导数中的切线问题全归纳（解析版）_9.11_2027届高考《导数中的切线问题全归纳》（数学）

导数中的切线问题全归纳
【题型1 求曲线切线的斜率(倾斜角)】2
【题型2 求在曲线上一点处的切线方程】3
【题型3 求过一点的切线方程】5
【题型4 与切线有关的参数问题】7
【题型5 切线的条数问题】9
【题型6 两条切线平行、垂直问题】11
【题型7 公切线问题】12
【题型8 利用切线求距离的最值问题】15
1、导数中的切线问题
导数中的切线问题是高考的常考考点，是高考的重点、热点问题，从近三年的高考情况来看，一般以选择题、
填空题的形式考查求曲线的切线方程、与切线有关的参数问题、切线的条数问题与公切线问题等，试题难度属中
低档；曲线的切线问题也可能会作为解答题中的条件或一小问进行考查，解答题中试题属于中档或偏难题，解题
时要灵活求解，复习时要加强此方面的训练.
知识点1 曲线的切线方程及其解题策略
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x ,f(x ))处切线的斜率；
0 0 0
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y +f'(x )(x-x ).
0 0 0
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x ,f(x ))(不出现y )；
0 0 0
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x )+f'(x )(x-x )；
0 0 0
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
知识点2 与切线有关的参数问题
1．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线方有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
知识点3 切线的条数问题
1．切线的条数问题的解题思路
1(1)已知f(x)，过点(a,b)可作曲线的切线条数问题
第一步：设切点P(x ,y )；
0 0 0
第二步：计算切线斜率k=f'(x )；
0
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y =f'(x )(x-x ).
0 0 0
第四步：将(a,b)代入切线方程，得：b-y。=f'(x?)(a-x?)，整理成关于x 的方程；
0
第五步：题意已知能作几条切线，关于x 的方程就有几个实数解.
0
(2)“过点型”切线条数判断：
①有几个切点横坐标，就有几条切线；
②切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断.
2．切线条数的求参问题
已知切线条数求参数，其实就是转换成切线方程根的个数问题求参数.
知识点4 公切线问题及其解题策略
1．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线
分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
2．公切线问题的求解步骤：
(1)设两切点，求出两切点对应的斜率k 、k ，且k =k ；
1 2 1 2
(2)根据两条曲线在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组；
(3)解方程组，进行求解，得出结论.
【题型1 求曲线切线的斜率(倾斜角)】
1.(2026·山西忻州·模拟预测)设函数fx
2

1
= x2+lnx- 3x，则曲线y=fx
2
 在点 3,f 3    处的切
线的倾斜角为 ( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
【答案】A
【解题思路】求导后代入x= 3求得切线的斜率，进而可求得切线的倾斜角.
1 3
【解答过程】由题意得f(x)=x+ - 3，则f( 3)= ，
x 3
即y=fx  在点 3,f 3   
3
处的切线的斜率为 ，
3
3
设该处切线的倾斜角为α，则tanα= ，
3
π
因为α∈[0,π)，所以α= .
6
故选：A.
2.(2026·海南儋州·模拟预测)若直线y=kx是函数y=xlnx+1的图象的一条切线，则实数k的值为
( )
1
A. 1 B. -1 C. e D.
e
【答案】A【解题思路】可设切点坐标(x 0 ,kx 0 )，切点坐标满足函数方程，且有fx 0
3
 =k．解方程组可得k的值；
【解答过程】∵fx  =xlnx+1，∴fx  =lnx+1(x>0)，
lnx +1=k
设切点坐标为(x 0 ,kx 0 )，则  x ln 0 x +1=kx ，
0 0 0
消去k，得x =1，所以k=1.
0
故选：A.
3.(2026·江苏宿迁·三模)曲线y=2x在点0,1  处的切线的斜率是 .
【答案】ln2
【解题思路】求导即可求解.
【解答过程】由y=2x可得y=2xln2，
故当x=0时，y=20ln2=ln2，
故y=2x在点0,1  处的切线的斜率为ln2，
故答案为：ln2.
4.(2026·上海金山·一模)已知fx  =x2+x，则曲线y=fx  在点 0,f0    处切线的倾斜角是 .
π
【答案】
4
【解题思路】对函数y=fx  求导，求出在点 0,f0    处的切线斜率，进而得出倾斜角.
【解答过程】因为fx  =x2+x，所以fx  =2x+1，则f0  =1
所以曲线y=fx  在点 0,f0   
π
处的切线斜率为1，所以斜线的倾斜角为： .
4
π
故答案为： .
4
【题型2 求在曲线上一点处的切线方程】
5.(2026·河北·模拟预测)已知函数fx  =x3-x+1，则fx  的图象在点1,1  处的切线方程是 ( )
A. 4x+y-5=0 B. 4x-y-3=0 C. 2x+y-3=0 D. 2x-y-1=0
【答案】D
【解题思路】根据求导公式求出函数f(x)的导数，再将切点的横坐标代入导数中，得到切线的斜率，最后
利用点斜式方程求出切线方程.
【解答过程】对f(x)=x3-x+1求导：f(x)=(x3-x+1)=(x3)-(x)+(1)=3x2-1.
将x=1代入f(x)中，可得切线的斜率k=f(1)=3×12-1=2.
已知切线过点(1,1)，斜率为2，根据点斜式方程，可得切线方程为y-1=2(x-1).
将其化简为一般式：2x-y-1=0，
f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程是2x-y-1=0.
故选：D.
6.(2026·广东江门·模拟预测)曲线y=-ex+5x+2在点0,1  处的切线方程为 ( )
A. 4x-y+1=0 B. 4x-y-1=0 C. 5x-y+1=0 D. 5x-y-1=0
【答案】A
【解题思路】求函数y=-ex+5x+2的导函数，再求导函数在x=0时的值，结合导数的几何意义求切线
斜率，利用点斜式求切线方程．
【解答过程】因为y=-ex+5x+2，所以y=-ex+5，故y| =-e0+5=4，
x=0所以曲线y=-ex+5x+2在点0,1
4
 处的切线斜率k=4，
故曲线y=-ex+5x+2在点0,1  处的切线方程为y-1=4x，即4x-y+1=0，
故选：A.
7.(2026·辽宁铁岭·模拟预测)已知函数fx  =x-7  ex．
(1)求曲线y=fx  在点 0,f0    处的切线方程；
(2)若fx  +a>0恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)6x+y+7=0
(2)e6,+∞ 
【解题思路】(1)利用导数的几何意义求切线斜率，结合切点坐标用点斜式得切线方程；
(2)将恒成立问题转化为fx  的最小值大于-a，通过导数分析单调性求fx  最小值，进而得到a的取
值范围.
【解答过程】(1)∵f0  =-7e0=-7，∴切点坐标为0,-7  .
fx  =x-7  ⋅ex+x-7  ⋅ex  =x-6  ⋅ex，
则切线斜率k=f0  =-6⋅e0=-6.
所以切线方程：y+7=-6x，即6x+y+7=0.
(2)fx  +a>0恒成立等价于fx  >-a对任意x∈R恒成立，故fx  >-a
min
∵fx  =x-6  ⋅ex,且ex>0，
∴ 当x<6时，fx  <0，fx  单调递减；当x>6时，fx  >0，fx  单调递增；
故fx  在x=6处取极小值也是最小值，fx  =f6
min
 =-e6.
因此-e6>-a，解得a>e6，
即a的取值范围为e6,+∞  .
8.(2026·天津·模拟预测)已知函数f(x)=mex-1-lnx(m∈R).
(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
tx2+e
(2)当m=e时，g(x)=f(x)+lnx- 有两个极值点x ,x ，且x <x ，
2 1 2 1 2
(ⅰ)求t的范围；
(ⅱ)证明：x +x >2
1 2
【答案】(1)y=1
(2)(ⅰ)e,+∞  (ⅱ)证明见解析
【解题思路】(1)利用k=f(x )求切线斜率，再求切线方程；
0
tx2+e ex
(2) (ⅰ)g(x)=f(x)+lnx- 有两个极值点x ,x 等价于g(x)=0有两解，即t= 有两解，令
2 1 2 x
ex ex
h(x)= ,x>0，在分析h(x)= ,x>0的单调性即可求解；
x x
x
(ⅱ)g(x)=0有两解x ,x ，先求出x ,x 满足的关系式，再令λ= 2 >1，不等式x +x >2等价于lnλ>
1 2 1 2 x 1 2
1
2λ-1  2(x-1)
，令函数φ(x)=lnx- ,x>1，求导分析单调性再求最值即可求解.
λ+1 x+1
1
【解答过程】(1)当m=1时，函数f(x)=ex-1-lnx，求导得f(x)=ex-1- ，则f(1)=0，
x
而f(1)=1，所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=1.t e
(2)(ⅰ)当m=e时，函数g(x)=ex- x2- ,x>0，求导得g(x)=ex-tx，
2 2
由x ,x 是函数g(x)的两个极值点，得x ,x 是方程ex-tx=0的两个不等实根，
1 2 1 2
ex ex ex(x-1)
由g(x)=0，得t= ，令函数h(x)= ,x>0，则h(x)= ，
x x x2
当0<x<1时，h(x)<0；当x>1时，h(x)>0，
函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
而h1
5
 =e，所以t∈e,+∞  .
{ex 1=tx {x =lnt+lnx
(ⅱ)g(x)=0有两解x ,x ，即 1，两边取对数得 1 1,
1 2 ex 2=tx x =lnt+lnx
2 2 2
x
则x -x =lnx -lnx =ln 2 ,当t>e时，0<x <1<x ，
2 1 2 1 x 1 2
1
x lnλ λlnλ lnλ λlnλ λ+1
令λ= 2 >1，则x = ，x = ，因此x +x = + = lnλ，
x 1 λ-1 2 λ-1 1 2 λ-1 λ-1 λ-1
1
2λ-1
不等式x +x >2等价于lnλ>
1 2
 2(x-1)
，令函数φ(x)=lnx- ,x>1，
λ+1 x+1
1 4
(x-1)2
求导得φ(x)= - = >0，函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增，
x (x+1)2 x(x+1)2
则φ(x)>φ(1)=0，即φλ 
2λ-1
>0 ，lnλ>

