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第3 讲 数列的综合应用
1.(2023·全国乙卷理，T10)已知等差数列{an}的公差为2π
3 ，集合S={cos an|n∈N*}，若S={a，b}，则ab 等
于( )
A.-1
B.-1
2
C.0
D.1
2
2.(2024·北京，T14)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、
斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10 的等比数列，底面直径依次为
65 mm，325 mm，325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为 mm，升量器的高为
mm.(不计量器的厚度)
3.(2025·全国Ⅰ卷，T16)已知数列{an}中，a1=3，an+1
n = an
n+1+
1
n(n+1).
(1)证明：数列{nan}为等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~10 分.
考查方向：
一是数列的实际应用，主要考查等差数列、等比数列的定义及运算；二是数列与其他知识的结合，主要考
查数列与不等式、函数导数、解析几何、概率统计等结合，特别是与概率统计相结合，考查概率统计中的
递推关系.
1.答案 B
解析 方法一 由题意得an=a1+2π
3 (n-1)，
cos an+3=cos(a1+ 2π
3 (n+2))
=cos(a1+ 2π
3 n+ 4 π
3 )
=cos(a1+ 2π
3 n+2π - 2π
3 )
=cos(a1+ 2π
3 n- 2π
3 )
=cos an，
所以数列{cos an}是以3 为周期的周期数列，
又cos a2=cos(a1+ 2π
3 )
=-1
2cos a1-√3
2 sin a1，
cos a3=cos(a1+ 4 π
3 )
=-1
2cos a1+√3
2 sin a1，
因为集合S 中只有两个元素，
所以有三种情况：cos a1=cos a2≠cos a3，
cos a1=cos a3≠cos a2，
cos a2=cos a3≠cos a1.
下面逐一讨论：
①当cos a1=cos a2≠cos a3时，
有cos a1=-1
2cos a1-√3
2 sin a1，
得tan a1=-√3，
所以ab=cos a1(- 1
2 cos a1+ √3
2 sin a1)
=-1
2cos2a1+√3
2 sin a1cos a1
=- 1
2 co s
2a1+ √3
2 sin a1cos a1
sin
2a1+co s
2a1
=- 1
2 + √3
2 tan a1
tan
2a1+1
=- 1
2 - 3
2
3+1
=-1
2.
②当cos a1=cos a3≠cos a2时，
有cos a1=-1
2cos a1+√3
2 sin a1，
得tan a1=√3，
所以ab=cos a1(- 1
2 cos a1- √3
2 sin a1)
=-1
2cos2a1-√3
2 sin a1cos a1
=- 1
2 co s
2a1- √3
2 sin a1cos a1
sin
2a1+co s
2a1
=- 1
2 - √3
2 tan a1
tan
2a1+1
=- 1
2 - 3
2
3+1
=-1
2.
③当cos a2=cos a3≠cos a1时，
有-1
2cos a1-√3
2 sin a1=-1
2cos a1+√3
2 sin a1，
得sin a1=0，
所以ab=cos a1(- 1
2 cos a1- √3
2 sin a1)
=-1
2cos2a1=-1
2(1-sin2a1)=-1
2.
综上，ab=-1
2.
方法二 取a1=-π
3 ，则cos a1=1
2，
cos a2=cos(a1+ 2π
3 )=1
2，
cos a3=cos(a1+ 4 π
3 )=-1，
所以S={
1
2 ，-1}，ab=-1
2.
2.答案 23 57.5
解析 设升、斗量器的高分别为h1 mm，h2 mm，
升、斗、斛量器的容积分别为V1 mm3，V2 mm3，V3 mm3，因为升、斗、斛量器的容积成公比为10 的等比
数列，所以V3=10V2，
即π×(
325
2 )
2
×230=10×π×(
325
2 )
2
×h2，
解得h2=23.
又V2=10V1，
即π×(
325
2 )
2
×23=10×π×(
65
2 )
2
×h1，
所以h1=57.5，所以升、斗量器的高分别为57.5 mm，23 mm.
