重难点突破01三角函数中有关ω的范围问题（解析版）_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）_第四章三角函数

重难点突破 01 三角函数中有关 ω 的范围问题 1. 在 区 间 内 没 有 零 点 同理， 在区间 内没有零点 2. 在区间 内有 个零点 同理 在区间 内有 个零点3. 在区间 内有 个零点 同理 在区间 内有 个零点 4. 已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，则 ． 5.已知单调区间 ，则 . 一．选择题（共20小题） 1．（2023•鹰潭一模）设函数 在区间 恰有3个极值点，2个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：函数 在区间 恰有3个极值点，2个零点， 即函数 在区间 恰有3个极值点，且方程 有2个解． ， ， ，求得 ． 故选： ． 2．（2023•镇安县校级模拟）若函数 在区间 上单调递减，则正 数 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：根据 在区间 上单调递减， 得 ， 可得 ， 又由 ， 必有 ， 可得 ， 即正数 的取值范围为 ， ． 故选： ． 3．（2023•全国一模）已知函数 在区间 上单调递减，则 实数 的取值范围为A． B． ， C． ， D． 【解答】解：由题意有 ，可得 ， 又由 ， 必有 ， 可得 ，即实数 的取值范围为 ， ． 故选： ． 4．（2023•河北模拟）已知 ，函数 在区间 上单调递减， 则 的取值范围是 A． B． ， C． D． 【解答】解：由 ，得 ， ， 即函数的单调递减区间为 ， 令 ，则函数 其中一个的单调递减区间为： ， 函数 在区间 内单调递减， 则满足 ，得 ，所以 的取值范围是 ． 故选： ． 5．（2023•河南模拟）已知函数 在 ， 上恰有3个 零点，则 的取值范围是 A． B． C． D．【解答】解：由题意可得 ， 因为 ， ，所以 ， 则 ，解得 ． 故选： ． 6．（2023•麒麟区校级二模）已知函数 ， 的图象在区间 内至多存在3条对称轴，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解： 函数 的图象在区间 内至多存在3条对 称轴， ， ， ， ． 故选： ． 7．（2023•安阳模拟）已知函数 在 ， 上有且仅有 2个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解： ， 当 ， 时， ， 在 ， 内有且仅有2个零点， ， ，的取值范围是 ． 故选： ． 8．（2023•玉树州模拟）已知函数 ，则关于 说法错误的 是 A． 的图象向右平移 个单位长度后所得的函数为 B． 的图象与 的图象关于 轴对称 C． 的单调递减区间为 D． 在 ， 上有3个零点，则实数 的取值范围是 【 解 答 】 解 ： ． 对 于 选 项 ， 将 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 的图象， 选项 正确； 对于选项 ， ， 与 图象关于 轴对称， 选项 正确； 对于 ，由 ， ，得 ， ， 即 的单调递减区间为 ， 选项 正确； 对于 ，如图为 的图象，由图可知， 在 ， 上有3个零点，则 ，解得 ， 选项 错误． 故选： ． 9．（2023•金华模拟）已知函数 在 ， 上有且仅有2 个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【 解 答 】 解 ： 因为 在 ， 上仅有2个零点， 当 ， 时， ， 所以 ，解得 ． 故选： ． 10．（2023•武功县校级模拟）将函数 的图像向右平移 个单 位，得到函数 的图像，若 在 上为增函数，则 的取值范围是A． B． C． D． 【解答】解：因为向右平移 个单位，得到函数 ， 所以 ， 令 ，则 在 ， ， 上单调递增， 因为 在 上为增函数，故由 ， ，得 ，即 ， 所以 在 上为增函数，故 ， ， 当 时， ， 所以由 得 ，故 ， 所以 ，即 ． 故选： ． 11．（2023•武功县校级模拟）把函数 的图象向右平移 个单位 长度可以得到 的图象，若 为偶函数，则 在 上的取值范围为 A． B． C． D． ， 【解答】解：函数 的图象向右平移 个单位长度得到 ， 由于 是偶函数，所以 ， 由于 ，所以 ， 所以 ，由于 ，所以 ， ，所以 ． 故选： ． 12．（2023•北海一模）已知函数 ，将 的图象上所有点 的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，已知 在 ， 上恰 有5个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ，令 ，由题意 在 ， 上恰有 5个零点，即 在 上恰有5个不相等的实根，由 的性质可 得 ，解得 ． 