导数中的切线问题全归纳（学生版）_9.11_2027届高考《导数中的切线问题全归纳》（数学）

导数中的切线问题全归纳
【题型1 求曲线切线的斜率(倾斜角)】2
【题型2 求在曲线上一点处的切线方程】2
【题型3 求过一点的切线方程】5
【题型4 与切线有关的参数问题】7
【题型5 切线的条数问题】9
【题型6 两条切线平行、垂直问题】9
【题型7 公切线问题】9
【题型8 利用切线求距离的最值问题】10
1、导数中的切线问题
导数中的切线问题是高考的常考考点，是高考的重点、热点问题，从近三年的高考情况来看，一般以选择题、
填空题的形式考查求曲线的切线方程、与切线有关的参数问题、切线的条数问题与公切线问题等，试题难度属中
低档；曲线的切线问题也可能会作为解答题中的条件或一小问进行考查，解答题中试题属于中档或偏难题，解题
时要灵活求解，复习时要加强此方面的训练.
知识点1 曲线的切线方程及其解题策略
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x ,f(x ))处切线的斜率；
0 0 0
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y +f'(x )(x-x ).
0 0 0
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x ,f(x ))(不出现y )；
0 0 0
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x )+f'(x )(x-x )；
0 0 0
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
知识点2 与切线有关的参数问题
1．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线方有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
知识点3 切线的条数问题
1．切线的条数问题的解题思路
1(1)已知f(x)，过点(a,b)可作曲线的切线条数问题
第一步：设切点P(x ,y )；
0 0 0
第二步：计算切线斜率k=f'(x )；
0
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y =f'(x )(x-x ).
0 0 0
第四步：将(a,b)代入切线方程，得：b-y。=f'(x?)(a-x?)，整理成关于x 的方程；
0
第五步：题意已知能作几条切线，关于x 的方程就有几个实数解.
0
(2)“过点型”切线条数判断：
①有几个切点横坐标，就有几条切线；
②切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断.
2．切线条数的求参问题
已知切线条数求参数，其实就是转换成切线方程根的个数问题求参数.
知识点4 公切线问题及其解题策略
1．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线
分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
2．公切线问题的求解步骤：
(1)设两切点，求出两切点对应的斜率k 、k ，且k =k ；
1 2 1 2
(2)根据两条曲线在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组；
(3)解方程组，进行求解，得出结论.
【题型1 求曲线切线的斜率(倾斜角)】
1.(2026·山西忻州·模拟预测)设函数fx
2

1
= x2+lnx- 3x，则曲线y=fx
2
 在点 3,f 3    处的切
线的倾斜角为 ( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
2.(2026·海南儋州·模拟预测)若直线y=kx是函数y=xlnx+1的图象的一条切线，则实数k的值为
( )
1
A. 1 B. -1 C. e D.
e
3.(2026·江苏宿迁·三模)曲线y=2x在点0,1  处的切线的斜率是 .
4.(2026·上海金山·一模)已知fx  =x2+x，则曲线y=fx  在点 0,f0    处切线的倾斜角是 .
【题型2 求在曲线上一点处的切线方程】
5.(2026·河北·模拟预测)已知函数fx  =x3-x+1，则fx  的图象在点1,1  处的切线方程是 ( )
A. 4x+y-5=0 B. 4x-y-3=0 C. 2x+y-3=0 D. 2x-y-1=0
6.(2026·广东江门·模拟预测)曲线y=-ex+5x+2在点0,1  处的切线方程为 ( )
A. 4x-y+1=0 B. 4x-y-1=0 C. 5x-y+1=0 D. 5x-y-1=07.(2026·辽宁铁岭·模拟预测)已知函数fx
3
 =x-7  ex．
(1)求曲线y=fx  在点 0,f0    处的切线方程；
(2)若fx  +a>0恒成立，求a的取值范围．8.(2026·天津·模拟预测)已知函数f(x)=mex-1-lnx(m∈R).