，于是x +x >2. λ+1 1 2
【题型3 求过一点的切线方程】
9.(2026·江西景德镇·一模)过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x-1相切的直线方程是 ( )
A. y=5x+1 B. y=2x+1 C. y=x+1 D. y=-2x+1
【答案】A
【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.
【解答过程】fx  =3x2+2，点A不在曲线上，
设切点为(x 0 ,x3 0 +2x 0 -1)，则fx 0 
x3+2x -1-1
=3x2+2= 0 0 ， 0 x
0
解得：x 0 =-1，得切点-1,-4  ，则k=f(-1)=5
切线方程为：y=5x+1，
故选：A．
10.(25-26高二上·重庆·期末)过点0,-e  作函数fx  =xlnx的切线方程为 ( )
A. x-y-e=0 B. x+y+e=0 C. 2x-y-e=0 D. x+2y+2e=0
【答案】C
【解题思路】设切点为m,mlnm  ，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数m，进而确定切
线方程.
【解答过程】∵fx  =xlnx，∴fx  =lnx+1，
设切点为m,mlnm  ，则fm  =lnm+1，
∴切线方程为y-mlnm=lnm+1  x-m  ，又切线过点0,-e  ，
∴-e-mlnm=lnm+1  0-m  ，整理得m=e，
∴切线方程为y-e=2x-e  ，则2x-y-e=0.
故选：C.11.(2026·安徽合肥·模拟预测)已知函数f(x)=x+lnx-ax2，a∈R．
(1)若a=0，求过原点且与函数f(x)图象相切的直线方程；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)(e+1)x-ey=0
(2)a∈(0,1)
1
【解题思路】(1)若a=0，则f(x)=x+lnx，f(x)=1+ x ，设切点Px 0 ,x 0 +lnx 0
6
 ，此切线的斜率k=
fx 0 
1
=1+ ，求出切线方程，再由过原点，求出切线方程; x
0
1 -2ax2+x+1
(2) f(x)=1+ -2ax= ,分为当a≤0时，当a>0时，求解单调性，再由函数f(x)有两
x x
个零点，求出参数a的范围.
1
【解答过程】(1)若a=0，则f(x)=x+lnx，f(x)=1+ x ，设切点Px 0 ,x 0 +lnx 0  ，
此切线的斜率k=fx 0 
1
=1+ ， x
0
1
所以切线方程为y-x -lnx =1+ 0 0 x
0
 x-x 0  ，
因为切线过点(0,0)，可得lnx -1=0，x =e，
0 0
则切线方程为(e+1)x-ey=0；
1 -2ax2+x+1
(2)f(x)=1+ -2ax= ，
x x
①当a≤0时，-2ax2+x+1>0，x∈(0,+∞)，f(x)>0，
f(x)在(0,+∞)上单调递增，函数f(x)至多1个零点，不合题意；
1- 1+8a 1+ 1+8a
②当a>0时，令f(x)=0，解得x = (舍去)，x = ，
1 4a 2 4a
x∈0,x 2  ，f(x)>0，f(x)在0,x 2  上单调递增，
x∈x 2 ,+∞  ，f(x)<0，f(x)在x 2 ,+∞  上单调递减，
当x=x 2 时，f(x) max =fx 2  ，x→0，f(x)→-∞，x→+∞，f(x)→-∞，
所以要使函数f(x)有两个零点，则f(x) max =fx 2  >0，
f(x) max =fx 2 
1 1
=x +lnx -ax2=lnx + x - ， 2 2 2 2 2 2 2
令fx 2 
1 1
>0，lnx + x - >0， 2 2 2 2
1 1 1 1
令h(x)=lnx+ x- ，h(x)= + >0，
2 2 x 2
所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，
1+ 1+8a
又因为h(1)=0，得到x = >1，解得0<a<1．
2 4a
综上所述：a∈(0,1)．
12.(2026·湖北·模拟预测)已知函数y=f(x)=eax+1,x∈R．
1
(1)若a= ，求过原点且与y=f(x)相切的切线方程；
2
(2)若关于x的不等式f(x)>2x+e对所有x∈(0,+∞)成立，求a的取值范围．
e2
【答案】(1)y= x；
22
(2)  ,+∞
 e
7
 .
【解题思路】(1)求出函数f(x)的导数，设出切点横坐标，利用导数的几何意义列式求解即得.
(2)构造函数g(x)=eax+1-2x-e，利用导数分类探讨函数g(x)的单调性，求出当x>0时g(x)>0的a
值范围.
【解答过程】(1)当a=
1
时，f(x)=e2
1x+1，求导得f(x)= 1
e2
1x+1，设切点横坐标是t，
2 2
则切线方程是y-e2
t+1
=
1
e2
t+1
(x-t)，而切线过原点，于是-e2
t+1
=
1
e2
t+1
⋅(-t)，解得t=2，
2 2
e2
所以切线方程是y= x.
2
(2)依题意，f(0)=e,g(x)=eax+1-2x-e,g(x)=aeax+1-2，
①若a≤0，则g(x)<0在x>0时恒成立，函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，
则对所有x>0,g(x)<g(0)=0，不满足题意；
2
②若a>0，则g(x)=aeax+1-
a

1 2
，由g(x)<0，得x< ln -1
a a
 ；
1 2
由g(x)>0，得x> ln -1
a a
 ，
1 2
因此函数g(x)在 -∞, ln -1
a a
  