3.(1)证明 在数列{an}中，a1=3，an+1
n = an
n+1+
1
n(n+1)，n∈N*，
∴(n+1)an+1=nan+1，即(n+1)an+1-nan=1，又当n=1 时，1×a1=3，
∴数列{nan}是以3 为首项，1 为公差的等差数列.
(2)解 由(1)可知，nan=3+(n-1)×1=n+2，
由题意得f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1
=3+4x+5x2+…+(m+2)xm-1，
①
又xf'(x)=3x+4x2+5x3+…+(m+1)xm-1+(m+2)xm，
②
①-②得(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm，
令x=-2，得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)(-2)m=3+-2[1-(-2)
m-1]
1-(-2)
-(m+2)(-2)m=7
3-(m+ 7
3)(-2)m，
故f'(-2)=7
9-(
m
3 + 7
9)(-2)m.
考点一 数列在实际问题中的应用
例1 (1)(2025·昆明模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、
乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、
戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干
由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，
以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到
“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025 年是乙巳年，请问：在100 年后的2125 年为(
)
A.癸未年
B.辛丑年
C.乙酉年
D.戊戌年
答案 C
解析 天干是以10 为公差的等差数列，地支是以12 为公差的等差数列，
100÷10=10 余0，则2125 年对应的天干为乙，
100÷12=8 余4，则2125 年对应的地支为酉，
所以2125 年为乙酉年.
(2)现将一圆形花坛从圆心向外栽种8 圈某种花卉，圆心处栽1 株(视为第一圈)，第二圈栽3 株花卉，从
第二圈起，第n 圈栽种花卉比第n-1 圈多栽种2(n-1)(2≤n≤8，n∈N*)株，则第8 圈栽种花卉( )
A.57 株
B.56 株
C.55 株
D.54 株
答案 A
解析 设第n 圈栽种花卉an株，
则an-an-1=2(n-1)，2≤n≤8，n∈N*，
又a1=1，a2=3，
则a8-a7=14，a7-a6=12，a6-a5=10，…，a2-a1=2，
所以a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+…+(a2-a1)+a1
=14+12+10+…+2+1
=(14 +2)×7
2
+1=57.
[规律方法] 数列应用问题首先要仔细审题，抓住数量关系建立数学模型，再设出数列，判断数列模型，
利用数列的定义、公式和性质求解.常见数列模型：
(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值.
(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与
an+1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn+1(或者相邻三项)之间的递推关系.
跟踪演练1 (2025·龙岩模拟)一个弹力球从1 m 高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的4
5 处，
那么在第n 次着地后，它经过的总路程超过5 m，则n 的最小值是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案 C
解析 设小球第一次落地时经过的路程为a1，第n-1 次落地到第n 次落地经过的路程为an(n≥2)，
由题意，a1=1，数列{an}从第二项起构成以首项为a2=1×4
5 ×2=8
5，公比为4
5 的等比数列，
则第n 次着地后经过的路程为
a1+a2+…+an=1+
8
5[1-(
4
5)
n-1
]
1- 4
5
≥5，
即(
4
5)
n-1
≤1
2，
结合选项，当n=4 时，(
4
5)
3
>1
2，
当n=5 时，(
4
5)
4
<1
2成立，
所以n 的最小值是5.
考点二 数列与其他知识的交汇
考向1 数列与不等式
例2 (2025·湖南省名校联考)已知{an}是无穷等比数列，其前n 项和为Sn，a1=1，S2=1
2.若对任意正整数
n，都有Sn-(-1)n·A>0，则实数A 的取值范围是( )
A.(- 2
3 ，1
2)
B.[- 2
3 ，1
2)
C.(- 1
2 ，2
3)
D.[- 1
2 ，2
3)
答案 B
解析 由a1=1，S2=a1+a2=1
2，
故a2=-1
2，所以公比q=-1
2，
故Sn=
1-(- 1
2)
n
1-(- 1
2)
=2
3[1-(- 1
2)
n
]，
由Sn-(-1)n·A>0 可得2
3[1-(- 1
2)
n
]-(-1)n·A>0，
当n 为奇数时，则2
3[1+(
1
2)
n
]+A>0，故A>-2
3[1+(
1
2)
n
]，
由于f(n)=-2
3[1+(
1
2)
n
]，n∈N*单调递增，且f(n)<-2
3，故A≥-2
3，
当n 为偶数时，则2
3[1-(
1
2)
n
]-A>0，故A<2
3[1-(
1
2)
n
]，
由于g(n)=2
3[1-(
1
2)
n
]，n∈N*单调递增，
当n=2 时，此时g(n)=2
3[1-(
1
2)
n
]取最小值1
2，故A<1
2，综上可得-2
3≤A<1
2，
故实数A 的取值范围是[- 2
3 ，1
2).
