微专题6 切线与公切线问题
高考定位 曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点,一般单独考查,难度较小,也可与函数的单
调性、极值、最值综合考查,难度较大.
【真题体验】
1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝e
x＋2sin x
1＋x
2
,则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的
三角形的面积为( )
A.1
6
B.1
3
C.1
2
D.2
3
答案 A
解析 f'(x)＝(e
x＋2cos x)(1＋x
2)−(e
x＋2sin x)·2 x
(1＋x
2)
2
,
所以f'(0)＝3,所以曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3(x－0),即3x－y＋1＝0,
切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),(−1
3 ,0),
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1
2×1×1
3 ＝1
6,故选A.
2.(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5 是曲线y＝ex＋x＋a 的切线,则a＝ .
答案 4
解析 设直线y＝2x＋5 与曲线y＝ex＋x＋a 相切于点(x0,e
x0＋x0＋a),
由y＝ex＋x＋a 得y'＝ex＋1,
所以y'|x＝x0＝e
x0＋1＝2,解得x0＝0,
所以切点坐标为(0,1＋a),
又切点(0,1＋a)在切线y＝2x＋5 上,
所以1＋a＝5,解得a＝4.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x 在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a 的切线,则a＝
.
答案 ln 2
解析 由题意,令f(x)＝ex＋x,则f'(x)＝ex＋1,
所以f'(0)＝2,所以曲线y＝ex＋x 在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1.
令g(x)＝ln(x＋1)＋a,则g'(x)＝
1
x＋1,
设直线y＝2x＋1 与曲线y＝g(x)相切于点(x0,y0),则
1
x0＋1＝2,
得x0＝－1
2,则y0＝2x0＋1＝0,
所以0＝ln(−1
2 ＋1)＋a,所以a＝ln 2.
4.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是 .
答案 (－∞,－4)∪(0,＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)ex,
所以y'＝(x＋a＋1)ex.
设切点为A(x0,(x0＋a)e
x0),O 为坐标原点,
依题意得,切线斜率
kOA＝y'|x＝x0＝(x0＋a＋1)e
x0＝( x0＋a)e
x0
x0
,
化简得x0
2＋ax0－a＝0.
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线,
所以关于x0的方程x0
2＋ax0－a＝0 有两个不同的根,
所以Δ＝a2＋4a>0,解得a<－4 或a>0,
所以a 的取值范围是(－∞,－4)∪(0,＋∞).
5.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
答案 y＝1
ex y＝－1
ex
解析 先求当x>0 时,曲线y＝ln x 过原点的切线方程,设切点为(x0,y0),
则由y'＝1
x ,得切线斜率为1
x0,
又切线的斜率为
y0
x0 ,所以1
x0
＝y0
x0 ,
解得y0＝1,代入y＝ln x,得x0＝e,
所以切线斜率为1
e,切线方程为y＝1
ex.
同理可求得当x<0 时的切线方程为y＝－1
ex.
综上可知,两条切线方程为
y＝1
ex,y＝－1
ex.
【热点突破】
热点一 曲线的切线
导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.
(3)切点既在切线上,又在曲线上.
例1 (1)过点A(0,1)且与曲线f(x)＝x3＋2x－1 相切的直线方程是( )
A.y＝5x＋1
B.y＝2x＋1
C.y＝x＋1
D.y＝－2x＋1
(2)(2025·佛山模拟)若直线y＝x＋a 与曲线y＝ln(x＋b)相切,则a2＋b2的最小值为 .
答案 (1)A (2)1
2
解析 (1)f'(x)＝3x2＋2,点A 不在曲线上,
设切点为(x0,x0
3＋2x0－1),
则f'(x0)＝3x0
2＋2＝x0
3＋2 x0−1−1
x0
,
解得x0＝－1,得切点(－1,－4),
则k＝f'(－1)＝5,切线方程为y＝5x＋1.
(2)设直线y＝x＋a 与曲线y＝ln(x＋b)的切点为(x0,y0).
对y＝ln(x＋b)求导,
可得y'＝
1
x＋b.
因为直线y＝x＋a 的斜率为1,
由导数的几何意义可知,在切点处
1
x0＋b＝1,
即x0＝1－b.
