ 则ａ 等于 Ｄ 、 、 ，
＋（１＋ ） ＝ ０＋ １ ＋ ２ ＋…＋ １０ ， ２ （ ） 多的了解 某中学利用周五下午课外活动时间同时开设了四
，
Ａ．４９ Ｂ．５５ Ｃ．１２０ Ｄ．１６５
场公益讲座 主题分别是 新能源与新材料的广泛应用
７．（ 湖南九校联盟第二次联考， ）某银行在 年初给出 ， “ ”“ＡＩ＋
２０２４ ６ ２０２４
医疗的发展趋势 低空经济的前景展望 从人工智能 工业
的大额存款的年利率为 ％ 某人存入大额存款ａ 元 按照复 ”“ ”“ 、
３ ， ０ ， 互联网到大数据 ．已知甲 乙 丙 丁四人从中一共选择两场
ａ ” 、 、 、
利计算 年后得到的本利和为ａ 下列各数中与 １０最接近 去学习 则甲 乙两人不参加同一个讲座的选择共有 种
１０ １０， ａ ， 、 ４８
０ 用数字作答 ．
的是 Ｄ （ ）
（ ）
． ． ． ．
Ａ．１３１ Ｂ．１３２ Ｃ．１３３ Ｄ．１３４ 学生用书P144
８．（ 浙江台州第二次教学质量评估， ）房屋建造时经常需
２０２４ ７ 概念深度理解 （多选）（ 山东济南一模， ）下列等式中
要把长方体砖头进行不同角度的切割 以契合实际需要．已知 ２０２４ １１
， 正确的是 ＢＣＤ
长方体的规格为 现从长方体的某一棱的 （ ）
２４ ｃｍ×１１ ｃｍ×５ ｃｍ，
中点处作垂直于该棱的截面
，
截取
１
次后共可以得到
１２ ｃｍ× Ａ．∑ｋ＝
８
Ｃ８
ｋ
＝２
８
Ｂ．∑ｋ＝
８
Ｃ
２ｋ＝Ｃ ３
９
１ ２
１１ｃｍ×５ｃｍ，２４ｃｍ× １１ ｃｍ×５ ｃｍ，２４ ｃｍ×１１ｃｍ× ５ ｃｍ 三种不 ８ ｋ －１ １ ８ ｋ ２ ８
同规格的长方体．按照
２
上述方式对第 次所截得
２
的长方体进
Ｃ．∑ｋ＝
２
ｋ
！
＝１－
８！
Ｄ．∑ｋ＝
０
（Ｃ８） ＝Ｃ１６
１
行第 次截取 再对第 次所截得的长方体进行第 次截取
２ ， ２ ３ ，
则共可得到体积为 ３ 的不同规格长方体的个数为
１６５ ｃｍ
Ｂ
（ ）