考向2 数列与函数
例3 (2025·菏泽模拟)对于任意x∈R，xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，且f(2)=3，则f(2 025)等于( )
A.-1
B.1
C.2 025
D.4 049
答案 D
解析 由xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，当x∈N*时，可得f ( x +1)
x +1
=f ( x)
x
+
1
x( x +1)=f ( x)
x
+1
x - 1
x +1，赋值可得
{
f (3)
3
= f (2)
2
+ 1
2 - 1
3 ，
f (4)
4
= f (3)
3
+ 1
3 - 1
4 ，
f (5)
5
= f (4)
4
+ 1
4 - 1
5 ，
…，
f (2 025)
2 025
= f (2 024)
2 024
+
1
2 024 -
1
2 025 ，
利用累加法可得f (2 025)
2 025
=f (2)
2
+1
2-
1
2 025，
代入f(2)=3 可得f (2 025)
2 025
=3
2+1
2-
1
2 025=4 049
2 025 ⇒f(2 025)=4 049.
考向3 数列与几何
例4 (2025·大庆模拟)已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，直线l：anx+an+2y+an+5=0(n∈N*)与圆C：
(x-1)2+(y+2)2=1 交于A，B 两点，则∠ACB 的最小值为( )
A.2π
3
B.π
2
C.π
3
D.π
4
答案 B
解析 由题意可知，圆C：(x-1)2+(y+2)2=1 的圆心为C(1，-2)，半径r=1，
设等差数列{an}的公差为d，
则直线anx+an+2y+an+5=0 可化为anx+(an+2d)y+an+5d=0，
即(x+y+1)an+(2y+5)d=0.
令{
x + y +1=0，
2 y +5=0，解得{
x = 3
2 ，
y =- 5
2 ，
可知直线l 过定点D(
3
2 ，- 5
2)，
如图，当CD⊥AB 时，弦长|AB|最小，此时∠ACB 最小.
又因为|CD|=√2
2 ，
则|AB|=2√r
2-|CD|
2=√2，
在△ACB 中，可知|CA|2+|CB|2=|AB|2，则∠ACB=π
2 ，故∠ACB 的最小值为π
2 .
考向4 数列与概率统计
例5 将16 处景观分别用A1，A2，…，A16表示，某游客按照箭头所示方向(不可逆行)可以任意选择一
条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达A6有
种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不同路线有ai条，其中1≤i≤16，
i∈N*，记a2n+1=m(1≤n≤7，n∈N*)，则
n
Σ
i=1
a2i= (结果用m 表示).
答案 8 m-1
解析 由题意知，到达A2点共有1 种走法，
到达A3点共有1+1=2(种)走法(一种是经过A2点到达A3，一种是直接到达A3)，
到达A4点共有1+2=3(种)走法(一种是经过A2，一种是经过A3，所以到达A4的走法是将到达A2，A3的走法
加起来)，
到达A5点共有2+3=5(种)走法(一种是经过A2和A4，一种是经过A3，所以到达A5的走法是将到达A4，A3的
走法加起来)，
到达A6点共有3+5=8(种)走法(一种是经过A2和A4，一种是经过A3和A5，所以到达A6的走法是将到达A4，
A5的走法加起来)，故按图中所示方向到达A6有8 种不同的打卡路线.