又因为切点(x0,y0)既在直线上又在曲线上,
所以y0＝x0＋a 且y0＝ln(x0＋b),
即ln(x0＋b)＝x0＋a.
将x0＝1－b 代入ln(x0＋b)＝x0＋a,可得
ln(1－b＋b)＝1－b＋a,即a＝b－1.
将a＝b－1 代入a2＋b2,可得
a2＋b2＝(b－1)2＋b2
＝2b2－2b＋1＝2(b−1
2)
2
＋1
2,
所以当b＝1
2,a＝－1
2时,
a2＋b2取得最小值为1
2.
规律方法 求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上,这个点都不一定是切点),应先设切
点的坐标,再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求
切线方程.
训练1 (1)(2025·莆田二模)曲线y＝xex－x 在点P 处的切线的斜率为－1,则P 的坐标为 .
(2)过y 轴上一点(0,a)可以作函数f(x)＝x3＋x2－x 图象的3 条切线,则a 的取值范围是 .
答案 (1)(−1,1−1
e) (2)(−1
27 ,0)
解析 (1)y'＝(x＋1)ex－1,
令(x＋1)ex－1＝－1,
则(x＋1)ex＝0,故x＝－1,
当x＝－1 时,y＝－e－1－(－1)＝1－1
e,
即P 的坐标为(−1,1−1
e).
(2)因为f(x)＝x3＋x2－x,
所以f'(x)＝3x2＋2x－1,
设切点为(x0,x0
3＋x0
2－x0),
则切线方程y＝(3x0
2＋2x0－1)(x－x0)＋x0
3＋x0
2－x0,
而切线过点(0,a),将点(0,a)代入方程得到a＝－2x0
3－x0
2,
由题意,a＝－2x0
3－x0
2有3 个实根.
令g(x)＝－2x3－x2,g'(x)＝－6x2－2x,
令g'(x)<0,x∈(−∞,−1
3)∪(0,＋∞),此时g(x)单调递减,
令g'(x)>0,x∈(−1
3 ,0),此时g(x)单调递增,
故g(x)有极小值g(−1
3)＝－1
27,有极大值g(0)＝0,
则得a∈(−1
27 ,0).
热点二 曲线的公切线
导数中的公切线问题,重点是导数的几何意义,通过双变量的处理,从而转化为零点问题,主要考查
消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.
考向1 切点相同的公切线问题
例2 (1)若曲线y＝ex－1与曲线y＝a√x在公共点处有公共切线,则实数a＝( )
A.√2e
e
B.√e
e
C.2
e
D.1
e
(2)(2025·济南调研)若函数f(x)＝acos x 与g(x)＝x2＋bx＋3 图象在交点(0,m)处有公切线,则a＋b＋
m＝( )
A.6
B.4
C.3
D.2
答案 (1)A (2)A
解析 (1)设公共点为P(s,t),y＝ex－1的导数为y'＝ex－1,
曲线y＝ex－1在P(s,t)处的切线斜率k＝es－1,y＝a√x的导数为y'＝a
2√x ,
曲线y＝a√x在P(s,t)处的切线斜率k＝a
2√s,
因为两曲线在公共点P 处有公共切线,
所以es－1＝a
2√s,且t＝es－1,t＝a√s,
所以{
e
s−1＝a
2√s ,
e
s−1＝a√s,
即a√s＝a
2√s,解得s＝1
2,
所以e
1
2 −1＝a√
1
2,
解得a＝√2e
e ,故选A.
(2)f'(x)＝－asin x,g'(x)＝2x＋b,
f(0)＝a,g(0)＝3,得a＝m＝3.
由于函数f(x)＝acos x 与g(x)＝x2＋bx＋3 图象在交点(0,m)处有公切线,
所以f'(0)＝g'(0),即0＝b,
所以a＋b＋m＝3＋0＋3＝6.
考向2 切点不同的公切线问题
例3 (1)若曲线y＝√x在点(4,2)处的切线也是曲线y＝aex的切线,则a＝( )
A. 1
2e
2
B.e
2
2
C. 1
4 e
3
D.e
3
4
(2)(2025·辽宁名校联考)若至少存在一条直线与曲线f(x)＝2x2＋3 和g(x)＝3－tln x(t≠0)均相切,则t
的取值范围是 .