1 2
上单调递减，在 ln -1
a a
  ,+∞  上单调递增，
2 2 1 2
(ⅰ)若0<a< ，则ln ≥1，即 ln -1
e a a a
 >0，
1 2
函数g(x)在 0, ln -1
a a
   上单调递减，
1 2
当x∈ 0, ln -1
a a
   时，g(x)<g(0)=0，不满足题意；
2 2 1 2
(ⅱ)若a≥ ，则ln ≤1，即 ln -1
e a a a
 ≤0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，
则对所有x>0，g(x)>g(0)=0，符合题意，
2
所以a的取值范围是  ,+∞
 e
 ．
【题型4 与切线有关的参数问题】
x
13.(2026·安徽·一模)若直线y= +a与曲线y=lnx+1相切，则实数a的值为 ( )
e
1
A. 0 B. 1 C. D. e
e
【答案】B
【解题思路】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐
标，最后把切点坐标代入直线方程求出a．
1
【解答过程】曲线方程y=lnx+1求导得y= ，
x
x
∵直线y= e +a与曲线y=lnx+1相切，设切点为x 0 ,y 0 
1 1
，则 = ，解得x =e， x e 0
0
∴代入曲线方程得y 0 =lne+1=2，故切点坐标为e,2  ，
∵切点同时位于直线上，
e
∴ +a=2，解得a=1．
e
故选：B．14.(2026·河南许昌·三模)若直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切，则b-a的值为 ( )
3 5
A. 1 B. C. 2 D.
2 2
【答案】A
【解题思路】设切点为x 0 ,y 0
8
 ，根据导数的几何意义求得x =1-b，再由切点在直线和曲线上有 0
lnx 0 +b  =x +a，即可求. 0
【解答过程】设直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)的切点为x 0 ,y 0  ，
1
对y= ln(x+b)求导，得y= ，直线y=x+a的斜率为1，
x+b
1
导数的几何意义知，在切点处 =1，即x =1-b．
x +b 0
0
又切点x 0 ,y 0  既在直线上又在曲线上，
∴y 0 = x 0 +a且y 0 =lnx 0 +b  ，即lnx 0 +b  =x +a． 0
将x 0 =1-b代入lnx 0 +b  =x +a，得：ln(1-b+b)=1-b+a，即b-a=1． 0
故选：A.
15.(2026·湖南长沙·二模)已知函数fx  =xlnx-ax2-x.
(1)若曲线y=fx  在x=1处的切线斜率为1，求实数a的值；
(2)若fx  ≤0在定义域上恒成立，求实数a的取值范围.
1
【答案】(1)a=-
2
1
(2)a≥
e2
【解题思路】(1)根据导数的几何意义知函数y=fx  在x=1的导数值是切线的斜率，进而得a的值；
(2)利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解.
【解答过程】(1)函数fx  =xlnx-ax2-x的定义域为0,+∞  .
则fx  =lnx-2ax.因为曲线y=fx  在x=1处的切线斜率为1，
所以f1 
1
=ln1-2a=1 ，解得a=- ；
2
(2)函数fx  =xlnx-ax2-x的定义域为0,+∞  .
则fx  ≤0在0,+∞ 
lnx-1
上恒成立，即a≥ 在0,+∞
x
 上恒成立，
令gx 
lnx-1
= ，则a≥gx
x
 ，
max
gx 
2-lnx
= ，当0<x<e2时，gx
x2
 >0，则gx  在0,e2  上单调递增，
当x>e2时，gx  <0，则gx  在e2,+∞  上单调递减，
所以gx  =ge2
max

1 1
= ，所以a≥ ．
e2 e2
16.(2026·河南·模拟预测)已知函数fx  =ax2+xlnbx  ，曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程为y=
3x-2.
(1)求实数a,b的值；
(2)当x>0时，fx  ≥kx-2恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)a=1，b=1(2)-∞,3
9

【解题思路】(1)利用函数在点 1,f1    处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得a,b的值；
(2)当x>0时，fx 
2
≥kx-2恒成立，等价于k≤x+lnx+ ，构造函数gx
x

2
=x+lnx+ ，求最小
x
值，即可求实数k的取值范围；
【解答过程】(1)已知函数fx  =ax2+xlnbx  ，求导得fx  =2ax+lnbx  +1 ，
由题意，得f1  =a+lnb=3×1-2=1且f1  =2a+lnb+1=3 ，
所以a=1，b=1．
(2)由(1)可知，fx  =x2+xlnx，
由fx  ≥kx-2，得x2+xlnx≥kx-2 ，
2
又x>0，所以x+lnx+ ≥k ，
x
设gx 
2
=x+lnx+ ，gx
x

1 2 x2+x-2 x+2
=1+ - = =
x x2 x2
 x-1 
，
x2
又x2>0，x+2>0，由gx  =0，解得x=1，
当0<x<1时，gx  <0，当x>1时，gx  >0，
所以函数gx  在区间0,1  上单调递减，在区间1,+∞  上单调递增，
所以gx  ≥g1  =3，所以k≤3，即实数k的取值范围为-∞,3  ．
【题型5 切线的条数问题】
17.(25-26高三上·河北承德·开学考试)过点2,0  可作曲线fx  =x3-3x-2的切线条数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
【答案】B
【解题思路】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可.
【解答过程】由fx  =x3-3x-2⇒fx  =3x2-3，
当点2,0  是切点时，此时切线的斜率为f2  =3×22-3=9，此时有一条切线；
当点2,0  不是切点时，设切点为x 0 ,y 0  ，则切线的斜率为fx 0  =3x2-3， 0
切线方程为：y-x3 0 -3x 0 -2  =3x2 0 -3  x-x 0  ，该切线过点2,0  ，
于是有0-x3 0 -3x 0 -2  =3x2 0 -3  2-x 0  ⇒x3-3x2+4=0⇒x3+1-3x2+3=0 0 0 0 0
⇒x 0 +1  x2 0 -x 0 +1  -3x 0 +1  x 0 -1  =0⇒x 0 +1  x 0 -2  2=0⇒x =-1或x =2(舍去)， 0 0
综上所述：过点2,0  可作曲线fx  =x3-3x-2的切线条数为2，
故选：B.
18.(2026·河南·模拟预测)过原点且与曲线y=xsinx相切的直线有 ( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【答案】C
【解题思路】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切
线即可.
【解答过程】设切点x 0 ,x 0 sinx 0  ，因为曲线y=xsinx，所以y=sinx+xcosx，
x sinx
所以 0 0 =sinx +x cosx ，所以x cosx =0，
x 0 0 0 0 0
0
所以x =0或cosx =0，
0 0
当x 0 =0时，所以k=0，所以切线方程为y-0=0x-0  ，即y=0；π
当x 0 = 2 时，所以k=1，所以切线方程为y-0=1x-0
10
 ，即y=x；
π
当x 0 =- 2 时，所以k=-1，所以切线方程为y-0=-1x-0  ，即y=-x；
所以切线有3条.
故选：C.
19.(2026·陕西·模拟预测)曲线y=ex-1与y=x2的公切线的条数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解题思路】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得4x 1 -1  =ex 1 -1，令x -1= 1
t，构造ft  =4t-et，由导数求解方程根的个数即可求解.
【解答过程】设y=ex-1的切点为x ,ex 1 -1 1  ，y=x2的切点为x 2 ,x2 2  ，
y=ex-1  =ex-1，y=x2  =2x，
所以y=ex-1在x ,ex 1 -1 1  处的切线方程为y=ex 1 -1 x-x 1  +ex 1 -1，即y=ex 1 -1x+1-x 1  ex 1 -1，
y=x2在x 2 ,x2 2  处的切线方程为y=2x 2x-x 2  +x2，即y=2x x-x2 2 2 2
故ex 1 -1=2x 2 且1-x 1  ex 1 -1=-x2， 2
故x 1 -1  ex 1 -1=x2= ex 1 -1 2 2  2 ，即4x 1 -1  =ex 1 -1，
令x 1 -1=t，构造ft  =4t-et，
则ft  =4-et，
当t<ln4,ft  >0,ft  在区间-∞,ln4  单调递增，
t>ln4,ft  <0,ft  在区间ln4,+∞  单调递减，
故ft  =fln4
max
 =4ln4-1  >0，且当t→-∞,ft  →-∞，t→+∞,ft  →-∞，
故ft  =4t-et=0有两个不相等的实数根，
故公切线的条数为2，
故选：C.
20.(25-26高二下·湖北武汉·阶段检测)已知过点A(a,0)可以作曲线y=(x-1)ex的两条切线，则实数a的
取值范围是 ( )
A. (1,+∞) B. (-∞,-3)∪(1,+∞)
C. (-∞,-e)∪(2,+∞) D. (-∞,-2)∪(2,+∞)
【答案】B
【解题思路】先对函数求导，设切点 x 0 ,x 0 -1   ex 0  ，写出切线方程，将点A(a,0)代入切线方程，得到x2- 0
a+1  x +1=0，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果. 0
【解答过程】由y=(x-1)ex得y=ex+x-1  ex=xex，
设过点A(a,0)的直线与曲线y=(x-1)ex切于点 x 0 ,x 0 -1   ex 0  ，
则切线斜率为k=x ex 0，
0
所以切线方程为y-x 0 -1  ex 0=x 0 ex 0x-x 0 
因为切线过点A(a,0)，
所以0-x 0 -1  ex 0=x 0 ex 0a-x 0  ，整理得x2 0 -a+1  x +1=0， 0
因为过点A(a,0)的切线有两条，所以方程x2 0 -a+1
11
 x +1=0有两不同实根， 0
因此Δ=a+1  2-4>0，解得a>1或a<-3，
即实数a的取值范围是-∞,-3  ∪1,+∞  .
故选：B.
【题型6 两条切线平行、垂直问题】
21.(2026·江苏苏州·模拟预测)已知函数fx 
lnx
= ，曲线y=fx
x+a
 在点 1,f1    处的切线与直线2x-y
=0平行，则实数a的值为 ( )
1 1 1
A. - B. - C. D. 1
2 4 2
【答案】A
【解题思路】求导可得fx  ，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果.
【解答过程】由fx 
lnx
= 可得fx
x+a