由题意知，a1=1，a2=1，a3=a1+a2=2，a4=a2+a3=3，a5=a3+a4=5，…，an+an+1=an+2(1≤n≤14 且n∈N*)，
因为an+an+1=an+2(1≤n≤14 且n∈N*)，
所以a1+a2=a3，a3+a4=a5，a5+a6=a7，…，a2n-1+a2n=a2n+1(1≤n≤7 且n∈N*)，
将上式累加可得a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2n-1+a2n=a3+a5+a7+…+a2n+1(1≤n≤7 且n∈N*)，
整理可得a1+a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1，又a1=1，a2n+1=m，
所以a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1-a1=m-1，即
n
Σ
i=1
a2i=m-1.
[规律方法] 数列与函数、不等式、几何、概率统计的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、
数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；
二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求
解.
跟踪演练2 (1)将被3 除余2 的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前
n 项和为Sn，则2Sn+ 48
n
的最小值为( )
A.20
B.25
C.61
2
D.40
答案 B
解析 被3 除余2 的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3 的等差数列{an}，
则Sn=2n+n(n-1)
2
×3=3
2n2+1
2n，
∴2Sn+ 48
n
=3n
2+n+ 48
n
=3n+48
n +1
≥2√3n× 48
n +1=25，
当且仅当3n=48
n ，即n=4 时，等号成立，故所求最小值为25.
(2)(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=x3+x，数列{an}是等差数列，且a1 013<0，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2
024)+f(a2 025)的值( )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不能确定
答案 B
解析 函数y=x3，y=x 均为奇函数且为增函数，则函数f(x)=x3+x 为奇函数且为增函数，
由数列{an}是等差数列，
得a1+a2 025=2a1 013<0，即a1<-a2 025，
于是f(a1)<f(-a2 025)=-f(a2 025)，
即f(a1)+f(a2 025)<0，同理f(a2)+f(a2 024)<0，
f(a3)+f(a2 023)<0，…，f(a1 012)+f(a1 014)<0，f(a1 013)<0，
因此f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 024)+f(a2 025)<0.
(3)(2025·辽宁名校联盟模拟)如图，正方形A1B1C1D1的边长为1，取正方形各边的四等分点A2，B2，
C2，D2，得到第2 个正方形A2B2C2D2，再取正方形A2B2C2D2各边的四等分点A3，B3，C3，D3，得到第3
个正方形A3B3C3D3，依此方法一直进行下去，若从第k 个正方形开始，它的面积小于第1 个正方形面积
的1
50，则正整数k 的最小值为(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A.8
B.9
C.10
D.11
答案 C
解析 由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为√(
3
4)
2
+(
1
4)
2
=√10
4 ，
所以其公比为√10
4 .
设第n 个正方形的面积为an，则an
an-1
=(
√10
4 )
2
=5
8(n≥2)，
当n=1 时，a1=1，所以an=(
5
8)
n-1
，
由ak< 1
50a1，得(
5
8)
k -1
< 1
50，
所以(k-1)lg5
8<lg 1
50，
即k-1>-lg50
lg5-lg8=-lg5-1
lg5-3lg2=-(1-lg2)-1
1-lg2-3lg2= lg2-2
1- 4lg2≈
0.3-2
1- 4×0.3=8.5，
所以k>9.5，所以正整数k 的最小值为10.
专题强化练
[分值：80 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.(2025·上饶模拟)某统计数据共有13 个样本xi(i=1，2，3，…，13)，它们依次成公差d=1 的等差数列，若
这组数据的60%分位数是26，则x13为( )
A.32
B.31
C.19
D.18
答案 B
解析 因为数列{xn}为公差d=1 的等差数列，且13×0.6=7.8，
所以该组数据的60%分位数为x8，由x8=x1+7=26 得x1=19.
所以x13=x1+12d=19+12=31.