答案 (1)D (2)[－4e,0)∪(0,＋∞)
解析 (1)y＝√x的导数y'＝1
2√x ,
令x＝4,则y'＝1
4,
所以曲线y＝√x在点(4,2)处的切线方程为y－2＝1
4(x－4),即x－4y＋4＝0.
y＝aex的导数y'＝aex,
设直线x－4y＋4＝0 与曲线y＝aex切于点(x0,ae
x0),
则曲线y＝aex在点(x0,ae
x0)处的切线方程为y－ae
x0＝ae
x0(x－x0),
即x－1
ae
x0y＋1－x0＝0,
所以{
1
ae
x0 ＝4 ,
1−x0＝4 ,
解得a＝e
3
4 .
(2)f'(x)＝4x,g'(x)＝－t
x ,
设公切线与曲线y＝f(x)切于点(x1,2x1
2＋3),
与曲线y＝g(x)切于点(x2,3－tln x2)(x2>0),
则切线方程分别为y＝4x1x－2x1
2＋3,
y＝－t
x2x＋t＋3－tln x2,
所以{
4 x1＝−t
x2
,①
−2 x1
2＋3＝t ＋3−t ln x2,②
由①得x1
2＝
t
2
16 x2
2,代入②得t＝8x2
2ln x2－8x2
2.
令h(x)＝8x2ln x－8x2(x>0),
则h'(x)＝8x(2ln x－1),
所以当0<x<√e时,h'(x)<0,
当x>√e时,h'(x)>0,
所以h(x)在区间(0,√e)内单调递减,
在区间(√e,＋∞)内单调递增,
所以h(x)min＝h(√e)＝－4e,
又当x→＋∞时,h(x)→＋∞,
所以h(x)的值域为[－4e,＋∞),
所以t 的取值范围是[－4e,0)∪(0,＋∞).
规律方法 求两条曲线的公切线,如果同时考虑两条曲线与直线相切,头绪会比较乱,为了使思路更
清晰,一般是把两条曲线分开考虑,先分析其中一条曲线与直线相切,再分析另一条曲线与直线相切,
直线与抛物线相切可用判别式法.
训练2 (1)若直线l 是曲线y＝ex－1与y＝ex－1 的公切线,则直线l 的方程为( )
A.y＝x－1
B.y＝x
C.y＝x＋1
D.y＝ex
(2)已知曲线y＝ln x 与曲线y＝a(x−1
x)有唯一交点,且在交点处有相同的切线,则a＝ .
答案 (1)B (2)1
2
解析 (1)由y＝ex－1,得y'＝ex－1,
由y＝ex－1,得y'＝ex.
设直线l 与曲线y＝ex－1切于点(x1,e
x1−1),
与曲线y＝ex－1 切于点(x2,e
x2－1),
则e
x1−1＝e
x2,①
又e
x2−1−e
x1−1
x2−x1
＝e
x2,②
由方程①②解得x1＝1,x2＝0,
所以直线l 过点(1,1),斜率为1,即l 的方程为y＝x.
(2)因为ln 1＝0,a(1−1
1)＝0,
又曲线y＝ln x 与曲线y＝a(x−1
x)有唯一交点,
所以y＝ln x 与y＝a(x−1
x)的交点为(1,0),
因为(ln x)'＝1
x ,所以y＝ln x 在(1,0)处的切线斜率为k＝1,
又[a(x−1
x)]'＝a(1＋1
x
2),
则a＋a
1＝1,解得a＝1
2.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·北京东城区模拟)曲线y＝xln x 在x＝1 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(
)
A.4
B.3
C.1
D.1
2
答案 D
解析 由y＝xln x 得y'＝ln x＋1,
故所求切线斜率为k＝ln 1＋1＝1,
切点坐标为(1,0),
所以曲线y＝xln x 在x＝1 处的切线方程为y＝x－1,
该切线交x 轴于点(1,0),交y 轴于点(0,－1),
因此,曲线y＝xln x 在x＝1 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1
2×12＝1
2.
2.(2025·兰州模拟)若函数y＝e
x＋e
−x
2
(e 为自然对数的底数)的一条切线与x 轴平行,则切点的坐标
为( )
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(1,1)
D.(1,e)
答案 B
解析 设切点坐标为(x0,y0),
函数y＝e
x＋e
−x
2
,
所以y'＝e
x−e
−x
2
,
因为切线与x 轴平行,
所以y'|x＝x0＝e
x0−e
−x0
2
＝0,
解得x0＝0,y0＝e
x0＋e
−x0
2
＝1＋1
2
＝1,
故切点坐标为(0,1).