(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
tx2+e
(2)当m=e时，g(x)=f(x)+lnx- 有两个极值点x ,x ，且x <x ，
2 1 2 1 2
(ⅰ)求t的范围；
(ⅱ)证明：x +x >2
1 2
4【题型3 求过一点的切线方程】
9.(2026·江西景德镇·一模)过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x-1相切的直线方程是 ( )
A. y=5x+1 B. y=2x+1 C. y=x+1 D. y=-2x+1
10.(25-26高二上·重庆·期末)过点0,-e
5
 作函数fx  =xlnx的切线方程为 ( )
A. x-y-e=0 B. x+y+e=0 C. 2x-y-e=0 D. x+2y+2e=0
11.(2026·安徽合肥·模拟预测)已知函数f(x)=x+lnx-ax2，a∈R．
(1)若a=0，求过原点且与函数f(x)图象相切的直线方程；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．12.(2026·湖北·模拟预测)已知函数y=f(x)=eax+1,x∈R．
1
(1)若a= ，求过原点且与y=f(x)相切的切线方程；
2
(2)若关于x的不等式f(x)>2x+e对所有x∈(0,+∞)成立，求a的取值范围．
6【题型4 与切线有关的参数问题】
x
13.(2026·安徽·一模)若直线y= +a与曲线y=lnx+1相切，则实数a的值为 ( )
e
1
A. 0 B. 1 C. D. e
e
14.(2026·河南许昌·三模)若直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切，则b-a的值为 ( )
3 5
A. 1 B. C. 2 D.
2 2
15.(2026·湖南长沙·二模)已知函数fx
7
 =xlnx-ax2-x.
(1)若曲线y=fx  在x=1处的切线斜率为1，求实数a的值；
(2)若fx  ≤0在定义域上恒成立，求实数a的取值范围.16.(2026·河南·模拟预测)已知函数fx
8
 =ax2+xlnbx  ，曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程为y=
3x-2.
(1)求实数a,b的值；
(2)当x>0时，fx  ≥kx-2恒成立，求实数k的取值范围.【题型5 切线的条数问题】
17.(25-26高三上·河北承德·开学考试)过点2,0
9
 可作曲线fx  =x3-3x-2的切线条数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
18.(2026·河南·模拟预测)过原点且与曲线y=xsinx相切的直线有 ( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
19.(2026·陕西·模拟预测)曲线y=ex-1与y=x2的公切线的条数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
20.(25-26高二下·湖北武汉·阶段检测)已知过点A(a,0)可以作曲线y=(x-1)ex的两条切线，则实数a的
取值范围是 ( )
A. (1,+∞) B. (-∞,-3)∪(1,+∞)
C. (-∞,-e)∪(2,+∞) D. (-∞,-2)∪(2,+∞)
【题型6 两条切线平行、垂直问题】
21.(2026·江苏苏州·模拟预测)已知函数fx 
lnx
= ，曲线y=fx
x+a
 在点 1,f1    处的切线与直线2x-y
=0平行，则实数a的值为 ( )
1 1 1
A. - B. - C. D. 1
2 4 2
22.(2026·天津和平·二模)曲线fx 
ex+2sinx
= 与曲线gx
1+x2
 =ax+1  ex在点0,1  处的切线互相垂直，
则实数a= ( )
1 4
A. 2 B. 0 C. - D. -
3 3
23.(2026·西藏拉萨·二模)已知函数fx  =alnx+ax2的图象在点 1,f1    处的切线与直线3x-y-5=0
平行，则a= ( )
1 1
A. -1 B. C. 1 D. -
9 9
24.(2026·甘肃·二模)若函数fx  =lnx-1  +x2+ax的图象上存在两个不同点，使得fx  在这两点的切
1
线与直线y=- x垂直，则a的取值范围是 ( )
2
A. -∞,-2 2  B. -∞,-2 2  ∪4,+∞ 
C. -∞,3  D. R
【题型7 公切线问题】
25.(2026·河南南阳·三模)已知函数f(x)=2aex与g(x)=lnx+1存在公切线，则实数a的最小值为 ( )1 1 1 1
A. B. C. D.
e 2e 4e 6e
26.(2026·湖南·三模)若直线y=kx+1(k为常数)是曲线y=lnx+1和曲线y=aex+1的公切线，则实数a
的值为 ( )
1 1
A. B. C. 1 D. e
e e2
27.(2026·辽宁·模拟预测)曲线y=ex与曲线y= 2ex的公切线方程为 .
28.(2026·黑龙江哈尔滨·二模)若直线y=kx+b是曲线y=ex-1和曲线y=lnx+1
10
 的公切线，则实数k=
．
【题型8 利用切线求距离的最值问题】
29.(2026·辽宁辽阳·二模)函数fx 
1 x
= lnx图象上一点P到直线y= 的最短距离为 ( )