2.(2025·苏州模拟)在平面直角坐标系中，若直线l：3x+4y+n=0 与圆C：(x-2)2+y2=an
2(an>0，n∈N*)相切，则
数列{an}的前10 项和为( )
A.23
2
B.27
2
C.23
D.27
答案 C
解析 由圆C：(x-2)2+y2=an
2(an>0，n∈N*)，可得圆心为C(2，0)，半径为r=an，
可得圆心C(2，0)到直线l：3x+4y+n=0 的距离为d=|6+ n|
√3
2+ 4
2=6+n
5
，
因为直线l：3x+4y+n=0 与圆C 相切，
则d=r，即an=6+n
5
，{an}为等差数列，
所以数列{an}的前10 项和为S10=10(a1+a10)
2
=5×(
7
5 + 16
5 )=23.
3.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1 的线段AB，作一
个等边三角形ABC，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D(第一段圆弧)，
再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时
针画圆弧…，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15 段圆弧时，“蚊香”的长度为( )
A.44π
B.64π
C.70π
D.80π
答案 D
解析 由题意每段圆弧的圆心角都是2π
3 ，每段圆弧的半径依次增加1，
则第n 段圆弧的半径为n，弧长记为an，则an=2π
3 ·n，
所以S15=2π
3 ×(1+2+3+…+15)=80π.
4.(2025·长春模拟)已知递减的等比数列{an}的前n 项和为Sn，且满足a1=2，a1+a2=6a3，若N≤Sn- 1
Sn
≤M 恒
成立，则M-N 的最小值为( )
A.4
3
B.3
2
C.2
D.9
4
答案 D
解析 由题可设等比数列{an}的公比为q，0<q<1，
∵a1=2，a1+a2=6a3，
∴2(1+q)=12q2，解得q=-1
3(舍去)或q=1
2，
∴an=2×(
1
2)
n-1
=(
1
2)
n-2
，
Sn=
2[1-(
1
2)
n
]
1- 1
2
=4[1-(
1
2)
n
]，
∴Sn<4，又Sn≥S1=a1=2，
∴2≤Sn<4，
令t=Sn，∴f(t)=t-1
t ，t∈[2，4)，
显然函数f(t)在[2，4)上单调递增，
∴3
2=f(2)≤f(t)<f(4)=15
4 ，
故若N≤Sn- 1
Sn
≤M 恒成立，则N≤3
2，M≥15
4 ，故M-N≥15
4 -3
2=9
4 ，即M-N 的最小值为9
4 .
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.将函数f(x)=sin(ωx - 2π
3 )(ω>0，x>0)的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{an}，且a1=2
3，则(
)
A.ω=2
B.f(x)在(1，2)上先单调递增后单调递减
C.a10=31
3
D.数列{an}的前n 项和为3n
2+n
6
答案 BD
解析 由f(x)=0，得ωx-2π
3 =kπ(k∈Z)，则x=(3k +2)π
3ω
(k∈Z)，
因为ω>0，且a1=2
3，
所以当k=0 时，2π
3ω=2
3(当k≤-1 且k∈Z 时，x<0，不符合题意，舍去)，得ω=π，故f(x)=sin(π x - 2π
3 )，A
错误；
若x∈(1，2)，则πx-2π
3 ∈(
π
3 ，4 π
3 )，
故f(x)=sin(π x - 2π
3 )在(1，2)上先单调递增后单调递减，B 正确；
由于ω=π，故周期为2，所以数列{an}是首项为2
3，公差为1 的等差数列，
则a10=2
3+9×1=29
3 ，数列{an}的前n 项和Sn=2
3n+n(n-1)
2
×1=3n
2+n
6
，C 错误，D 正确.
6.(2025·兰州模拟)如图所示，作边长为3 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作
新三角形的内切圆.如此下去，则( )
A.第n 个圆的面积为3 π
4
n
B.这n 个圆的半径成公比为1
2的等比数列
C.第一个圆的面积为3 π
2
D.前n 个圆的面积和为(1- 1
4
n)π
答案 ABD
解析 设第n 个正三角形的内切圆的半径为an，
因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个正三角形的1
2，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的1
2，
即这n 个圆的半径成公比为1
2的等比数列，故B 正确；
因为a1=
1
2 ×3×3×sin 60°
1
2 ×(3+3+3)
=√3
2 ，
a2=1
2a1，a3=1
2a2，…，an+1=1
2an，
所以数列{an}是以√3
2 为首项，1
2为公比的等比数列，
所以an=√3
2 ×(
1
2)
n-1
，则an
2=3
4 ×(
1
4)
n-1
，
则第n 个圆的面积为πan
2=3
4 ×(
1
4)
n-1
×π=3 π
4
n ，
第一个圆的面积为3 π
4 ，故A 正确，C 错误；
设前n 个圆的面积和为Sn，
则Sn=3 π
4 [(
1
4)
0
+(
1
4)
1
+(
1
4)
2
+…+(
1
4)
n-1
]
=3 π
4 ×
1×[1-(
1
4)
n
]
1- 1
4
=[1-(
1
4)
n
]π=(1- 1
4
n)π，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2025·南宁模拟)在公差不为0 的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则1
x + 4
y 的最小值为
.
