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重难点突破 01 切线与公切线
导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点
问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养．
解决曲线的切线问题，核心是切点坐标，因为切点处的导数就是切线的斜率，公切线
问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切
点横坐标的方程组，通过解方程组求解．
一．选择题（共10小题）
1 ． （ 2023• 长 沙 模 拟 ） 一 条 斜 率 为 1 的 直 线 分 别 与 曲 线 和 曲 线
相切于点 和点 ，则公切线段 的长为
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：由 ，得 ，
由 ，得 ，则 ，可得切点 ；
由 ，得 ，
由 ， ，得 ，则 ，得 ．
公切线段 的长为 ．
故选： ．
2．（2023•武昌区校级模拟）已知抛物线 和 ，若 和 有且
仅有两条公切线 和 ， 和 、 分别相切于 ， 点， 与 、 分别相切于 ，
两点，则线段 与
A．总是互相垂直 B．总是互相平分
C．总是互相垂直且平分 D．上述说法均不正确【解答】解：抛物线 ， ，
两曲线分别是 经过平移、对称变换得到的，则两曲线的大小与形状相同，且具有中
心对称性，
和 是它们的公切线， 和 、 分别相切于 ， 两点， 和 、 分别相切于
， 两点，
， 关于对称中心对称， ， 关于对称中心对称，线段 与 互相平分．
故选： ．
3．（2023•徐汇区校级一模）若直线 是曲线 与 的
公切线，则
A． B．1 C． D．2022
【解答】解：设直线 与 的图象相切于点 ， ，与 的图象相切于点
， ，
又 ， ，且 ， ．
曲线 在点 ， 处的切线方程为 ，曲线 在点 ， 处的切线方程为 ．
故 ，解得 ，
故 ．
故选： ．
4．（2023•道里区校级模拟）已知函数 ， ，若直线
为 和 的公切线，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：设直线 与曲线 的切点设为 ， ，
与曲线 的切点为 ，
由 ，得 ，可得 ，即 ，
由 ，得 ，可得 ，即 ，
又 ，即 ，①
，即 ，②
由①②解得 ， ．
故选： ．
5．（2023春•祁东县校级期中）若函数 与函数 有公切线，
则实数 的取值范围是
A． B． C． D．【解答】解：设 ， 是公切线和曲线 的切点，则斜率为 ，
故切线方程为 ，整理得 ，
设 ， 是 公 切 线 和 曲 线 的 切 点 ， 则 切 线 斜 率 为
，
故切线方程为： ，整理得： ，其中
，
所以 ，
将①代入②式整理后得 ，
又 ，则 ，
设 ， ，
则 ， ，易知 ，所以 在 上单调递减，
而 ，当 时， ，
故 ，即 即为所求．
故选： ．
6．（2023•重庆模拟）在数学王国中有许多例如 ， 等美妙的常数，我们记常数 为
的零点，若曲线 与 存在公切线，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，【解答】解：设公切线与两曲线 与 的切点分别为 ， ， ， ，
由 ， ，
得 ，整理可得 ，
令 ，则 ，
由 ，得 ，可得 ，
当 时， ，当 时， ，
可得 的最大值为 ．
实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
7 ． （ 2023 春 • 湖 北 期 中 ） 若 直 线 是 曲 线 与 曲 线
的公切线，则
A．26 B．23 C．15 D．11
【解答】解：设直线 与曲线 切于 ，
由 ，得 ，
由 ，解得 或 （舍去），
切点坐标为 ，代入 ，得 ；
则切线方程为 ．
再设直线 与曲线 切于 ，由 ，得 ，
，且 ，
联立解得 ， ．
．
故选： ．
8．（2023•浙江模拟）已知两曲线 与 ，则下列结论正确的是
A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标
B．若 ，则两曲线只有一条公切线
C．若 ，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为
D．若 ， ， 分别是两曲线上的点，则 ， 两点距离的最小值为1