1
x+a x
=
 -lnx
x+a 
a
1+ -lnx x
=
2 x+a 
，
2
则k=f1 
1+a
=
1+a 
1
= ，
2 1+a
因为曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线与直线2x-y=0平行，
1 1
且直线2x-y=0的斜率为2，即 =2，解得a=- .
1+a 2
故选：A.
22.(2026·天津和平·二模)曲线fx 
ex+2sinx
= 与曲线gx
1+x2
 =ax+1  ex在点0,1  处的切线互相垂直，
则实数a= ( )
1 4
A. 2 B. 0 C. - D. -
3 3
【答案】D
【解题思路】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1  处的切线方程，即可根据垂直满足的斜率关系求
解.
【解答过程】fx 
ex+2cosx
=
 1+x2  -ex+2sinx  ⋅2x
1+x2 
，
2
则f0 
e0+2cos0
=
 1+0  -e0+2sin0  ×0
1+0 
=3，
2
由gx  =ax+1  ex可得gx  =ax+a+1  ex，故g0  =a+1，
由于两切线互相垂直，因此g0  f0 
4
=-1，所以a=- ，
3
故选：D.
23.(2026·西藏拉萨·二模)已知函数fx  =alnx+ax2的图象在点 1,f1    处的切线与直线3x-y-5=0
平行，则a= ( )
1 1
A. -1 B. C. 1 D. -
9 9
【答案】C【解题思路】求出fx
12
 可得函数在点 1,f1    处的切线的斜率为f1  ，再利用两斜率相等求出答案.
【解答过程】由题意知直线3x-y-5=0的斜率为3
又fx 
a
= +2ax，则f1
x
 =a+2a=3a
因为函数fx  =alnx+ax2的图象在点 1,f1    处的切线与直线3x-y-5=0平行，
所以3a=3
解得a=1.
故选：C.
24.(2026·甘肃·二模)若函数fx  =lnx-1  +x2+ax的图象上存在两个不同点，使得fx  在这两点的切
1
线与直线y=- x垂直，则a的取值范围是 ( )
2
A. -∞,-2 2  B. -∞,-2 2  ∪4,+∞ 
C. -∞,3  D. R
【答案】A
【解题思路】由存在两个不同的点满足条件，可得出f(x)=2存在两个大于1的解，结合根的分布讨论得
出a的取值范围.
【解答过程】由题意，函数的定义域为x∈1,+∞  ，fx 
1
= +2x+a．
x-1
因为函数fx 
1
图象上存在两点处的切线与直线y=- x垂直，
2
故fx 
1
= +2x+a=2有两个不同的大于1的解，
x-1
即2x2+a-4  x-a+3=0有两个不同的大于1的根．
令gx  =2x2+a-4  x-a+3，
g(1)>0, a∈R,
 
则

Δ=(a-4)2+8(a-3)>0，即a<-2 2,或a>2 2，
 - a-4 >1. a<0.
4
所以a<-2 2．
故选：A.
【题型7 公切线问题】
25.(2026·河南南阳·三模)已知函数f(x)=2aex与g(x)=lnx+1存在公切线，则实数a的最小值为 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
e 2e 4e 6e
【答案】B
【解题思路】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去m后构造函数
hx  ，求导分析单调性可得最值.
【解答过程】设公切线与函数f(x)=2aex及函数g(x)=lnx+1的切点分别为m,2aem  ，(n,lnn+1)，且
1
f'(m)=2aem，g'(n)= ，
n
1
故两切线方程为y-2aem=2aem(x-m)，y-(lnn+1)= (x-n)，
n
1
即y=2aemx+(-m+1)2aem，y= x+lnn，
n2aem= 1
f(x)与g(x)存在公切线，所以 n
-m+1
13



有解，消去m后得：ln2a=(n-1)lnn-1，
2aem=lnn
1
令h(x)=(x-1)lnx-1，h'(x)=lnx- +1，
x
易得h'(x)在(0,+∞)上单调递增，且x∈(0,1)时，h'(x)<0；x∈(1,+∞)时，h'(x)>0，
故h(x)在区间0,1  上递减，在(1,+∞)上递增．
1 1
所以h(x) =h(1)=-1，∴ln2a的最小值为-1，即2a的最小值为 ，即实数a的最小值为 ．
min e 2e
故选：B．
26.(2026·湖南·三模)若直线y=kx+1(k为常数)是曲线y=lnx+1和曲线y=aex+1的公切线，则实数a
的值为 ( )
1 1
A. B. C. 1 D. e
e e2
【答案】B
1
【解题思路】解法一：先对f(x)=lnx+1求导得f(x)= ，设与直线y=kx+1切点为(x ,lnx +1)，写
x 1 1
出切线方程，根据直线y=kx+1得到关于x 和k的方程组，求出k.
1
1
再对g(x)=aex+1求导，设其与直线y= x+1切点为(x ,aex 0+1)，根据导数等于切线斜率以及切点
e 0
在切线上列方程，求出a.
解法二：设两条曲线的切点分别为P(x ,y )，Q(x ,y )，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率
1 1 2 2
列出方程组，求解得到x ，k，再同理求出x ，进而得到a.
1 2
【解答过程】解法一：令fx  =lnx+1，x∈0,+∞  ，则fx 
1
= ，
x
设直线y=kx+1与y=lnx+1的切点为x 1 ,lnx 1 +1  ，
1
则切线方程为y-lnx 1 -1= x x-x 1
1

1
，即y= x+lnx ， x 1
1
1
 =k 1 1
又因为y=kx+1，所以
 l
x
n 1 x =1
，解得x
1
=e，k=
e
，所以切线方程为y=
e
x+1，
1
令gx  =aex+1，则gx  =aex，
1
设直线y= e x+1与y=aex+1的切点为x 0 ,aex 0+1  ，所以gx 0 
1
=aex 0= ①， e
又因为切点x 0 ,aex 0+1 
1 1 1
在直线y= x+1上，所以aex 0+1= x +1，即aex 0= x ②， e e 0 e 0
1 1
由①和②可得x =1，所以ae= ，解得a= ．
0 e e2
解法二：设切点分别为Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  ，  y 1 =kx 1 +1
  y 1 1 = = l k nx 1 +1 ⇒lnx 1 =kx 1 =1．∴x 1 =e，k= e 1 ．
x
1
y =kx +1,
 2 2
1 1
同理y =aex 2+1, ⇒aex 2=kx =k．∴x =1，∴k=ae= ，∴a= ．
2 2 2 e e2
aex 2=k
故选：B．
27.(2026·辽宁·模拟预测)曲线y=ex与曲线y= 2ex的公切线方程为 .
【答案】2 ex-2y+ e=0
ex 1= e ,
2ex
【解题思路】设两个函数的切点，求导，根据点斜式分别求解切线方程，进而得 2
ex 11-x 1
14