故选： ． 13．（2023•雁塔区校级三模）已知函数 ，其中 ．若 在区 间 上单调递增，则 的取值范围是 A． ， B． C． D． 【解答】解： ， 函数 在区间 内单调递增， ， ， ，， 若 在区间 上单调递增， 则 ， 解得 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 取其它值时不满足 ， 的取值范围为 ， 故选： ． 14 ． （ 2023• 秦 淮 区 一 模 ） 已 知 函 数 图 象 与 函 数 图象相邻的三个交点依次为 ， ， ，且 是锐角三角形， 则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：作出函数 和 的图象， 如图所示：由图可知 ，取 的中点 ，连接 ，则 ， 因为 是锐角三角形， 所以 ， 则 ，即 ， 由 ，得 ， ， 即 ， ， 则 ，即点 的纵坐标为 ， 故 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ． 故选： ． 15．（2023•涪城区校级模拟）已知函数 在区间 内单调递减， 则实数 的取值范围是 A． B． C． ， D．【解答】解： ， ， ， ， ， ， 在区间 内单调递减， ， ， ， ， 故实数 的取值范围是 ， ， 故选： ． 16．（2023•成都模拟）将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到 原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象．若 在 上有且仅有3个极值点， 则 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ， 纵坐标不变，可知， ， ， ． 又 在 上有且仅有3个极值点， ， 解得 ， 的取值范围为： ．故选： ． 17．（2023•绵阳模拟）将 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右 平移 个单位长度，得到 的图象，若 在 上单调递增，则正数 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：将 的图象横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 的图象， 再向右平移 个单位长度，得到 的图象． ， 由 ， ， 得 ， 的增区间为 ， 若 在 上单调递增，则 ， 且 ， 且 ， 又 ， 当 时， ，即 的取值范围是 ． 故选： ． 18．（2023•鲤城区校级模拟）已知函数 在区间 内没有 零点，但有极值点，则 的取值范围A． B． C． D． 【解答】解： ，其中 （取 为锐角）， ，其中 （取 为锐角）， 设 ，由 ，可得 ． 在 区 间 内 没 有 零 点 ， 但 有 极 值 点 时 ， ， 可 得 ． 所以 ． 因为 ， ，所以 ． 所以 ， 所 以 在 上 的 最 大 值 在 取 得 ， 故 ． 又 ， ， 所以 的取值范围是 ． 故选： ． 19．（2023•成都模拟）已知函数 ， ，若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， 时， ， 要想 在区间 内无零点， 则要满足 ，解得 ， 要想不等式组有解，则要 ，解得 ，故 或0， 当 时， ，解得 ， 当 时， ，解得 ， 则 的取值范围是 ． 故选： ． 20．（2023•湖滨区三模）已知函数 ，其中 ，若函数满足以 下条件：①函数 在区间 上是单调函数； ② 对任意 恒成立； ③经过点 的任意直线与函数 恒有交点，则 的取值范围是 A． ， ， B． C． D． 【解答】解： ，且 ， ， ①若函数 在区间 上是单调函数， 则 ，由 ，可得 ， 当 ，可得 ； 当 时，可得 ， ， ， ； ②若 对任意 恒成立；则 ， ， ③若经过点 的任意直线与函数 恒有交点， 则 ， ， ， ， ， ， ， ，①当 时，则 ， ②当 时，则 ， 的取值范围是 ， ， ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 21．（2023•怀仁市校级三模）已知函数 ，若函数 的图 象在区间 ， 上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是 A． 在 ， 上有且仅有5个零点 B． 在 ， 上有且仅有3个极大值点 C． 的取值范围是 D． 的取值范围是 【解答】解： ， 由 ， ， 则 ， 函数 的图象在区间 ， 上的最高点和最低点共有6个， ， 解得 ， 的取值范围是 ， ，函数 的图象在区间 ， 上的最高点和最低点共有6个， 在 ， 上有5个零点或6个零点，只有3个极大值． 