【解答】解：若两曲线只有一个交点，记交点为 ，则 ，
且在此处的切线为公切线，所以 ，即 满足 ．
设 ，则 时单调递增， （1） ，所以 错误．
如图， 时，设 ，
则 ，由于 （1） ， ，
所以存在 ，使得 ，
那么当 时， ， 为单调递减函数，
当 ， 时， ， 为单调递增函数，
且 ，所以 有两个零点，
则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以 错误．时，设 是曲线 上的一点， ，
所以在点 处的曲线 切线方程为 ，即 ①，
设 是曲线 上的一点， ，
所以在点 处的切线方程为 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
所以两斜率分别是1和 ，所以 正确．
时，曲线 的一条切线为 ， 的一条切线 ，
两切线间的距离为最小值 ，所以 错误．
故选： ．
9．（2023•上饶二模）若曲线y＝lnx+1与曲线y＝x2+x+3a有公切线，则实数a的取值范围
（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：设（x ，y ）是曲线y＝lnx+1的切点，设（x ，y ）是曲线y＝x2+x+3a的
1 1 2 2
切点，
对于曲线y＝lnx+1，其导数为 ，对于曲线y＝x2+x+3a，其导数为y′＝2x+1，
∴ 切 线 方 程 分 别 为 ： ，
，两切线重合，
对 照 斜 率 和 纵 截 距 可 得 ： ， 解 得
（ ），
令 h （ x ） ＝ ﹣ ln （ 2x+1 ） +x2 （ ） ，
，得： ，
当 时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
当 时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，
∴ ，且当x→ 时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）
→+∞；
∴ ，∴ ．
故选：D．10．（2023•保山模拟）若函数 与函数 的图象存在公切
线，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由函数 ，可得 ，
因为 ，设切点为 ，则 ，
则公切线方程为 ，即 ，
与 联立可得 ，
所以 ，整理可得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
令 ，其中 ，可得 ，
令 ，可得 ，
函数 在 上单调递增，且 （1） ，
当 时， ，即 ，此时函数 单调递减，
当 时， ，即 ，此时函数 单调递增，
所以 （1） ，且当 时， ，
所以函数 的值域为 ， ，
所以 且 ，解得 ，即实数 的取值范围为 ．故选： ．
二．多选题（共2小题）
11．（2023春•重庆期中）已知直线 是曲线 与 的公切线，
则下列说法正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：设曲线 上切点 ， ， ，
切线斜率 ，切线方程 ，
即 ，
同理，设曲线 上切点 ， ， ，
切线斜率 ，切线方程 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ， ．
故选： ．
12．（2023•建华区校级三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为
这些曲线的公切线，已知直线 为曲线 和 的
公切线，则下列结论正确的是A．曲线 的图象在 轴的上方
B．当 时，
C．若 ，则
D．当 时， 和 必存在斜率为 的公切线
【解答】解：选项 ，由 ， 得 ，可知曲线 的图象在 轴的上方，故
正确；
选项 ，当 时， ， ，
对于 ，有 ，
因为直线 为曲线 的切线，
所以 ，即 ，此时 ，
所以切点坐标为 ，将其代入切线方程 中，
有 ，整理得 ，可得 ，即 正确；
选项 ，当 时，公切线 为 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ， ，解得 ， ，故 错误；
选项 ，当 时， ， ，则 ， ，
若 和 存 在 斜 率 为 的 公 切 线 ， 则 存 在 和 使 得 ，
，由选项 可知， ，即 ，
所以 ， ，即 ， ，符合题意，
故当 时， 和 必存在斜率为 的公切线，即 正确．