 ，构造
2ex = 2 , 2
函数fx  =x-1 
e
e2x+ ，求导得函数单调性，进而求解方程的根得解.
2
【解答过程】设公切线与曲线y=ex切于点Ax 1 ,ex 1  ，与曲线y= 2ex切于点Bx 2 , 2ex 2  ，
易知公切线的斜率存在，对y=ex求导得y=ex，
可得公切线的斜率k=ex 1，
所以公切线方程为y=ex 1x-x 1  +ex 1，即y=ex 1x+ex 11-x 1  ①.
e
对y= 2ex求导得y= ，
2ex
e
所以公切线方程为y= x-x 2
2ex
2
 + 2ex ， 2
e 2ex
即y= x+ 2 ②.
2ex 2
2
ex 1= e ,
2ex
由①②得 2 ex 11-x 1 

 2ex 所以e2x 1x 1 -1 = 2 , 2 
e
+ =0， 2
令fx  =x-1 
e
e2x+ ，x<1，所以fx
2
 =2x-1  e2x，
1
当x∈-∞,
2
 时，fx  <0，fx 
1
单调递减，当x∈ ,1
2
 时，fx  >0，fx  单调递增，所以fx  ≥
1
f
2

1
=0，所以x = ，
1 2
e
所以公切线方程为y= ex+ ，即2 ex-2y+ e=0.
2
故答案为：2 ex-2y+ e=0.
28.(2026·黑龙江哈尔滨·二模)若直线y=kx+b是曲线y=ex-1和曲线y=lnx+1  的公切线，则实数k=
．
1
【答案】1或
e
【解题思路】分别设出直线和两曲线的切点坐标，求出切线方程的表达式，联立方程组可解得切点坐标，
1
代入计算可得斜率k=1或k= .
e
【解答过程】设直线y=kx+b与曲线y=ex-1的切点为Ax ,ex 1 -1
1
 ;
易知y=ex-1  =ex-1,可得k=ex 1 -1,因此切线方程为y-ex 1 -1=ex 1 -1 x-x 1
15
 ，即y=ex 1 -1x+1-x 1  ex 1 -1,
可得b=1-x 1  ex 1 -1,
设直线y=kx+b与曲线y=lnx+1  的切点为B x 2 ,lnx 2 +1    ;
又y= lnx+1   
1 1
= ，所以k= ,
x+1 x +1
2
切线方程为y-lnx 2 +1 
1
= x +1 x-x 2
2

1
,即y= x +1 x+lnx 2 +1
2

x
- 2 , x +1
2
所以b=lnx 2 +1 
x
- 2 ; x +1
2
ex
1
-1= 1
x +1
因此可得 2 lnx 2 +1  x - x + 2 1 =1-x 1
2


 ，整理可得x 2 =x 2 lnx 2 +1 ex 1 -1  ，
解得x =0,x =e-1;
2 2
当x =0时，可得k=1；
2
1
当x =e-1时，可得k= ;
2 e
1
所以k=1或k= .
e
1
故答案为：1或 .
e
【题型8 利用切线求距离的最值问题】
29.(2026·辽宁辽阳·二模)函数fx 
1 x
= lnx图象上一点P到直线y= 的最短距离为 ( )
2 2
2 5 52-2ln2
A. 2 B. C. D.
2 5

5
【答案】C
【解题思路】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最
小的点，所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离
公式求解即可.
x
【解答过程】设与直线y= 平行且与曲线fx 2 
1 1
= lnx相切的直线的切点坐标为x , lnx 2 0 2 0  ．
因为fx 
1 1 1
= 2x ，所以 2x = 2 ，解得x 0 =1，则切点坐标为1,0
0
 ．
最短距离为点1,0 
1
 
x 2
到直线y= 的距离，即d=
2 1
1+
2

5
= ．
2 5
故选：C.
30.(2026·江苏南京·二模)已知y=x-a  2+xlnx-a+3  2 a∈R  ，则y的最小值为 ( )
2 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 2
【答案】A
【解题思路】先设点Px,xlnx  及点Qa,a-3  ，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出
切点，最后应用点到直线距离计算求解.
【解答过程】设点Px,xlnx  是函数fx  =xlnx图象上的点，点Qa,a-3  是直线l:y=x-3上的点，
则PQ= x-a  2+xlnx-a+3  2，所以y=PQ 2，因为fx
16
 =lnx+1，设函数fx  在点Mx 0 ,y 0  处的切线l 与直线l平行， 1
则fx 0  =lnx 0 +1=1，解得x o =1，则点M1,0  ，
所以PQ的最小值为点M1,0 
1-0-3
到直线l的距离d= = 2，
2
所以y=x-a  2+xlnx-a+3  2的最小值为2，
故选：A.
9
31.(2026·河南驻马店·模拟预测)已知点P为曲线y=x+ 上的动点，则点P到直线x+y=0的距离的最
x
小值为 ( )
9 2
A. 3 2 B. 6 C. D. 9
2
【答案】B
【解题思路】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线
的距离公式计算最小距离即可.
9
【解答过程】设曲线y=x+ 在点P处的切线与直线x+y=0平行，
x
9 3 2 3 2 9 2
由y=1- =-1，得x=± ，则P  ,
x2 2 2 2

3 2 9 2
或P - ,-
2 2
 ，
3 2 9 2 3 2 9 2

2
+
2
 -
2
-
2
 6 2
则动点P到直线x+y=0的距离的最小值为d= = = =6.
12+12 12+12 2
所以点P到直线x+y=0的距离的最小值为6，
故选：B.
32.(2026·辽宁大连·一模)已知a，b，c∈R，bea-a+1=0(其中e是自然对数的底数)，则 a-c  2+
b-2c  2的最小值为 ( )
1 5 4 2 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】A
【解题思路】把a-c  2+b-2c  2看成两点距离的平方，其最小值可转化为点到直线的距离的平方，利用
导数的几何意义求出切点，利用点到直线的距离公式即可求得.
a-1 x-1
【解答过程】由bea-a+1=0⇒b= ，进而f(x)= ，
ea ex
又c,2c  在y=2x上，
故a-c  2+b-2c 
x-1
2的最小值可以看成是f(x)= 图像上的点离直线y=2x的最近距离的平方，
ex
1×ex-exx-1
f(x)=
 2-x
= ，
e2x ex
x-1
所以f(x)= 图像上离直线y=2x的最近的点为斜率为2的切线的切点
ex
2-x
令f(x)= =2，即得2ex=2-x，令tx
ex
 =2ex+x-2，tx  单调递增且t0  =2×e0+0-2=0，
所以x=0，即切点横坐标为0，切点为(0,-1)，
所以a-c  2+b-2c 
|2×0+1|
2的最小值为
1+4

2 1
= .
5故选：A.
一、单选题
33.(2026·安徽·模拟预测)函数fx
17
 =x2x-1  2的图象在点1,1  处的切线方程为 ( )
A. y=5x-4 B. y=4x-3 C. y=3x-2 D. y=2x-1
【答案】A
【解题思路】利用导数求出切线斜率，再结合直线的点斜式方程可得切线方程.
【解答过程】fx  =x2x-1  2=x4x2-4x+1  =4x3-4x2+x，则fx  =12x2-8x+1，
f1  =5，所以切线方程为y-1=5x-1  ，化简可得y=5x-4，
即函数fx  =x2x-1  2的图象在点1,1  处的切线方程为y=5x-4.
故选：A.
f2+Δx
34.(2026·江苏镇江·一模)设lim
Δx→0
 -f2 
=-1，则曲线y= fx
Δx
 在点 2,f2    处的切线的斜率为
( )
A. -1 B. -4 C. 1 D. 4
【答案】A
【解题思路】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解.
f2+Δx
【解答过程】因为lim
Δx→0
 -f2 
=-1，
Δx
所以f2  =-1，
所以曲线y=fx  在点 2,f2    处的切线的斜率为-1.
故选：A.
35.(2026·云南·模拟预测)曲线y=ex+mx在点(0,1)处的切线与直线2x+4y+3=0垂直，则实数m=
( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
【答案】B
1
【解题思路】利用导数的几何意义及垂直关系有(1+m)×-
2
 =-1求参数，注意验证切点是否在曲线
上即可得.
【解答过程】由题设y=ex+m，则x=0时y=1+m，
1
由切线与直线2x+4y+3=0垂直，则(1+m)×-
2
 =-1，所以m=1，
所以y=ex+x，显然点(0,1)在曲线上，满足题意，
综上，m=1.
故选：B.
36.(2026·重庆·二模)若经过点0,-2  的直线l既与曲线y=lnx相切，也与曲线y=ex-aa∈R  相切，则
a= ( )1
A. B. 1 C. 2 D. e
e
【答案】C
【解题思路】设曲线y=lnx的切点为x 1 ,lnx 1
18
 ，曲线y=ex-a的切点为x 2 ,ex 2-a  ，利用导数的几何意
义，分别求得在切点处的切线方程，结合切线过0,-2  ，得出关系式，即可求解.
【解答过程】设曲线y=lnx的切点为x 1 ,lnx 1 
1
，则由y= ， x
1
可得切线方程为y= x x-x 1
1