故选： ． 22．（2022•海淀区校级模拟）设函数 ， ，下列说法正确的是 A．当 时， 的图象关于直线 对称 B．当 时， 在 ， 上是增函数 C．若 在 ， 上的最小值为 ，则 的取值范围为 D．若 在 ， 上恰有2个零点，则 的取值范围为 【解答】解：对于函数 ， ， 当 时，令 ，求得 ，为最大值， 故 的图象关于直线 对称，故 正确； 当 时， ， ， 在 ， 上不单调，故 错误； 若 在 ， 上的最小值为 ， 且 ， ， 故有 ，则 ，故 正确；若 在 ， 上恰有2个零点，且 ， ， 则有 ，则 的取值范围为 ， ，故 错误， 故选： ． 23．（2022•韶关模拟）已知函数 ，则下列结论中正确的是 A．若 ，则将 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称 B．若 ，且 的最小值为 ，则 C．若 在 ， 上单调递增，则 的取值范围为 ， D．若 在 ， 有且仅有3个零点，则 的取值范围是 【解答】解： 函数 ， ， 若 ，则 ，把 的图象向左平移 个单位长度后， 得到 的图象关于原点对称，故 正确； 若 ，且 的最小值为 ，则 ，故 正确； 若 在 ， 上单调递增， ， ， ， 求得 ，则 的取值范围为 ， ，故 错误； 若 在 ， 有且仅有3个零点， ， ， ， ，故 错误， 故选： ． 24．（2023•东莞市模拟）已知 ，函数 ，下列选项正确的有A．若 的最小正周期 ，则 B．当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象 C．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 D．若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是 【解答】解：由余弦函数图象与性质，可得 ，得 ，故 正确； 当 时，可得 ， 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 得 ，故 错误； 若 在区间 上单调递增，则 ， 解得 ， 又因为 ，所以只有当 时，此不等式有解，即 ，故 正确； 若 在区间 上只有一个零点，则 ，解得 ，故 正确． 故选： ． 25．（2023•镇江三模）已知函数 ，则 A．若 在区间 ， 上为增函数，则实数 的取值范围是 B．若 在区间 ， 上有两个零点，则实数 的取值范围是 C．若 在区间 ， 上有且仅有一个极大值，则实数 的取值范围是D．若 在区间 ， 上有且仅有一个最大值，则实数 的取值范围是 【解答】解： 选项，当 ， 时， ，若此时 为增函数， 则有 ，解得 ，故 正确； 选项，当 ， 时， ，若 在此区间上由两个零点， 则有 ，解得 ，故 错误； 选项，当 ， 时， ，若 在此区间上有且仅有一个极大值， 则有 ，解得 ，故 正确； 选项，当 ， 时， ，若 在此区间上有且仅有一个最大值， 则有 ，解得 ，故 错误． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 26．（2023•河南模拟）先将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图 象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，所得图象与函数 的图象关于 轴对称，若函数 在 上恰有两个零点，且在 上单调递增，则 的取值 范围是 ． 【解答】解：先将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象，所得图象与函数 的图象关于 轴对称， 故 ． 函数 在 上恰有两个零点，故 ，解得 ． 求函数 的单调递增区间， 需满足 ， 整理得 ． 因为函数 在 上单调递增， 所以 ， 所以 ，解得 ， 故 的取值范围是 ． 故答案为： ． 27．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 在区间 ， 有且仅有3个零点， 则 的取值范围是 ， ． 【解答】解： ， ，函数的周期为 ， ，可得 ， 函数 在区间 ， 有且仅有3个零点， 可得 ， 所以 ．故答案为： ， ． 28．（2023•佛山一模）已知函数 （其中 ， ． 为 的 最小正周期，且满足 ．若函数 在区间 上恰有2个极值点，则 的取值范围是 ． 【解答】解：由题意可得： 的最小正周期 ， ，且 ，则 为 的一条对称轴， ，解得 ， 又 ，则 ， 故 ， ，则 ， 若函数 在区间 上恰有2个极值点，则 ，解得 ， 故 的取值范围是 ． 故答案为： ． 29．（2023•重庆模拟）将函数 的图象向右平移 个单位长度， 得到的函数 的图象关于点 对称，且 在区间 上单调递增，则 ，实数 的取值范围是 ． 