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计算题培优练1 力学中的多过程组合问题
[分值：25 分]
1.(11 分)(2025·山东卷·17)如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q 分别为轨道
的两个端点且位于同一高度，P 处轨道的切线沿水平方向，Q 处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b 用轻
弹簧连接置于光滑水平面上，b 被锁定。一质量m=1
2 kg 的小球自Q 点正上方h=2 m 处自由下落，无能量
损失地滑入轨道，并从P 点水平抛出，恰好击中a，与a 粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到F=15 N 时，
b 解除锁定开始运动。已知a 的质量ma=1 kg，b 的质量mb=3
4 kg，方形物体的质量M=9
2 kg，重力加速度大
小g=10 m/s2，弹簧的劲度系数k=50 N/m，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式Ep=1
2kx2(x 为弹
簧的形变量)，所有过程不计空气阻力。求：
(1)(4 分)小球到达P 点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小v1、v2；
(2)(7 分)弹簧弹性势能最大时，b 的速度大小vb及弹性势能的最大值Epm。
答案 (1)6 m/s 2
3 m/s (2)2
3 m/s 2.5 J
解析 (1)根据题意可知，小球从开始下落到P 处过程中，水平方向上动量守恒，则有mv1=Mv2
由能量守恒定律有mgh=1
2mv1
2+1
2Mv2
2
联立解得v1=6 m/s，v2=2
3 m/s
即小球速度大小为6 m/s，方向水平向左，方形物体速度大小为2
3 m/s，方向水平向右。
(2)由于小球落在物块a 正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块a 水平方向上动量守
恒，则有mv1=(m+ma)v3
解得v3=2 m/s
设当弹簧形变量为x1时物块b 的固定解除，此时小球和物块a 的速度为v4，根据胡克定律F=kx1
系统机械能守恒1
2(m+ma)v3
2=1
2(m+ma)v4
2+1
2kx1
2
联立解得v4=1 m/s，x1=0.3 m
固定解除之后，小球、物块a 和物块b 组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动
量守恒定律有(m+ma)v4=(m+ma+mb)vb
解得vb=2
3 m/s，方向水平向左。
由能量守恒定律可得，最大弹性势能为Epm=1
2(m+ma)v4
2+1
2kx1
2-1
2(m+ma+mb)vb
2=2.5 J。
2.(14 分)(2025·广西卷·15)图甲为某智能分装系统工作原理示意图，每个散货经倾斜传送带由底端A 运动到
顶端B 后水平抛出，撞击冲量式传感器使其输出一个脉冲信号，随后竖直掉入已与水平传送带共速度的货
箱中，此系统利用传感器探测散货的质量，自动调节水平传送带的速度，实现按规格分装。倾斜传送带与
水平地面夹角为30°，以速度v0匀速运行。若以相同的时间间隔Δt 将散货以几乎为0 的速度放置在倾斜传
送带底端A，从放置某个散货时开始计数，当放置第10 个散货时，第1 个散货恰好被水平抛出。散货与倾
斜传送带间的动摩擦因数μ=√3
2 ，到达顶端前已与传送带共速。设散货与传感器撞击时间极短，撞击后竖
直方向速度不变，水平速度变为0。每个长度为d 的货箱装总质量为M 的一批散货。若货箱之间无间隔，
重力加速度为g。分装系统稳定运行后，连续装货，某段时间传感器输出的每个脉冲信号与横轴所围面积
为I 如图乙，求这段时间内：
(1)(2 分)单个散货的质量。
(2)(3 分)水平传送带的平均传送速度大小。
(3)(9 分)倾斜传送带的平均输出功率。
答案 (1) I
v0
(2)
dI
M v0 Δt (3)I (2v0+9 g Δt )
2 Δt
解析 (1)对单个散货由动量定理-I=0-mv0
解得单个散货的质量为m= I
v0
(2)落入货箱中散货的个数为N= M
m = M v0
I
则水平传送带的平均传送速度大小为
v=
d
N Δt =
dI
M v0 Δt
(3)设倾斜传送带的长度为L，其中散货在加速阶段，由牛顿第二定律μmgcos 30°-mgsin 30°=ma
解得a=1
4 g
加速时间t1=v0
a =4 v0
g
加速位移x1=1
2at1
2=2v0
2
g
设匀速时间为t2
其中t1+t2=9Δt
则匀速位移为x2=v0t2=v0(9Δt-4 v0
g )
故传送带的长度为L=x1+x2=9v0Δt-2v0
2
g
在加速阶段散货与传送带发生的相对位移为Δx=v0t1-x1=2v0
2
g
在Δt 时间内传送带额外多做的功为W=1
2mv0
2+mgLsin 30°+Q
其中m= I
v0
，L=9v0Δt-2v0
2
g
，Q=μmgcos 30°Δx，P= W
Δt
联立可得倾斜传送带的平均输出功率为P= I (2v0+9 g Δt )
2 Δt
。