答案 3
2
解析 因为在公差不为0 的等差数列{an}中，a3是ax与ay的等差中项，
所以2a3=ax+ay，所以x+y=6，
且x≥1，y≥1，x，y∈N*，
所以1
x + 4
y =1
6(x+y)(
1
x + 4
y)=1
6(5+ y
x + 4 x
y )≥1
6(5+2√
y
x · 4 x
y )=3
2，
当且仅当y
x =4 x
y ，即x=2，y=4 时等号成立，
所以1
x + 4
y 的最小值为3
2.
8.(2025·唐山模拟)设n∈N*，xn是曲线y=x2n-1-2 在点(1，-1)处的切线与x 轴交点的横坐标，记an=n xn xn+1
n+1
，
则数列{an}的前50 项和为 .
答案 5 100
101
解析 y'=(2n-1)x2n-2，
当x=1 时，y'=2n-1，
∴在点(1，-1)处的切线为y-(-1)=(2n-1)(x-1)，
化简得y=(2n-1)x-2n，
令y=0，得x= 2n
2n-1，即xn= 2n
2n-1，
∴an=n xn xn+1
n+1
=n·
2n
2n-1 ·
2(n+1)
2(n+1)-1
n+1
=
4 n
2
(2n-1)(2n+1)= 4 n
2
4 n
2-1
=1+
1
(2n-1)(2n+1)=1+
1
2(
1
2n-1 -
1
2n+1)，
则数列{an}的前50 项和为a1+a2+a3+…+a50
=50+1
2×(1- 1
3 + 1
3 - 1
5 + 1
5 - 1
7 +…+ 1
99 - 1
101)
=50+1
2×(1- 1
101)=50+ 50
101=5 100
101
.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)(2025·广州模拟)已知向量a=(sin π x
2 ，-sin π x
2 )，b=(cos π x
2 ，sin π x
2 )，函数f(x)=a·b，f(x)的
所有大于0 的零点构成递增数列{an}.
(1)写出{an}的前6 项；(8 分)
(2)求{an}的前100 项和S100.(5 分)
解 (1)由题意得f(x)=sinπ x
2 ·cosπ x
2 -sin2π x
2 =1
2sin πx-1
2(1-cos πx)
=1
2(sin πx+cos πx)-1
2=√2
2 sin(π x + π
4)-1
2.
由f(x)=0，得sin(π x + π
4)=√2
2 .
所以πx+π
4 =2kπ+π
4 或πx+π
4 =2kπ+3 π
4 ，k∈Z.
即x=2k 或x=2k+1
2，k∈Z，取其中的正数构成递增数列{an}.
所以{an}的前6 项为1
2，2，5
2，4，9
2，6.
(2)依题意
S100=(
1
2 + 5
2 +…+ 197
2 )+(2+4+…+100)
=50×(
1
2 + 197
2 )
2
+50×(2+100)
2
=5 025.
10.(15 分)(2025·江门模拟)已知数列{an}满足a1=2，且对于任意正整数n，均有nan+1-(n+1)an=n(n+1)，且bn=
an
n .
