专题突破练23 切线与公切线问题
必备知识夯实练
1.(2025 广东惠州模拟)曲线f(x)=1
2
x2-2 在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( )
A.π
6
B.π
4
C.3 π
4
D.5 π
6
2.(2025 安徽合肥模拟)已知曲线f(x)=ln x+ex在点(1,f(1))处的切线与直线x-ay=0 垂直,则
a=( )
A.1+e
B. 1
1+e
C.-1-e
D.- 1
1+e
3.(2025 山东青岛模拟)过点P(1,-1)作曲线f(x)=x3-x 的切线,不同的切线条数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
4.(2025 江西赣州模拟)函数f(x)=1
2
ln x 图象上的点P 到直线y= x
2
的最短距离为( )
A.❑√2
B.
❑√2
2
C.
❑√5
5
D.
❑√5(2-2ln 2)
5
5.(2025 山东济宁模拟)已知函数f(x)={
x
2-3 x, x∈[0,2],
2f ( x -2), x∈(2,+∞),则曲线f(x)在点(7,f(7))
处的切线方程为( )
A.8x+y-40=0
B.4x+y-12=0
C.8x-y-72=0
D.x+4y-22=0
6.已知函数f(x)=2 x
2
e
2 + e
x ,g(x)=3ln x,若直线l 与曲线y=f(x)及y=g(x)均相切,且切点相同,
则公切线l 的一般式方程为 .
7.(2025 河北石家庄模拟)若曲线f(x)=ax2与g(x)=ln x+1 在公共点处存在公共的切线,则
a= .
8.(2025 浙江金华模拟)若直线mx-y+2m-6=0 是曲线f(x)=x3-x 的切线,则m 的值可以是
.(写出一个值即可)
9.(2025 山东济南模拟)若曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(x+b)
(b>0)的切线,则1
a + 1
b
的最小值为 .
关键能力提升练
10.(2025 宁夏石嘴山三模)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=ln x,若曲线y=f(x)与y=g(x)有
两条公切线,则a 的取值范围是( )
A.(0, 1
2e
3)
B.(
1
2e
3 , 1
2e)
C.(
1
2e
3 ,+∞)
D.(
1
2e ,+∞)
11.(2025 河南周口二模)将曲线f(x)=ln1
x
绕原点逆时针旋转角α 后第一次与y 轴相切,则
tan α=( )
A.-2
e
B.-e
2
C.-2e
D.-e
12.(2025 山东聊城二模)过函数图象上一点,垂直于函数在该点处的切线的直线,称为函数
在该点处的“法线”.若一条直线同时是两个函数的法线,则称该直线为两个函数的“公
法线”.函数y=❑√2 x - x
2与函数y=1+ex+1的“公法线”的一般式方程为
.
13.(2025 浙江强基联盟一模)在动画和游戏开发中,相切的曲线可生成平滑的角色路径和
物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线,且曲线不重合,则称两条曲线相切.设两
抛物线y=x2+a 与y2=
❑√2
2
x 相切,则a= .
核心素养创新练
14.(多选题)(2025 辽宁本溪模拟)若函数f(x)在其图象上两个不同点A,B 处的切线完全重
合,则称直线AB 为曲线y=f(x)的“自公切线”,f(x)为“自公切线函数”,则下列选项正确
的是( )
A.函数f(x)=x2+ex是“自公切线函数”
B.函数f(x)=x-cos x 是“自公切线函数”
C.曲线f(x)=-x2+2|x|的“自公切线”方程为y=1
D.曲线f(x)=x3+16
x
的“自公切线”方程为y=8x
答案：
1.B 解析 因为f(x)=1
2
x2-2,
所以f'(x)=x,则f'(1)=1.
设切线的倾斜角为α,则tan α=1,
又α∈[0,π),所以α=π
4 .故选B.
2.C 解析 由f(x)=ln x+ex,得f'(x)=1
x
+ex,
即f'(1)=1+e,即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为1+e.
又曲线的切线与直线x-ay=0 垂直,可得a≠0,所以1
a
(1+e)=-1,
解得a=-1-e.故选C.
3.C 解析 由题意设切点坐标为(x0,x0
3-x0),易知x0≠1.因为f'(x)=3x2-1,所以切线斜率3x0
2
-1= x0
3- x0+1
x0-1
,又x0≠1,化简可得2x0
3-3x0
2=0,解得x0=0 或x0=3
2,所以满足条件的切点有两个,
对应切线有2 条.故选C.
4.C 解析 设与直线y= x
2
平行且与曲线f(x)=1
2
ln x 相切的直线的切点坐标为
(x0, 1
2 ln x0).