1
+lnx = x-1+lnx ， 1 x 1
1
因为切线过点0,-2 
1
，所以-1+lnx =-2，解得x = ，所以切线方程为y=ex-2； 1 1 e
设曲线y=ex-a的切点为x 2 ,ex 2-a  ，由y=ex，所以切线的斜率为k=ex 2，
因为直线l的方程为y=ex-2，可得ex 2=e，解得x 2 =1，即切点1,e-a 
所以切线方程为y-e-a  =ex-1  ，即y=ex-a，
所以-a=-2，解得a=2.
故选：C.
37.(2026·河北·三模)若函数fx  =2x+a  ex的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为 ( )
A. (-∞,-4)∪(0,+∞) B. -4,0 
C. (-∞,-8)∪(0,+∞) D. -8,0 
【答案】D
【解题思路】求出函数f(x)的导数，利用导数的几何意义求出函数f(x)的图象在x=x 处的切线方程，由
0
已知建立方程，利用方程无解列式求解.
【解答过程】函数f(x)=(2x+a)ex，求导得f(x)=(2x+a+2)ex，
则函数f(x)的图象在x=x 0 处的切线方程为y-2x 0 +a  ex 0=2x 0 +a+2  ex 0x-x 0  ，
由原点(0,0)不在该切线上，得关于切点横坐标x 0 的方程0-2x 0 +a  ex 0=2x 0 +a+2  ex 00-x 0  无解，
即2x2 0 +ax 0 -a=0无解，则Δ=a2+8a<0，解得a∈-8,0  ，
所以实数a的取值范围为-8,0  .
故选：D.
38.(2026·安徽安庆·三模)过曲线C：y=x3-2ax+b外一点A-1,1  作C的切线，恰好可作两条，则
( )
A. 2a-b=1 B. a-b=0 C. a+b=0 D. 2a+b=1
【答案】D
【解题思路】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点A-1,1  ，整理得2a+b=2x3+3x2+1， 0 0
令fx  =2x3+3x2+1，利用导数确定函数fx  的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可.
【解答过程】设切点为Px 0 ,y 0  ，
据题意：这样的切点有两个，
即关于x 的方程有且仅有两根.
0
因为 y =3x2-2a，
0
x=x
0
所以切线方程为y=3x2 0 -2a  x-x 0  +y ， 0
即y=3x2 0 -2a  x-x 0  +x3 0 -2ax 0 +b  为过切点Px 0 ,y 0  的切线，又A-1,1
19
 在此切线上，
所以1=3x2 0 -2a  -1-x 0  +x3 0 -2ax 0 +b  ，
即-2x3-3x2+2a+b-1=0，
0 0
所以2a+b=2x3+3x2+1，
0 0
令fx  =2x3+3x2+1，
所以fx  =6x2+6x=6x(x+1)，
所以fx  =0，则x=-1或x=0，
所以函数y=fx  在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，
所以函数的极大值为f(-1)=2，极小值为f(0)=1，
当x趋于-∞时，f(x)趋于-∞，当x趋于+∞时，f(x)趋于+∞，
作出函数y=f(x)的图象，如图所示：
又A-1,1  不在曲线C上，所以2a+b≠2，
由fx  的图象可知2a+b=1.
故选：D.
39.(2026·重庆渝中·模拟预测)已知函数fx  =x+a  lnx，若曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线与直线
2x-4y+e2=0垂直，则实数a的值为 ( )
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】A
【解题思路】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．
【解答过程】因为fx 
x+a
=lnx+ ，
x
所以y=fx  在点 1,f1    处的切线的斜率为k=f1  =ln1+1+a=1+a，
而该切线与直线2x-4y+e2=0垂直，
所以1+a=-2，解得a=-3．
故选：A.
40.(2026·河南·二模)已知点Px 0 ,y 0 
lnx
是曲线y= 上的动点，则x -y 的最小值为 ( ) x 0 0
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
【答案】A
lnx
【解题思路】根据已知条件将问题转化为曲线y= 上的点到直线y=x的距离的最小值的 2倍，求
x
lnx
出与y=x平行的切线相对应的切点，即可求得x -y 的最小值；或由∣x -y ∣=∣x - 0 ∣，构造函
0 0 0 0 0 x
0数gx
20

x2-lnx
= ,x>0，利用导数分析函数gx x  的单调性，求得gx  的最小值，从而得到x -y 的最 0 0
小值.
【解答过程】点Px 0 ,y 0 
lnx
在曲线y= x 上，且点Px 0 ,y 0  到直线y=x，即x-y=0的距离d=
x -y 
0 0 ，
2
因此可先求点Px 0 ,y 0  到y=x距离的最小值.
lnx
当函数y= x 在Px 0 ,y 0  处的切线与y=x平行，即斜率为1时，点Px 0 ,y 0  到y=x的距离最小．
lnx 1-lnx
由y= ，得y= ，
x x2
1-lnx
令 =1，解得x=1，y=0.
x2
点1,0 
2
到直线y=x的距离d= 2 ，所以点Px 0 ,y 0 
2
到y=x距离的最小值为 . 2
2
所以x -y 的最小值为 2× =1．
0 0 2
方法二：点Px 0 ,y 0 
lnx lnx lnx
是曲线y= 上的动点，得y = 0 ，所以∣x -y ∣=∣x - 0 ∣. x 0 x 0 0 0 x
0 0
设gx 
x2-lnx
= ,x>0，则gx
x