【解答】解：将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数 的图象关于点 对称， ，即 ， 因为 ，则 ， 若 ，则 ， 在区间 上单调递增， ， 当 ， ， ，且 ， 即 ，且 ， ； 若 ，则 ， 在区间 上单调递增， ， 当 ， ， ，且 ， 即 且 ，故 ； 综上可得， ， ． 故答案为： ； ． 30．（2023•闵行区校级一模）已知 ，若在 上恰有两个不相等的 实数 、 满足 （a） （b） ，则实数 的取值范围是 ， ． 【解答】解：因为 ，所以 ，因 为 在 上 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 数 、 满 足 （ a ） （ b ） ， 且 ， 所以，函数 在 上恰有两个最大值点， 所以， ，解得 ， 因此，实数 的取值范围是 ， ． 故答案为： ， ． 四．解答题（共5小题） 31．（2023•亭湖区校级三模）已知函数 的值域为 ， ． （1）求 的单调递增区间； （2）若 在 上恰有一个零点，求 的取值范围． 【解答】解： ， 令 ，则 ， ， 又 ， 在 ， 上单调递增， 故由题意有： ，解得 ，， 当 ， 时， 单调递增， 解得 ， ， 即 的单调递增区间为 ， ； （2）由（1）知， ， ， 当 ， 时， ， ， 结合正弦函数的图象可知： 当 ，即 时， 函数 在区间 ， 上恰有一个零点， 故 的取值范围是 ， ． 32．（2023•洪山区校级模拟）已知函数 ，点 是 图像上的 一个最高点， 、 为 图像的两个对称中心， 面积的最小值为 ． （1）求 的值； （2） 在区间 ， 上有20个极值点，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1） 的最小正周期为 ， ， 又 面积的最小值为 ， ，解得 ． （2）由（1）知， ，当 ， 时， ， 在区间 ， 上有20个极值点， ，解得 ， 实数 的取值范围是 ， ． 33．（2023•全国二模）已知函数 的部分图像如 图所示，其中 的图像与 轴的一个交点的横坐标为 ． （1）求这个函数的解析式； （2）若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）由图知： ，所以 ，所以 ， 所以 ， 由 ，且 ， 所以 ， 所以 ； （2）令 得： ，对于 ， ， 则 ， 由 的图像和性质可得： 在区间 上的值域为 ， 所以函数 在区间 上存在零点，有 ． 34 ． （ 2023• 香 坊 区 校 级 三 模 ） 已 知 函 数 ，其图像的一条对称轴与相邻对 称中心的横坐标相差 ，_____，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中． ①函数 的图像向左平移 个单位长度后得到的图像关于 轴对称且 ； ②函数 的图像的一个对称中心为 且 ． （1）求函数 的解析式； （2）将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在区间 上恰有3个零点，求 的取值范围． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ， 由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差 ， 故 ，即 ，即 ，得 ， 则 ．若选①，函数 的图像向左平移 个单位长度后得到的图像关于 轴对称且 ， 则 ， 此时函数关于 轴对称，则 ， ， 得 ， ， ， 当 时， ，当 时， ． ， ，则 ， 则 成立， 不成立，舍去． 则 ． 若选②，函数 的图像的一个对称中心为 且 ． 则 ， ， 得 ， ， ， 当 时， ， 当 时， ． ， ， 当 时， 不成立， 故 成立，则 ． （2）将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 ， ， ， ， ， ， 函数 在区间 上恰有3个零点， ，得 ， 得 ， 即实数 的取值范围是 ， ． 35．（2023•桃城区校级一模）已知 同时满足下列四个条件中 的三个： ① ； ② 的图象可以由 的图象平移得到； ③相邻两条对称轴之间的距离为 ； ④最大值为2． （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）若曲线 的对称轴只有一条落在区间 ， 上，求 的取值范围． 【解答】解：（1）对于条件②， ， 若函数 的图象可以由 的图象平移得到， 则 ， 由条件③相邻两条对称轴之间的距离为 ，可得 的最小正周期为 ， 可得 ，与②矛盾； 对于条件④最大值为2，可得 与②矛盾， 故只能舍弃条件②，所以这三个条件为①③④． （2）由（1）可得 ， 由条件① ，可得 ，又 ， 所以 ，所以 ， 令 ， ，可得 ， ， 时， ， 时， ， 时， ， 又曲线 的对称轴只有一条落在区间 ， 上， 所以 ， 即 的取值范围是 ， ．