(1)证明：{bn}为等差数列；(5 分)
(2)设cn= bn
2
bn，Sn为数列{bn}的前n 项和，Tn为数列{cn}的前n 项和，若3
2-Tn≤k(n+3)
Sn
对任意的n∈N*恒成
立，求实数k 的取值范围.(10 分)
(1)证明 由题意，等式nan+1-(n+1)an=n(n+1)两边同时除以n(n+1)，可得an+1
n+1-an
n =1，
因为bn=an
n ，
则bn+1-bn=1，且b1=a1=2，
所以数列{bn}是首项为2，公差为1 的等差数列.
(2)解 由(1)可得bn=2+n-1=n+1，
所以cn= bn
2
bn=n+1
2
n+1 ，
Sn=(2+n+1)n
2
=n(n+3)
2
，
Tn= 2
2
2+ 3
2
3+ 4
2
4+…+n+1
2
n+1 ，
则1
2Tn= 2
2
3+ 3
2
4+…+ n
2
n+1+n+1
2
n+2 ，
上述两个等式作差可得1
2Tn=1
2+ 1
2
3+ 1
2
4 +…+ 1
2
n+1-n+1
2
n+2 =1
2+
1
2
3(1- 1
2
n-1)
1- 1
2
-n+1
2
n+2
=3
4 -n+3
2
n+2 ，
所以Tn=3
2-n+3
2
n+1 ，
因为3
2-Tn≤k(n+3)
Sn
对任意的n∈N*恒成立，
即n+3
2
n+1 ≤
k(n+3)
n(n+3)
2
=2k
n ，则k≥n(n+3)
2
n+2
，
令xn=n(n+3)
2
n+2
，则k≥(xn)max，
xn+1-xn=(n+1)(n+ 4)
2
n+3
-n(n+3)
2
n+2
=4 -n-n
2
2
n+3
，
当n=1 时，x2-x1>0，即x1<x2，
当n≥2 且n∈N*时，xn+1-xn<0，即xn+1<xn，故数列{xn}从第二项开始递减，
所以数列{xn}的最大项为x2=2×5
2
4 =5
8，故k≥5
8，因此实数k 的取值范围是[
5
8 ，+∞).
(每小题5 分，共10 分)
11.(2025·大连模拟)小明同学在如图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A，B，C 三个木
桩，A 木桩上套有编号分别为1，2，3，4，5，6 的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到
另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六
个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少的次数为( )
A.31
B.63
C.127
D.128
答案 B
解析 设圆环的个数为n，移动n 个圆环所需的最少的次数为an，n∈N*.
当n=1 时，即只有1 个圆环，从一个木桩移动到另一个木桩，只需移动1 次，所以a1=1.
当n>1 时，要把n 个圆环从A 木桩移动到B 木桩，我们可以先把上面n-1 个圆环从A 木桩借助B 木桩移动
到C 木桩，需要an-1次；
然后把最大的第n 个圆环从A 木桩移动到B 木桩，需要1 次；
最后再把C 木桩上的n-1 个圆环借助A 木桩移动到B 木桩，又需要an-1次.所以可得递推公式an=2an-1+1.
由an=2an-1+1，可得an+1=2(an-1+1).则数列{an+1}是以a1+1=2 为首项，2 为公比的等比数列，故
an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1.
当n=6 时，可得a6=26-1=64-1=63，故所需的最少的次数为63.
12.(5 分)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=x2-nx-1(n∈N*)，xn为函数f(x)的正零点，若an=[xn]([x]表示不超过x
的最大整数)，则数列{
2n+1
an
2an+1
2 }的前10 项和S10= .
答案 120
121
解析 f(x)是关于x 的二次函数，其对称轴为直线x=n
2，
因为f(0)=-1<0，且f(x)在区间(
n
2 ，+ ∞)上单调递增，
所以正零点xn一定在区间(
n
2 ，+∞)内，
又因为f(n)=n2-n·n-1=-1<0，
f(n+1)=(n+1)2-n·(n+1)-1=n>0，
所以xn∈(n，n+1)，所以an=[xn]=n，
则
2n+1
an
2an+1
2
=
2n+1
n
2(n+1)
2= 1
n
2-
1
(n+1)
2，
故S10=1-1
4 +1
4 -1
9+…+ 1
100- 1
121=1- 1
121=120
121.