1 2x- x
=
 x-x2+lnx x2-1+lnx
= ，
x2 x2
设hx  =x2-1+lnx,x>0，则hx 
1
=2x+ >0恒成立，
x
故hx  =x2-1+lnx在区间0,+∞  单调递增.
又h1  =0，所以当x∈0,1  时，hx  <0，所以gx  <0；
当x∈1,+∞  时，hx  >0，所以gx  >0.
gx 
x2-lnx
= 在区间0,1
x
 单调递减，在区间1,+∞  单调递增．
又g1  =1，所以gx  ≥1，即∣x -y ∣≥1，则∣x -y ∣的最小值为1． 0 0 0 0
故选：A.
二、多选题
41.(2026·甘肃白银·三模)已知函数fx  =-x3+3x+2，则 ( )
A. 曲线y=fx  在x=0处的切线方程为3x-y+2=0
B. x-1  fx  ≥0
C. 当0<x<1时，fx  >fx2 
D. 点0,2  是函数fx  图象的对称中心
【答案】ACD
【解题思路】对于A，求函数fx  的导函数，再求f0  ,f0  ，结合导数的几何意义求切线方程即可判断；
对于B，取x=3代入不等式即可判断；对于C，利用导数判断函数的单调性，结合单调性比较fx  ,fx2 
的大小即可判断；对于D，证明gx  =fx  -2为奇函数，结合奇函数性质即可判断.
【解答过程】对于A：f(x)=-3x2+3=-3x-1  (x+1)，
∴f(0)=3，∴曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y-2=3x，即3x-y+2=0，故A正确；
对于B：因为当x=3时，x-1  fx  =2×-27+9+2  =2×-16  <0，B错误；对于C：因为f(x)=-3x2+3=-3x-1
21
 (x+1)
令f(x)<0，得x<-1或x>1；令f(x)>0，得-1<x<1，
∴f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减，在(-1,1)上单调递增，
当0<x<1时，0<x2<x<1，结合fx  在(-1,1)上单调递增，
可得fx  >fx2  ，故C正确；
对于D：函数f(x)=-x3+3x+2的定义域为R，
令g(x)=fx  -2=-x3+3x，则函数gx  的定义域为R，定义域关于原点对称，
又g-x  =--x  3+3-x  =x3-3x=-gx  ，
所以函数g(x)是奇函数，即函数fx  -2为奇函数，
所以函数fx  -2的图象关于原点对称，
故函数fx  的图象关于0,2  中心对称，
故点0,2  是函数fx  图象的对称中心，D正确.
故选：ACD.
42.(2026·山东聊城·三模)若函数fx  =xx-3  x-a  的图象在点0,0  处的切线的斜率为0，则 ( )
A. fx  有3个不同的零点 B. fx  在区间a-2,a  上单调递增
C. ∀x∈0,1  ，fx2  >f2x  D. ∃x∈-1,+∞  ，fx+4  <fx 
【答案】BC
【解题思路】先根据切线斜率条件求导，由f0  =0得a=0，确定fx  =x2x-3  ，再分析其零点、导数
与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项．
【解答过程】fx  =xx-3  x-a  ，fx  =3x2-2a+3  x+3a，
因为函数fx  的图象在点0,0  处的切线的斜率为0，
所以f0  =3a=0，解得a=0，
所以fx  =x2x-3  ，fx  =3x2-6x=3xx-2  ，
x<0时，fx  >0，fx  单调递增；
0<x<2时，fx  <0，fx  单调递减；
x>2时，fx  >0，fx  单调递增，
对于A，由fx  =x2x-3  =0，得x=0，x=3，A错误；
对于B，区间a-2,a  ，即是-2,0  ，
因为fx  在区间-∞,0  上单调递增，
所以fx  在区间a-2,a  上单调递增，B正确；
对于C，当x∈0,1  时，x<2，所以0<x2<2x<2，
因为fx  在区间0,2  上单调递减，所以fx2  >f2x  ，C正确；
对于D，fx+4  -fx  =x+4  2 x+4   -3  -x2x-3  =12x2+24x+16，
Δ=242-4×12×16=-192<0，所以12x2+24x+16>0恒成立，
即fx+4  -fx  >0对所有x∈R成立，D错误．
故选：BC.
43.(2026·浙江·模拟预测)已知fx  =x-a  x-2  2，则下列正确的是 ( )
A. 直线y=0为fx  的切线B. 若fa2
22
 <fa  ，则a∈-1,1 
C. 若fx  在-∞,2  上单调递增，则a∈2,+∞ 
D. 设l 1 ,l 2 为曲线fx  在 x 1 ,fx 1    , x 2 ,fx 2   
2
处的两条切线，若l 1 ⎳l 2 ，则x 1 +x 2 = 3 4+a 
【答案】ACD
【解题思路】根据导数的几何意义可求得 x=2 处切线为y=0得到A正确；通过举反例证明B错误；根
据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切
线平行，找到相应等式即可求得D正确.
【解答过程】已知f(x)=(x-a)(x-2)2，求导得f(x)=(x-2)2+2(x-a)(x-2)=(x-2)(3x-2a-
2)
选项A：当 x=2时，f(2)=0，且f(2)=0，因此x=2处切线斜率为0，切线方程为y=0，
故直线y=0一定是f(x)的切线，故A正确；
选项B：当a=0时，f(a2)=f(a)=f(0)，故 B错误；
选项C：若f(x)在(-∞,2)单调递增，则f(x)≥0在(-∞,2)恒成立，当x<2时，x-2<0，
因此需要3x-2a-2≤0对所有x<2恒成立，即2a+2≥3x =6，解得a≥2，即a∈[2,+∞)，故C
max
正确；
选项D：求导得：f(x)=3x2-2(a+4)x+4a+4，切线l ⎳l 等价于 f(x )=f(x )，
1 2 1 2
整理得：3x2 1 -x2 2  -2a+4  x 1 -x 2  =0，
因为x ≠x ，两边除以x -x 得3(x +x )=2(a+4)，
1 2 1 2 1 2
2
即x +x = (4+a)，故D正确.
1 2 3
故选：ACD.
三、填空题
44.(2026·福建福州·模拟预测)曲线y=lnx+1  在x=0处的切线的倾斜角为 ．
π
【答案】
4
【解题思路】先求函数在x=0处的导数值得到切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角.
【解答过程】设f(x)=ln(x+1)，函数定义域为(-1,+∞)，
1 1 1
得到f(x)= ⋅(x+1)= ，所以f(0)= =1，即曲线在x=0处的切线斜率为1.
x+1 x+1 0+1
π
设切线的倾斜角为α，其中α∈[0,π)，由斜率定义可知tanα=1，解得α= .
4
π
故答案为： .
4
45.(2026·云南·一模)已知函数f(x)= x-lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ．
【答案】x+2y-3=0
【解题思路】由导数的几何意义和导数的运算公式求解即可.
【解答过程】由f(x)= x-lnx，得f(x)= 1 x - 2 1 - 1 ，所以f(1)=- 1 ，
2 x 2
又因为f(1)=1，则切点坐标为(1,1)，
1
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=- (x-1)，即x+2y-3=0．
2
故答案为：x+2y-3=0.46.(2026·河北秦皇岛·模拟预测)设a≠0，若曲线 fx
23
 =alnx-1  在点 2,f2    处的切线也是曲线gx 
=eax-2的切线，则a= ．
1
【答案】
2
【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对gx  求导，根据斜率值和切点的函数值求出a的值.
【解答过程】因为fx 
a
= ，所以f2
x-1
 =a,f2  =aln1=0.
所以曲线fx  在点 2,f2    的切线方程为：y=ax-2  .
因为gx  =aeax-2，设曲线gx  与该切线的切点为 x 0 ,ax 0 -2    .
所以gx 0  =aeax 0 -2=a，所以ax -2=0，即ax =2. 0 0
又gx 0  =eax 0 -2=ax 0 -2  =2-2a=e0，
1
所以a= .
2
1
故答案为： .
2
四、解答题
47.(2026·重庆北碚·模拟预测)已知关于x的函数fx  =x-2 
a a+1
ex- x3+
3

x2-x,a∈R.
2
(1)当a=0时，求f(x)在x=2处的切线方程；
(2)若a≤e且x>0，求f(x)的极小值．
【答案】(1)y=e2+1  x-2  .
(2)极小值为f1 
a 1
=-e+ - .
6 2
【解题思路】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程求出切线方程即可；
(2)对参数a的取值范围进行分类讨论，得出函数单调性并求出极值点，可得出极小值.
【解答过程】(1)由a=0可得fx  =x-2 
1
ex+ x2-x，
2
则fx  =ex+x-2  ex+x-1=x-1  ex+1  ，
易知f2  =0,f2  =e2+1；
所以切线方程为y-0=e2+1  x-2  ，即y=e2+1  x-2  .
(2)易知fx  =x-1  ex-ax2+a+1  x-1=x-1  ex-ax+1  ；
令gx  =ex-ax+1，所以gx  =ex-a，
因为a≤e且x>0，所以ex>1恒成立，
当a≤1时，gx  =ex-a≥0，所以gx  在0,+∞  上单调递增，可得gx  ≥g0  =2>0，
当1<a≤e时，令gx  =ex-a=0，可得x=lna≤1，
当x∈0,lna  时，gx  <0，此时gx  在0,lna  上单调递减；
当x∈lna,+∞  时，gx  >0，此时gx  在lna,+∞  上单调递增；
因此gx  在x=lna处取得极小值，也是最小值，即glna  =elna-alna+1=a-alna+1；
令ha  =a-alna+1,1<a≤e，则ha  =1-lna-1=-lna<0，
所以函数ha  在1<a≤e上单调递减，所以ha  ≥he  =1>0，即glna  ≥1；
因此gx  ≥glna  >0，
综上可知当a≤e时，gx  =ex-ax+1>0在0,+∞  上恒成立，
令fx  =0可得x=1，当x∈0,1
24
 时，fx  <0，即fx  在0,1  上单调递减，
当x∈1,+∞  时，fx  >0，即fx  在1,+∞  上单调递增，
所以fx  在x=1处取得极小值，f1 
a 1
=-e+ - .
6 2
b
48.(2026·广东东莞·三模)已知函数f(x)=ax- -2lnx.
x
(1)曲线y=f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0，求实数a，b的值；
(2)当b=1时，对于任意x>1,f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.
5 1
【答案】(1)a= ,b=
4 4
(2)a≥1
1
【解题思路】(1)根据切线方程为x+2y-3=0可得斜率为- ，以及经过点1,1
2
 ，即可求导得解，
2lnx 1
(2)将问题转化为a> + ，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解.
x x2
【解答过程】(1)fx 
b 2
=a+ - ，曲线y=f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0，
x2 x
则f1 
1
=a+b-2=- ,f1
2