2 2
2 5 52-2ln2
A. 2 B. C. D.
2 5

5
30.(2026·江苏南京·二模)已知y=x-a  2+xlnx-a+3  2 a∈R  ，则y的最小值为 ( )
2 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 2
9
31.(2026·河南驻马店·模拟预测)已知点P为曲线y=x+ 上的动点，则点P到直线x+y=0的距离的最
x
小值为 ( )
9 2
A. 3 2 B. 6 C. D. 9
2
32.(2026·辽宁大连·一模)已知a，b，c∈R，bea-a+1=0(其中e是自然对数的底数)，则 a-c  2+
b-2c  2的最小值为 ( )
1 5 4 2 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
一、单选题
33.(2026·安徽·模拟预测)函数fx  =x2x-1  2的图象在点1,1  处的切线方程为 ( )
A. y=5x-4 B. y=4x-3 C. y=3x-2 D. y=2x-1
f2+Δx
34.(2026·江苏镇江·一模)设lim
Δx→0
 -f2 
=-1，则曲线y= fx
Δx
 在点 2,f2    处的切线的斜率为
( )
A. -1 B. -4 C. 1 D. 4
35.(2026·云南·模拟预测)曲线y=ex+mx在点(0,1)处的切线与直线2x+4y+3=0垂直，则实数m=( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
36.(2026·重庆·二模)若经过点0,-2
11
 的直线l既与曲线y=lnx相切，也与曲线y=ex-aa∈R  相切，则
a= ( )
1
A. B. 1 C. 2 D. e
e
37.(2026·河北·三模)若函数fx  =2x+a  ex的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为 ( )
A. (-∞,-4)∪(0,+∞) B. -4,0 
C. (-∞,-8)∪(0,+∞) D. -8,0 
38.(2026·安徽安庆·三模)过曲线C：y=x3-2ax+b外一点A-1,1  作C的切线，恰好可作两条，则
( )
A. 2a-b=1 B. a-b=0 C. a+b=0 D. 2a+b=1
39.(2026·重庆渝中·模拟预测)已知函数fx  =x+a  lnx，若曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线与直线
2x-4y+e2=0垂直，则实数a的值为 ( )
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
40.(2026·河南·二模)已知点Px 0 ,y 0 
lnx
是曲线y= 上的动点，则x -y 的最小值为 ( ) x 0 0
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
二、多选题
41.(2026·甘肃白银·三模)已知函数fx  =-x3+3x+2，则 ( )
A. 曲线y=fx  在x=0处的切线方程为3x-y+2=0
B. x-1  fx  ≥0
C. 当0<x<1时，fx  >fx2 
D. 点0,2  是函数fx  图象的对称中心
42.(2026·山东聊城·三模)若函数fx  =xx-3  x-a  的图象在点0,0  处的切线的斜率为0，则 ( )
A. fx  有3个不同的零点 B. fx  在区间a-2,a  上单调递增
C. ∀x∈0,1  ，fx2  >f2x  D. ∃x∈-1,+∞  ，fx+4  <fx 
43.(2026·浙江·模拟预测)已知fx  =x-a  x-2  2，则下列正确的是 ( )
A. 直线y=0为fx  的切线
B. 若fa2  <fa  ，则a∈-1,1 
C. 若fx  在-∞,2  上单调递增，则a∈2,+∞ D. 设l 1 ,l 2 为曲线fx
12
 在 x 1 ,fx 1    , x 2 ,fx 2   
2
处的两条切线，若l 1 ⎳l 2 ，则x 1 +x 2 = 3 4+a 
三、填空题
44.(2026·福建福州·模拟预测)曲线y=lnx+1  在x=0处的切线的倾斜角为 ．
45.(2026·云南·一模)已知函数f(x)= x-lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ．
46.(2026·河北秦皇岛·模拟预测)设a≠0，若曲线 fx  =alnx-1  在点 2,f2    处的切线也是曲线gx 
=eax-2的切线，则a= ．
四、解答题
47.(2026·重庆北碚·模拟预测)已知关于x的函数fx  =x-2 
a a+1
ex- x3+
3

x2-x,a∈R.
2
(1)当a=0时，求f(x)在x=2处的切线方程；
(2)若a≤e且x>0，求f(x)的极小值．b
48.(2026·广东东莞·三模)已知函数f(x)=ax- -2lnx.
x
(1)曲线y=f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0，求实数a，b的值；
(2)当b=1时，对于任意x>1,f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.
1349.(2026·陕西榆林·模拟预测)已知函数fx
14
 =ex-ax-1,a∈R,gx  =xlnx.
(1)当a=2时，求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程；
(2)令Fx  =fx  -gx  ，若函数Fx  在0,+∞  上存在两个零点，求实数a的取值范围.x2 a
50.(2026·湖北武汉·模拟预测)已知函数f(x)= -alnx-(a-1)x- ，a∈R.
2 2
(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围.
1551.(2026·海南省直辖县级单位·模拟预测)已知函数f(x)=ax2+lnx+1．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(0,-1)，求实数a的值；
(2)若f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)证明：当a=1时，f(x)≤xex+x2-x．
16