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秘籍5 用动力学与能量解决多过程问题
做好本类型压轴问题需要用到的相关知识有:受力分析、牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒
定律、功能关系等内容。
本专题是力学两大观点在多运动过程问题、传送带问题综合应用，高考常以计算题压轴题的形式
命题。
学好本专题，可以极大地培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力，针对性的专题强
化，可以提升同学们解决压轴题的信心。
题型一 传送带模型中的动力学和能量问题（计算题）
题型二 用动力学和能量观点解决直线+圆周+平抛组合多过程问题（计算题）
题型三 综合能量与动力学观点分析含有弹簧模型的多过程问题（计算题）
传送带模型中的动力学和能量转化问题
1．传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有
两个：
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第
二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系．
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而
使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解．
2．传送带模型问题中的功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q.
(2)对W 和Q 的理解：
①传送带做的功：W＝Fx 传；
②产生的内能Q＝Ffx 相对．
传送带模型问题的分析流程
1
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水平传动带模型上物体的常见运动
项目
情景1：轻放
情景2：同向
情景3：反向
图示
滑块可
能
的
运
动
情
况
(1) 可能滑块一直加
速；
(2)可能滑块先加速后
匀
速；
(1)v0<v 时，可能一直加
速，也可能先加速再
匀速；
(2)v0>v 时，可能一直减
速，也可能先减速再
匀速．
(1)传送带较短时，滑块一直减速
达到左端．
(2)传送带较长时，滑块还要被传
送带传回右端．其中v0>v 和
v0<v 两种情况下滑块回到右端
时有何不同？
倾斜传送带模型上物体的常见运动
项目
情景1：上传
情景2：下载
情景2：反向
图示
滑块
可能
的运
动情
况
(1)可能一直加速；
(2)可能先加速后匀速；
(3)还有其他结论吗？
(1)可能一直加速；
(2)可能先加速后匀速；
(3)可能先以a1加速后以a2加
速．
(1)可能一直加速；
(2)可能一直匀速；
(3)可能先减速后反向加速
倾斜传送带——上传模型
受力分析
运动分析（先加后共）
难点问题
2
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μ>tanθ
①滑动摩擦力f=μmgcosθ
②加速度a=g(μcosθ-sinθ)
③上传条件：μ>tanθ
④共速摩擦力突变为静
摩擦力f'=mgsinθ
受力分析
运动分析（一直加速）
难点问题
μ<tanθ
⑤μ<tanθ，物体向下加
速
⑥加速度a=g(μcosθ-sinθ)
⑦物体向下位移为L
⑧物体运动时间、末速
度与传送带快慢无关
倾斜传送带——下载模型
受力分析
运动分析
难点问题
μ≥tanθ
①滑动摩擦力f=μmgcosθ
②加速度a=g(μcosθ+sinθ)
③共速后，若μ≥tanθ
一起匀速，摩擦力突变为
静摩擦力f'=mgsinθ
μ<tan
θ
④共速后，若μ<tanθ
继续加速，滑动摩擦力方
向突变、大小不变，加速
度a'=g(sinθ-μcosθ)
⑤痕迹问题：共速前，x 传
>x 物，痕迹Δx1=x 传-x 物，共
速后，x 物>x 传，痕迹Δx2=x
物-x 传，总痕迹取二者中大
的那一段
含弹簧类机械能守恒问题
1．物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能．
2．发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能．
3．弹性势能是弹力装置和受弹力作用的物体组成的系统所共有的．
f=μmgcos
θ
f 突变为静
f'=mgsinθ
v
v
L
θ
t
O
v
共速
痕迹
a
v
传送带
物体
t1
t2
a
f=μmgcos
θ
v
v'
L
θ
t
O
v
a
v
传送带
物体
t1
L
f=μmgcos
θ
f 突变为静
f'=mgsinθ
v
v
L
θ(
t
O
v
共速
痕迹
a
v
传送带
物体
t1
t2
f=μmgcos
θ
f 方向突变
f'=μmgcosθ
v
v
L
θ(
t
O
v
共速
痕迹1
a
v
传送带
物体
t1
t2
物体
2
a'
3