因为f'(x)= 1
2 x
,所以1
2 x0
= 1
2,
解得x0=1,则切点坐标为(1,0).
最短距离为点(1,0)到直线y= x
2的距离,即d=
|
1
2|
❑√
1+(
1
2)
2 =
❑√5
5 .故选C.
5.A 解析 当x∈(0,2]时,f'(x)=2x-3,
当x∈(6,8]时,f(x)=2f(x-2)=8f(x-6),则f'(x)=8f'(x-6),
所以f(7)=8f(1)=-16,f'(7)=8f'(1)=-8,
则所求切线方程为y-(-16)=-8(x-7),即8x+y-40=0.
故选A.
6.3x-ey=0 解析 设切点为(x0,y0),
由{
f ( x0)= g( x0),
f '( x0)= g'( x0),
得{
2 x0
2
e
2 + e
x0
=3 ln x0,
4 x0
e
2 - e
x0
2 = 3
x0
,
解得x0=e,y0=3ln x0=3,
故切线方程为y-3=3
e
(x-e),
即3x-ey=0.
7. e
2
解析 函数f(x)=ax2与g(x)=ln x+1 的导数分别为f'(x)=2ax 与g'(x)=1
x
,
设公共点坐标为(x0,y0),
则{
y0=a x0
2,
y0= ln x0+1,
2a x0= 1
x0
,
所以ln x0+1=ax0
2,
又2ax0
2=1,故ln x0=-1
2
,
即x0=e
- 1
2,所以a= 1
2 x0
2 = e
2 .
8.11 或2(写出其中一个即可) 解析 设切点为(t,t3-t),f'(x)=3x2-1,f'(t)=3t2-1,所以切线方程
为y-(t3-t)=(3t2-1)(x-t),
整理得y=(3t2-1)x-2t3,
由mx-y+2m-6=0,得y=mx+2m-6,
所以{
m=3t
2-1,
2m-6=-2t
3,
消去m,化简得(t-1)(t+2)2=0,
解得t=1 或t=-2,则m=3-1=2 或m=3×4-1=11,
所以m 的值为2 或11.
9.2 解析 (ex-a)'=ex,(ln(x+b))'= 1
x +b .
因为曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线的斜率为e0=1,
故曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x-0+e0-a=x+1-a.
设该直线与曲线g(x)=ln(x+b)(b>0)的切点坐标为(m,ln(m+b)),
则
1
m+b
=1,故m=1-b,故切点坐标为(1-b,0),
该切点在直线y=x+1-a 上,
故0=1-b+1-a,即a+b=2,
故1
a + 1
b = 1
2
(a+b)(1
a + 1
b
)=1
2
(2+b
a + a
b
)≥2,
当且仅当a=b=1 时,等号成立,
故1
a + 1
b
的最小值为2.
10.C 解析 设公切线与曲线y=f(x)、曲线y=g(x)相切的切点分别为(t,at2+1),(x0,ln x0),
而f'(x)=2ax,g'(x)=1
x ,易验证当t=x0时不符合题意,所以有2at= 1
x0
= at
2+1- ln x0
t - x0
,则x0>0,
又a>0,则t>0,
消去x0,得at2-ln(2at)-2=0.
令函数h(t)=at2-ln(2at)-2(t>0),
由曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线,得函数h(t)有两个不同的正零点.
h'(t)=2at-1
t = 2at
2-1
t
,当0<t< 1
❑√2a
时,h'(t)<0;当t> 1
❑√2a
时,h'(t)>0,
函数h(t)在(0,
1
❑√2a)内单调递减,在(
1
❑√2a ,+∞)内单调递增,h(t)min=h(
1
❑√2a)=-1
2ln(2a)-
3
2
,
而当t 从大于0 的方向趋近于0 时,h(t)→+∞,当t→+∞时,h(t)→+∞,
则当且仅当-1
2
ln(2a)-3
2
<0,即a> 1
2e
3时,函数h(t)有两个不同的正零点,
所以a 的取值范围是(
1
2e
3 ,+∞).
故选C.
11.D 解析 根据题意,曲线f(x)=ln1
x
绕原点逆时针旋转角α 后第一次与y 轴相切,则
y=tan(
3 π
2 -α)·x 是曲线f(x)=ln1
x
过原点的切线.
设切点坐标为(x0,-ln x0),
又由f'(x)=-1
x ,即切点处切线的斜率满足tan(
3 π
2 -α)=- 1
x0
.