故选： ．
三．填空题（共17小题）
13．（2022秋•启东市期末）已知直线 是曲线 与 的公切线，
则 ．
【解答】解：设切点 ， ， ， ，
由题意得 ， ，切线方程分别可以表示为：
，
，
，得 ，则 ， ．
则 ．
故答案为： ．
14．（2022秋•张家口期末）已知直线 是函数 与函数
的公切线，若 ， （1） 是直线 与函数 相切的切点，则 ．
【解答】解： ，
， ，， （1） 是直线 与函数 相切的切点，
（1） ， （1） ，
，
，
即直线 的方程为 ，
，
，
设 与 的切点坐标为 ， ，
，
切线方程为 ，
即 ，
， ，
解得 ，
，
．
故答案为： ．
15．（2023•鼓楼区校级模拟）写出曲线 与曲线 的公切线的一个方向
向量 （答案不唯一） ．【解答】解：设两曲线的公切线与曲线 切于 ，与曲线 切于 ，
，
曲线 在 处的切线方程为 ，
曲 线 在 ， 处 的 切 线 方 程 为
．
则 ，且 ，
可得 ，即 ．
曲线 与曲线 的公切线的方程为 ，该公切线的一个方向向量为
．
故答案为： （答案不唯一）．
16．（2023•惠安县模拟）已知直线 是曲线 与 的公切线，则直
线 与 轴的交点坐标为 ．
【解答】解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
设直线 与曲线 和 分别切于 ， ， ， ，
则 ，即 ，代入 ，
可得 ，解得 ，，切点为 ， ，则切线方程为 ，
取 ，得 ．
直线 与 轴的交点坐标为 ．
故答案为： ．
17．（2023•防城港模拟）若曲线 与 有一条斜率为 2的公切线，则
．
【解答】解：设公切线在曲线 与 上的切点分别为 ， ， ， ，
由 得 ，则 ，解得 ，
，则 ，
故 在点 的切线方程为 ，
又 得 ，则 ，即 ，
，
又切点 ， ，则 ， 在切线 上，
，解得 ，
．
故答案为： ．
18．（2023•广东模拟）曲线 与 的公共切线的条数为 2 ．【解答】解：设曲线 上的切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
由 得 ，
则 ，
所以 ，
所以曲线 上的切点为 ， ，
所以切线方程为 ，
所以 ，
所以 ，
在同一坐标系中作出曲线 和 的图象，
由图可知，两函数图象有两个交点，
故答案为：2．
19．（2023春•重庆期末）已知直线 是函数 与函数 的
公切线，若 ， （1） 是直线 与函数 相切的切点，则 ．【解答】解： ，
， ，
， （1） 是直线 与函数 相切的切点，
（1） ， （1） ，
，
，
即直线 的方程为 ，
，
，
设 与 的切点坐标为 ， ，
， ，
切线方程为 ，
即 ，
， ，
解得 ，
，
．
故答案为： ．20．（2023春•涪城区校级期中）若 与 两个函数的图象有一条
与直线 平行的公共切线，则 0 ．
【解答】解： ， ，
如图所示，设公切线与 相切于 ， ，与 相切于 ， ，则有以下关系：
，求得 ，
故公切线方程为 ，所以 ，
即 ， ．
故答案为：0．
21．（2023•浠水县校级三模）若曲线 与曲线 存在公切线，则 的取值
范围为 ， ．
【解答】解：设公切线与曲线 的切点为 ， ，与曲线 的切
点为 ， ，
， ，在 处的切线方程为 ，
同理可得， 在 处的切线方程为 ，
由题意可知， ，即 ①，
， ，
， ，
方程组①消去 ，整理得 ，
设 ，则 ，
，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
，
又 （1） ，
，
即 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．22．（2023•厦门模拟）已知函数 ， ，若曲线 与曲线
存在公切线，则实数 的最大值为 ．
【解答】解： ，
假设两曲线在同一点 ， 处相切，
则 ，可得 ，即 ，
因为函数 单调递增，且 时 ，
所以 ，则 ，此时两曲线在 处相切，
根据曲线的变化趋势，若 继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，
所以 的最大值为 ．
故答案为： ．
23．（2023春•广西期中）已知曲线 与 的公切线为 ，
则实数 1 ．
【解答】解：对曲线 求导数得 ，
设切点为 ，则切线为 ，
即 ，与公切线 对照得 ，
解得 ，所以切线方程为 ，
对于 ，设切点为 ， ，
则 ，解得 ， ．故答案为：1．