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4．弹力做功引起弹性势能的变化．弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加．
常用公式
物理概念规律名称
公式
动能
= p
2
2m
重力势能
(与零势能面的选择有关)
弹性势能
功
W = Fs cos (恒力做功)
W=Pt（拉力功率不变）
W=f S 相对路程 （阻力大小不变）
功率
平均功率：
即时功率：
动能定理
机械能守恒定律
1
2 mv1
2+mgh1+ 1
2 k x1
2= 1
2 mv2
2+mgh2+ 1
2 k x2
2或者Ep= Ek
4
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1．（2023•绵阳模拟）如图所示，货舱P 中的两种谷物需要通过如下装置进行分离。谷物以相同的
初速度v0＝3√2m/s 通过半径为R＝0.4m 的光滑半圆轨道的最高点A，并沿圆轨道运动至最低点
B（最低点B 与传送带平滑连接），之后谷物通过长度为L 的传送带运动至另一端点C，最终从
点C 水平飞出落至收集板上，谷物落到收集板后保持静止。利用不同谷物与接触面间不同的动
摩擦因数µ 这一特性，并通过调节传送带运行速度v 和传送带长度L 来达到分离的目的，分离效
果可由收集板上两种谷物的间距x 来衡量。两种谷物和传送带间的动摩擦因数分别是0.2 和
0.4，点C 距收集板的高度为h＝1.25m。不考虑轮的半径及谷物在连接处的能量损失，不考虑谷
物间的碰撞，忽略空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。（结果可以保留根号形式）
（1）求谷物运动至点B 时的速度大小；
（2）若传送带逆时针转动，调整传送带长度L＝2.25m，求x；
（3）现调整传送带顺时针运行速度为v＝9m/s，为保证谷物的分离效果良好，需满足x≥0.5m，
求传送带长度L 的取值范围。
5
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2．（2023•浙江模拟）某闯关项目的简化图如图所示，距离水平地面高为h＝1.8m 的平台上，A 点
左侧为光滑平台，一根弹簧左端与固定挡板连接，自然长度时右端不超过A 点，一个可以看作
质点的滑块靠着弹簧右端（不拴连），滑块质量为m＝1kg。平台AB 段长为L1＝2.0m，与滑块
的动摩擦因数为μ1＝0.1。B 点右侧设置长为L2＝1.5m 的水平传送带，传送带与滑块的动摩擦因
数为μ2，传送带的右端设置半径为R＝0.9m 的半圆弧光滑轨道，CD 为竖直直径的上下两端，C
点与传送带末端的空隙很小，但是可以让滑块通过。传送带一且启动，顺转（即让传送带顺时
针方向转动）和逆转的速度都为v＝4m/s，在B 点的左侧附近设置传送带启动按钮，按钮有两个
一个为顺转，一个为逆转。闯关开始前传送带处于关闭状态。闯关时，选手首先向左推滑块压
缩弹簧，使弹簧具有一定的初始弹性势能EP，然后释放滑块，在滑块进入传送带前，选手必须
按照实时情况按下顺转按钮或逆转按钮。闯关规则为：如果滑块最终能始终沿着轨道到达水平
地面，则闯关成功；如果滑块最终退回到A 点左侧，则可以再次闯关（既不失败，也没有成
功）；如果滑块最终停在AB 段上，或者向右出传送带后摔落在CD 段则游戏失败（来不及按下
按钮也视为失败，本题假设选手都按了按钮）。g 取10m/s2。
（1）设备调试时，关闭传送带，测得当弹簧的初始弹性势能为EP＝5.0J 时，滑块恰好滑到传送
带的右端停止，求传送带与滑块的动摩擦因数μ2的大小；
（2）某选手压缩弹簧使其具有EP＝4.5J 的初始弹性势能，请通过计算说明本次闯关选手（按下
任何一个按钮的可能性都会有）是否可能会失败；
（3）求选手按下任意一个按钮都能闯关成功的初始弹簧弹性势能EP取值范围。
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3．（2023•枣强县校级模拟）如图所示，竖直平面内固定有半径为R＝2m 的光滑四分之一圆轨道
AB，水平直轨道BC、DE，以速度v0＝3m/s 逆时针转动的水平传送带CD 及竖直固定反弹装置。
各轨道平滑连接。现有一质量为m＝2kg 的滑块（可视为质点）从轨道AB 上高为h 处由静止下
滑，最终与反弹装置发生弹性碰撞。已知LBC＝0.45m，LCD＝0.70m，LDE＝0.90m，滑块与BC
和CD 间的动摩擦因数μ＝0.5，与DE 间的动摩擦因数μ' =0.5- 5
9 x，其中x 为滑块距D 点的距
离。
（1）若h＝0.2m，求滑块运动至B 处时对轨道的作用力FN。
（2）若滑块无法通过传送带，求高度h 的最大值。
（3）若滑块只能经过C 点两次，试求传送带因传送滑块额外做的功的最大值。
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4．（2023•思明区二模）如图所示，一足够长的水平传送带以速度v＝2m/s 匀速运动，质量为m1＝
1kg 的小物块P 和质量为m2＝1.5kg 的小物块Q 由通过定滑轮的轻绳连接，轻绳足够长且不可伸