把切点坐标代入方程y=tan(
3 π
2 -α)·x,得-ln x0=- 1
x0
·x0,解得x0=e,
故tan(
3 π
2 -α)=-1
e
,所以
sin(
3 π
2 -α)
cos(
3 π
2 -α)
= cosα
sin α =
1
tan α
=-1
e
,故tan α=-e.故选D.
12.x+y-1=0 解析 易验证对y=❑√2 x - x
2来说,当x=0 或x=1 时,都不满足题意.
由y=❑√2 x - x
2求导得y'=
1- x
❑√2 x - x
2,则法线斜率为-
❑√2 x - x
2
1- x
,
则曲线y=❑√2 x - x
2在点(a,❑√2a-a
2)(0<a≤2,且a≠1)处的法线方程为y-❑√2a-a
2=-
❑√2a-a
2
1-a
(x-a),由y=1+ex+1求导得y'=ex+1,则法线斜率为- 1
e
x +1,则曲线y=1+ex+1在点
(b,1+eb+1)处的法线方程为y-(1+eb+1)=- 1
e
b+1(x-b),
由“公法线”得-
❑√2a-a
2
1-a
=- 1
e
b+1 , a
❑√2a-a
2
1-a
+
❑√2a-a
2= b
e
b+1+1+eb+1,解得a=2- ❑√2
2
,b=-1,
所以“公法线”的一般式方程为x+y-1=0.
13. 3
8
解析 由题意可知,两抛物线y=x2+a 与y2=
❑√2
2
x 只可能在第一象限相切.
设两条抛物线相切于点(x0,y0),抛物线y=x2+a 在该点处的切线的斜率为2x0,抛物线y2=
❑√2
2
x 在第一象限的图象为函数y=❑√
❑√2
2 x在第一象限的图象,曲线y=❑√
❑√2
2 x在该点处的
切线的斜率为1
2
❑√
❑√2
2
1
❑√x0
,
所以有2x0=1
2
❑√
❑√2
2
1
❑√x0
,解得x0=2
- 3
2,y0=❑√
❑√2
2 ×2
- 3
2 = 1
2
,
所以切点为(2
- 3
2 , 1
2),代入y=x2+a,解得a=3
8 .
14.BCD 解析 若f(x)为“自公切线函数”,则f'(x)在某区间内不单调,
由f(x)=x2+ex,得f'(x)=2x+ex,因为f'(x)在R 上单调递增,
故f(x)=x2+ex不是“自公切线函数”,故A 错误;
因为f(x)=x-cos x,所以f'(x)=1+sin x,当x=2kπ(k∈Z)时,f'(2kπ)=1,f(2kπ)=2kπ-1,
则曲线f(x)在点(2kπ,2kπ-1)(k∈Z)处的切线方程为y-2kπ+1=x-2kπ(k∈Z),即y=x-1,
所以f(x)=x-cos x 是“自公切线函数”,故B 正确;
当x≥0 时,f(x)=-x2+2x,
则f'(x)=-2x+2,
当x<0 时,f(x)=-x2-2x,
则f'(x)=-2x-2,所以f'(1)=f'(-1)=0,f(1)=f(-1)=1,
所以曲线f(x)在点(-1,1)和点(1,1)处的切线方程均为y=1,
即曲线f(x)=-x2+2|x|的“自公切线”方程为y=1,故C 正确;
因为f(x)=x3+16
x
,x≠0,
所以f'(x)=3x2-16
x
2 ,x≠0,
则f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
令h(x)=3x2-16
x
2 ,x≠0,则h'(x)=6x+32
x
3 ,当x>0 时,h'(x)>0,当x<0 时,h'(x)<0,
所以h(x)即f'(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,
所以必存在x1,x2,且x1≠x2≠0,使得f'(x1)=f'(x2),且x1+x2=0,
不妨设两切点分别为A(x1,x1
3+ 16
x1
),B(x2,x2
3+ 16
x2
),
因为f(x)=x3+16
x
,x≠0,
则f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数,
又x1+x2=0,所以切点A,B 关于原点对称,且切线的斜率k=f'(x1)=kAO=kBO,
又f'(x1)=3x1
2−16
x1
2 ,kAO= x1
3+ 16
x1
-0
x1-0
= x1
2+ 16
x1
2
,
所以3x1
2−16
x1
2 = x1
2+ 16
x1
2 ,
整理得x1
4=16,解得x1=2 或x1=-2,取A(2,16),B(-2,-16),则k=8,
故曲线f(x)=x3+16
x
的“自公切线”方程为y=8x,故D 正确.故选B
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