3.(2025·烟台模拟)已知A(
p
2 ,m)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点,若过点A 且与该抛物线相切的直线
交x 轴于点(－2,0),则p 的值为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
答案 C
解析 不妨令m>0,由y＝√2 px,
由y'＝
p
√2 px ＝√
p
2 x ,
所以切点为A 的直线斜率为k＝1,
则切线为y＝x＋2,故m＝p
2 ＋2,
又m2＝2p× p
2 ＝p2,
即m＝p(负值舍),则p
2 ＋2＝p,得p＝4.
4.(2025·合肥调研)曲线y＝|ln(x＋1)|在A(x1,y1),B(x2,y2)两点处的切线互相垂直,则1
x1
＋1
x2的值为(
)
A.－1
B.0
C.1
D.e
答案 A
解析 由y＝|ln(x＋1)|
＝{
ln( x＋1), x≥0,
−ln( x＋1),−1< x<0,
得y'＝{
1
x＋1 , x≥0,
−
1
x＋1 ,−1< x<0,
所以由对称性不妨设x1<x2,两切线的斜率分别为k1,k2,
根据题意可得－1<x1<0<x2,
则有k1＝－
1
x1＋1,k2＝
1
x2＋1,
此时k1k2＝－1,得x1x2＋x1＋x2＝0,
得1
x1
＋1
x2＝－1.
5.(2025·秦皇岛模拟)已知曲线C:y＝ex＋x 在点P(x0,y0)处的切线l 与直线l':y＝2x－1 平行,则l 与
l'之间的距离为( )
A.√5
5
B.2√5
5
C.3√5
5
D.4√5
5
答案 B
解析 由题意y'＝ex＋1,
切线l 的斜率为2,则e
x0＋1＝2,得x0＝0,
故y0＝e
x0＋x0＝1,
故切线l 的方程为y－1＝2x,
即2x－y＋1＝0,
直线l':y＝2x－1,即2x－y－1＝0,
故两直线的距离为d＝
|1−(−1)|
√2
2＋(−1)
2 ＝2√5
5 .
6.(2025·长沙长郡中学质检)已知曲线y＝ex在x＝1 处的切线l 恰好与曲线y＝a＋ln x 相切,则实数
a 的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B
解析 由y＝ex得y'＝ex,又切点为(1,e),
故切线l 的斜率为e,因此切线l 的方程为y＝ex.
设直线l 与曲线y＝a＋ln x 的切点为(x0,ex0),
对函数y＝a＋ln x 求导得y'＝1
x ,
所以1
x0＝e,
可得切点为(
1
e ,1),
所以a＋ln 1
e＝a－1＝1,解得a＝2.故选B.
7.(2025·上饶调研)已知f(x)＝x3＋nx－52,g(x)＝x2－3ln x,若直线x＋y＋m＝0 是曲线y＝f(x)与曲线
y＝g(x)的公切线,则m－n＝( )
A.－30
B.－25
C.26
D.28
答案 C
解析 设直线x＋y＋m＝0 与曲线y＝f(x)相切于点(a,－a－m),
与曲线y＝g(x)相切于点(b,－b－m),b>0.
由g(x)＝x2－3ln x 得g'(x)＝2x－3
x ,
又两曲线的公切线斜率为－1,
则2b－3
b＝－1,
解得b＝1 或b＝－3
2(舍去).
所以1－3ln 1＝－1－m,解得m＝－2.
由f(x)＝x3＋nx－52 知f'(x)＝3x2＋n,
又两曲线的公切线斜率为－1,
则3a2＋n＝－1,即n＝－3a2－1,
故a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2,
整理得a3＝－27,故a＝－3,
所以n＝－3a2－1＝－28,故m－n＝26.