24．（2023•邯郸三模）若曲线 与圆 有三条公切线，则 的取值范围
是 ．
【解答】解：曲线 在点 ， 处的切线方程为 ，
由于直线 与圆 相切，得 ，
因为曲线 与圆 有三条公切线，故 式有三个不相等的实数根，
即方程 有三个不相等的实数根．
令 ，则曲线 与直线 有三个不同的交点，
显然， ，
当 时， ，当 时， ，当 时，
，
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
且 当 时 ， ， 当 时 ，
，
因此，只需 ，即 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．25．（2023春•靖江市校级月考）已知曲线 与曲线 存在公共切线，则实数
的取值范围为 ， ．
【解答】解：由 ，得 ，由 ，得 ，
设直线 分别与 、 切于 ， 、 ， ，
则直线 的方程为 ， ，
即 ， ．
，可得 ．
令 ，则 ，
则当 时， ， 单调递增，
当 ， 时， ， 单调递减．
．
又当 时， ，当 时， ，
， ，可得 ， ．
故答案为： ， ．26．（2023春•香坊区校级月考）定义：若直线 与函数 ， 的图象都相切，
则称直线 为函数 和 的公切线．若函数 和 有且
仅有一条公切线，则实数 的值为 ．
【解答】解：设直线 与 切于 ，与 切于 ，
， ，
与 切线方程分别为 ， ，
由题意得 ，则 ．
令 ， ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 ， 时， ， 单调递减．
．
又当 时， ，当 时， ，且已知 ，
若函数 和 有且仅有一条公切线，则实数 的值为 ．
故答案为： ．
27．（2023•鼓楼区校级模拟）已知曲线 与曲线 有且只
有一条公切线，则 ．
【解答】解：曲线 ， ，设公切线与 ， 的切点为 ， ，可知 ，
由 ，
得 ， ，
， ，可得 ，即 ，
，
构造函数 ， ，
问题等价于直线 与曲线 在 时有且只有一个交点，
，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
的最大值为 （2） ， （1） ，当 时， ，
故 ．
故答案为： ．
28．（2023•蓬莱区三模）已知曲线 与 的两条公切线的夹角余弦值为 ，
则 3 ．
【解答】解：曲线 与 互为反函数，图象关于 对称，如图所示，由题意可知， ，
所以 ，
，解得 ，或 ，
因为 为锐角，
所以 ，
由对称性，不妨取直线 进行研究，则直线 的倾斜角为 ，
，
设切点 的横坐标为 ，切点 的横坐标为 ，则 ， ，
，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，则 ，
所以 ．
故答案为：3．
29．（2023•浙江开学）已知曲线 与 的两条公切线的夹角正切值为 ，则
．
【解答】解： 与 互为反函数，图像关于直线 对称，如图所示，
由题意，两条公切线的夹角正切值为 ，
解得 或 ，又 为锐角，所以 ．
由对称性，不妨取 直线进行研究，则直线 的倾斜角为：
， ，
设点 的横坐标为 ，切点 的横坐标为 ，
则 ， ，
，即 ，所以 ， ，
，即 ．
，则 ，
即 ，则 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
故答案为： ．
四．解答题（共1小题）
30．（2023•郴州模拟）已知函数 ， ．
（1）若 ， 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若函数 和 有公切线，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，当 时，设 ，
则 ，
，
令 ，得 （舍负） 在 上单调递减，在 上单调递增，
（1） ．
根据题意 的取值范围为 ， ．（2）设函数 在点 ， 处与函数 在点 ， 处有相同的切线，
则 ， ，
，代入 ，
得 ． 问 题 转 化 为 ： 关 于 的 方 程
有解，
设 ，则函数 有零点，
，当 时， ， ，
问题转化为： 的最小值小于或等于 ，
设 ，
则当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
的最小值为 ，
由 知 ，
故 ，
设 ，
则 ，故 在 上单调递增，
（1） ， 当 ， 时， ， 的最小值 等价于 ．
又 函数 在 ， 上单调递增， ．