长。某时刻物块P 从传送带左端以速度v0＝4m/s 冲上传送带，P 与定滑轮间的绳子水平。已知物
块P 与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度为g＝10m/s2，不计滑轮的质量与摩擦，整个
运动过程中物块Q 都没有上升到定滑轮处。求：
（1）物块P 刚冲上传送带时的加速度大小；
（2）物块P 刚冲上传送带到右方最远处的过程中，PQ 系统机械能的改变量；
（3）若传送带以不同的速度v（0＜v＜v0）匀速运动，当v 取多大时物块P 向右冲到最远处时，
P 与传送带间产生的摩擦生热最小？其最小值为多大？
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5．（2023•镇海区模拟）如图所示，长L＝1m 的传送带AB 以速度v0＝1m/s 顺时针转动，与水平
面夹角为α＝37°，下端与足够长的光滑水平轨道BC 平滑连接。滑块P、Q 用细线拴在一起静止
在水平轨道BC 上，中间有一被压缩的轻质弹簧（P、Q 与弹簧不相连）。剪断细线后弹簧恢复
原长时，滑块P 向左运动的速度为v1＝4m/s。已知滑块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，滑
块P、Q 质量分别为m1＝1kg、m2＝2kg。高H＝1.5m 倾角为θ 的粗糙倾斜轨道与水平轨道BC 在
C 处平滑连接，光滑曲线轨道DEF 左右对称，E 为最高点。对于一般曲线上的某点，若存在一
个最接近该点附近曲线的圆，则这个圆叫做曲率圆，它的半径叫做该点的曲率半径。图中圆1 和
圆2 分别为D、E 两点的曲率圆，半径分别为R1＝0.8m、R2＝0.2m。滑块Q 在光滑轨道DEF 内
侧运动时的向心加速度恰好始终恒为a＝2g。求：
（1）滑块Q 从C 运动到D 过程中损失的机械能ΔE；
（2）曲线轨道DEF 上任意高度h 处的曲率半径R 与h 的关系；
（3）物块P 与传送带之间因摩擦而产生的热量Q。
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6．（2023•丰台区二模）物理源自生活，生活中处处有物理。
清洗玻璃杯外表面时，水流与玻璃杯表面的粘滑力会影响水流下落的速度，并使水流沿着玻璃
杯的外表面流动，如图所示。已知该水龙头水流的流量为Q（单位时间内流出水的体积），水
龙头内径为D。
（1）求水流出水龙头的速度v0。
（2）现用该水龙头清洗水平放置的圆柱形玻璃杯，柱状水流离开水龙头，下落高度为h，与玻
璃杯横截面圆心O 处于同一水平面时，开始贴着玻璃杯外表面流动，经过一时间后达到如图所
示的稳定状态。水流经过玻璃杯的最低点A 时，垂直于速度方向的横截面可认为是宽度为d 的
矩形。水流在A 点沿水平方向离开玻璃杯，落至水池底部B 点，落点B 到A 点正下方C 点的距
离为x，AC 竖直高度为H（H 远大于玻璃杯表面水流厚度）。已知水池底面为水平面，不考虑
空气阻力的影响，且认为下落过程水不散开，水的密度为ρ，玻璃杯的外半径为R，重力加速度
为g，求：
a.水流在A 点还未离开玻璃杯时，竖直方向上单位面积受到的合力大小F；
b.达到稳定状态后，t 时间内玻璃杯对水流的作用力所做的功W。
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7．（2023•佛山二模）如图所示，有一质量为M＝2.0kg 的滑块静放在光滑的水平地面上，滑块上
表面AB 部分是半径R＝0.25m、圆心角θ＝53o的光滑圆弧，圆弧底部与光滑水平部分BC 相切，
滑块水平面到地面的高度h＝0.20m。现有质量m＝1.0kg 的小球，从某一高处以v0＝3.0m/s 的初
速度水平抛出，小球恰能从A 点沿切线进入滑块圆弧曲面，重力加速度g 取10m/s2，sin53°＝
0.8，cos53°＝0.6，则
（1）小球抛出时距离滑块上表面A 端的高度H 应为多少？
（2）当小球滑至圆弧底端B 时，滑块的速度大小为多少？
（3）若滑块左侧有段足够长的粗糙地面，小球刚离开滑块时，滑块恰好进入该段粗糙地面，滑
块与粗糙地面间的动摩擦因数为μ，问当小球落地时，滑块在粗糙地面滑行的距离是多少？（结
果可用含μ 的表达式表示）
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8．（2023•浙江模拟）如图所示，光滑曲面轨道AB、光滑竖直圆轨道、水平轨道BD、水平传送带
DE 各部分平滑连接，水平区域FG 足够长，圆轨道最低点B 处的入、出口靠近但相互错开，滑
块落到FG 区域时马上停止运动。现将一质量为m＝0.5kg 的滑块从AB 轨道上某一位置由静止释
放，若已知圆轨道半径R＝0.8m，水平面BD 的长度x1＝2m，传送带长度x2＝9m，距离落地区
的竖直高度H＝0.5m，滑块始终不脱离圆轨道，且与水平轨道BD 和传送带间的动摩擦因数均为
μ＝0.2，传送带以恒定速度v0＝6m/s 逆时针转动（不考虑传送带轮的半径对运动的影响）。
（1）若h＝1.2m，则滑块运动至B 点时对圆弧轨道的压力；
（2）若滑块不脱离圆轨道且从E 点飞出，求滑块释放点高度h0的取值范围；
（3）若滑块不脱离圆轨道，求滑块静止时距B 点的水平距离x 与释放点高度h 的关系。