8.(2025·武汉质检)曲线y＝a
x (a>0)与y＝ln x、y＝ex分别交于A,B 两点,设曲线y＝ln x 在A 处的切
线斜率为k1,y＝ex在B 处的切线斜率为k2,若k1＋k2＝5
2,则a＝( )
A.2ln 2
B.2ln 3
C.3ln 2
D.3ln 3
答案 A
解析 因为y＝ln x 和y＝ex互为反函数,
其图象关于直线y＝x 对称,
且反比例函数y＝a
x (a>0)的图象也关于直线y＝x 对称,
可知点A,B 关于直线y＝x 对称,
设A(x0,ln x0),x0>1,则B(ln x0,x0),
设f(x)＝ln x,g(x)＝ex,
则f'(x)＝1
x ,g'(x)＝ex,
由题意可得k1＋k2＝1
x0
＋e
ln x0＝1
x0＋x0＝5
2,
解得x0＝2 或x0＝1
2(舍去),
可得A(2,ln 2),则a
2＝ln 2,所以a＝2ln 2.
二、多选题
9.已知函数f(x)＝ex,则下列结论正确的是( )
A.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1
B.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1
C.过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1 条
D.过点(0,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2 条
答案 AC
解析 对于A,令f'(x)＝ex＝1,得x＝0,
所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1,
故A 正确;
对于B,令f'(x)＝ex＝－1,无解,
所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1,
故B 错误;
对于C,因为点(0,1)在曲线上,
所以点(0,1)是切点,则f'(0)＝1,
所以切线方程为y－1＝x,即y＝x＋1,
所以过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1 条,故C 正确;
对于D,因为点(0,0)不在曲线上,
所以设切点(x0,e
x0),
则切线方程为y－e
x0＝e
x0(x－x0),
因为点(0,0)在切线上,
所以e
x0＝x0e
x0,解得x0＝1,
所以过点(0,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1 条,故D 错误.
10.(2025·太原调研)已知曲线f(x)＝2x2＋3x＋4,g(x)＝－ex＋n,h(x)＝－x＋m,则( )
A.直线y＝7x＋2 与曲线f(x)相切
B.若直线y＝－x－4 与曲线g(x)相切,则n＝－3
C.当曲线h(x)与曲线f(x),g(x)都相切时,m＋n＝－1
D.当n＝0 时,若过原点可作曲线y＝g(x)h(x)的两条切线,则m<0 或m>4
答案 ACD
解析 A 中,联立f(x)＝2x2＋3x＋4 和y＝7x＋2,
得x2－2x＋1＝0,Δ＝0,
所以直线y＝7x＋2 与曲线f(x)相切,故A 正确;
B 中,由g(x)＝－ex＋n,
得g'(x)＝－ex＋n,
由{
−e
x＋n＝−1,
−e
x＋n＝−x−4 ,
得{
x＝−3,
n＝3, 故B 错误;
C 中,由f(x)＝2x2＋3x＋4,
得f'(x)＝4x＋3,
令f'(x)＝－1,
得x＝－1,
则f(－1)＝2－3＋4＝3,
所以切线方程为y－3＝－(x＋1),
即y＝－x＋2,
则m＝2,
令g'(x)＝－ex＋n＝－1,
得x＝－n,
则g(－n)＝－e0＝－1,
所以切线方程为y＋1＝－(x＋n),
即y＝－x－n－1,
则－n－1＝2,n＝－3,
所以m＋n＝－1,故C 正确;
D 中,当n＝0 时,g(x)＝－ex,
令t(x)＝g(x)h(x)＝－ex(－x＋m),
则t'(x)＝－ex(－x＋m－1),
设过原点的直线与曲线t(x)切于点
(x0,－e
x0(－x0＋m)),
则切线方程为y＋e
x0(－x0＋m)
＝－e
x0(－x0＋m－1)(x－x0),
将原点(0,0)代入得e
x0(－x0＋m)＝x0e
x0(－x0＋m－1),整理得x0
2－mx0＋m＝0,
则Δ'＝m2－4m>0,
解得m<0 或m>4,故D 正确.
11.已知O 为坐标原点,曲线y＝ln x 在点P(x1,y1)处的切线与曲线y＝ex相切于点Q(x2,y2),则( )
A.x1y2＝1
B. x1＋1
x1−1 ＋x2＝0
C.⃗OP·⃗OQ的最大值为0
D.当x2<0 时,x1＋x2>e2－2
答案 AB
解析 对于A,因为y＝ln x,
所以y'＝1
x ,
又P(x1,ln x1),
所以曲线y＝ln x 在点P 处的切线的斜率k1＝1
x1,切线方程为y－ln x1＝1
x1(x－x1),
即y＝1
x1x－1＋ln x1.