5 1
=a-b=1，则a= , b=
4 4
1 2lnx 1
(2)当b=1时，依题意有ax- -2lnx>0对于任意 x>1恒成立，则a> + ，
x x x2
设mx 
2lnx 1
= + x>1
x x2
 ,mx 
2x-2xlnx-2
= ，
x3
设hx  =2x-2xlnx-2,hx  =-2lnx，
由x>1得：hx  <0，则hx  在1,+∞  上单调递减，
且h1  =0，则hx  <0在1,+∞  上恒成立，即mx  <0, mx  在1,+∞  上单调递减，
m1  =1，则mx  <1，则a≥1.
49.(2026·陕西榆林·模拟预测)已知函数fx  =ex-ax-1,a∈R,gx  =xlnx.
(1)当a=2时，求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程；
(2)令Fx  =fx  -gx  ，若函数Fx  在0,+∞  上存在两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)y=e-2  x-1
(2)e-1,+∞ 
【解题思路】(1)先求f1  ，再求fx  ，f1  ，然后根据导数的几何意义求切线方程即可；
(2)根据题意可知存在x 1 ,x 2 ∈0,+∞ 
ex
,x ≠x ，使ex-xlnx-ax-1=0，参变分离得a= -lnx- 1 2 x
1
，令函数hx
x

ex 1
= - -lnx，再利用导数结合交点个数求参数范围即可．
x x
【解答过程】(1)解：由题意，fx  =ex-2x-1，则fx  =ex-2，
∴f1  =e-2,f1  =e-3.
∴曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程为y-e-3  =e-2  x-1  ，
即y=e-2  x-1；
(2)解：由题意，Fx  =fx  -gx  =ex-xlnx-ax-1,x∈0,+∞  .
∵Fx  在0,+∞  上存在两个零点，
∴存在x 1 ,x 2 ∈0,+∞  ,x ≠x ，使ex-xlnx-ax-1=0， 1 2ex 1
即a= -lnx- .
x x
令函数hx
25

ex 1
= - -lnx，则直线y=a与函数y=hx
x x
 的图象有两个交点.
hx 
x-1
=
 ex x-1 x-1
- =
x2 x2
 ex-1 
，
x2
由x>0，得ex-1>0.
当0<x<1时，hx  <0；当x>1时，hx  >0，
∴函数hx  在0,1  上单调递减，在1,+∞  上单调递增，则h(x) min =h1  =e-1.
∵当x→0时，hx  →+∞；当x→+∞时，hx  →+∞，
∴当a>e-1时，直线y=a与函数y=hx  的图象有两个不同交点，
∴实数a的取值范围是e-1,+∞  ．
x2 a
50.(2026·湖北武汉·模拟预测)已知函数f(x)= -alnx-(a-1)x- ，a∈R.
2 2
(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围.
【答案】(1)4x-y-1=0
(2)当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增.
(3)(0,1]
【解题思路】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求得切线方程；
(2)将函数求导后，根据参数a的取值情况，分类讨论函数的单调性即可；
a2 a
(3)根据(2)的结论，结合f(x)≥0得f(a)=- -alna+ ≥0，即1-a-2lna≥0，设g(a)=1-a-
2 2
2lna，利用导数分类讨论即得a的取值范围.
x2 1
【解答过程】(1)当a=-1时，f(x)= +lnx+2x+ ，
2 2
1
则f(x)=x+ +2，f (1)=4，f(1)=3，
x
所以曲线y=f(x)在点( 1,f(1))处的切线方程为y-3=4(x-1)，即4x-y-1=0.
a x2-(a-1)x-a (x-a)(x+1)
(2)f(x)=x- -(a-1)= = ，x∈(0,+∞)，
x x x
若a≤0，可得x∈(0,+∞)时，f(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
若a>0，当x∈(0,a)时，f(x)<0，所以f(x)在(0,a)上单调递减；
当x∈(a,+∞)时，f(x)>0，所以f(x)在(a,+∞)上单调递增；
综上所述：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增.
(3)由(2)可知，当a>0时，f(x)有极小值，
a2 a a2 a
极小值为f(a)= -alna-(a-1)a- =- -alna+ ，此时极小值也是最小值，
2 2 2 2
a2 a
由f(x)≥0，可得- -alna+ ≥0，因a>0，可得1-a-2lna≥0，
2 2
2
令g(a)=1-a-2lna，求导得g(a)=-1- <0，即g(a)在(0,+∞)上单调递减，
a又g(1)=1-1-2ln1=0，
当a∈(0,1)时，g(a)>g(1)=0，当a∈(1,+∞)时，g(a)<g(1)=0，
所以a∈(0,1]时，g(a)≥0，此时满足f(x)≥0，
所以a的取值范围为(0,1].
51.(2026·海南省直辖县级单位·模拟预测)已知函数f(x)=ax2+lnx+1．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(0,-1)，求实数a的值；
(2)若f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)证明：当a=1时，f(x)≤xex+x2-x．
【答案】(1)1
e
(2)- ,0
2
26

(3)证明见解析
【解题思路】(1)对函数f(x)=ax2+lnx+1求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已知条件求
出a；
lnx+1 lnx+1
(2)令f(x)=0，得a=- ，构造函数y=- ，求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合
x2 x2
极限分析求出实数a的取值范围；
(3)把不等式转化为lnx+1≤xex-x，构造函数g(x)=lnx+1-xex+x，求导并分析函数单调性，求出
g(x)的最大值，进而得出lnx+1-xex+x≤0，命题得证．
【解答过程】(1)函数f(x)=ax2+lnx+1的定义域为(0,+∞)，
所以fx 
1 1
=2ax+ = 2ax2+1
x x
 ，
∵f(1)=a+1，f1  =2a+1，
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+1)=(2a+1)(x-1)，
把(0,-1)代入，得a=1．
lnx+1
(2)令f(x)=0，得a=- ，
x2
lnx+1 2lnx+1
令y=- ，则y= ，
x2 x3
1 lnx+1 1
当0<x< 时，y<0，则y=- 在0,
e x2 e
 上单调递减，
1 lnx+1 1
当x> 时，y>0，则y=- 在 ,+∞
e x2 e
 上单调递增，
1 e
∴当x= 时，y =- ，
e min 2
lnx+1
当x>0且趋近于0时，y=- 趋近于+∞；
x2
lnx+1
当x趋近于+∞时，y=- <0且趋近于0，
x2
e e
∴要使函数f(x)有两个零点，只需- <a<0，即实数a的取值范围为- ,0
2 2
 ．
(3)当a=1时，要证f(x)≤xex+x2-x成立，即证lnx+1≤xex-x成立，
记g(x)=lnx+1-xex+x，则gx 
1
= -x+1
x
 ex+1=x+1 
1
 -ex
x
 ，x>0．
1
记h(x)= -ex，x>0，
x1
∵y= 和y=-ex在(0,+∞)上均单调递减，
x
1
∴h(x)= -ex在(0,+∞)上单调递减，
x
1
又∵h
2
27
 =2- e>0，h(1)=1-e<0，
1
∴存在x ∈ ,1 0 2  ，使得hx 0  =0，即hx 0 
1
= -ex 0=0， x
0
∴x ex 0=1，x =-lnx ，
0 0 0
当0<x<x 0 时，h(x)>0，即gx  >0，
∴g(x)在0,x 0  上单调递增，当x>x 0 时，h(x)<0，即gx  <0，
∴g(x)在x 0 ,+∞  上单调递减，
∴g(x) max =gx 0  =lnx -x ex 0+x +1=-x -1+x +1=0， 0 0 0 0 0
∴ g(x)≤g(x) =0，故lnx+1-xex+x≤0成立，原命题得证．
max