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9．（2023•江苏一模）如图所示，一轻支架由水平段ON 和竖直段OO'组成。轻弹簧一端固定于O
点，另一端与套在水平杆ON 上的A 球相连，一根长为L＝10cm 的轻绳连接A、B 两球。A 球质
量mA＝1kg，B 球质量mB＝4kg，A 球与水平杆的动摩擦因数μ＝0.36，弹簧原长l＝20cm，劲度
系数k＝450N/m。初始时使A 球尽量压缩弹簧并恰好处于静止状态。现使系统绕OO'轴缓慢转
动起来，转动过程中保持A、B 两球始终与OO'在同一竖直平面内。当系统以某角速度稳定转动
时，细绳与竖直方向成37°角，此时弹簧的弹力大小恰好与初始时相同。设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，不计空气阻力。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2，求：
（1）初始时弹簧的长度；
（2）细绳与竖直方向成37°角时，系统转动的角速度；
（3）整个过程中驱动力对系统所做的总功。
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10．（2023•黄山一模）如图，倾角θ＝37°、bc 长l＝4m 的传送带上端与固定在竖直平面内半径R
＝0.4m 的光滑圆弧轨道cd 相切于c 点，半径od 竖直；传送带下端与光滑水平面ab 间用一极小
段光滑的圆弧平滑连接。可视成质点的质量分别为mA＝1kg，mB＝4kg 的物块A、B 之间夹着一
根仅与物块B 拴连、被压缩且锁定的轻短弹簧，它们静止在光滑的水平轨道ab 上。传送带以v0
＝2m/s 逆时针匀速传动，物块A 与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，
sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若解除弹簧锁定后，要使物块A 恰能通过圆弧轨道最高点，求开始时弹簧弹性势能Ep大小；
（2）若开始时弹簧弹性势能Ep＝40J，求解除弹簧锁定后，物块A 在传送带上运动过程中产生
的摩擦热；
（3）在（2）问的基础上，求物块A 在光滑水平面ab 上运动的最终速度大小。
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11．（2023•渭南一模）如图所示，在竖直方向上A、B 两物体通过劲度系数k＝500N/m 的轻质弹
簧相连，A 放在水平地面上，B 在弹簧上且处于静止状态。C 物体通过轻质细绳绕过轻质定滑轮
相连，C 放在固定的光滑斜面上。用手拿住C，ab 段的细绳竖直、cd 段的细绳松弛，现无初速
释放C，C 沿斜面下滑s= 21
160
m 时，细绳绷直且cd 段与斜面平行，随后C 继续向下沿斜面运动，
在C 整个下滑过程中，A 始终没有离开地面，C 一直在斜面上。已知B 的质量为mB＝1.0kg，C
的质量为mC＝4.0kg，斜面倾角α＝30°，重力加速度为g 取10m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，
不计空气阻力。求：
（1）细绳刚绷直时C 的速度v1；（用根式表示）
（2）B 的最大速度vm；
（3）对弹簧和物体构成的系统，当弹簧的形变量为x 时，弹簧的弹性势能为Ep= 1
2
kx2。为使A
不离开地面，求A 的质量范围。
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12．（2022•天津模拟）简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m 的物体在受到形如
F＝﹣kx 的回复力作用下，物体的位移x 与时间t 遵循x＝Asinωt 变化规律的运动，其中角频率
ω= 2π
T =√
k
m
（k 为常数，A 为振幅，T 为周期）。弹簧振子的运动就是其典型代表。
如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k 的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量
为m 的小球A 相连，小球A 静止时所在位置为O，另一质量也为m 的小球B 从距A 为H 的P 点
由静止开始下落，与A 发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动
过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x 时，弹性势能为Ep= 1
2
kx2，已知H= 3mg
k
，重力加速度为g。求：
（1）B 与A 碰撞后瞬间一起向下运动的速度；
（2）小球A 被碰后向下运动离O 点的最大距离。
（3）小球A 从O 点开始向下运动到第一次返回O 点所用的时间。
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