因为y＝ex,所以y'＝ex,
又Q(x2,e
x2),所以曲线y＝ex在点Q 处的切线的斜率k2＝e
x2,
切线方程为y－e
x2＝e
x2(x－x2),
即y＝e
x2x＋e
x2(1－x2).
由题意可知两切线重合,
所以{
1
x1
＝e
x2,
ln x1−1＝e
x2(1−x2),
所以x1e
x2＝1,
即x1y2＝1,故A 正确;
对于B,当x1＝1 时,两切线不重合,不符合题意,所以x1≠1,所以1
x1(1－x2)＝e
x2(1－x2)＝ln x1－1＝
ln e
−x2－1＝－x2－1,
所以－x1x2－x1＝1－x2,
所以x1x2－x2＋x1＋1＝0,
则
x1＋1
x1−1 ＋x2＝0,故B 正确;⃗
OP·⃗OQ＝x1x2＋y1y2
＝x1(－ln x1)＋(ln x1)e
x2
＝－x1ln x1＋
ln x1
x1
＝(
1
x1
−x1)ln x1,
当0<x1<1 时, 1
x1－x1>0,ln x1<0,
则⃗OP·⃗OQ<0,
当x1>1 时, 1
x1－x1<0,ln x1>0,
则⃗OP·⃗OQ<0,
所以⃗OP·⃗OQ<0,故C 错误;
对于D,设f(x)＝ex(1－x),x<0,
则f'(x)＝－xex>0,
所以函数f(x)在(－∞,0)上单调递增,
当x→0－时,f(x)→1,
当x→－∞时,f(x)→0＋,
所以0<f(x)<1,
所以当x2<0 时,0<e
x2(1－x2)<1,
所以0<ln x1－1<1,
所以e<x1<e2,
记g(x)＝x－ln x(e<x<e2),
则g'(x)＝1－1
x ＝x−1
x
>0,
所以函数g(x)在(e,e2)上单调递增,
当x→e2时,g(x)→e2－2,
则g(x)<e2－2,所以x1＋x2＝x1－ln x1<e2－2,故D 错误.故选AB.
三、填空题
12.曲线y＝ln(x－1)过点(1,0)的切线方程为 .
答案 x－ey－1＝0
解析 设切点为(x0,ln(x0－1)),
则y'＝
1
x−1,切线斜率为k＝
1
x0−1,
故切线方程为y＝
1
x0−1(x－x0)＋ln(x0－1),
将(1,0)代入可得0＝
1
x0−1(1－x0)＋ln(x0－1),解得x0＝e＋1,
故切线方程为y＝1
e(x－e－1)＋1,
即x－ey－1＝0.
13.(2025·成都二模)设函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx,若f(x)的图象过点P(1,3),且曲线y＝f(x)在(0,0)处的
切线也过点P,则a＝ .
答案 －2
解析 函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx,
求导得f'(x)＝6x2＋2ax＋b,
则f'(0)＝b,而f(0)＝0,
因此曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线方程为y＝bx,
依题意{
b＝3,
2＋a＋b＝3,
所以a＝－2.
14.(2025·嘉兴调研)若过点(2,m)可作出曲线f(x)＝x3－3x 的三条切线,则m 的取值范围是 .
答案 (－6,2)
解析 f'(x)＝3x2－3,
则过(t,f(t))的切线为y－f(t)＝f'(t)(x－t),即y＝(3t2－3)x－2t3.
由过点(2,m)可作曲线y＝f(x)的三条切线得m＝－2t3＋6t2－6 有3 个不等实根.
令g(t)＝2t3－6t2＋6＋m,
g'(t)＝6t2－12t,
由g'(t)＝0 得t＝0 或t＝2.
当t<0 或t>2,g'(t)>0,g(t)单调递增;
当0<t<2,g'(t)<0,g(t)单调递减;
故当t＝0 时,函数g(t)取得极大值为6＋m;
当t＝2 时,函数g(t)取得极小值为m－2.
要使g(t)＝0 有3 个不等实根,
则6＋m>0,且m－2<0,
即－6<m<2,
即所求m 的取值范围是(－6,2)
