曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
12.4 统计与成对数据的统计分析
考点一 抽样方法与总体分布的估计
1.(2015安徽理,6,5分)若样本数据x,x,…,x 的标准差为8,则数据2x-1,2x-1,…,2x -1的标准差为( )
1 2 10 1 2 10
A.8 B.15 C.16 D.32
答案 C 设样本数据x,x,…,x 的标准差为s,则s=8,可知数据2x-1,2x-1,…,2x -1的标准差为2s=16.
1 2 10 1 2 10
2.(2014陕西文,9,5分)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x,x,…,x ,其均值和方差分别为x和s2,若从下
1 2 10
月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.x,s2+1002 B.x+100,s2+1002
C.x,s2 D.x+100,s2
1
答案 D 设增加工资后10位员工下月工资均值为x',方差为s'2,则x'= [(x+100)+(x+100)+…+
1 2
10
1 1 1
(x +100)]= (x+x+…+x )+100=x+100;方差s'2= [(x+100-x')2+(x+100-x')2+…+(x +100-x')2]= [(x-
10 1 2 10 1 2 10 1
10 10 10
x)2+(x-x)2+…+(x -x)2]=s2.故选D.
2 10
3.(2015湖南文,2,5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的
运动员人数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B 从35人中用系统抽样方法抽取7人,则可将这35人分成7组,每组5人,从每一组中抽取1人,而成
绩在[139,151]上的有4组,所以抽取4人,故选B.
4.(2015北京文,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,
在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1 800
青年教师 1 600
合计 4 300曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.90 B.100 C.180 D.300
答案 C 本题考查分层抽样,根据样本中的青年教师有320人,且青年教师与老年教师人数的比为1
9
600∶900=16∶9,可以得到样本中的老年教师的人数为 ×320=180,故选C.
16
5.(2014重庆文,3,5分)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法
从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )
A.100 B.150 C.200 D.250
70 n
答案 A 由分层抽样的特点可知 = ,解之得n=100.
3 500 3 500+1 500
6.(2017山东文,8,5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组
数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )
A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7
答案 A 由茎叶图,可得甲组数据的中位数为65,从而乙组数据的中位数也是65,所以y=5.
由乙组数据59,61,67,65,78,可得乙组数据的平均值为66,
56+62+65+74+70+x
故甲组数据的平均值也为66,从而有 =66,解得x=3.故选A.
5
7.(2016山东,理3文3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分
布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根
据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
答案 D 由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-
(0.02+0.10)×2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140,故选D.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
8.(2016课标Ⅲ理,4,5分)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均
最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.
下面叙述不正确的是( )
A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
答案 D 由雷达图易知A、C正确;七月的平均最高气温超过20 ℃,平均最低气温约为12 ℃,一月的平均
最高气温约为6 ℃,平均最低气温约为2 ℃,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,故B正确;由雷达图
知平均最高气温超过20 ℃的月份有3个月.故选D.
9.(2015课标Ⅱ理,3,5分)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下
结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案 D 由柱形图可知:A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年
份负相关,∴D不正确.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.(2015陕西理,2,5分)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校
女教师的人数为( )
A.167 B.137 C.123 D.93
答案 B 初中部女教师的人数为110×70%=77,高中部女教师的人数为150×(1-60%)=60,则该校女教师的人
数为77+60=137,故选B.
11.(2015福建文,13,4分)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年
级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 .
答案 25
45 x
解析 男生人数为900-400=500.设应抽取男生x人,则由 = 得x=25.即应抽取男生25人.
900 500
12.(2014天津理,9,5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四
年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.
答案 60
4
解析 ×300=60(名).
20
13.(2012天津理,9,5分)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽
取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校.
答案 18;9
150
解析 应从小学中抽取 ×30=18(所).
150+75+25
75
应从中学中抽取 ×30=9(所).
150+75+25
评析 本题考查分层抽样及数据处理能力.
14.(2012福建文,14,4分)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方
法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是 .
答案 12
56 4
解析 男女运动员人数比例为 = ,
98−56 3
分层抽样中男女人数比例不变,则女运动员人数为曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3
28× =12.故应抽取女运动员人数是12.
7
评析 本题考查分层抽样方法.考查学生运算求解能力.
15.(2011江苏,6,5分)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=
.
16
答案
5
x +x +x +x +x
解析 记星期一到星期五收到的信件数分别为x,x,x,x,x,则x= 1 2 3 4 5 =
1 2 3 4 5
5
10+6+8+5+6
=7.
5
1 1 16
∴s2= [(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2]= [(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]= .
1 2 3 4 5
5 5 5
评析 本题主要考查方差的公式,考查学生的运算求解能力.公式记忆准确,运算无误是解答本题的关键,属中
等难度题.
16.(2015湖北文,14,5分)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费
金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a= ;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .
答案 (1)3 (2)6 000
解析 (1)由频率分布直方图可知:
0.1×(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=1,解得a=3.
(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求购物者的人数为0.6×10
000=6 000.
17.(2014江苏文,6,5分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所
得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部
周长小于100 cm.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 24
解析 60×(0.015+0.025)×10=24(株).
18.(2019课标Ⅱ,理13文14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车
次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车
次的平均正点率的估计值为 .
答案 0.98
解析 本题考查离散型随机变量的均值计算;考查抽象概括能力和运算求解能力;考查的核心素养为数学抽
象和数学运算.
设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为0.99的事件
10 1 20 1 10 1
为C,则用频率估计概率有P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)= = ,所以经
10+20+10 4 10+20+10 2 10+20+10 4
1 1 1
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97× +0.98× +0.99× =0.98.
4 2 4
19.(2019课标Ⅱ文,19,12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得
到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确
到0.01)
附:√74≈8.602.
解析 本题考查了统计的基础知识、基本思想和方法,考查学生对频数分布表的理解与应用,考查样本的平
均数,标准差等数字特征的计算方法,以及对现实社会中实际数据的分析处理能力.
14+7
(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
100
=0.21.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
2
产值负增长的企业频率为 =0.02.
100
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业
比例为2%.
1
(2)y= (-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
100
1 5
s2= ∑n(y-y)2
i i
100
i=1
1
= [2×(-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+14×0.202+7×0.402]=0.029 6,
100
s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
方法总结 利用频数分布表求平均数估计值的方法:各组区间中点值乘该组频数,并求和,再除以样本容量.利
用频数分布表求标准差估计值的方法:用各组区间中点值代表该组,代入标准差公式即可.
20.(2016四川理,16,12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生
活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超
出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:
吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
解析 (1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,
解得a=0.30.
(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.
由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.
所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
思路分析 由图易知组距为0.5,再由频率之和等于1即可求出a;由图可知前6组的频率之和为0.88>0.85,前
5组的频率之和为0.73<0.85,说明x∈[2.5,3),再由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73即可求出x.
评析 本题中求a值的关键是抓住频率之和为1,确定x在哪个区间内是解题的关键.
21.(2016北京文,17,13分)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立
方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用
水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
解析 (1)由用水量的频率分布直方图知,
该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.(3分)
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.(5分)
依题意,w至少定为3.(6分)
(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
分组 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27]
频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
(10分)
根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:
4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).(13分)
思路分析 第(1)问,需要计算该市居民月用水量在各区间上的频率,根据样本的频率分布直方图即可获解.
第(2)问,由月用水量的频率分布直方图和w=3可计算居民该月用水费用的数据的分组与频率分布表,由此可
估计该市居民该月的人均水费.
评析 本题考查了频率分布直方图及用样本估计总体,属中档题.
